PROGRAMMA DEL CORSO DI
ANALISI II
Prof. G.Talenti
Primo semestre:
(Per studenti del Corso di Diploma e studenti del Corso di Laurea in Matematica. Una trentina di lezioni, circa otto lezioni per
ognuno dei seguenti argomenti.)
Equazioni differenziali ordinarie:
Metodi per il trattamento di equazioni differenziali del prim'ordine lineari, a variabili separate, a coefficiente
omogeneo, di Bernoulli, di Clairaut, ecc. Analisi geometrica delle traiettorie di un'equazione del prim'ordine o di un sistema
autonomo 2 >< 2 del prim'ordine.
Equazioni lineari del second'ordine a coefficienti costanti, omogenee e non. Metodi per il trattamento di alcune
equazioni differenziali del second'ordine, lineari e non lineari. (iv) Cenni sull'integrazione per serie.
Funzioni di due variabili reali, a valori reali:
Generalità: Grafici e linee di livello, limiti, continuità'; Derivate parziali, derivate direzionali, differenziali primo e
secondo, gradiente, matrice hessiana; Piano tangente ad un grafico, retta tangente ad una linea di livello.
Regole per la manipolazione di derivate parziali, derivate parziali e coordinate curvilinee.
Metodi per l'identificazione di estremi locali, di estremi vincolati, di selle.
Integrali doppi.
Definizione di Integrali doppi di funzioni a scala; Integrali doppi di funzioni limitate, estesi a rettangoli; Area di
insiemi limitati; Integrali doppi di funzioni limitate, estesi ad insiemi limitati.
Proprietà basilari degli integrali doppi e dell'area. Integrabilità di funzioni continue su rettangoli e relative formule di
riduzione.
Presentazione delle formule di riduzione in insiemi normali, casi semplici del teorema della divergenza.
Enunciato del teorema sul cambiamento di variabili in integrali doppi.
Integrazione su linee e superfici:
Nozione di linea e di superficie regolare. Lunghezza di una linea e area di una superficie regolare: definizioni e uso di
formule. Esempi notevoli.
Nozione di integrale (di una funzione a valori reali, oppure di una forma differenziale) esteso ad una linea o ad una
superficie.
Presentazione di casi semplici della formula di Stokes.
Secondo semestre
(Per studenti del Corso di Laurea in Matematica. Un'altra trentina di lezioni.)
Equazioni differenziali ordinarie.
Problemi alla Cauchy per equazioni e sistemi di equazioni differenziali del prim'ordine di forma normale: teoremi di
esistenza e unicità in piccolo e in grande. Contrazioni in uno spazio metrico, un teorema sull'esistenza di punti fissi.
Equazioni differenziali lineari di ordine n, a coefficienti costanti e non, omogenee e non omogenee: teoremi
sull'insieme delle soluzioni, sul determinante wronskiano, sulle soluzioni esponenziali - polinomi di equazioni a coefficienti
costanti; equazioni del tipo di Eulero; metodo della variazione delle costanti.
Funzioni di più variabili a valori reali.
Condizioni sufficienti per la differenziabilità, teorema di Schwarz sulle derivate di ordine superiore, teoremi sulla
formula di Taylor.
Funzioni implicite e teorema del Dini. Applicazioni a linee e superfici di livello, applicazioni alle coordinate
curvilinee.
Discussione del metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Applicazione ad autovalori ed autovettori di matrici
simmetriche.
Forme differenziali lineari.
Forme differenziali lineari esatte e chiuse, campi vettoriali irrotazionali e conservativi, primitive di forme
differenziali, potenziali di campi vettoriali.
Funzioni con gradiente nullo. Teorema sulla lunghezza di curve regolari, ascissa curvilinea.
Integrazione di forme differenziali lineari, esatte o no, su cammini aperti o chiusi.
Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per l'integrabilità di forme differenziali lineari. Integrabilità di forme
differenziali lineari chiuse in aperti semplicemente connessi di ~2 e R3.
Metodi per la ricerca di potenziali.
Integrali multipli.:
Cenno di una teoria per l'integrazione di funzioni di n variabili.
Teoremi su formule di riduzione per integrali doppi e tripli. Forme del principio di Cavalieri.
Casi semplici del teorema della divergenza in ~2 e R3. (iv) Discussione di un teorema sul cambiamento di variabili in
integrali doppi e tripli.
