Spazio di probabilità

Richiami di calcolo delle probabilità
Variabili casuali
Processi stocastici
Moto Browniano
Equazioni Differenziali Stocastiche
Spazio di probabilità
Uno spazio di probabilità è una terna (Ω, A, P), dove Ω è un
insieme qualunque (in genere pensato come l’insieme dei
risultati possibili di un esperimento casuale), A è detta
σ-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali si
può calcolare una probabilità,e P() è appunto una misura di
probabilità su Ω (P : Ω 7→ [0, 1]).
Per la precisione, una σ-algebra è una famiglia di insiemi tali
che
∅ ∈ A;
se A ∈ A allora anche il suo complementare Ā è in A;
unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora ad
A.
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Spazio di probabilità
Uno spazio di probabilità è una terna (Ω, A, P), dove Ω è un
insieme qualunque (in genere pensato come l’insieme dei
risultati possibili di un esperimento casuale), A è detta
σ-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali si
può calcolare una probabilità,e P() è appunto una misura di
probabilità su Ω (P : Ω 7→ [0, 1]).
Per la precisione, una σ-algebra è una famiglia di insiemi tali
che
∅ ∈ A;
se A ∈ A allora anche il suo complementare Ā è in A;
unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora ad
A.
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Spazio di probabilità
Uno spazio di probabilità è una terna (Ω, A, P), dove Ω è un
insieme qualunque (in genere pensato come l’insieme dei
risultati possibili di un esperimento casuale), A è detta
σ-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali si
può calcolare una probabilità,e P() è appunto una misura di
probabilità su Ω (P : Ω 7→ [0, 1]).
Per la precisione, una σ-algebra è una famiglia di insiemi tali
che
∅ ∈ A;
se A ∈ A allora anche il suo complementare Ā è in A;
unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora ad
A.
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Uno spazio di probabilità è una terna (Ω, A, P), dove Ω è un
insieme qualunque (in genere pensato come l’insieme dei
risultati possibili di un esperimento casuale), A è detta
σ-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali si
può calcolare una probabilità,e P() è appunto una misura di
probabilità su Ω (P : Ω 7→ [0, 1]).
Per la precisione, una σ-algebra è una famiglia di insiemi tali
che
∅ ∈ A;
se A ∈ A allora anche il suo complementare Ā è in A;
unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora ad
A.
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Uno spazio di probabilità è una terna (Ω, A, P), dove Ω è un
insieme qualunque (in genere pensato come l’insieme dei
risultati possibili di un esperimento casuale), A è detta
σ-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali si
può calcolare una probabilità,e P() è appunto una misura di
probabilità su Ω (P : Ω 7→ [0, 1]).
Per la precisione, una σ-algebra è una famiglia di insiemi tali
che
∅ ∈ A;
se A ∈ A allora anche il suo complementare Ā è in A;
unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora ad
A.
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Equazioni Differenziali Stocastiche
Spazio di probabilità
Ad esempio: nell’esperimento “lancio di un dado”,
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A è la σ-algebra generata dagli eventi
elementari di Ω, cioè di fatto, quelli per i quali è possibile
calcolare una probabilità.
Ad esempio E = “numero pari” = {2, 4, 6}, F = “numero
maggiore di 4” = {5, 6}. G = “numero 7” appartiene a A?
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Spazio di probabilità
Ad esempio: nell’esperimento “lancio di un dado”,
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A è la σ-algebra generata dagli eventi
elementari di Ω, cioè di fatto, quelli per i quali è possibile
calcolare una probabilità.
Ad esempio E = “numero pari” = {2, 4, 6}, F = “numero
maggiore di 4” = {5, 6}. G = “numero 7” appartiene a A?
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Ad esempio: nell’esperimento “lancio di un dado”,
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A è la σ-algebra generata dagli eventi
elementari di Ω, cioè di fatto, quelli per i quali è possibile
calcolare una probabilità.
Ad esempio E = “numero pari” = {2, 4, 6}, F = “numero
maggiore di 4” = {5, 6}. G = “numero 7” appartiene a A?
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Esempio di misura di probabilità
Se il dado non è truccato, cioè gli eventi elementari sono
equiprobabili, allora
P(E) =
#casi favorevoli a E
#casi possibili di Ω
cioè, negli esempi di sopra
P(E) =
3
1
#{2, 4, 6}
= =
#{1, 2, 3, 4, 5, 6}
6
2
P(F ) =
#{5, 6}
2
1
= =
#{1, 2, 3, 4, 5, 6}
6
3
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Variabili casuali
Dato un spazio di probabilità (Ω, A, P), si definisce variabile
casuale X una funzione misurabile da Ω in R
(X : Ω 7→ R),ovvero
∀A ∈ B(R), ∃B ∈ A : X −1 (A) = B
cioè tale per cui è sempre possibile misurare attraverso P
l’insieme dei valori che essa assume ricorrendo alla misura di
probabilità P sullo spazio di partenza:
P(X ∈ A) = P({ω ∈ Ω : ω ∈ X −1 (A)}) = P(B),
A ⊂ R, B ∈ A
Nella notazione di sopra B(R) è detta σ-algebra di Borel su R.
Senza scendere in dettagli, diciamo solo che B è una
particolare σ-algebra che lavora sui sottoinsiemi di R.
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Dato un spazio di probabilità (Ω, A, P), si definisce variabile
casuale X una funzione misurabile da Ω in R
(X : Ω 7→ R),ovvero
∀A ∈ B(R), ∃B ∈ A : X −1 (A) = B
cioè tale per cui è sempre possibile misurare attraverso P
l’insieme dei valori che essa assume ricorrendo alla misura di
probabilità P sullo spazio di partenza:
P(X ∈ A) = P({ω ∈ Ω : ω ∈ X −1 (A)}) = P(B),
A ⊂ R, B ∈ A
Nella notazione di sopra B(R) è detta σ-algebra di Borel su R.
Senza scendere in dettagli, diciamo solo che B è una
particolare σ-algebra che lavora sui sottoinsiemi di R.
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Variabili casuali
Dato un spazio di probabilità (Ω, A, P), si definisce variabile
casuale X una funzione misurabile da Ω in R
(X : Ω 7→ R),ovvero
∀A ∈ B(R), ∃B ∈ A : X −1 (A) = B
cioè tale per cui è sempre possibile misurare attraverso P
l’insieme dei valori che essa assume ricorrendo alla misura di
probabilità P sullo spazio di partenza:
P(X ∈ A) = P({ω ∈ Ω : ω ∈ X −1 (A)}) = P(B),
A ⊂ R, B ∈ A
Nella notazione di sopra B(R) è detta σ-algebra di Borel su R.
Senza scendere in dettagli, diciamo solo che B è una
particolare σ-algebra che lavora sui sottoinsiemi di R.
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Variabili casuali
Dato un spazio di probabilità (Ω, A, P), si definisce variabile
casuale X una funzione misurabile da Ω in R
(X : Ω 7→ R),ovvero
∀A ∈ B(R), ∃B ∈ A : X −1 (A) = B
cioè tale per cui è sempre possibile misurare attraverso P
l’insieme dei valori che essa assume ricorrendo alla misura di
probabilità P sullo spazio di partenza:
P(X ∈ A) = P({ω ∈ Ω : ω ∈ X −1 (A)}) = P(B),
A ⊂ R, B ∈ A
Nella notazione di sopra B(R) è detta σ-algebra di Borel su R.
Senza scendere in dettagli, diciamo solo che B è una
particolare σ-algebra che lavora sui sottoinsiemi di R.
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Variabili casuali
Dato un spazio di probabilità (Ω, A, P), si definisce variabile
casuale X una funzione misurabile da Ω in R
(X : Ω 7→ R),ovvero
∀A ∈ B(R), ∃B ∈ A : X −1 (A) = B
cioè tale per cui è sempre possibile misurare attraverso P
l’insieme dei valori che essa assume ricorrendo alla misura di
probabilità P sullo spazio di partenza:
P(X ∈ A) = P({ω ∈ Ω : ω ∈ X −1 (A)}) = P(B),
A ⊂ R, B ∈ A
Nella notazione di sopra B(R) è detta σ-algebra di Borel su R.
Senza scendere in dettagli, diciamo solo che B è una
particolare σ-algebra che lavora sui sottoinsiemi di R.
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Variabili casuali: misurabilità
Ad esempio, sia Ω lo spazio campionario relativo
all’esperimento “lancio di un dado”. E sia X la variabile casuale
definita come segue: X (ω) = -1, per ω = 1 o 2, X (ω) = 0, per ω
= 3, 4, 5 e +1 altrimenti. Per calcolare P(X ≥ 0) si deve
ricorrere agli eventi su Ω, ovvero
P(X ≥ 0) = P(X ∈ {0, +1})
= P({ω ∈ Ω : X (ω) = 0} ∪ ({ω ∈ Ω : X (ω) = +1})
= P({ω ∈ Ω : ω ∈ X −1 ({0, +1})})
4
= P({3, 4, 5, 6}) =
6
come si vede, X −1 ({0, +1}) = B deve essere un insieme della
σ-algebra A per poterne calcolare la probabilità e quindi
ottenere P(X ≥ 0).
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Variabili casuali: misurabilità
Ad esempio, sia Ω lo spazio campionario relativo
all’esperimento “lancio di un dado”. E sia X la variabile casuale
definita come segue: X (ω) = -1, per ω = 1 o 2, X (ω) = 0, per ω
= 3, 4, 5 e +1 altrimenti. Per calcolare P(X ≥ 0) si deve
ricorrere agli eventi su Ω, ovvero
P(X ≥ 0) = P(X ∈ {0, +1})
= P({ω ∈ Ω : X (ω) = 0} ∪ ({ω ∈ Ω : X (ω) = +1})
= P({ω ∈ Ω : ω ∈ X −1 ({0, +1})})
4
= P({3, 4, 5, 6}) =
6
come si vede, X −1 ({0, +1}) = B deve essere un insieme della
σ-algebra A per poterne calcolare la probabilità e quindi
ottenere P(X ≥ 0).
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Variabili casuali: misurabilità
Ad esempio, sia Ω lo spazio campionario relativo
all’esperimento “lancio di un dado”. E sia X la variabile casuale
definita come segue: X (ω) = -1, per ω = 1 o 2, X (ω) = 0, per ω
= 3, 4, 5 e +1 altrimenti. Per calcolare P(X ≥ 0) si deve
ricorrere agli eventi su Ω, ovvero
P(X ≥ 0) = P(X ∈ {0, +1})
= P({ω ∈ Ω : X (ω) = 0} ∪ ({ω ∈ Ω : X (ω) = +1})
= P({ω ∈ Ω : ω ∈ X −1 ({0, +1})})
4
= P({3, 4, 5, 6}) =
6
come si vede, X −1 ({0, +1}) = B deve essere un insieme della
σ-algebra A per poterne calcolare la probabilità e quindi
ottenere P(X ≥ 0).
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Variabili casuali: distribuzione
Nella prassi comune di costruisce una tantum la funzione di
ripartizione di X :
F (x) = P(X ∈ (−∞, x]),
x ∈R
e da questa si derivano tutte le altre probabilità di interesse
senza dover ricorrere alla misura di probabilità sullo spazio di
partenza.
La questione della misurabilità delle variabili aleatorie è
rilevante, e lo sarà soprattutto nello studio dei processi, poiché
alle σ-algebre è legata la nozione di informazione di un
esperimento (soprattutto in ambito finanziario).
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Variabili casuali: indipendenza
Due variabili casuali X ed Y si dicono indipendenti se
P(X ∈ A, Y ∈ B) = P(X ∈ A)P(Y ∈ B)
ciò vuol dire che la probabilità con cui X assume i suoi valori
non è influenzata da quella con cui Y assume i suoi.
Ovviamente A e B sono due sottoinsiemi di R.
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Processi stocastici
Un processo stocastico è una famiglia di variabili casuali {Xγ ,
γ ∈ Γ} definita su Ω × Γ a valori in R. Quindi le variabili
aleatorie (misurabili per ogni γ ∈ Γ) che costituiscono il
processo sono funzioni del tipo X (γ, ω) 7→ R.
Per un fissato valore di ω, diciamo ω̄, X (γ, ω̄), vista come
funzione di γ ∈ Γ rappresenta l’evoluzione del processo e
l’insieme dei valori
{X (γ, ω̄), γ ∈ Γ}
viene chiamato traiettoria del processo.
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Processi stocastici
Un processo stocastico è una famiglia di variabili casuali {Xγ ,
γ ∈ Γ} definita su Ω × Γ a valori in R. Quindi le variabili
aleatorie (misurabili per ogni γ ∈ Γ) che costituiscono il
processo sono funzioni del tipo X (γ, ω) 7→ R.
Per un fissato valore di ω, diciamo ω̄, X (γ, ω̄), vista come
funzione di γ ∈ Γ rappresenta l’evoluzione del processo e
l’insieme dei valori
{X (γ, ω̄), γ ∈ Γ}
viene chiamato traiettoria del processo.
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Traiettorie dei processi
Ad esempio, se Γ = N, e le Xn , n ∈ N sono indipendenti e con
la stessa legge, siamo di fronte ad una successione di variabili
casuali i.i.d. Questa successione, che è un processo in tempo
discreto, è a volte chiamato campione bernoulliano ed è alla
base delle più utilizzate procedure statistiche.
Se invece come Γ prendiamo l’asse dei tempi [0, ∞), allora (Xt ,
t ≥ 0), viene detto processo in tempo continuo e ogni traiettoria
del processo rappresenta l’evoluzione temporale del processo
X.
Quindi, ogni valore di ω ∈ Ω genera una traiettoria del processo
al variare di t. Ciascuna di queste traiettorie è una possibile
realizzazione del processo.
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Traiettorie dei processi
Ad esempio, se Γ = N, e le Xn , n ∈ N sono indipendenti e con
la stessa legge, siamo di fronte ad una successione di variabili
casuali i.i.d. Questa successione, che è un processo in tempo
discreto, è a volte chiamato campione bernoulliano ed è alla
base delle più utilizzate procedure statistiche.
Se invece come Γ prendiamo l’asse dei tempi [0, ∞), allora (Xt ,
t ≥ 0), viene detto processo in tempo continuo e ogni traiettoria
del processo rappresenta l’evoluzione temporale del processo
X.
Quindi, ogni valore di ω ∈ Ω genera una traiettoria del processo
al variare di t. Ciascuna di queste traiettorie è una possibile
realizzazione del processo.
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Traiettorie dei processi
Ad esempio, se Γ = N, e le Xn , n ∈ N sono indipendenti e con
la stessa legge, siamo di fronte ad una successione di variabili
casuali i.i.d. Questa successione, che è un processo in tempo
discreto, è a volte chiamato campione bernoulliano ed è alla
base delle più utilizzate procedure statistiche.
Se invece come Γ prendiamo l’asse dei tempi [0, ∞), allora (Xt ,
t ≥ 0), viene detto processo in tempo continuo e ogni traiettoria
del processo rappresenta l’evoluzione temporale del processo
X.
Quindi, ogni valore di ω ∈ Ω genera una traiettoria del processo
al variare di t. Ciascuna di queste traiettorie è una possibile
realizzazione del processo.
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Equazioni Differenziali Stocastiche
Processi stocastici e finanza
In finanza modelleremo le dinamiche dei prezzi (ad esempio)
attraverso processi stocastici. L’osservazione empirica di una
successione di quotazioni/prezzi/etc sarà l’osservazione di una
(e una sola) particolare traiettoria del processo.
Fissato invece un istante t = t̄, se facciamo variare ω ∈ Ω,
allora X (t̄, ω) fornisce la distribuzione del processo al tempo t̄.
In finanza ha senso chiedersi, per un valore di t + h avanti nel
tempo (h > 0), quali saranno i valori più probabili (quotazioni) di
un particolare prodotto finanziario alla luce dell’informazione
raccolta sul fenomeno sino al tempo t.
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Processi stocastici e finanza
In finanza modelleremo le dinamiche dei prezzi (ad esempio)
attraverso processi stocastici. L’osservazione empirica di una
successione di quotazioni/prezzi/etc sarà l’osservazione di una
(e una sola) particolare traiettoria del processo.
Fissato invece un istante t = t̄, se facciamo variare ω ∈ Ω,
allora X (t̄, ω) fornisce la distribuzione del processo al tempo t̄.
In finanza ha senso chiedersi, per un valore di t + h avanti nel
tempo (h > 0), quali saranno i valori più probabili (quotazioni) di
un particolare prodotto finanziario alla luce dell’informazione
raccolta sul fenomeno sino al tempo t.
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Filtrazioni
Ad ogni processo, ad esempio (X (t), t ≥ 0), si può associare,
per ogni t una σ-algebra che indichiamo con
Ft = σ(X (s); 0 ≤ s ≤ t) (la σ-algebra generata da X (t)), cioè la
più piccola σ-algebra di A che rende X (s, ω) misurabile per
ogni 0 ≤ s ≤ t. Questa σ-algebra (che deve contenere anche
gli insiemi di misura nulla di A) è l’insieme più piccolo di
sottoinsiemi di Ω che ci permette di calcolare tutte le probabilità
relative ad eventi che riguardano X (t).
La famiglia di σ-algebre (Ft , t ≥ 0) viene chiamata filtrazione
naturale del processo ed è tale per cui Fs ⊂ Ft , per s < t.
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Filtrazioni
Ad ogni processo, ad esempio (X (t), t ≥ 0), si può associare,
per ogni t una σ-algebra che indichiamo con
Ft = σ(X (s); 0 ≤ s ≤ t) (la σ-algebra generata da X (t)), cioè la
più piccola σ-algebra di A che rende X (s, ω) misurabile per
ogni 0 ≤ s ≤ t. Questa σ-algebra (che deve contenere anche
gli insiemi di misura nulla di A) è l’insieme più piccolo di
sottoinsiemi di Ω che ci permette di calcolare tutte le probabilità
relative ad eventi che riguardano X (t).
La famiglia di σ-algebre (Ft , t ≥ 0) viene chiamata filtrazione
naturale del processo ed è tale per cui Fs ⊂ Ft , per s < t.
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Filtrazioni: esempio
Le filtrazioni sono dunque successioni di σ-algebre crescenti.
Vediamo un esempio. Pensiamo al lancio di una moneta. I
risultati sono T o C con uguale probabilità. Possiamo associare
a questo esperimento la σ-algebra costruita su [0, 1] nel
seguente modo: associamo al risultato T l’intervallo [0, 1/2) e a
C l’intervallo [1/2, 1] e le relative probabilità alle lunghezze
degli intervalli corrispondenti (mis. Lebesgue), ovvero
P(T ) = P([0, 1/2)) = 1/2, P(C) = P([1/2, 1]) = 1/2. quindi
F1 = {∅, [0, 1/2), [1/2, 1], [0, 1]}
è una σ-algebra.
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Filtrazioni: esempio
Supponiamo ora che l’esperimento continui con un lancio
successivo della moneta. Se è uscita T al primo lancio, può
ancora uscire T o C. Associamo [0, 1/4) all’evento = “T al
secondo lancio e al primo”, e [1/4, 1/2) all’evento = “C al
secondo lancio e T al primo”. Analogamente per [1/2, 3/4) e
[3/4, 1]. Quindi
F2 ={∅, [0, 1/2), [1/2, 1], [0, 1/4), [1/4, 1/2),
[1/2, 3/4), [3/4, 1], [0, 1], . . .}
è ancora una σ-algebra (con . . . s intende l’insieme di tutte le
possibili unioni degli intervalli elencati) e F1 ⊂ F2 .
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Filtrazioni: esempio
Pensando all’n-esimo lancio della moneta si arriverà a
suddividere [0, 1] in intervalli di ampiezza 1/2n e alla σ-algebra
Fn che include tutte le precedenti.
Indichiamo con Xi il risultato del lancio della moneta alla
i-esima prova. Allora, X1 è F1 misurabile, X2 è F2 misurabile,
ecc.
Ovvero (Fi , i ≥ 1) è una filtrazione per il processo {Xi , i ≥ n}.
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Filtrazioni: esempio
È utile per un processo essere misurabile rispetto ad un
filtrazione?
Se al secondo lancio abbiamo X2 = T e X2− 1(T ) è l’intervallo
[1/4, 1/2), sappiamo esattamente cosa è successo anche nel
lancio precedente X1 , ovvero è uscita T . Viceversa, non
sappiamo nulla su cosa accadrà per X3 , ecc.
Le filtrazioni sono dunque un modo per descrivere l’aumento di
informazione che si ha col trascorrere del tempo.
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Processi adattati
Dato un processo (Xt , t ≥ 0) e una filtrazione (Ft , t ≥ 0), si dice
che X è adattato ad (Ft , t ≥ 0) se per ogni t ≥ 0, X (t) è
Ft -misurabile.
In finanza la filtrazione rappresenta tutta l’informazione raccolta
sul processo fino al tempo t. Richiedere che il processo sia
adattato ad una filtrazione, vuol dire poterne studiare le
caratteristiche.
L’idea di σ-algebra minimale (e quindi di filtrazione naturale) è
da intendersi in questo senso: visto che per poter lavorare con
le variabili casuali (e quindi i processi) serve la misurabilità
(altrimenti non posso calcolare alcuna probabilità), la σ-algebra
Ft è costruita in modo tale da contenere “tutta l’informazione
rilevante” sul processo con il minimo “ingombro”.
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Processi adattati
Dato un processo (Xt , t ≥ 0) e una filtrazione (Ft , t ≥ 0), si dice
che X è adattato ad (Ft , t ≥ 0) se per ogni t ≥ 0, X (t) è
Ft -misurabile.
In finanza la filtrazione rappresenta tutta l’informazione raccolta
sul processo fino al tempo t. Richiedere che il processo sia
adattato ad una filtrazione, vuol dire poterne studiare le
caratteristiche.
L’idea di σ-algebra minimale (e quindi di filtrazione naturale) è
da intendersi in questo senso: visto che per poter lavorare con
le variabili casuali (e quindi i processi) serve la misurabilità
(altrimenti non posso calcolare alcuna probabilità), la σ-algebra
Ft è costruita in modo tale da contenere “tutta l’informazione
rilevante” sul processo con il minimo “ingombro”.
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Caratteristiche dei processi
In genere l’introduzione dei processi serve a modellare una
qualche struttura di dipendenza. Se pensiamo all’andamento di
un indice azionario, è impensabile immaginare che la
quotazione precedente non influenzi la successiva in una
qualche misura, cioè non si può assumere l’indipendenza. I
processi di uso corrente nelle applicazioni sono costruiti a
partire dalle proprietà che si vogliono modellare. Ci sono quindi
diversi approcci, tra questi la modellazione degli incrementi e
della funzione di covarianza del processo.
Xt − Xs : incremento del processo tra s e t, s < t
Cov(Xs , Xt ) : la covarianza del processo
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Moto Browniano
Si chiama moto Browniano (o processo di Wiener) un
processo (B(t), t ≥ 0) che parte da zero, ovvero B(0) = 0, con
le seguenti proprietà:
(i) è un processo ad incrementi indipendenti: ovvero
B(t) − B(s) è indipendente da B(u) − B(v ) per
t > s ≥ u > v ≥ 0;
(ii) è un processo a incrementi stazionari: cioè la distribuzione
di B(t) − B(s) per t > s ≥ 0 dipende solo dalla distanza
t − s e non da t e/o s separatamente;
(iii) è un processo ad incrementi Gaussiani: cioè
B(t) − B(s) ∼ N (0, t − s)
Richiami di calcolo delle probabilità
Variabili casuali
Processi stocastici
Moto Browniano
Equazioni Differenziali Stocastiche
Moto Browniano
Si chiama moto Browniano (o processo di Wiener) un
processo (B(t), t ≥ 0) che parte da zero, ovvero B(0) = 0, con
le seguenti proprietà:
(i) è un processo ad incrementi indipendenti: ovvero
B(t) − B(s) è indipendente da B(u) − B(v ) per
t > s ≥ u > v ≥ 0;
(ii) è un processo a incrementi stazionari: cioè la distribuzione
di B(t) − B(s) per t > s ≥ 0 dipende solo dalla distanza
t − s e non da t e/o s separatamente;
(iii) è un processo ad incrementi Gaussiani: cioè
B(t) − B(s) ∼ N (0, t − s)
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Moto Browniano
Si chiama moto Browniano (o processo di Wiener) un
processo (B(t), t ≥ 0) che parte da zero, ovvero B(0) = 0, con
le seguenti proprietà:
(i) è un processo ad incrementi indipendenti: ovvero
B(t) − B(s) è indipendente da B(u) − B(v ) per
t > s ≥ u > v ≥ 0;
(ii) è un processo a incrementi stazionari: cioè la distribuzione
di B(t) − B(s) per t > s ≥ 0 dipende solo dalla distanza
t − s e non da t e/o s separatamente;
(iii) è un processo ad incrementi Gaussiani: cioè
B(t) − B(s) ∼ N (0, t − s)
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Moto Browniano
Si chiama moto Browniano (o processo di Wiener) un
processo (B(t), t ≥ 0) che parte da zero, ovvero B(0) = 0, con
le seguenti proprietà:
(i) è un processo ad incrementi indipendenti: ovvero
B(t) − B(s) è indipendente da B(u) − B(v ) per
t > s ≥ u > v ≥ 0;
(ii) è un processo a incrementi stazionari: cioè la distribuzione
di B(t) − B(s) per t > s ≥ 0 dipende solo dalla distanza
t − s e non da t e/o s separatamente;
(iii) è un processo ad incrementi Gaussiani: cioè
B(t) − B(s) ∼ N (0, t − s)
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Processi stocastici
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Equazioni Differenziali Stocastiche
Moto Browniano
Altra caratterizzazione: sia X1 , X2 , . . . , Xn una successione
i.i.d. di variabili aleatorie che assumono solo i valori -1 e +1 con
probabilità 12 . Sia
Sn = X1 + X2 + · · · + Xn
allora
S[nt]
√ ,t ≥ 0
n
→ (B(t), t ≥ 0)
dove la convergenza è in distribuzione.
Il moto Browniano è il limite di una passeggiata aleatoria [
√
].
Si noti che il teorema del limite centrale garantisce già che Sn / n → N (0, 1), qui la
convergenza, per ogni t > 0 è ad una Gaussiana centrata di varianza t.
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Altra caratterizzazione: sia X1 , X2 , . . . , Xn una successione
i.i.d. di variabili aleatorie che assumono solo i valori -1 e +1 con
probabilità 12 . Sia
Sn = X1 + X2 + · · · + Xn
allora
S[nt]
√ ,t ≥ 0
n
→ (B(t), t ≥ 0)
dove la convergenza è in distribuzione.
Il moto Browniano è il limite di una passeggiata aleatoria [
√
].
Si noti che il teorema del limite centrale garantisce già che Sn / n → N (0, 1), qui la
convergenza, per ogni t > 0 è ad una Gaussiana centrata di varianza t.
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Altra caratterizzazione: sia X1 , X2 , . . . , Xn una successione
i.i.d. di variabili aleatorie che assumono solo i valori -1 e +1 con
probabilità 12 . Sia
Sn = X1 + X2 + · · · + Xn
allora
S[nt]
√ ,t ≥ 0
n
→ (B(t), t ≥ 0)
dove la convergenza è in distribuzione.
Il moto Browniano è il limite di una passeggiata aleatoria [
√
].
Si noti che il teorema del limite centrale garantisce già che Sn / n → N (0, 1), qui la
convergenza, per ogni t > 0 è ad una Gaussiana centrata di varianza t.
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Richiami di calcolo delle probabilità
Variazioni del moto browniano
La nozione di variazione semplice di un processo FV (X ) è
legata alla differenziabilità delle sue traiettorie ed è definita
come segue
Z t
|X 0 (t)|dt
FVt (X ) =
0
e per il moto browniano non esiste in quanto B 0 (t) non esiste.
Si indica con [X , X ](t) la variazione quadratica di un processo
X calcolata all’istante t e la sua espressione è
[X , X ](t) lim |X (si+1 ) − X (si )|
n→∞
con 0 < s1 < · · · < si < · · · < sn < t. Per il moto browniano
[B, B](t) = t.
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Outline
1
Richiami di calcolo delle probabilità
Variabili casuali
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Richiami di calcolo delle probabilità
Variabili casuali
Processi stocastici
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Dinamiche dei prezzi
Si supponga di avere un processo (S(t), t ≥ 0) che
rappresenta il valore di un’azione all’istante t.
Consideriamo un intervallo di tempo infinitesimale dt dopo il
quale il prezzo è variato da S a S + dS (indicando con dS la
variazione di S nell’intervallo di tempo dt, cioè
dS = S(t + dt) − S(t)). Il rendimento dell’azione viene valutato
attraverso il rapporto dS/S.
Possiamo pensare di modellare questo rendimento come
somma di due contributi: uno deterministico ed uno stocastico.
dS
= contributo deterministico + contributo stocastico
S
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Dinamiche dei prezzi: input deterministico
Il contributo della parte deterministica è legato ai tassi di
interesse o ai rendimenti costanti legati ad operazioni
finanziarie senza rischio (cioè il trend o drift = “deriva”).
Indicando con µ il rendimento medio, allora il contributo sarà
proporzionale a µ rispetto al tempo intercorso
contributo deterministico = µdt
In modelli più generali, si può anche assumere che µ sia
funzione di S, di t o tutti e due.
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Dinamiche dei prezzi: input stocastico
Il contributo stocastico è quello dovuto a fattori esogeni come
notizie inattese o altri shock esterni al mercato. Si può
immaginare che questo contributo sia la realizzazione di una
variabile casuale Gaussiana di media nulla (shock gaussiani).
Chiamiamo questo contributo dX , e scriviamo
contributo stocastico = σdX
La costante σ > 0, chiamata volatilità rappresenta la variabilità
intrinseca dei rendimenti (anche σ si può assumere funzione di
S, di t o tutti e due) e sostanzialmente fa si che la variabilità
degli shock sia proporzionale a quella dei rendimenti, cioè
σdX ∼ N (0, cσ 2 ) dove c è la varianza di dX .
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Dinamiche dei prezzi
equazioni differenziali stocastiche (eds)
Mettendo assieme i due contributi arriviamo alla seguente
equazione
dS
= µdt + σdX
S
chiamata equazione differenziale stocastica che, seppur
meramente una rappresentazione matematica formale, ci
permette di descrivere un semplice modello per la variazione
dei rendimenti.
Si noti che dX non è ancora chiaro che cosa rappresenti.
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Supponiamo che non vi sia la parte stocastica, ovvero poniamo
σ = 0, allora si può scrivere qualche cosa di più preciso
dS(t)
= µdt
S(t)
ovvero
dS(t)
= µS(t)
dt
passando al limite per dt → 0 otteniamo
S 0 (t) = µS(t)
meglio
S 0 (t)
d
=
ln S(t) = µ
S(t)
dt
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Risolvendo l’equazione differenziale ordinaria
d
ln S(t) = µ
dt
come
Zt
µds = µ(t − t0 )
ln S(t) − ln S(t0 ) =
t0
(ovvero integrando) e passando alla forma esponenziale
abbiamo
S(t) = S(t0 )eµ(t−t0 )
ovvero, il prezzo al tempo t > t0 è calcolabile
deterministicamente a partire dal prezzo di partenza S(t0 ) e dal
valore del rendimento medio costante µ.
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Il passaggio successivo è quello di scrivere più adeguatamente
la parte stocastica. Abbiamo detto che dX è solo una notazione
per indicare una particolare variabile gaussiana di media nulla
e varianza assegnata. È ragionevole assumere che la varianza
di dX non sia costante ma dipendenda anch’essa dall’intervallo
di tempo considerato dt. Poniamo dunque
dX ∼ N (0, dt)
√
il che, come prima, equivale a scrivere che dX = Z dt con
Z ∼ N (0, 1). Se pensiamo a due intervalli di tempo distinti dt e
du, le rispettive versioni di dX possono considerarsi
indipendenti quando gli intervalli non sono sovrapposti, ma
allora tutto ciò ci conduce naturalmente ad associare dX agli
incrementi di un moto Browniano.
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Infatti, gli incrementi del moto Browniano nell’intervallo [t, t + dt)
hanno la seguente proprietà
B(t + dt) − B(t) ∼ N (0, dt)
Perché si riscala la varianza di dX a dt? Uno dei motivi è che
noi siamo interessati al limite per dt → 0 dell’equazione
differenziale stocastica. Se la varianza di dX non fosse
proporzionale a dt allora, la varianza di S sarebbe pari a 0 o a
+∞! Un altro motivo è ovviamente la relazione con il moto
browniano: cioè si associa la parte di variabilità stocastica alle
traiettorie del moto browniano.
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proprietà di dS = σSdX + µSdt
Ricordando che per ipotesi EdX = 0 e Var(dX ) = dt, si ottiene
EdS = E(σSdX + µSdt) = µSdt
e
Var(dS) = EdS 2 − (EdS)2
= E(σ 2 S 2 dX 2 + (µSdt)2 + 2(µSdt)(σSdX )) − (µSdt)2
= E(σ 2 S 2 dX 2 ) = σ 2 S 2 dt
Si evince che valore atteso e varianza dei rendimenti
dipendono direttamente da µ e σ. Quindi, identificato il modello
funzionale, per poter prevedere il comportamento di S è
necessario stimare µ e σ sui dati di mercato [ ].
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Moto Browniano
Equazioni Differenziali Stocastiche
Le due ipotesi su cui stiamo tacitamente lavorando e che
useremo anche in futuro sono le seguenti
la storia passata viene interamente riflessa nel valore
attuale dell’asset e non contiene informazioni sul futuro;
i mercati rispondono immediatamente ad ogni nuova
informazione si abbia sull’asset.
Quindi ciò che andremo a modellare è sempre l’effetto
dell’arrivo di nuove informazioni sul prezzo dell’asset, cioè gli
incrementi del processo. I processi che descrivono una tale
dinamica dei prezzi sono anche detti Markoviani.
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Equazioni Differenziali Stocastiche
Ricordiamo che la derivazione di dS = σSdX + µSdt è del tutto
intuitiva ma molti dettagli tecnici non sono stati affrontati.
Inoltre la scrittura in forma differenziale è solo una scrittura che
dal punto di vista matematico vuol dire poco.
Per dt piccolo, ma positivo, è corretto dire che dX si comporta
come gli incrementi di un moto browniano, ma se dt → 0, cioè
lo interpretiamo come variazione infinitesima della traiettoria
del moto browniano, allora cade l’analogia in quanto tali
traiettorie sono ovunque non differenziabili.
Per capire meglio di cosa stiamo parlando, vediamo le cose
sotto un altro punto di vista...
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Se riscriviamo in modo esplicito l’eds dS = σSdX + µSdt
usando il moto browniano per modellare la variazione dX
abbiamo
dS = σSdB + µSdt
S(t + dt) − S(t) = σS(t)(B(t + dt) − B(t)) + µS(t)dt
B(t + dt) − B(t)
S(t + dt) − S(t)
= σS(t)
+ µS(t)
dt
dt
passando al limite per dt → 0, otterremo la scrittura formale
S 0 (t) = σS(t)B 0 (t) + µS(t)
dove compare la derivata della funzione B(t), ovvero della
traiettoria del moto browniano