ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA
DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE
SUPPOSTO ALLA DIDATTICA- DOTT.SSA PICCAGLI IRENE
A.A. 2016/2017
Esercizi 2
Rendite nel regime composto
Esercizio 1. Un capitale di 1500e viene costituito in un anno a regime composto con
12 versamenti mensili anticipati di 100e per le prime 11 mensilità e una dodicesima
rata pari a R∗ . Sapendo che il tasso di costituzione annuo è 4, 907%, determinare la
rata R∗ .
Soluzione. L’equazione da impostare, portandosi all’epoca temporale tm = 12,
ossia al dodicesimo mese, è:
M = (R∗ + M 0 ) · (1 + im ),
dove M 0 è il montante di una rendita periodica, posticipata, a rata costante pari
a R, costituita da 10 termini e capitalizzata poi di un mese per portarla all’epoca
tm = 11 piú la capitalizzazione della rata R dall’epoca t = 0 all’epoca t = 11, ossia:
M 0 = R · (1 + im )11 + R · s10eim · (1 + im ) =
= R · (1 + im )11 + R ·
(1 + im )10 − 1
· (1 + im ).
im
Allora abbiamo che:
M =(R∗ + M 0 ) · (1 + im ) =R∗ · (1 + im ) + R · (1 + im )12 + R ·
(1 + im )10 − 1
· (1 + im )2
im
da cui si ricava
M
(1 + im )10 − 1
− R · (1 + im )11 − R ·
· (1 + im ).
1 + im
im
Ricordando la conversione periodale di tassi
√
im = 12 1 + i − 1,
R∗ =
si ha dunque che
√
M
(1 + i)5/6 − 1 12
√
√
R∗ = 12
− R · (1 + i)11/12 − R · 12
· 1+i∼
= 367, 27e.
1+i
1+i−1
1
2
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA
Rendimento di un B.O.T.
Esercizio 2. Acquistate a 1600e un B.O.T. di durata 12 mesi e valore nominale pari
a 2125e, poi lo vendete dopo 8 mesi ad un prezzo tale che il vostro rendimento sia
doppio dell’acquirente, supposto che quest’ultimo porti il titolo a scadenza. Quanto
é il vostro rendimento?
Soluzione. Per voi che vendete il B.O.T., l’equazione è
2 P =A· 1+ r ,
3
ove P è il prezzo di vendita dopo 8 mesi, A = 1600, mentre r è il rendimento. Per
l’acquirente che porta a scadenza il titolo, l’equazione è
1 r
N =P · 1+ ·
,
3 2
ove N è il nominale, mentre al posto di r abbiamo messo r/2, perché abbiamo
ipotizzato che il rendimento dell’acquirente sia la metà del vostro.
Eliminando P (che non si conosce), ricavandolo da ambo le equazioni, si trova
N
2 ,
A· 1+ r =
3
1 + 6r
da cui
1 2 5
r + r − 0, 328125 = 0.
9
6
La suddetta equazione di secondo grado nell’incognita r ha come unica soluzione
positiva r = 37, 5%.
Esercizio 3. Una banca si offre di acquistare per voi sul mercato un titolo a zero
coupon di nominale N = 1000e, in scadenza tra 18 mesi, al prezzo di acquisto
A = 980e, maggiorato dell’aliquota fiscale del 12, 5% sul plusvalore. Siccome siete
un ottimo cliente, la banca vi concede uno sconto del 4% sull’importo complessivo
da pagare. A quanto ammonta il rendimento netto finale?
Soluzione. Applicare l’aliquota fiscale del 12, 5% al plusvalore al momento
dell’acquisto, vuole dire che, in realtá, oltre ad A = 980e, si paga anche 0, 125 ·
(N − A) che diviene
e = A + 0, 125 · (N − A) = 980 + 0, 125 · (1000 − 980) = 980 + 2, 50 = 982, 50e.
A
Se poi la banca concede uno sconto del 4% sull’importo complessivo da pagare, allora
dobbiamo in realtà pagare al momento dell’acquisto
e − 0, 04 A
e = 0, 96 A
e = 0, 96 · 982, 50 = 943, 20e.
A=A
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA
3
Il rendimento netto finale r si ricava dall’equazione:
3 N =A· 1+ r
2
ossia
2 N − A 2 1000 − 943, 20 ∼
r= ·
= ·
= 0, 040147 = 4, 0147%.
3
3
943, 20
A
Piani di ammortamento
Esercizio 4. Un debito di 1000e viene rimborsato a tasso annuo i = 10% in 5
anni, ma con sole 3 rate costanti pari a R, alle epoche t = 1, 3, 5. Stilare il piano
di ammortamento in 2 modi: nel primo, visualizzate le voci fondamentali (quota
capitale, quota interesse, rata e debito residuo) solo relativamente alle epoche t =
0, 1, 3, 5, mentre nel secondo, visualizzate le voci fondamentali relative a tutte le
epoche, con il vincolo che le rate, alle epoche t = 1, 3, 5, siano sempre pari a R.
Attenzione: almeno un tipo di piano va stilato in funzione di R.
Soluzione. Nel primo modo, la prima riga del piano è assolutamente standard,
sapendo che I1 = 100 e la rata è R, quindi C1 = R − 100 e D1 = 1100 − R. Per le
altre due righe, relative alle epoche t = 3 e t = 5, le formule relative alla rata e al
debito residuo sono le stesse, mentre per la quota interesse bisogna usare quella col
salto di epoche, che, in questo caso, in cui il salto è sempre di due anni, è data da
I3 = D1 · [(1 + i)2 − 1] = 0, 21 D1
e, allo stesso modo,
I5 = 0, 21 D3 .
Dunque, partendo alla seconda e terza riga sempre dalla quota interesse, e, ricordando che la rata è sempre R, passando poi alla quota capitale e infine al debito
residuo, si trova il seguente piano:
k
Ck
Ik
Rk
Dk
0
0
0
0
1000
1
R − 100
100
R
1100 − R
3 1, 21R − 231 231 − 0, 21R R 1331 − 2, 21R
5 1331 − 2, 21R 3, 21R − 1331 R
0
Dall’equazione (dovuta al fatto che devo imporre che l’ultimo debito residuo sia
nullo)
D5 = D3 (1 + i)2 − R = 0,
ricavo che
R = 1610, 51 − 2, 6741 R
4
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA
da cui R ' 438, 341.
Nel secondo modo, si scrivono le voci relative a tutte le epoche, con le formule
standard, ma alle epoche t = 2, 4 la voce relativa alle rate è nulla. In tal modo, il
piano è automatico: la prima riga è uguale a quella precedente,
k
Ck
Ik
Rk
Dk
0
0
0
0
1000
1
R − 100
100
R
1100 − R
2
0, 1R − 110
110 − 0, 1R
0
1210 − 1, 1R
3
1, 11R − 121
121 − 0, 11R
R
1331 − 2, 21R
4 0, 221R − 133, 1
133, 1 − 0, 221R
0 1464, 1 − 2, 431R
5 1, 2431R − 146, 41 146, 41 − 0, 2431R R
0
poi si va sempre avanti prima con la quota interesse, poi la rata (o zero o R),
poi la quota capitale, infine il debito residuo. Alla fine il piano risulta come sopra.
Dall’equazione (dovuta al fatto che devo imporre che lultimo debito residuo sia nullo)
D 4 = C5
ricavo che
1464, 1 − 2, 431R = 1, 2431R − 146, 41
da cui R ' 438, 341.
Esercizio 5. Un prestito di 40000e viene rimborsato in 60 mesi a rata costante al
tasso mensile im = 0, 3675%. Dopo 30 mesi, si decide una proroga del rimborso per
una durata complessiva pari a 120 mesi.
a) Determinare la rata R pagata nei primi 30 mesi;
b) determinare la rata R0 pagata nei successivi 90 mesi, se la proroga é a costo
nullo;
c) determinare la rata R00 pagata nei successivi 90 mesi, se la proroga comporta
una penale dell’1% sul debito residuo;
d) tornando al caso (b), dimostrare che il tasso mensile effettivo si é abbassato
rispetto a im , ma é maggiore dello 0, 35%.
Soluzione.
a) Sia D0 = 40000e. La rata nei primi 30 mesi corrisponde alla rata mensile
costante del rimborso del prestito in 60 mesi, ossia senza la proroga, quindi
0, 003675
im
∼
= 40000 ·
R = D0 ·
= 744, 085e.
−60
1 − (1 + im )
1 − (1, 003675)−60
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA
5
b) Calcoliamo il debito residuo dopo 30 mesi, abbiamo che
D30 = D0 ·
1 − (1 + im )−60+30
1 − (1, 003675)−30 ∼
=
40000
·
= 21099, 36978e.
1 − (1 + im )−60
1 − (1, 003675)−60
Allora, la rata R0 pagata nei successivi 90 mesi, se la proroga é a costo nullo,
è pari a
R0 = D30 ·
0, 003675
im
∼
= 21099, 36978 ·
= 275, 767e.
−90
1 − (1 + im )
1 − (1, 003675)−90
c) La rata R00 pagata nei successivi 90 mesi, se la proroga comporta una penale
dell’1% sul debito residuo, è pari a
R00 = (D30 + 0, 01 D30 ) ·
= 1, 01 D30 ·
im
=
1 − (1 + im )−90
im
= 1, 01 R0 = 278, 525e.
1 − (1 + im )−90
d) Sia x∗m il tasso mensile effettivo nel caso in cui la proroga sia a costo nullo.
Questo significa che x∗m è il corrispettivo mensile del TIR associato al discounted cash-flow dell’intera operazione finanziaria, ossia x∗m é l’unica soluzione
appartenente al dominio finanziariamente significativo ]−1, +∞[ dell’equazione
G(xm ) = 0, ove
(1) G(xm ) = −40000 + R ·
1 − (1 + xm )−30
1 − (1 + xm )−90
+ R0 ·
· (1 + xm )−30 .
xm
xm
Si ricordi anche come la funzione G(xm ) sia monotona strettamente decrescente sul suo dominio e, come detto, si annulli solo per xm = x∗m . Pertanto,
il fatto che, sostituendo nella formula (1) xm con im = 0, 3675%, otteniamo
G(im ) = −40000+R·
1 − (1, 003675)−30
1 − (1, 003675)−90
+R0 ·
·(1, 003675)−30 < 0,
0, 003675
0, 003675
ci permette di dedurre immediatamente che im > x∗m .
Sostituendo invece nella formula (1) xm con 0, 35% otteniamo
G(x) = −40000 + R ·
1 − (1, 0035)−30
1 − (1, 0035)−90
+ R0 ·
· (1, 0035)−30 > 0,
0, 0035
0, 0035
quindi x∗m > 0, 35%. Possiamo concludere dunque che x∗m ∈ ]0, 35%; 0, 3675%[.
6
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA
Applicazioni del TIR: il TAEG
Esercizio 6. Un esercente vende televisori LCD, ciascuno di valore 926, 44766e, a
rate costanti, su 8 mesi, con TAEG pari al 10% e rata pari a R = 120e.
a) Se l’esercente offre l’opzione per cui, pagata la penultima rata, il cliente in
difficoltà possa pagare l’ultima rata immutata un mese dopo, qual è il tasso
realmente applicato tra il settimo e il nono mese?
b) Tornando ad un piano senza interruzioni, supponiamo che la rata effettivamente pagata sia maggiorata dell’1% rispetto a R a causa di commissioni
bancarie caricate sui clienti. Fornire allora una stima per difetto ed eccesso
del TAEG effettivamente applicato con differenza massima tra i tassi per
eccesso e difetto di un punto percentuale.
Soluzione.
a) Nel piano classico, il cash-flow dell’operazione è il seguente:
(a0 , R, R, R, R, R, R, R, R),
ove R = 120e. Tra il settimo e l’ultimo mese, il debito residuo all’epoca
t = 7/12 è pari a:
120
D7 =
1 ,
(1 + x∗ ) 12
ove x∗ rappresenta il TIR dell’operazione che sappiamo coincidere col TAEG,
ossia il 10%.
La suddetta formula esprime il fatto che l’attualizzazione dell’ultima rata
deve coprire il debito residuo rimasto al mese precedente. Se invece l’esercente
offre l’opzione per cui, pagata la penultima rata, il cliente in difficoltà possa
pagare l’ultima rata immutata un mese dopo, il cash-flow è il seguente:
(a0 , 120, 120, 120, 120, 120, 120, 120, 0, 120).
Pertanto, se consideriamo il debito residuo all’epoca t = 7/12, abbiamo che
120
D7 =
2 ,
(1 + x0 ) 12
perché questa volta l’attualizzazione è relativa ad un periodo di due mesi,
ma a tasso annuo x0 incognito.
Uguagliando le due espressioni di D7 trovate, risulta
120
120
⇒ (1 + x∗ ) = (1 + x0 )2 ,
1 =
2
∗
0
(1 + x ) 12
(1 + x ) 12
ossia
x0 =
√
1 + x∗ − 1 =
p
1, 1 − 1 ∼
= 0, 0488 = 4, 88%.
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7
Dunque, sempre stando ad un confronto tra tassi annui, il tasso effettivamente applicato negli ultimi due mesi con l’opzione si è parecchio abbassato
rispetto a quello del 10% applicato senza opzione.
b) Supponiamo che in realtà la rata effettivamente pagata sia maggiorata dell’1%
rispetto alla rata R = 120e. Dunque, la nuova rata è pari a
R∗ = R + 0, 01 R ∼
= 121, 20e.
(2)
La rata R, nel piano classico, é data da
xm
R = D0 ·
1 − (1 + xm )−8
e, trasformando il tasso mensile in annuale, si trova che
1
R = D0 ·
(3)
(1 + x) 12 − 1
2
1 − (1 + x)− 3
.
Ora, basta riscrivere la (3) con R∗ al posto di R, ossia
1
(4)
∗
R = D0 ·
(1 + x∗ ) 12 − 1
2 ,
1 − (1 + x∗ )− 3
dove x∗ è il nuovo tasso annuo effettivo globale TAEG∗ .
Confrontando la (3) con la (4), otteniamo, essendo R∗ > R, che x∗m > xm ,
quindi il nuovo TAEG deve essere superiore al vecchio, ossia TAEG∗ > 10%.
Se poniamo x∗ = 12% nella formula (4), otteniamo
1
D0 ·
(1 + x∗ ) 12 − 1
2
1 − (1 + x∗ )− 3
1
(1, 12) 12 − 1 ∼
= 926, 44766 ·
= 120, 805 < R∗
− 23
1 − (1, 12)
Se poniamo x∗ = 13% nella formula (4), otteniamo
1
D0 ·
(1 + x∗ ) 12 − 1
2
1 − (1 + x∗ )− 3
1
(1, 13) 12 − 1 ∼
= 926, 44766 ·
= 121, 204 > R∗
− 23
1 − (1, 13)
Dunque il tasso incognito deve stare tra il 12% e il 13%, ossia
12% < TAEG∗ < 13% (tra l’altro, è vicinissimo al 13%, perché R∗ = 121, 20).
