1 Logica e teoria degli insiemi 2 Sottoinsiemi di numeri reali e

Esercizi sulla prima parte (12 Lezioni)
del Corso di Matematica per le Applicazioni Economiche
a.a. 2016-17
1
Logica e teoria degli insiemi
N.B.: Nel seguito, coerentemente con la notazione adottata dal libro di testo, N
denoterà l’insieme dei numeri interi positivi (dunque escludendo lo 0).
Esercizio 1 Si stabilisca se le seguenti proposizioni sono vere o false.
(i) Se n ∈ N è tale che n2 − 8 ≤ 0, allora n = 1 ∨ n = 2.
(ii) Sia x ∈ R. x2 − 1 ≤ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 1.
(iii) Se x ∈ R è tale che x2 − 2 ≤ 0, allora x ∈
/ Q.
(iv) ∀x ∈ R ∃n ∈ N :
1
1+x2
≤ n.
(v) ∃x ∈ R : x2 + 1 ≥ n ∀n ∈ N.
(vi) ∀x ∈ R e ∀z ∈ R ∃y ∈ R: x + y = z.
Esercizio 2 Si scriva la negazione di ciascuna proposizione dell’esercizio precedente.
Esercizio 3 Si dimostri per induzione la seguente formula:
n
X
k2 =
k=1
1
n(n + 1)(2n + 1) ∀n ∈ N.
6
Esercizio 4 Siano A, B, C insiemi tali che A ⊆ C e B ⊆ C. Si denotino con Ac
and B c i complementari di A e B in C. Si dimostrino le seguenti proposizioni.
(i) A ⊆ B ⇒ B c ⊆ Ac .
(ii) Proprietà distributiva: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C).
(iii) Leggi di de Morgan: (A ∪ B)c = Ac ∩ B c ; (A ∩ B)c = Ac ∪ B c .
2
Sottoinsiemi di numeri reali e topologia
Esercizio 5 Si consideri l’insieme numerico
1
A= 1− 2 : n∈N .
n
(i) Si stabilisca se 1 ∈ A.
(ii) Si determini l’insieme dei punti di accumulazione di A.
(iii) Si determini la frontiera di A.
(iv) Si determini l’estremo superiore di A e si stabilisca se è anche il massimo di
A.
1
Esercizio 6 Si consideri l’insieme numerico
1
A=
: z ∈ Z \ {−1} .
1+z
(i) Si stabilisca se 1 ∈ A.
(ii) Si determini l’insieme dei punti di accumulazione di A.
(iii) Si determini la frontiera di A.
(iv) Si determini l’estremo superiore di A e si stabilisca se è anche il massimo di
A.
Esercizio 7 Siano x0 ∈ R, r > 0 e E ⊆ R. Si ricordino la notazione
I(x0 , r) := (x0 − r, x0 + r)
e le seguenti definizioni.
(i) x0 ∈ R si dice punto interno ad E se esiste r > 0 tale che I(x0 , r) ⊆ E.
(ii) x0 ∈ R si dice punto esterno ad E se esiste r > 0 tale che I(x0 , r) ⊆ E c .
(iii) x0 ∈ R si dice punto di frontiera di E se non è né interno né esterno ad E.
(iv) L’ interno di E, denotato col simbolo E i , è l’insieme dei punti interni ad E.
(v) L’ esterno di E, denotato dal simbolo E e , è l’insieme dei punti esterni ad E.
(vi) La frontiera di E, denotata dal simbolo ∂E, è l’insieme dei punti di frontiera
di E.
(vii) x0 ∈ R si dice punto di accumulazione per E se in ogni intorno di x0 cadono
infiniti punti di E.
(viii) E si dice aperto se E = E i .
(ix) E si dice chiuso se E c è aperto.
1. Sia E ⊆ R. Si stabilisca se le seguenti proposizioni sono vere o false, dandone
una dimostrazione se si ritiene che siano vere o esibendo un controesempio se
si ritiene che siano false.
(i) Se x0 è un punto interno ad E, allora appartiene ad E.
(ii) Se x0 è un punto esterno ad E, allora appartiene ad E c .
(iii) Se x0 è un punto di frontiera di E, allora appartiene ad E.
(iv) Se x0 è un punto di frontiera di E, allora appartiene ad E c .
(v) Se x0 è un punto di accumulazione per E, allora appartiene ad E.
(vi) Se x0 è un punto di accumulazione per E, allora appartiene ad E c .
(vii) Se x0 è un punto interno ad E, allora x0 è un punto di accumulazione
per E.
(viii) Se x0 è un punto di accumulazione per E, allora x0 è un punto interno
ad E.
(ix) Se x0 è un punto esterno ad E, allora x0 non è un punto di accumulazione per E.
2
(x) Se x0 non è un punto di accumulazione per E, allora x0 è un punto
esterno ad E.
(xi) Se x0 ∈ ∂E ∩ E, allora x0 è un punto di accumulazione per E.
(xii) Se x0 ∈ ∂E ∩ E, allora x0 non è un punto di accumulazione per E.
2. Si dimostrino le seguenti proposizioni.
(i) L’intersezione (l’unione) di due insiemi aperti è un insieme aperto.
(ii) L’intersezione (l’unione) di due insiemi chiusi è un insieme chiuso.
(iii) Sia E ⊆ R. x0 è di accumulazione per E se e solo se
(I(x0 , r)\{x0 }) ∩ E 6= ∅,
∀r > 0.
(1)
(iv) Sia E ⊆ R. Si ha
x0 ∈ ∂E ⇐⇒ I(x0 , r) ∩ E 6= ∅ ∧ I(x0 , r) ∩ E c 6= ∅ ∀r > 0.
(v) Sia E ⊆ R. Un punto x0 è un punto di frontiera di E se e solo se
le intersezioni di ogni suo intorno con E e con E c sono entrambe non
vuote.
(vi) Sia E ⊆ R. Se x0 ∈ ∂E e x0 ∈
/ E, allora x0 è un punto di accumulazione
per E.
(vii) E ⊆ R è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
(viii) E ⊆ R è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di frontiera.
3
Funzioni reali
Esercizio 8 Si consideri la funzione f definita dall’espressione analitica seguente
f (x) =
x2
.
1 + x2
(i) Si determini l’insieme di definizione D(f ) della funzione.
(ii) Si determini l’immagine di f .
(iii) Si determini f ([0, +∞)).
(iv) Si determini f −1 ([0, 1)).
(v) Si stabilisca se la funzione è pari, dispari oppure né pari né dispari.
(vi) Si stabilisca se f |R+ ∩D(f ) : R+ ∩ D(f ) → R è iniettiva. In caso affermativo,
se ne calcoli l’inversa.
Esercizio 9 Si consideri la funzione f definita dall’espressione analitica seguente
f (x) = | − Segno(x)|(1 + |x| + x2 ).
(i) Si determini l’insieme di definizione di f ed il segno della funzione.
(ii) Si determini il minimo globale della funzione sul suo insieme di definizione.
(iii) Si tracci il grafico della funzione sul suo insieme di definizione.
(iv) Si scriva f come composizione e/o prodotto delle funzioni
f1 (x) = ϕR\{0} (x), f2 (x) = |x|, f3 (x) = 1 + x + x2 ,
dove ϕE denota la funzione caratteristica di un insieme E ⊆ R.
3
Soluzioni
Es. 1
(i) Vero.
(ii) Falso. Si prenda ad esempio x = −1.
(iii) Falso. Si prenda ad esempio x = 0.
(iv) Vero. Basta prendere n = 1. Si noti che tale n non dipende da x. Quindi è
vera un’affermazione più forte:
∃n ∈ N :
1
≤ n ∀x ∈ R.
1 + x2
Tale n è (ad esempio) n = 1.
(v) Falso. Infatti per ogni x ∈ R esiste n ∈ N tale che n > x2 + 1.
(vi) Vero. Tale y è semplicemente la soluzione (nell’incognita y) dell’equazione
x + y = z, cioé y = z − x.
Es. 2
(i) ∃n ∈ N\{1, 2} : n2 − 8 ≤ 0.
(ii) ∃x ∈ R\[0, 1] : x2 − 1 ≤ 0.
(iii) ∃x ∈ Q : x2 − 2 ≤ 0.
(iv) ∃x ∈ R :
1
1+x2
> n ∀n ∈ N.
(v) ∀x ∈ R ∃n ∈ N : x2 + 1 < n.
(vi) ∃ x, z ∈ R : x + y 6= z ∀y ∈ R.
Es. 3 Si procede per induzione.
• Si ha
1
X
k 2 = 12 = 1 =
k=1
1
(1)(1 + 1)(2 · 1 + 1),
6
dunque la formula vale per n = 1.
• Si supponga la formula valida per n. Dimostriamo che allora vale anche per
n + 1. Si ha
n+1
n
X
X
k2 =
k 2 + (n + 1)2 .
k=1
k=1
Usando l’ipotesi induttiva
n
X
k 2 + (n + 1)2
=
1
1
n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2 = (n + 1)[n(2n + 1) + 6(n + 1)]
6
6
=
1
1
(n + 1)[2n2 + 7n + 6] = (n + 1)(n + 2)(2n + 3),
6
6
k=1
cioè la formula per n + 1.
4
Es. 4
(i) Sia A ⊆ B e supponiamo, per assurdo, che B c 6⊆ Ac . Allora esisterebbe x ∈ B c
tale che x ∈
/ Ac , cioè x ∈
/ B tale che x ∈ A. Ciò viola l’ipotesi A ⊆ B.
(ii) Vedere libro, p. 25.
(iii) Vedere libro, p. 26.
Es. 5
(i) Si ha 1 −
1
n2
< 1 per ogni n ∈ N. Dunque 1 ∈
/ A.
(ii) L’unico punto di accumulazione per A è x0 = 1.
(iii) ∂A = A ∪ {1}.
(iv) sup A = 1 e non è un massimo, poichè 1 ∈
/ A.
Es. 6
(i) Se z = 0 si ha
1
1+z
= 1. Dunque 1 ∈ A.
(ii) L’unico punto di accumulazione per A è x0 = 0.
(iii) ∂A = A ∪ {0}.
(iv) sup A = 1 ed è il massimo di A poichè 1 ∈ A.
Es. 7
1.
(i) Vero. Segue immediatamente dalla definizione.
(ii) Vero. Segue immediatamente dalla definizione.
(iii) Falso. Come controesempio si consideri E = [0, 1). Allora 1 è un punto
di frontiera di E, eppure 1 ∈
/ E.
(iv) Falso. Come controesempio si consideri E = [0, 1). Allora 0 è un punto
di frontiera di E, eppure 0 ∈
/ Ec.
(v) Falso. Come controesempio si consideri E = [0, 1). Allora 1 è un punto
di accumulazione per E, eppure 1 ∈
/ E.
(vi) Falso. Come controesempio si consideri E = [0, 1). Allora 0 è un punto
di accumulazione per E, eppure 0 ∈
/ Ec.
(vii) Vero. Se x0 è un punto interno ad E, allora esiste r0 > 0 tale che
I(x0 , r0 ) ⊆ E. Ne consegue che per ogni r ∈ (0, r0 ) risulta I(x0 , r) ⊆ E,
dunque ogni intorno di x0 contiene infiniti punti di E (precisamente ogni
intorno I(x0 , r1 ) di x0 contiene l’intorno I(x0 , r) con r ≤ min{r0 , r1 } che
è costituito da infiniti punti di E).
(viii) Falso. Come controesempio si consideri E = [0, 1). Allora 0 è un punto
di accumulazione per E, eppure 0 non è un punto interno ad E.
(ix) Vero. Se x0 è esterno ad E allora esiste r0 > 0 tale che I(x0 , r0 ) ⊆ E c .
Ne consegue che I(x0 , r0 ) non continene nessun punto di E, dunque x0
non è di accumulazione per E.
(x) Falso. Come controesempio si consideri E = {0}. Allora 0 non è un
punto di accumulazione per E, eppure 0 non è un punto esterno ad E.
5
(xi) Falso. Come controesempio si consideri E = {0}. Allora 0 ∈ ∂E = E,
ma 0 non è un punto di accumulazione per E.
(xii) Falso. Come controesempio si consideri E = [0, 1). Allora 0 ∈ ∂E, 0 ∈ E
e 0 è un punto di accumulazione per E.
2.
(i) Siano E1 , E2 aperti.
Dimostriamo che E1 ∩ E2 è aperto. Sia x0 ∈ E1 ∩ E2 . Esisteranno
allora r1 , r2 > 0 tali che I(x0 , r1 ) ⊆ E1 e I(x0 , r2 ) ⊆ E2 . Si ponga r0 =
min{r1 , r2 } e si noti che r0 > 0. Poichè r0 ≤ r1 , si ha I(x0 , r0 ) ⊆ E1 ;
poichè r0 ≤ r2 , si ha I(x0 , r0 ) ⊆ E2 . Quindi I(x0 , r0 ) ⊆ E1 ∩ E2 . Ciò
dimostra che E1 ∩ E2 è aperto.
(La dimostrazione che E1 ∪ E2 è aperto è semplice.)
(ii) Segue dal punto precedente e dalle leggi di de Morgan (Esercizio 4).
(iii) Chiaramente, se x0 è di accumulazione per E, allora (1) vale.
Viceversa, si supponga che (1) valga. Si supponga, per assurdo, che x0
non sia di accumulazione per E. Ciò vuol dire che esiste r > 0 tale che
la cardinalità dell’insieme I(x0 , r) ∩ E è finita, cioè
I(x0 , r) ∩ E = {x0 , x1 , ..., xN },
(2)
per opportuni N ∈ N e x1 , ..., xN ∈ R. Si prenda
ε := min{|xi − x0 |, i = 1, ..., N }
e si osservi che 0 < ε < r. Allora, si dovrà avere
I(x0 , ε) ∩ E = {x0 }.
Usando (1), possiamo trovare un punto xN +1 6= x0 tale che xN +1 ∈
I(x0 , ε). Inoltre xN +1 6= xi per ogni i = 1, ..., N , poichè |xN +1 − x0 | < ε.
Poichè I(x0 , ε) ⊂ I(x0 , r), ne concludiamo che
I(x0 , r) ∩ E ⊇ {x0 , x1 , ..., xN , xN +1 },
contraddicendo (2).
(iv) Per definizione si ha x0 ∈ ∂E se e solo se non esiste nessun r > 0 tale
che
I(x0 , r) ⊆ E ∨ I(x0 , r) ⊆ E c .
Ciò equivale a
I(x0 , r) ∩ E 6= ∅ ∧ I(x0 , r) ∩ E c 6= ∅ ∀r > 0.
(v) È la stessa proposizione del punto precedente.
(vi) Sia x0 ∈ ∂E e x0 ∈
/ E. Supponiamo per assurdo che x0 non sia di
accumulazione per E. Allora esisterebbe r > 0 tale che (I(x0 , r)\{x0 }) ∩
E = ∅; dunque, dal momento che x0 ∈
/ E, I(x0 , r) ∩ E = ∅. Se ne
dedurrebbe I(x0 , r) ⊆ E c , cioè x0 ∈ E e e quindi x0 ∈
/ ∂E, un assurdo.
(vii) Sia E chiuso e sia x0 un punto di accumulazione per E. Supponiamo per
assurdo che x0 ∈
/ E, cioè x0 ∈ E c . Poichè E è chiuso, E c è aperto. Ne
consegue che esiste r > 0 tale che I(x0 , r) ⊆ E c , quindi I(x0 , r) ∩ E = ∅,
che contraddice l’ipotesi che x0 sia di accumulazione per E.
Viceversa, si supponga che E contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
Allora ogni punto x0 ∈ E c non è di accumulazione per E. Ne consegue
che per ogni x0 ∈ E c si potrà trovare r > 0 tale che I(x0 , r) ∩ E = ∅,
cioè I(x0 , r) ⊆ E c . Ne consegue che E c è aperto, dunque E è chiuso.
6
(viii) Sia E chiuso e sia x0 un punto di frontiera di E. Si supponga, per
assurdo, che x0 ∈
/ E. Allora x0 ∈ E c , il quale è aperto, essendo E
chiuso. Ne consegue che esiste r > 0 tale che I(x0 , r) ⊆ E c , quindi
I(x0 , r) ∩ E = ∅. L’ultima affermazione contraddice il fatto che x0 sia di
un punto di frontiera di E.
Viceversa si supponga che E contiene tutti i suoi punti di frontiera.
Allora, dato x0 ∈ E c , esso non sarà di un punto di frontiera di E. Ne
consegue che per ogni x0 ∈ E c esiste r > 0 tale che I(x0 , r) ∩ E = ∅,
quindi I(x0 , r) ⊆ E c . Ciò dimostra che E c è aperto, dunque E è chiuso.
Es. 8
(i) D(f ) = R.
(ii) Sia y ∈ R e consideriamo l’equazione (nella variabile x) f (x) = y. Svolgendo i
calcoli si vede che tale equazione ha soluzione se e solo se y ∈ [0, 1). Precisamente:
• x = 0 se y = 0;
q
y
, se y ∈ (0, 1).
• x = ± 1−y
Se ne deduce che Im f = [0, 1).
(iii) f ([0, +∞)) = [0, 1) (si veda il punto precedente).
(iv) Considerando il punto (ii), si vede che f −1 ([0, 1)) = R.
(v) Pari.
(vi) Considerando il punto (ii): è iniettiva e l’inversa è la funzione
r
y
.
g : [0, 1) → [0, +∞), y 7→
1−y
Es. 9
(i) Il dominio di definizione è R; f (x) ≥ 0 per ogni x ∈ R e f (x) = 0 se e solo se
x = 0.
(ii) min f = 0.
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