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&DSLWROR9
/$6,67(0$=,21(+,/%(57,$1$'(//$*(20(75,$
+LOEHUW (1862-1943), nella sua opera ³)RQGDPHQWL GHOOD *HRPHWULD´,
formula un sistema di assiomi per la geometria euclidea, concepito nello spirito della nuova assiomatica. In esso non si trovano sostanziali differenze rispetto al sistema degli ³(OHPHQWL´di Euclide: la differenza è individuabile nelle intenzioni e nello spirito, non già nel contenuto.
Di seguito è presentato questo nuovo sistema di assiomi per avere un elenco
completo ed esplicito delle nozioni primitive e degli assiomi, cosa che, come
più volte detto, negli “Elementi” non è realizzata in modo totalmente soddisfacente.
Consideriamo tre diversi sistemi di oggetti.
Chiamiamo:
3817, gli oggetti del primo sistema e li indichiamo con $, %, &, …
5(77(
gli oggetti del secondo sistema e li indichiamo con D, E, F, …
3,$1,
gli oggetti del terzo sistema e li indichiamo con D, E, J, …
Punti, rette e piani (QR]LRQLSULPLWLYH) vengono considerate in certe relazioni
indicate con parole del tipo:
³JLDFHUH´ ³IUD´
³FRQJUXHQWH´
(relazioni di appartenenza)
(relazioni d’ordine)
(relazione di eguaglianza)
La descrizione esatta e completa di queste relazioni segue dagli assiomi.
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Hilbert divide gli assiomi in cinque gruppi:
I gruppo:
$66,20,',&2//(*$0(172
, Per ogni coppia di punti $, %, esiste una retta a cui appartengono.
, Per ogni coppia di punti $, % distinti vi è, al più, una retta D cui appartengono.
, Su una retta esistono sempre almeno due punti distinti.
Esistono almeno tre punti non appartenenti alla stessa retta.
, Tre punti non appartenenti ad una stessa retta appartengono sempre ad
un piano.
Su ogni piano esiste almeno un punto.
, Dati tre punti non appartenenti ad una stessa retta, esiste al più un piano
che li contiene.
, Se due punti di una retta appartengono ad un piano, tutti i punti della retta appartengono a quel piano.
, Se due piani hanno in comune un punto, allora hanno in comune un altro
punto.
, Esistono almeno quattro punti che non stanno in un piano.
II gruppo:
$66,20,',25',1$0(172
,,Se il punto % “sta tra” i punti $ e &, allora $, %,& sono tre punti distinti
di una stessa retta e % sta tra i punti & ed $.
Osserviamo che la relazione “stare tra” è una relazione ternaria definita tra
punti distinti di una stessa retta, e che “stare tra” $ e & è lo stesso che stare
tra & ed $.
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,,Se $ e & sono punti distinti di una retta, su questa retta esiste almeno
un punto ' tale che & sta tra $ e '. (Questo assioma stabilisce l’indefinita
prolungabilità della retta $& nei due versi).
,,Dati tre punti distinti comunque presi su una retta, esiste al più uno di
essi che “sta fra” gli altri due.
L’assioma garantisce che la relazione d’ordine tra i punti di una retta è lineare, cioè che la retta è una linea aperta. Infatti, su una linea chiusa, come può
essere una circonferenza, dati tre punti distinti, ciascuno di essi “sta fra” gli
altri due.
Osserviamo ancora che l’assioma consente di definire nel modo
usuale il concetto di segmento di estremi $ e % e di semiretta di
origine $ e contenente %.
,,$VVLRPDGL3DVFK(Assioma del triangolo).
Siano $, %, & tre punti non allineati e a una retta del piano individuato dai tre
punti, non passante per alcuno di essi; allora se la retta a passa per un punto
del segmento $%, essa passa certamente anche per un punto del segmento
$& oppure per un punto del segmento %&.
Tra le conseguenze dei primi due gruppi di assiomi è utile menzionare le seguenti proposizioni senza dimostrarle.
Tra due punti distinti di una retta vi sono infiniti punti.
Proprietà di separazione della retta.
Se $, %, & sono tre punti distinti di una retta U tali che $ sta fra % e &, ogni
punto di U appartiene alla semiretta $% o alla semiretta $&.
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Proprietà di separazione del piano.
Ogni retta che giace in un piano divide i punti del piano che non appartengono ad U in due insiemi disgiunti tali che due punti di ciascuno dei due insiemi
stanno dalla stessa parte di U, mentre un punto di un insieme e un punto
dell’altro sono situati da parti opposte rispetto ad U (è ovvio che i due insiemi
sono i semipiani di origine U).
Si può introdurre il concetto di angolo con l’usuale nomenclatura e si estende
la relazione di “stare tra” alle semirette, non opposte, aventi la stessa origine
e si dimostra la proprietà:
Se la semiretta $' “sta fra” la semiretta $& ed $% allora $' incontra il
segmento %& (assioma di Pasch).
Una formulazione più intuitiva della proposizione precedente è:
¶Se una retta entra in un triangolo attraverso uno dei vertici, allora esce dal
triangolo attraversando in un punto il lato opposto a quel vertice (questa proposizione è stata da noi ripetutamente usata).
III gruppo:
$66,20,',&21*58(1=$
,,, Se $ e % sono due punti distinti ed $'è un punto qualsiasi, allora su
ogni semiretta di origine $'vi è un punto %'tale che il segmento $'
%'è congruente al segmento $% (vedi la proposizione 2 di Euclide sul “trasporto” dei
segmenti).
,,, Se due segmenti sono congruenti ad un terzo, allora sono congruenti
tra loro. Si prova, poi, che la relazione di congruenza tra segmenti è una relazione di equivalenza: riflessiva, simmetrica e transitiva.
,,, Se il punto % sta tra $ e & e il punto %'tra $'e &'
, se $% $'
%'e
&'
, allora $& $'
&'(somme di segmenti congruenti sono segmenti
%& %'
congruenti).
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,,, Dato un angolo %$& e su un piano D una semiretta $’%’, allora esiste
una ed una sola semiretta $’&’, giacente su uno dei due semipiani di D aventi
origine nella retta $’%’ tale che %’Æ’&’ %Æ& (trasporto di angoli uguali, proposizione 23 di Euclide).
,,, Ogni angolo è congruente a se stesso (proprietà riflessiva della relazione di congruenza tra angoli.Tale relazione è un’equivalenza).
,,, Se in due triangoli $%& ed $'
%'
&'si ha $% $'
%'
, $& $'
&'
,
%Æ& %'
Æ'
&'
, allora $%& $'
%'
&'
.
A questo punto è opportuno far vedere come la dimostrazione del I Criterio di
congruenza dei triangoli si può ottenere senza ricorrere al criterio di sovrapponibilità (postulato del movimento di Euclide: nozione comma 7).
7HRUHPD 6HGXHWULDQJROLKDQQRFRQJUXHQWLGXHODWLHO¶DQJRORFRPSUHVRDO
ORUDVRQRFRQJUXHQWL
Siano $%& e $'
%'
&'due triangoli tali che $%
%$& %'
$'
&'
.
Vogliamo provare che: 1)$%& $'
%'
&'
;
$'
%'
, $&
$'
&'
,
2)$ % $' '
%'
; 3)%& %'
&'
Dalle ipotesi, per l’assioma III.6 segue $%& $'
%'
&'
. Scambiando i punti % e
& e %'
con &'si ottiene, sempre per lo stesso assioma, $&% $'
&'
%'
. Resta
da provare che %& %'
&'
. Supponiamo, per assurdo, %&  %'
&'e, per fissare le idee, %'
&'> %&. Allora(assioma III.1) esiste sulla semiretta %
&
un punto &'
'
tale che %'
&'
' %&. Consideriamo adesso i triangoli %$& e %'
$'
&'
'
, si
ha:
$'(per ipotesi), %& %'
&'
'(per costruzione), $%& $'
%'
&'
' $'
%'
&'
%$ %'
(per dimostrazione), allora (assioma III.6) %$& %'
$'
&'
' %'
$'
&'
. Se osser47
viamo che &’’ non appartiene alla semiretta $’&’e quindi la semiretta $’&’ed
$’&’’sono distinte, ci accorgiamo di aver costruito due semirette di origine$’,
entrambe nello stesso semipiano di origine la retta $’%’, tali che:
%’$’&’ %$& e %’$’&’’ %$& in contrasto con l’assioma III.4.
Seguono quindi le dimostrazioni di tutte le proposizioni di Euclide per cui non
necessita il V postulato.
IV gruppo:
$66,20$'(//$3$5$//(/$
,9 Data una retta D e un punto fuori di essa, allora nel piano individuato da
D e da 3, esiste al più una retta passante per 3 e parallela alla retta D.
Questo assioma si può classificare come assioma dell’unicità della parallela
in quanto l’esistenza, come abbiamo già osservato, è indipendente dal V
postulato di Euclide.
Successivamente Hilbert passa ad enunciare gli assiomi di continuità, la cui
formulazione è un punto particolarmente delicato.Non potendo dedicare
all’argomento il tempo necessario, mi limito ad elencare le definizioni di continuità fornite da 'HGHNLQG (1831-1916) e da &DQWRU(1845-1918) e il postulato di Archimede con cui le confronteremo.
Volendo cominciare da quest’ultimo, premettiamo la definizione:6LGLFHFKH
GXHJUDQGH]]HKDQQRWUDORURUDSSRUWRRUDJLRQHVHPROWLSOLFDWHSRVVRQR
VXSHUDUVLUHFLSURFDPHQWH
V gruppo: $66,20,',&217,18,7$¶
9 $VVLRPD GL $UFKLPHGH (forma intuitiva): Dati due segmenti (grandezze
omogenee) esiste sempre un multiplo del segmento minore che supera il
segmento maggiore.
Per introdurre l’assioma di Cantor è necessario premettere alcune definizioni:
a),QVLHPLVHSDUDWLGLSXQWL due insiemi di punti di una retta si dicono separati
se nessun punto di uno dei due insiemi appartiene all’altro insieme e ciascun
punto del primo insieme “precede” ciascun punto del secondo insieme.
b)3XQWRGLVHSDUD]LRQHGLGXHLQVLHPLVHSDUDWLsi dice punto di separazione
di due insiemi separati di punti un punto che non è preceduto da alcun punto
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del secondo insieme e non è seguito da alcun punto del primo insieme (è un
punto che “sta tra” due insiemi).
c),QVLHPLFRQWLJXLdue insiemi di punti di una retta si dicono contigui se, fissato comunque un segmento arbitrario(piccolo a piacere) , esistono un punto $ del primo insieme e un punto% del secondo insieme tali che il segmento
$% sia minore di .
9 $VVLRPDGL&DQWRU
'XH LQVLHPL TXDOXQTXH GL SXQWL GL XQD UHWWD VHSDUDWL H FRQWLJXL DPPHWWRQR
XQRHXQVRORSXQWRGLVHSDUD]LRQH
In modo più semplice l’assioma Cantor si può enunciare così: 'XHLQVLHPLGL
SXQWLVHSDUDWLDPPHWWRQRXQSXQWRGLVHSDUD]LRQH
Sfruttando l’ipotesi di contiguità dei due insiemi, si dimostra l’unicità del punto
di separazione. Infatti, se ; e < sono due insiemi separati di punti di una retta e $ e % ($∴%) punti di separazione, allora; e< non sono insiemi contigui. Difatti, scelto <$%, non è possibile trovare un punto di ; ed un punto di
< che individuino un segmento minore di , perché V 3 ;3 precede $ o
coincide con $) e V 4 < (4 segue % o corrisponde con %) si ha 34'$%.
9$VVLRPDGL'HGHNLQG
Dividendo i punti del segmento $% in due classi distinte ;e<, non vuote, tali
che:
a) $ ;, % <;
b) per ogni punto 3 appartenente al segmento $% si ha3 ; aut 3 <;
c) ; e < sono classi separate (ogni punto della prima classe precede ogni
punto della secondaclasse); allora sul segmento $% esiste un punto & (appartenente a ; oppure a <) tale che tutti i punti di $% che precedono&appartengono a ; e tutti quelli che seguono & appartengono a <.
Il punto & si dice SXQWRGLVHSDUD]LRQe.
Questo assioma è legato in modo strettissimo alla nozione intuitiva di
continuità.
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Infatti se consideriamo un punto & sul segmento$%e suddividiamo i punti di
$% in due classi, quella dei punti di $% che stanno a sinistra di & (I classe) e
quella dei punti di $%che stanno a destra di & (II classe), si ha che:
a) $appartiene alla I classe e % appartiene alla II classe;
b) ogni punto di $% appartiene o alla I classe o alla II classe;
c) i punti della I classe precedono tutti i punti della II classe.
,OSXQWR&qO¶HOHPHQWRGLVHSDUD]LRQH.
Dedekind, con il suo assioma, postula che tali condizioni siano anche sufficienti per esprimere in modo completo ed esplicito la nozione di continuità.
Si dimostra che l’assioma di Dedekind è quello più completo. Infatti:
7HRUHPD 'DOO¶DVVLRPD GL 'HGHNLQG VHJXH O¶DVVLRPD GL $UFKLPHGH GD
$' $$
7HRUHPD 'DOO¶DVVLRPD GL 'HGHNLQG VHJXH O¶DVVLRPD GL &DQWRU GD
$' $&
7HRUHPD'DJOLDVVLRPLGL$UFKLPHGHHGL&DQWRUVHJXHO¶DVVLRPDGL
'HGHNLQGGD$$HW$& $'
Questi teoremi assicurano la perfetta equivalenza tra l’assioma di Dedekind e
gli altri due assiomi insieme.
L’assioma di Dedekind non è, invece, ricavabile né dall’assioma di Archimede né da quello di Cantor presi separatamente.
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