Matematica Domande di Algebra e Geometria Analitica

Matematica
Domande di Algebra e Geometria
Analitica
prof.
Vincenzo De Felice
2015
O studianti, studiate le matematiche, e non edificate sanza fondamenti.
Leonardo da Vinci (1452 - 1519).
1
2
Tutto per la gloria di Dio
3
1
Radicali
Domanda 1 .
Risposta 1
Domanda 2 .
Risposta 2
Domanda 3 .
Risposta 3
Domanda 4 .
Risposta 4
Domanda 5 .
Risposta 5
Domanda 6 .
Risposta 6
Domanda 7 .
Risposta 7
Domanda 8 .
Risposta 8
Domanda 9 .
Risposta 9
Domanda 10 .
Risposta 10
4
2
Polinomi di secondo grado ad una variabile
Domanda 11 Si discuta il caso di un polinomio di secondo grado
a delta negativo riguardo le sue soluzioni.
Risposta 11 Un polinomio di secondo grado a delta negativo non ammette
soluzioni reali.
Domanda 12 Si discuta il caso di un polinomio di secondo grado
col delta uguale a zero riguardo le sue soluzioni.
Risposta 12 Un polinomio di secondo grado col delta uguale a zero ammette
due soluzioni reali x1 e x2 coincidenti, che si possono ottenere mediante la
formula
b
x1 = x2 = − .
2a
Domanda 13 Si discuta il caso di un polinomio di secondo grado
a delta positivo riguardo le sue soluzioni.
Risposta 13 Un polinomio di secondo grado a delta positivo ammette due
soluzioni reali x1 e x2 distinte, che si possono ottenere mediante la formula
√
−b ± ∆
x1,2 =
.
2a
Domanda 14 Si discuta il caso di un polinomio di secondo grado
a delta negativo riguardo la sua fattorizzazione.
Risposta 14 Un polinomio di secondo grado a delta negativo non si fattorizza in R [x], cioè è un polinomio primo.
Domanda 15 Si discuta il caso di un polinomio di secondo grado
col delta uguale a zero riguardo la sua fattorizzazione.
5
Risposta 15 Un polinomio di secondo grado ax2 + bx + c col delta uguale
a zero le cui due soluzioni reali coincidenti sono x1 = x2 , si fattorizza come
a (x − x1 )2 .
Domanda 16 Si discuta il caso di un polinomio di secondo grado
a delta positivo riguardo la sua fattorizzazione.
Risposta 16 Un polinomio di secondo grado ax2 + bx + c a delta positivo
le cui soluzioni reali distinte sono x1 e x2 , si fattorizza come
a (x − x1 ) (x − x2 ).
Domanda 17 Si discuta il caso di un polinomio di secondo grado
a delta negativo riguardo il suo segno.
Risposta 17 Un polinomio p di secondo grado col delta negativo è sempre
positivo o sempre negativo a seconda che il suo coefficiente principale a sia
rispettivamente positivo o negativo, cioè
Caso a < 0
Caso a > 0
p
p
-
-
Domanda 18 Si discuta il caso di un polinomio di secondo grado
col delta uguale a zero riguardo il suo segno.
Risposta 18 Un polinomio p di secondo grado col delta zero, eccetto la soluzione nella quale è zero, è sempre positivo o sempre negativo a seconda che
il suo coefficiente principale a sia rispettivamente positivo o negativo, cioè
Caso a > 0
p
Caso a < 0
q
x1
p
-
q
x1
-
6
Domanda 19 Si discuta il caso di un polinomio di secondo grado
a delta positivo riguardo il suo segno.
Risposta 19 Se il coefficiente principale a di un polinomio p di secondo
grado è positivo, il polinomio è positivo per i valori esterni alle soluzioni e
negativo per quelli interni;
se il coefficiente principale a di un polinomio p di secondo grado è negativo,
il polinomio è negativo per i valori esterni alle soluzioni e positivo per quelli
interni, cioè
Caso a < 0
Caso a > 0
p
q
q
x1
x2
p
-
q
q
x1
x2
-
Domanda 20 Si discuta il completamento al quadrato di un polinomio monico di secondo grado.
Risposta 20 Un polinomio di secondo grado o è il quadrato di un binomio di
primo grado o si può scrivere come il quadrato di un binomio più un numero
reale.
Affrontando il caso di un polinomio monico
x2 + px + q
dove p e q sono numeri reali, sarà sufficiente sommare e sottrarre la medep2
sima quantità , individuare il quadrato del binomio e svolgere la restante
4
somma.
Ad esempio,
2
2
9 9
3
−9 + 20
3
11
2
2
x − 3x + 5 = x − 3x + − + 5 = x −
+
= x−
+ .
4 4
2
4
2
4
7
3
Vettori
Domanda 21 Si dia la definizione geometrica e algebrica di vettore.
Risposta 21 Geometricamente, un vettore è un segmento orientato di una
retta, un estremo del quale (il punto A) è detto origine, mentre l’altro (il
−→
punto B) è detto la fine del vettore; tale vettore verrà denotato con AB.
Algebricamente, un vettore piano,
rispetto ad un sistema cartesiano di
a
assi, è rappresentato mediante
, dove a e b sono le componenti, o
b
coordinate del vettore, e corrisponde al vettore la cui origine è l’origine
degli assi e la cui fine è il punto (a, b).
Domanda 22 Si diano le principali caratteristiche di un vettore.
Risposta 22 Il modulo di un vettore v è uguale alla lunghezza del segmento
AB ed è denotato con |v|.
a
Algebricamente, il modulo del vettore v =
è dato dalla formula
b
|v| =
p
a2 + b2 .
Due vettori hanno stessa direzione (o collineari) se sono situati su una
stessa retta o su due rette parallele.
Due vettori collineari hanno verso, o orientamento, identico (opposto)
se i loro punti finali sono dallo stesso (opposto) lato della retta passante per le
loro origini, o, se su una stessa retta, se una delle due semirette è contenuta
nell’altra.
Domanda 23 Si dia la definizione geometrica e algebrica di uguaglianza tra vettori. Si diano le principali proprietà dell’uguaglianza vettoriale.
8
Risposta 23 Geometricamente, due vettori sono detti uguali, o liberi, se
e solo se hanno uguale modulo, stessa direzione e stesso orientamento.
Algebricamente, due vettori sono uguali se e solo se hanno stesse componenti.
La relazione di uguaglianza cosı̀ definita è riflessiva, simmetrica e transitiva.
Domanda 24 Si dia la definizione geometrica e algebrica di vettore zero, di opposto di un vettore e di somma di vettori. Si diano
le principali proprietà della somma vettoriale.
Risposta 24 Geometricamente, il vettore zero, o nullo, 0 è il vettore la
cui origine e la cui fine coincidono.
Algebricamente, il vettore zero è il vettore le cui componenti sono tutte 0.
−→
−→
Geometricamente, il vettore BA è detto l’opposto del vettore AB.
Algebricamente, l’opposto di un vettore a è il vettore denotato con −a le cui
componenti sono le opposte delle componenti di a.
Geometricamente, la somma a + b di due vettori a e b è il vettore tracciato dall’origine di a alla fine di b se la fine di a e l’origine di b coincidono
(o, equivalentemente, è il vettore ottenuto con la nota regola del parallelogramma).
Algebricamente, la somma di due vettori è il vettore le cui componenti sono
le somme delle componenti dei due vettori, cioè
a1
b1
a1 + b1
+
=
.
a2
b2
a2 + b2
La somma cosı̀ definita è associativa, commutativa, ammette il vettore
zero come identità, e per ogni vettore esiste il suo opposto.
Domanda 25 Si dia la definizione geometrica e algebrica di differenza di vettori.
Risposta 25 Geometricamente, la differenza a − b di due vettori a e b è
il vettore tracciato dalla fine di b alla fine di a se l’origine di a e l’origine
di b coincidono.
Algebricamente, la differenza di due vettori è il vettore le cui componenti
sono le differenze delle componenti dei due vettori.
9
Domanda 26 Si dia la definizione geometrica e algebrica di prodotto per scalare tra un numero e un vettore.
Risposta 26 Geometricamente, Il prodotto per scalare λa tra un vettore
a e un numero (scalare) λ è il vettore il cui modulo è uguale a |λ||a|, la
cui direzione è quella di a, e il cui verso è quello di a se λ > 0, e quello
dell’opposto di a se λ < 0 (se λ = 0 o a = 0, allora λa = 0).
Algebricamente, il prodotto del vettore a per un numero λ è un vettore le
cui coordinate sono uguali ai prodotti delle coordinate di a per λ:
a
λa1
λa = λ 1 =
.
a2
λa2
Domanda 27 Si dia la definizione geometrica e algebrica di prodotto scalare tra vettori.
Risposta 27
Domanda 28 Parallelismo.
Risposta 28
Domanda 29 Perpendicolarità.
Risposta 29
Domanda 30 .
Risposta 30
10
4
Grafici di funzioni
Domanda 31 .
Risposta 31
Domanda 32 .
Risposta 32
Domanda 33 .
Risposta 33
Domanda 34 .
Risposta 34
Domanda 35 .
Risposta 35
Domanda 36 .
Risposta 36
Domanda 37 .
Risposta 37
Domanda 38 .
Risposta 38
Domanda 39 .
Risposta 39
Domanda 40 .
Risposta 40
11
5
Geometria analitica
Domanda 41 .
Risposta 41
Domanda 42 .
Risposta 42
Domanda 43 .
Risposta 43
Domanda 44 .
Risposta 44
Domanda 45 .
Risposta 45
Domanda 46 .
Risposta 46
Domanda 47 .
Risposta 47
Domanda 48 .
Risposta 48
Domanda 49 .
Risposta 49
Domanda 50 .
Risposta 50
12
6
Retta esplicita
Domanda 51 Si dia la forma generica esplicita di una retta in un
piano cartesiano.
Risposta 51 Una retta piana in forma esplicita si scrive come
y = mx + q
dove m, q ∈ R.
La costante m è detta coefficiente angolare, o pendenza della retta;
la costante q è detta termine noto.
Domanda 52 Si dia il significato geometrico del coefficiente angolare e del termine noto di una retta in forma esplicita, e se ne
enuncino le principali proprietà.
Risposta 52 Per il coefficiente angolare m vale
m = tan α,
cioè m è la tangente dell’angolo α che la retta forma con l’asse x.
m = 0 se e solo se la retta è parallela all’asse x;
m > 0 se e solo se la retta è crescente;
m < 0 se e solo se la retta è decrescente.
Il termine noto q è l’ordinata del punto di intersezione della retta con
l’asse y. In particolare, b = 0 se e solo se la retta passa per l’origine degli
assi.
Domanda 53 Si tracci una retta in forma esplicita.
Risposta 53 In generale, per tracciare una retta, avremo bisogno di due
punti distinti di essa, cioè di due coppie ordinate di numeri reali che verifichino entrambe l’equazione della retta.
Per trovare una coppia che verifichi l’equazione, è sufficiente attribuire
un valore reale qualsiasi all’incognita x, ottenendo il corrispettivo valore della
variabile y: il valore attribuito e il valore ottenuto saranno rispettivamente
l’ascissa e l’ordinata di un punto che verifica l’equazione della retta.
13
Ad esempio, data la retta y = 2x − 1, se attribuisco ad x un valore
arbitrario, come 2, ottengo y = 3, e un punto della retta sarà dunque A =
(2, 3); ripetendo il procedimento con un altro valore scelto a caso, come 0,
ottengo y = −1, e di qui il punto B = (0, −1).
Avremo infine
6
r
A
3
r
−1
B
2
-
Domanda 54 Si dia la definizione di uguaglianza tra due rette in
forma esplicita.
Risposta 54 Due rette in forma esplicita sono uguali se e solo se hanno
uguale coefficiente angolare e uguale termine noto.
Domanda 55 Si diano le condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra due rette in forma esplicita.
Risposta 55 Due rette y = m1 x + q1 e y = m2 x + q2 sono parallele se e solo
se i rispettivi coefficienti angolari sono uguali, cioè se
m1 = m2 .
Sono invece perpendicolari se e solo se i rispettivi coefficienti angolari sono
uno l’inverso opposto dell’altro, cioè se
m1 = −
1
m2
.
14
Domanda 56 Si determini la forma esplicita della retta, conoscendo un suo punto e il suo coefficiente angolare.
Risposta 56 L’equazione esplicita della retta passante per il punto (x0 , y0 )
e di coefficiente angolare m è data dalla formula
y − y0 = m(x − x0 ).
Ad esempio, la retta passante per (1, 5) e con m = 2 è
y − 5 = 2(x − 1) ↔ y = 2x − 2 + 5 ↔ y = 2x + 3.
Domanda 57 Si elenchino i principali punti deboli e di forza della
forma esplicita di una retta.
Risposta 57 Punto di forza.
La forma esplicita di una retta, se esiste, è unica: forme esplicite distinte
corrispondono a rette distinte.
Punti deboli.
Non tutte le rette nel piano hanno forma esplicita: le rette parallele all’asse
y non hanno forma esplicita.
La forma esplicita non si estende al caso di dimensioni superiori: ad esempio,
le rette nello spazio non hanno forma esplicita.
Domanda 58 Si dia una forma implicita e una forma parametrica
di una retta conoscendo la sua forma esplicita.
Risposta 58 Per trovare una forma implicita è sufficiente normalizzare l’equazione esplicita della retta data.
Per trovare una forma parametrica è sufficiente porre la x o la y uguale
a t, e sostituire il parametro nell’equazione data.
Ad esempio, data la retta y = 2x+1, normalizzando
otteniamo 2x−y+1 =
(
x=t
0, mentre ponendo x = t e sostituendo, abbiamo
.
y = 2t + 1
15
Domanda 59 Si determini il coefficiente angolare m della retta
passante per due punti distinti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ).
Risposta 59 Dopo aver controllato che i due punti non siano allineati verticalmente, cioè che x1 6= x2 (nel qual caso la retta non avrebbe una forma esplicita), per determinare il coefficiente angolare è sufficiente usare la
seguente formula
y2 − y1
.
m=
x2 − x1
Ad esempio, il coefficiente della retta passante per i punti (1, −3) e (4, 6)
è dato da
−3 − 6
−9
m=
=
= 3.
1−4
−3
Domanda 60 Si discuta la risoluzione di disequazioni esplicite
lineari.
Risposta 60 Una disequazione lineare esplicita è una delle seguenti disequazioni:
y > mx + q,
y > mx + q,
y 6 mx + q,
y < mx + q.
Dopo aver individuato il sostegno della disequazione, cioè la retta y =
mx + q, osserviamo che l’insieme dei punti del piano che verificano ad esempio la prima disequazione è il semipiano chiuso superiore determinato dal sostegno, cioè il semipiano sopra il sostegno e comprendente il sostegno stesso
(la frontiera del semipiano).
Graficamente, ombreggeremo il semipiano delle soluzioni, avendo cura di
tracciare o tratteggiare il sostegno a seconda che i punti di esso verifichino o
meno la disequazione data.
16
7
Retta implicita
Domanda 61 Si dia la forma generica implicita di una retta in
un piano cartesiano.
Risposta 61 Una retta piana in forma implicita si scrive come
ax + by + c = 0
dove a, b, c ∈ R, ed a e b non sono entrambi nulli.
Domanda 62 Si dia il significato geometrico dei coefficienti a e b
di una retta in forma implicita. Se ne discutino i casi limite.
Risposta 62 I coefficienti
a e b di una retta in forma implicita sono le coma
ponenti di un vettore
perpendicolare alla retta, detto vettore normale.
b
a = 0 se e solo se la retta è parallela all’asse y;
b = 0 se e solo se la retta è parallela all’asse x;
c = 0 se e solo se la retta passa per l’origine degli assi.
Domanda 63 Si tracci una retta in forma implicita.
Risposta 63 Dopo aver trovato un punto di essa, cioè una coppia
nu dic meri reali che soddisfano l’equazione implicita, come ad esempio 0, −
o
b
c − , 0 , è sufficiente tracciare una retta perpendicolare al vettore normale
a
a
e passante per il punto trovato.
b
Ad esempio, dovendo tracciare 3x + y + 3 = 0, troviamo prima una coppia
che verifica l’equazione, come
ad esempio A = (−1, 0), e tracciamo la retta
3
per A e perpendicolare a
:
1
17
B
6
B
B
B
B
B
1
B
B rA −1
B
1
3
-
B
B
B
B
B
B
BB
Domanda 64 Si dia la definizione di uguaglianza tra due rette in
forma implicita.
Risposta 64 Due rette in forma implicita a1 x+b1 y+c1 = 0 e a2 x+b2 y+c2 =
0 sono uguali se e solo se i loro rispettivi coefficienti sono multipli uni degli
altri, cioè se esiste un numero k tale che a1 = ka2 , b1 = kb2 , c1 = kc2 .
Domanda 65 Si diano le condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra due rette in forma implicita.
Risposta 65 Due rette in forma implicita sono parallele se e solo se i rispettivi vettori normali sono paralleli.
Due rette in forma implicita sono perpendicolari se e solo se i rispettivi
vettori normali sono perpendicolari.
Domanda 66 Si determini una forma implicita della retta passante per un punto e perpendicolare ad un vettore.
Risposta 66 Una forma
di una retta passante per (x0 , y0 ) e per implicita
a
pendicolare al vettore
si può trovare mediante la formula
b
a (x − x0 ) + b (y − y0 ) = 0.
Ad esempio, una forma implicita della retta perpendicolare a
2
−3
passante per (1, 5) è
2 (x − 1) − 3 (y − 5) = 0 ↔ 2x − 2 − 3y + 15 = 0 ↔ 2x − 3y + 13 = 0.
e
18
Domanda 67 Si elenchino i principali punti deboli e di forza della
forma implicita di una retta.
Risposta 67 Punto di forza.
Ogni retta nel piano ha forma implicita.
Punti deboli.
La forma implicita di una retta non è unica: forme implicite distinte possono
corrispondere ad una stessa retta.
La forma implicita non si estende al caso di dimensioni superiori: ad esempio, le rette nello spazio non hanno forma implicita.
Domanda 68 Si dia la forma esplicita e una forma parametrica
di una retta conoscendo una sua forma implicita.
Risposta 68 Se b = 0, la retta non ha forma esplicita. Se b 6= 0, per trovare
la forma esplicita è sufficiente isolare la y nell’equazione implicita della retta
data.
Per trovare una forma parametrica è sufficiente porre la x o la y uguale
a t, e sostituire il parametro nell’equazione data.
Ad esempio, data la retta x + y − 3 = 0, esplicitando
( la y otteniamo y =
x=t
↔
−x + 3, mentre ponendo x = t e sostituendo, abbiamo
t+y−3=0
(
x=t
.
y = −t + 3
Domanda 69 Disequazioni implicite.
Risposta 69
Domanda 70 Si dia la distanza di un punto da una retta in forma
implicita.
19
Risposta 70 La distanza di un punto (x0 , y0 ) da una retta ax + by + c = 0
si può trovare mediante la formula
d=
|ax0 + by0 + c|
.
√
a2 + b2
Ad esempio, per determinare la distanza del punto (−2, 5) dalla retta
3x − 4y − 2 = 0, scriveremo
d=
| − 28|
28
| − 6 − 20 − 2|
|3 · (−2) − 4 · 5 − 2|
p
√
= √
= .
=
5
9 + 16
25
32 + (−4)2
20
8
Retta parametrica
Domanda 71 Si dia la forma generica parametrica di una retta
in un piano cartesiano.
Risposta 71 Una retta del piano si scrive in forma parametrica mediante
due equazioni parametriche lineari:
(
x = at + b
y = ct + d
dove a, b, c, d ∈ R, ed a e c non sono entrambi nulli.
La variabile t è detta parametro della retta; al variare di t tra i numeri
reali, si ottengono i punti della retta.
Domanda 72 Si dia il significato geometrico dei coefficienti a, b,
c, d di una retta in forma parametrica. Se ne discutino i casi
limite.
Risposta 72 I coefficienti
ae c di una retta in forma parametrica sono le
a
componenti di un vettore
parallelo alla retta, detto vettore direttivo.
c
a = 0 se e solo se la retta è parallela all’asse y;
c = 0 se e solo se la retta è parallela all’asse x.
I coefficienti b e d di una retta in forma parametrica sono le coordinate
di un punto appartenente alla retta.
Se b = d = 0, allora la retta passa per l’origine degli assi (ma non vale il
viceversa).
Domanda 73 Si tracci una retta in forma parametrica.
Risposta
73 È sufficiente tracciare una retta parallela al vettore direttivo
a
e passante per il punto (b, d).
c
(
x = 2t + 3
Ad esempio, dovendo tracciare
, abbiamo
y =t+3
21
6
3
1
*
2
r
A
3
-
−1
Domanda 74 Si dia la definizione di uguaglianza tra due rette in
forma parametrica.
Risposta 74 Due rette in forma parametrica sono uguali se e solo se i loro
rispettivi vettori direttivi sono paralleli ed un punto di una di esse appartiene
anche all’altra.
Domanda 75 Si diano le condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra due rette in forma parametrica.
Risposta 75 Due rette in forma parametrica sono parallele se e solo se i
rispettivi vettori direttivi sono paralleli.
Due rette in forma parametrica sono perpendicolari se e solo se i rispettivi
vettori direttivi sono perpendicolari.
Domanda 76 Si determini una forma parametrica della retta passante per un punto e parallela ad un vettore.
Risposta 76 Il vettore dato sarà il vettore direttivo, mentre le coordinate
del punto saranno i termini noti delle equazioni parametriche.
2
Ad esempio, una forma parametrica della retta parallela a
e pas−5
(
x = 2t
sante per (0, 1) sarà
.
y = −5t + 1
22
Domanda 77 Si elenchino i principali punti deboli e di forza della
forma parametrica di una retta.
Risposta 77 Punti di forza.
Ogni retta nel piano ha forma parametrica.
La forma parametrica si estende al caso di dimensioni superiori: ad esempio,
la forma parametrica generica di una retta nello spazio è


 x = at + b
y = ct + d


z = et + f
Punto debole.
La forma parametrica di una retta non è unica: forme parametriche distinte
possono corrispondere ad una stessa retta.
Domanda 78 Si dia la forma esplicita e una forma implicita di
una retta conoscendo una sua forma parametrica.
Risposta 78 Per prima cosa isoliamo il parametro in una delle due equazioni e lo sostituiamo nell’altra.
A partire da quest’ultima equazione, esplicitando (se possibile) la y, o normalizzando, otterremo rispettivamente la forma esplicita o una forma implicita.
(
x=t+3
Ad esempio, data la retta
, avremo
y = −t + 1
(
x=t+3
y = −t + 1
(
↔
x−3=t
y = −(x − 3) + 1
(
↔
x−3=t
y = −x + 4
perciò la forma esplicita è y = −x + 4, mentre una forma implicita è x + y −
4 = 0.
Domanda 79 Si trovi una forma parametrica della retta passante
per due punti distinti.
23
Risposta 79 Per ottenere una forma parametrica è sufficiente trovare un
vettore parallelo ad essa.
A questo scopo, basta fare la differenza tra i due punti, visti come vettori,
per ottenere il vettore congiungente essi.
Ad esempio, la retta passante per (−2, 4) e (5, 1) avrà come vettore direttivo
5
−2
7
−
=
1
4
−3
(
x = 7t − 2
e una forma parametrica potrà essere
.
y = −3t + 4
Domanda 80 Si determini l’intersezione tra due rette in forma
parametrica.
Risposta 80 Metteremo semplicemente in sistema le quattro equazioni parametriche, dopo aver chiamato i due parametri con simboli diversi.
Ad esempio, otterremo l’intersezione tra
(
(
x = 2t − 2
x=u−2
e
y =t−2
y = 3u − 7
risolvendo

x = 2t − 2



y =t−2

x=u−2



y = 3u − 7

x = 2t − 2



y =t−2
↔

2t − 2 = u − 2



t − 2 = 3u − 7

x = 2t − 2



y =t−2

u = 2t



5 = 5t

x = 2t − 2



y =t−2
↔

2t = u



t − 2 = 3 · 2t − 7

t=1



u=2
↔

x=0



y = −1
e le rette si intersecano nel punto (0, −1).
↔
24
9
Domanda 81 .
Risposta 81
25
10
Domanda 82 .
Risposta 82
26
11
Domanda 83 .
Risposta 83
27
12
Domanda 84 .
Risposta 84