I numeri primi della successione di Fibonacci sono infinit…

I numeri primi della successione di Fibonacci sono infiniti?
Carolla Guido 1
Sunto. Con la presente nota si è cercato di dare una risposta al quesito in oggetto ricorrendo ad
alcune originali considerazioni e ad altre già riportate in bibliografia.
I numeri primi di Fibonacci sono infiniti (come lo sono i numeri primi)? Per ogni primo di
Fibonacci vi è un suo consecutivo (come accade per i primi in genere)?
E' noto che la successione dei numeri di Fibonacci si ottiene, quando si esclude lo zero iniziale, con
r ≠ 1 ∧ 2 (i primi due sono per definizione F 1 = F 2 = 1 ), da F r = F r −1 + F r− 2 in cui F r si riferisce
al numero di Fibonacci r- mo, cioè
F1 F1
F1
F1
F1
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711
r ordine dei numeri di
Fibonacci 1,2,3,4,5,6, 7, 8, 9, 10,11, 12, 13, 14, 15, 16 , 17, 18 , 19 , 20 , 21 , 22 ,
h, k ordine primi di F.
1,2,3, 4,
5,
6,
7,
Fr
l’elencazione prosegue col numero di Fibonacci F 23 = 28657 , che essendo l’8° primo di Fibonacci
si indica con p 8 ( F ) = 28657 , al quale segue immediatamente l’ F 24 numero non primo di
Fibonacci che si indica ed è F1=47368 per i motivi che sono meglio detti dopo.
Sotto ciascun F r , numero di Fibonacci, sono stati riportati i due diversi ordini ed i primi di
Fibonacci sono stati sottolineati; come si noterà questi ultimi, eccetto il 3, hanno a loro volta un
numero d'ordine che è anch'esso un primo; le F1 riportate sopra indicano i numeri di Fibonacci non
primi consecutivi ai primi di Fibonacci, i quali ultimi indicheremo con p h ( F ) , p k ( F ) e pk +1( F ) .
Inoltre, l' r.simo numero di Fibonacci è approssimato da F r = Φ r / 5 con Φ = lim F r F r−1 che è il
(
)
r→ ∞
numero aureo 1,61803398874989484820…, che si ottiene anche da 1 + 5 2 , per cui essendo
noto un numero di Fibonacci è possibile calcolare con approssimazione il numero d'ordine con
semplici passaggi dalla formula di cui sopra, cioè r = (log F r + 1 2 log 5 ) / log Φ , (con log
logaritmo a base 10) ad esempio, il numero d'ordine del numero di Fibonacci 233, come si può
verificare, verrà uguale a 13 se si prenderà un numero adeguato di cifre decimali.
Detto ciò, la successione di Fibonacci può essere scritta in via approssimata quanto si vuole, come
segue:
1
5 ,Φ 2 5 ,Φ 3 5 ,...,Φ r 5 .
Φ
Considerata la proprietà (congettura) sull'ordine dei numeri di Fibonacci che dice "ogni numero
primo di Fibonacci, escluso il 3, ha un numero d'ordine (riferito ai numeri dello stesso anche non
primi) che è a sua volta un numero primo", pur non essendo vero il contrario, cioè che ad ogni
numero d'ordine primo non corrisponde sempre un numero primo di Fibonacci, si può dedurre che
partendo da un numero primo di Fibonacci sarà sempre possibile trovare un numero primo di
Fibonacci consecutivo o anche successivo ma non consecutivo e ciò, data l'illimitata successione,
prova l'asserto. Ora, nel seguito, si darà la prova dell'illimitatezza della successione dei primi di
Fibonacci con un procedimento analitico più rigoroso ed in modo definitivo.
1
Docente di Matematica e Preside a r. in ogni ordine d’istruzione e di scuola. Piazza G. Mazzini n. 24, 73100 Lecce.
Tel. 0832317045, cell. 3474632979; e-mail: [email protected]
La dimostrazione della formula dei primi o il teorema relativo ha validità anche per i primi di
Fibonacci, per cui scriveremo p k ( F ) = ph ( F ) + 2 n r e anche p k +1 ( F ) = p k ( F ) + 2 mr con
n r , m r ∈ N e h , k ∈ N 0 . Proprio per questa ultima formula abbiamo scritto la seguente tabella, che
se prolungata, permette di trovare sempre un numero primo di Fibonacci in funzione del suo
precedente e del numero di Fibonacci successivo a questo ultimo, cioè F1.
TABELLA PER LA DETERMINAZIONE DI mr ( p k ( F ), F 1 ) IN p k +1 ( F ) = p k ( F ) + 2 mr
E
nr ( p h ( F ), F 1 ) IN pk ( F ) = ph ( F ) + 2 n r , con
r numero delle presenze (sempre dispari eccetto lo zero)
dei numeri di Fibonacci
p k ( F ) e pk +1( F )
o primi e non, tra p h ( F ) e pk ( F )
primi tra
0
1
Alcuni modi per calcolare
3
5
7
9
11…
∀ p k ( F ) ∉ {2} mr ( p k ( F ), F 1 )
e analogamente per calcolare
∀ p h ( F ) ∉ {2 ,3} nr ( ph ( F ), F 1 )
con p h ( F ) al posto di p k ( F )
1
(F1)/2
( p ( F ) + 3 F 1) 2
k
(12 p ( F ) + 21F 1) 2
k
(riferito a 5) 2 p k ( F ) + 4 F 1 (rifer. a 9) ( 33 p k ( F ) + 55 F 1 ) / 2
(riferito a 11) ( 88 pk ( F ) + 144 F 1 ) 2 …
Attribuendo ad r il valore numerico indicato nelle due tabelle, il numero dei pari che vi sono tra
p k ( F ) e pk +1( F ) e tra p h ( F ) e pk ( F ) si potrà calcolare rispettivamente con le formule
generali:
(1)
mr = (( F r − 1 ) ⋅ p k ( F ) + F r+ 1 ⋅ F 1) 2 ,
(2)
n r = (( F r − 1 ) ⋅ p h ( F ) + F r +1 ⋅ F 1) / 2.
Esempi: m5 = (( F 5 − 1 ) ⋅ p7 ( F ) + F 5 +1 ⋅ F 1 ) / 2 = ( 4 ⋅ 1597 + 8 ⋅ 2584 ) / 2 = 27060 / 2 = 13530 , con cui da p7 ( F ) si potrà
calcolare
il
primo
consecutivo
di
Fibonacci
che
è
p 8 ( F ) = p7 ( F ) + 2 ⋅ m5 = 1597 + 2 ⋅ 13530 = 28657 ; per l’esempio che segue si ha
F 24 = 17711 + 28657 = 46368 , quindi si ha
n23 = (( F 23 − 1 ) p3 ( F ) + F 23+1 ⋅ F 1 ) / 2 = (( 28657 − 1 )5 + 46368 ⋅ 8 ) / 2 = 514224 / 2 = 257112 con cui da p 3 ( F ) si potrà
calcolare il primo successivo non consecutivo di Fibonacci che è
p 9 ( F ) = p 3 ( F ) + 2 ⋅ n23 = 5 + 2 ⋅ 257112 = 514229 . Lo stesso valore, soddisfacentemente
approssimato, è possibile ottenerlo con le sole cifre decimali di Φ riportate sopra, così
29
5 = 514229 .
F 29 = Φ
Quindi, non solo è possibile ottenere con la seguente formula
r
Fr =Φ / 5
un valore approssimato quanto si vuole di un numero primo di Fibonacci, essendo disponibili tutte
le cifre che vogliamo di Φ , ma anche facendo uso della nostra seconda tabella e delle formule (1) e
(2).
Inoltre, appare evidente che le formule che danno p k ( F ) e pk +1( F ) rispettivamente funzioni di
p h ( F ), nr e pk ( F ), mr sono dimostrabili in modo analogo al pari di quella di provenienza ( cfr.
[1] e § 2 del [2] ), e ciò prova che l’insieme dei numeri primi di Fibonacci, considerato l’ordine
attribuitogli, hanno, secondo Bolzano e Cantor 2 , la potenza del numerabile, come è per i numeri
primi, per i naturali, per i relativi che sono infiniti, costituendo tutti degli insiemi equipotenti.
2
Ci sono due formulazioni ovvero due “filosofie” dell’infinito: la prima dice che possono esistere solo insiemi infiniti
in “potenza”, cioè insiemi finiti ai quali possono essere aggiunti sempre nuovi elementi, dovuta ad Euclide ed ancor
Bibliografia
[1] Byron S. Gottfried “PROGRAMMARE IN BASIC” collana SCHAUM, ETAS LIBRI, 1980.
[2] G. Carolla “ IL NUMERO AUREO ED I SUOI SVILUPPI....” in www.matematicamente.it a seguito comunicazione in
Convegno Nazionale della Mathesis “L’insegnamento della matematica nel quadro delle riforme dell’università e degli
altri ordini scolastici” tenutosi in S. Cesarea Terme nei giorni dal 28 settembre all’1 ottobre 2003.
[]
3 G. Carolla “FORMULA p k = p h + 2 n DEI NUMERI PRIMI ED ALTRE CONSIDERAZIONI” (I PARTE), comunicazione
tenuta il 4.11.2003 nel Congresso Nazionale Mathesis svoltosi in Vico Equense (NA), località Seiano, Hotel Moon Valley, nei giorni
3, 4, 5, 6 Novembre 2003., pubblicato sul sito www.matematicamente.it, 2003.
[]
4 G. Carolla, “CONSIDERAZIONI SU TRE CONGETTURE MATEMATICHE” (II Parte), pubblicato sul sito
www.matematicamente.it, 2003.
Lecce, maggio 2004.
prima ad Aristotele; la seconda, per la quale ci sono gli insiemi infiniti in “atto”, cioè che esistono nella loro totalità,
riscontrabile dagli scritti di B. Bolzano (1781-1848) e G. Cantor (1845-1918).