Esercizio 1 Esercizio 2

Esercizio 1
Un anello toroidale di piccola sezione avente raggio medio R = 20cm è fatto
di ferro con permeabilità magnetica relativa km = 5000. Una bobina con
N = 1000 spire è avvolta sulla superficie dell’anello. Calcolare la corrente
i che deve correre nella bobina per produrre una magnetizzazione M =
2 · 105 A/m nell’anello.
Soluzione
Ricordando che M = (km − 1)H, troviamo l’espressione di H. Applichiamo
la legge di ampere al vettore H:
I
Ni
H · ds = 2πRH = N i → H =
2πR
Abbiamo dunque:
M = (km − 1)
Ni
2πR
→
i=
2πR
M = 0.05A
N (km − 1)
Esercizio 2
Un elettromagnete è costituito da un blocco di ferro dolce (km = 1000)
sagomato a forma di cornice quadrata di sezione quadrata Σ = 10cm2 e
lunghezza mediana l = 1m. Una porzione di lunghezza h = 1cm del ferromagnete è asportata per realizzare un traferro. Se nel traferro si vuole
generare un campo magnetico uniforme B = 0.5T , quale corrente è necessario far scorrere dentro gli N = 100 avvolgimenti della bobina che alimenta
l’elettromagnete? Che valore assume il campo B se la lunghezza del traferro
viene raddoppiata a scapito del materiale ferromagnetico?
Soluzione
Eseguiamo la circuitazione H, ricordando che H =
N i = H(l−h)+H0 h
→
B
B
Ni =
(l−h)+ h
µ0 km
µ0
B
µ:
→
B
i=
µ0 N
l−h
+h
km
Se h1 = 2cm e l − h1 = 98cm:
B
B
Ni =
(l − h1 ) + h1
µ0 km
µ0
→
B = µ0 N i
1
km
(km − 1)h1 + l
= 0.26T
Esercizio 3
Un elettromagnete toroidale ha un nucleo di acciaio (km ≃ 2500) con una
sezione circolare di area A = 4cm2 , mentre il raggio medio R del magnete
è 7cm; nel nucleo c’è una piccola interruzione d = 2.5mm. Una corrente di
15A gira nell’avvolgimento composto da N = 120 spire. Calcolare il valore
del modulo del campo magnetico B all’interno dell’interruzione (traferro).
Soluzione
Per il calcolo di B nel traferro:
Z
Z
B
B
dl +
= Ni
f erro µ0 km
aria µ0
Siccome d ≪ 2πR:
B≃
→
µ0 N i
2πR
km + d
2πR − d
B
+ d = µ0 N i
km
≃ 0.85T
Esercizio 4
Un elettromagnete è costituito da un materiale ferromagnetico il cui ciclo
di isteresi è parzialmente riportato in figura. Si assuma una lunghezza della
parte ferromagnetica pari a l = 2 m. Si assuma inoltre la presenza di un
traferro di lunghezza pari a d = 1 cm. Il campo magnetico è creato per
mezzo di una bobina di N = 100 spire percorse da una corrente I fornita
da un apposito generatore. Determinare la corrente necessaria a creare un
campo magnetico nel traferro pari a B = 3.0 T. Assumendo di alimentare la
bobina con una corrente pari ad 1/4 del valore precedentemente calcolato,
determinare il valore del campo magnetico nel traferro.
4
3.5
3
B [T]
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
200
400
600
800
1000 1200
H [A/m]
1400
1600
1800
2000
Figura 1: Isteresi del materiale ferromagnetico
2
Soluzione
dalla curva di isteresi si può ricavare che per B = 3 T si deve avere H = 600
A/m. Pertanto, dal teorema di Ampere, si ricava:
I=
Hl + Bd/µ0
≈ 250.7A
I
Assumendo di alimentare la bobina con una corrente i = I/4 ≈ 62.7 A, si
ha:
B
N i = Hl + d
µ0
da cui si ricava l’espressione della retta di carico:
B(H) =
µ0 N i µ0 l
−
H
d
d
Il punto di lavoro è rappresentato dal punto di intersezione tra la curva di
4
3.5
3
B [T]
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
200
400
600
800
1000 1200
H [A/m]
1400
1600
1800
2000
Figura 2: Isteresi e retta di carico
isteresi e la retta di carico. Procedendo per via grafica, si ricava B ≈ 0.7 T.
Esercizio 5
~ in un punto P a distanza d
Calcolare il campo di induzione magnetica B
sopra il centro di un conduttore piatto di grande lunghezza e larghezza w
attraversato da una corrente di densità J. Si supponga lo spesso del conduttore δ ≪ w. Quanto vale il campo a grande distanza (d ≫ w) e a piccola
distanza (d ≪ w) dalla sorgente?
3
−→
dB
Y
α
α
dI
d
A
O
x
dx
X
w
Figura 3: Schema del problema
Soluzione
Consideriamo una striscia di larghezza dx, lunghezza uguale a quella del
piano e spessore δ. Data l’ipotesi δ ≪ w, tale striscia può essere considerata
come un filo di lunghezza indefinita percorso da corrente dI = Jδdx, che
genera un campo di induzione magnetica:
−→ µ0 · dI −
→
dB =
u
θ
2πr
(1)
→ è il versore tangente alla circonferenza passante per P, di raggio r
u
dove −
θ
e concentrica al filo. Considerando un filo parallelo al precendente e dispo−→
sto sul piano simmetricamente rispetto al punto P si ha che il vettore dB
associato, ha componente tangenziale al piano uguale e componente normale opposta. Ne consegue che il campo risultante dovrà avere direzione
tangenziale (lungo l’asse x) e verso determinato dal verso della corrente nel
conduttore. Relativamente al modulo, il campo totale potrà essere ottenuto
sommando mediante integrazione da −w/2 a +w/2 i contributi infinitesimi
dovuti alle varie striscie paralleli all’asse x, ovvero dBx = dB · cos α.
Pertanto:
Z w/2
Z w/2
Z w/2
µ0 · dI
dB · cos α =
dBx =
BP =
cos α
(2)
−w/2 2πr
−w/2
−w/2
Osservando che:
r=
e:
cos α =
p
x2 + d2
d
d
=√
2
r
x + d2
4
Y
−→
dB
−−→
dBx
−−→′
dB
r
r
−w/2 dI
dI
+w/2
X
x
x
Figura 4: Direzione e verso del campo
si può scrivere:
Z
BP =
w/2
−w/2
d
µ0 Jδd
µ0 Jδdx
√
·√
=
2
2
2
2
2π
2π x + d
d +x
Z
w/2
−w/2
d2
dx
+ x2
(3)
Calcolando l’integrale:
x w/2
w µ I
w
µ0 Jδ
µ0 Jδd 1
0
=
=
arctan
arctan
arctan
BP =
2π
d
d −w/2
π
2d
πw
2d
(4)
A grande distanza dalla sorgente si ha d ≫ w e quindi vale l’approssimazione:
w
w
arctan
≈
2d
2d
Pertanto il campo in P diventa:
BP ≈
µ0 I
µ0 I w
·
=
πw 2d
2πd
(5)
Il campo risulta essere equivalente a quello di generato da un filo percorso da
corrente. A grande distanza dalla sorgente, la struttura e la distribuzione di
corrente nella sorgente stessa perdono di rilevanza. A piccola distanza dalla
sorgente, invece, vale l’approssimazione:
w π
arctan
≈
2d
2
da cui si ricava:
µ0 I
(6)
2w
Tale condizione equivale a quella di un piano conduttore di larghezza infinita
oltre che di lunghezza infinta. Il campo risulta essere uniforme (indipendente
da d) e a parallelo al piano.
BP ≈
5