ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA II Successioni e serie di

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA II
Successioni e serie di funzioni (aggiungere esercizi su spazi di Banach)
SSF 1 Dimostrare che ogni successione uniformemente convergente di funzioni limitate è
uniformemente limitata.
SSF 2 Siano {fn } e {gn } uniformemente convergenti in E. Dimostrare che {fn + gn } è uniformemente convergente in E. Mostrare che se {fn } e {gn } sono successioni di funzioni
limitate, allora {fn gn } converge uniformemente.
SSF 3 Costruire successioni {fn } e {gn } uniformemente convergenti tali che {fn gn } non
converga uniformemente.
SSF 4 Sia {fn } la successione definita dalla formula

0
fn (x) = sin2

0
π
x
1
se x < n+1
1
se n+1
≤x≤
1
se n < x.
1
n
Mostrare che {fP
n } converge a una funzione continua, ma non uniformemente. Utilizzare la serie
fn per mostrare che la convergenza assoluta (per tutti gli x) non
implica la convergenza uniforme.
SSF 5 Mostrare che la serie
∞
X
(−1)n
n=1
x2 + n
n2
converge uniformemente in ogni intervallo limitato, ma non converge assolutamente
per alcun valore di x.
SSF 6 Sia fn la funzione definita dalla formula
fn (x) =
x
1 + nx2
∀x ∈ R,
∀n ∈ N.
Mostrare che {fn } converge uniformemente a una funzione f e che l’equazione
f 0 (x) = lim fn0 (x)
n→+∞
vale se x 6= 0, ma non se x = 0.
1
SSF 7 Siano χ la funzione caratteristica dell’intervallo aperto (0, P
+∞) e {xn } una successione
di numeri reali distinti, con a ≤ xn ≤ b. Mostrare che se
|cn | < ∞, allora la serie
f (x) =
∞
X
cn χ(x − xn )
∀x ∈ [a, b]
n=1
converge uniformemente e che f è continua in ogni punto di [a, b] eccetto i punti della
successione {xn }.
∗
SSF 8. Si consideri
∞
X
1
.
1 + n2 x
n=1
Per quali valori di x la serie converge assolutamente? Su quali intervalli converge
uniformemente? Su quali intervalli non converge uniformemente? La funzione f è
continua in ogni punto in cui converge? È limitata?
∗
SSF 9. Sia (x) la mantissa del numero reale x. Si consideri la funzione
f (x) =
∞
X
(nx)
n2
n=1
∀x ∈ R.
Si trovino tutti i punti di discontinuità di f e si mostri che formano un insieme
numerabile denso in R. Mostrare tuttavia che f ∈ R(E) per ogni sottoinsieme limitato
E di R.
SSF 10 Sia
∞
X
1
f (x) =
(−1) (x − 1) log 1 +
n
n=1
n
n
.
a. Determinare l’insieme E ⊂ R in cui f è definita;
b. verificare che per ogni a ∈ (0, 1) la serie converge uniformemente in [a, 1] ∪ [1, 2];
c. calcolare f (3/2) con un errore inferiore a 10−2 .
SSF 11 Data la serie
∞
X
(sin x)n ,
n=1
a. si determini l’insieme dei punti dove converge;
b. si stabilisca se la convergenza è uniforme in [0, π/4];
R π/4 P∞
c. si calcoli 0 ( n=1 (sin x)n ) dx.
SSF 12 Si consideri
fn (x) = xn−x/n
2
∀x ∈ (0, 1).
È vera la relazione
1
Z
lim fn (x) dx?
fn (x) dx =
lim
n→∞
1
Z
0 n→∞
0
SSF 13 Si consideri
nx
Z
t1/3 e−t dt
fn (x) =
∀x ∈ R.
n
Determinare l’insieme E di convergenza puntuale della successione {fn } e la funzione
limite f. Stabilire se la convergenza è uniforme su E.
SSF 14 Calcolare i limiti
Z
e
lim
n→+∞
Z
n
(log x) dx
e
n→+∞
1
SSF 15 Data la serie
∞
X
3
lim
(log x)n dx.
1
sin(1/n) xn ,
n=1
stabilirne l’insieme E di convergenza. Su quali sottoinsiemi di E la convergenza è
uniforme?
SSF 16 Data la serie
f (x) =
∞ X
x α
n
sin
x
n
1−
n=1
∀x ∈ R \ {0}
∀α ∈ R
determinare, in dipendenza del parametro reale α,
a. l’insieme di convergenza puntuale;
b. l’insieme di convergenza uniforme;
c. il valore del limx→0 f (x), nei casi in cui esiste.
SSF 17 Data la successione
√
n xn−1
1 + xn
fn (x) =
a. calcolare il
∀x ∈ [0, 1] n ∈ N,
lim fn (x) e stabilire su quali intervalli del tipo [0, a] la convergenza è
n→+∞
uniforme;
Z
Z
fn (x) dx =
b. stabilire se è vero che lim
n→+∞
1
0
1
f (x) dx.
0
SSF 18 Data la successione definita per ricorrenza
f1 (x) = x/2
fn (x) =
1
2 + (fn−1 (x))n
3
∀x ∈ [0, 1] n > 1,
a. verificare che è equilimitata;
b. mostrare che converge puntualmente e determinare la funzione limite;
c. stabilire se la convergenza è uniforme.
SSF 19 Stabilire il carattere delle serie
∞ Z
X
n=1
∞ Z
X
2/n
x sin(nx) dx,
0
n=1
SSF 20 Data la serie
(n+1)π
x2
nπ
x
sin(nx) dx.
+1
∞
X
sin(xn )
,
xn + nx
n=1
determinare gli insiemi di convergenza puntuale e uniforme.
SSF 21 Data la serie
∞
X
n
|x|
2n
x + na
n=1
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
∀a ∈ R+
stabilire per quali valori di a converge
puntualmente in |x| < 1;
puntualmente in |x| > 1;
puntualmente in R;
converge uniformemente in [−1, 1], dopo aver dimostrato che converge uniformemente
su tutto R se a > 2.
SSF 22 Data la serie
∞
X
n
−1/n
n=1
1+z
1−z
n
,
determinarne l’insieme di convergenza.
SSF 23 Data la successione
fn (x) = na x (1 − x2 )n ,
a. determinare l’insieme E di convergenza semplice e calcolare la funzione limite;
b. stabilire se la convergenza è uniforme in E;
c. stabilire se la convergenza è uniforme in [−1, 1].
SSF 24 Data la successione
fn (x) =
(x − 1)n
arctan(nx−1 )
1 + xn
a. determinare l’insieme E di convergenza semplice e calcolare la funzione limite;
b. determinare i sottoinsiemi di E in cui la convergenza è uniforme.
4
SSF 25 Data la serie
∞
X
n e−nx
a
∀x ∈ R+ , ∀a ∈ R,
n=0
a. si determini l’insieme E di convergenza semplice;
b. si descrivano i sottoinsiemi di E in cui la convergenza è uniforme;
c. si verifichi l’uguaglianza
∞
X
ne
−nxa
=
n=0
e−x
(1 −
a
2
e−xa )
∀x ∈ R+ ,
nel caso a 6= 0.
SSF 26 Data la successione
na xn−3/2
fn (x) =
1 + xn
∀x ∈ (0, 1) ∀a ∈ R+ ,
a. determinare l’insieme E di convergenza semplice e calcolare la funzione limite;
b. determinare i sottoinsiemi di E in cui la convergenza
è uniforme;
R1
R1
c. stabilire per quali valori di a vale la relazione 0 fn (x) dx → 0 f (x) dx.
SSF 27 Data la serie
∞
X
xa (1 + x2 )−n
∀x ∈ [0, ∞) ∀a ∈ R+ ,
n=0
a. si determinino l’insieme E di convergenza semplice e la funzione somma;
b. si descrivano i sottoinsiemi di E in cui la convergenza è uniforme.
SSF 28 Data la successione
1/n
fn (x) = enx |x|
∀x ∈ R,
a. determinare l’insieme E di convergenza semplice e calcolare la funzione limite;
b. determinare i sottoinsiemi di E in cui la convergenza è uniforme.
SSF 29 Data la serie
∞
X
(−1)n x (x + e−nx )−1
∀x ∈ R,
n=0
a. si determini l’insieme E di convergenza semplice;
b. si descrivano i sottoinsiemi di E in cui la convergenza è uniforme.
SSF 30 Data la serie
∞
X
x2
xa + na
n=0
∀x ∈ R+
a. si determini l’insieme Ea di convergenza semplice;
5
∀a ∈ R+ ,
b. si descrivano i sottoinsiemi di Ea in cui la convergenza è uniforme.
SSF 31 Data la successione definita per ricorrenza
f1 (x) = 1/(2ex )
fn (x) =
2ex
1
+ (fn−1 (x))n
∀x ∈ [0, 1] n > 1,
a. mostrare che converge puntualmente su [0, 1];
b. stabilire se la convergenza è uniforme.
SSF 32 Data la serie
∞
X
sin(2nx)
(2 + sin x)n2
n=0
∀x ∈ R,
a. si dimostri che converge semplicemente su R;
b. si stabilisca se la convergenza è uniforme negli intervalli [0, π] e [−π, π].
SSF 33 Si consideri la successione
π
fn (x) = sin2 n + x
2
È vero che
Z
∀x ∈ [0, π].
π
π
Z
lim inf fn (x) dx = lim inf
0
n→+∞
n→+∞
fn (x) dx?
0
SSF 34 Si determini l’insieme di convergenza semplice della serie
∞
X
x2 + n
n2 x4 + n4 + 1
n=1
e si stabilisca se la convergenza è uniforme in tale insieme.
SSF 35 Si determini, in dipendenza del parametro a, l’insieme di convergenza semplice della
serie
∞
X
xa + n
∀x ∈ [0, ∞) ∀a ∈ R+
4)
n
(1
+
nx
n=1
e si stabilisca se la convergenza è uniforme in tale insieme.
SSF 36 Mostrare che la funzione
(
f (x) =
e−1/x
0
2
se
se
x 6= 0
x=0
è di classe C ∞ (R) ma non è sviluppabile in serie di McLaurin.
6
SSF 37 Determinare il raggio di convergenza delle serie, in dipendenza dei parametri k (intero
positivo) e a (reale positivo)
∞
X
(n
1/n
n=1
∞
X
− 1)
−n
z
∞
X
n
n=1
∞
X
2
n! n
z
nn
n=1
∞
X
k
nn z n
(n!) n
z
(2n)!
n=1 √
∞
X
3 n n
z
n
n=1
∞
X
n
n z
(log(1 + n))−1 z n
n=1
∞ X
n!
n=1
∞
X
n=1
∞
X
1
1+
n
n3
zn
k
(n2 + i)n/2 n
z .
a
(n!)
n=1
2n
zn
n log n
n=1
SSF 38 Calcolare, con un errore inferiore a 10−2
∞
X
(−1)
n=1
Z π/2
Z0 1
Z0 1
0
∞
X
n
2n
n=1
Z 1/2
arctan x − sin x
dx
x
0
√
√
Z 1/4
log(1 + x) − x
dx
x
0
Z ∞
2
e−x dx.
−1
nn
nn
1 − cos x
dx
x
ex − e−x
dx
2x
2
e−x − 1 + x2
dx
x
0
SSF 39 Determinare l’insieme di convergenza semplice, gli insiemi di convergenza uniforme e
la somma delle seguenti serie
∞
X
∞
X
xn
n
n=1
∞
X n xn
n
nx
n=1
∞
X
xn
n(n + 1)
n=1
∞
X n2 xn
n=1
∞
X
(n − 1)!
xn
n n!
n=1
∞
X
(−1)n (x − e)n
(n − 1)!
xn
3n+1
n=1
∞ X
2x2 − 3
n=1
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n
(−1)n (x2 −3x+1)n
e
.
n
n=1
x4 − 3x2 + 1
7
SSF 40 Determinare l’insieme di convergenza semplice e gli insiemi di convergenza uniforme
delle serie seguenti
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
x
∞
X
(sin x)n+1
enx2
n=1
∞
X
n xn
n!
sin
x
n2
n=1
∞
X
nx xn
n=1
∞
X
n=1
∞
X
1
1 + (x − n)2
n=1
∞ n
X
π
− arctan(nx)
2
n=1
∞
X
(3x − 2)n
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n + nx
(n − 1)!
n
enx2
n
(−1) n log
xn
n(n − 1)2
(arctan(nx) − arctan((n − 1)x)
(x + 1)n log(1 + nx )
n=1
∞
X
xn + n
1 + n2
n=1
∞
X
(ex/n − 1) sin(x/n)
1
Pn
n=1
∞
X
x
k=1 k
−nx
e
n2 en + e−nx
n=1
n=1
.
SSF 41 Siano f, g e h le funzioni definite dalle formule
∞
X
(x2 + 4y 2 )n
√
f (x, y) =
n+1
n=1
n2
∞ X
n
g(x, y) =
(x2 + y 2 − 1)n
n
+
1
n=1
n
∞ X
n
h(x, y) =
(x2 + y 2 − 1)−n
n
+
1
n=1
nei sottoinsiemi del piano in cui le serie convergono semplicemente. Stabilire dove esse
ammettono derivate parziali e determinare l’insieme dei punti in cui sono differenziabili.
8
SSF 42 Studiare la convergenza semplice e uniforme delle serie
∞
X
∞
X
xa
x + n2
n=1
a
∞ X
x2
x
a
x + n2
n=1
∞
X
1
n=1
∞
X
n=1
xa + n
(xa
n=1
1
+ n)a
al variare del parametro reale positivo a.
9
x+n