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Equazioni
In queste brevi note tratteremo lo studio di alcuni tipi di equazioni. In prima istanza potremmo pensare ad un’equazione come a una espressione simbolica ( quindi nel linguaggio che si
sta usando) che rappresenti un’uguaglianza. Cerchiamo di essere un po’ più precisi attraverso
la seguente definizione.
Definizione 1.1 Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni letterali nelle quali compaia almeno una lettera che rappresenti un’incognita (con questo si intende che a incognite
diverse corrispondano lettere diverse).
Notazione 1 Per indicare le incognite saranno usate spesso le lettere x, y, z oppure, qualora
sia necessario, dalle stesse lettere con un indice pedice: x1 , x2 , xi , yi , zi , dove i ∈ N.
Lo scopo dello studio di un’equazione è stabilire:
- se esistano delle soluzioni
- e in tal caso determinarle.
Ma che cos’è una soluzione di un equazione? Una soluzione di una equazione è una “cosa”,
che sostituita alle incognite che ivi compaiono, rende vera l’ uguaglianza derivante dalla
sostituzione. Ma dove vive (esiste) questa cosa di cui andiamo in cerca? Dipende! Da che
cosa?
Dall’insieme ambiente in cui ci poniamo il problema. Per noi questo sarà spesso l’insieme dei
numeri razionali Q, oppure l’insieme dei numeri reali R. Quindi la ricerca di queste soluzioni
andrà fatta principalmente in Q o in R il che equivarrà a ricercarle tra i numeri, razionali o
reali. Naturalmente sarà indicato, di volta in volta, l’ambiente in cui andare in cerca delle
eventuali soluzioni di un’equazione.
Ad ogni equazione si può associare un insieme, che indicheremo spesso con S, i cui
elementi sono tutte e sole le soluzioni dell’equazione, e verrà chiamato insieme delle soluzioni
dell’equazione.
Definizione 1.2 Due equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.
Possiamo inoltre classificare un’equazione in base alla quantità di elementi che appartengono
al suo insieme delle soluzioni. Potranno verificarsi i seguenti casi:
1. L’equazione data non ammette soluzioni: in tal caso l’equazione si dice impossibile e il
suo insieme dielle soluzioni è ∅
2. L’insieme delle soluzioni è infinito: in tal caso l’equazione si dice indeterminata.
3. L’insieme delle soluzioni coincide con l’insieme ambiente in cui si cercano le soluzioni,
in tal caso l’equazione si dice identità1 .
4. L’insieme delle soluzioni è finito: in tal caso l’equazione si dice determinata.
1
Si noti che un’identità è indeterminata ma non è detto il viceversa.
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1.1
Principi di equivalenza
I principi di equivalenza delle equazioni stabiliscono quali siano le operazioni lecite che ci
permetteranno di risolvere il problema della determinazione delle eventuali soluzioni.
1. Data un’equazione, sommando (o sottraendo) una qualsiasi espressione intera ( numerica o letterale) ad ambo i membri dell’equazione si ottiene un’altra equazione equivalente
a quella data.
2. Moltiplicando (o dividendo) ambo i membri per un termine numerico diverso da zero
si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
1.2
Equazioni numeriche intere ad una incognita
Un’equazione numerica intera ad una incognita è un equazione dove compare una sola lettera: l’incognita.
Esempio 1.
La scrittura 45x3 + 23x7 + 2x − 1 = 21x2 + 5 è un’equazione nell’incognita x. I numeri che
compaiono nella scrittura si chiamano coefficienti. Supponiamo di voler cercare soluzioni in
R; in questo modo tratteremo l’ incognita, e le sue potenze, come dei numeri reali, cosı̀ da
poter utilizzare tutte le proprietà note su di essi.
Notiamo che nei termini dell’equazione, nell’esempio, l’incognita compare con diversi esponenti. In virtù dell’esistenza dell’opposto, della proprietà commutativa e delle proprietà
dell’uguaglianza possiamo ottenere una scrittura equivalente alla prima ma con i termini
contenenti l’incognita tutti a sinistra del segno di uguaglianza, ordinati secondo le potenze
decrescenti della x e avendo ridotto tutti i termini simili. In questo caso l’esponente più alto
con coefficiente diverso da zero definisce il grado di una equazione.
Definizione 1.3 Un’equazione ordinata secondo le potenze decrescenti dell’incognita in cui
non sia possibile eseguire ulteriori riduzioni (ove il termine numerico, detto anche termine
noto, può comparire anche a destra del segno di uguaglianza), si dice in forma normale.
Definizione 1.4 Il grado di un equazione in una incognita è un numero naturale n, dove n è
il massimo esponente dell’incognita con coefficiente diverso da zero della sua forma normale.
Con riferimento all’esempio l’equazione diventa:
23x7 + 45x3 − 21x2 + 2x − 6 = 0
che ha grado 7. Il termine di grado zero, in cui non compare l’incognita, si chiama termine
noto.
Esempio 2.
• L’equazione 45x3 + 23x7 + 2x − 1 = 21x2 + 5 non è in forma normale.
• L’equazione x2 − 5x + 6 = 0 o la sua equivalente x2 − 5x = −6, sono in forma normale.
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1.2.1
Equazioni di primo grado a una incognita
In base alle precedenti definizioni, di equazione a una incognita e di grado di un equazione (a
una incognita), è chiaro quale sia la definizione di equazione di primo grado ad una incognita.
Se consideriamo un equazione ad una incognita a coefficienti in R (insieme dei numeri reali)
e ne cerchiamo le soluzioni, nel caso in cui sia determinata ( e quindi ammetta un numero
finito di soluzioni), essa ammetterà una e una sola soluzione. Infatti ogni equazione in
una incognita a coefficienti reali è equivalente a un equazione del tipo ax = b dove a e b
sono numeri reali risultato del raccoglimento a termini simili. Inoltre a 6= 0 altrimenti se
a = 0l’equazione sarebbe indeterminata ( se anche b = 0) oppure impossibile (se b 6= 0),
mentre noi stiamo supponendo che sia determinata. Poiché a 6= 0 posso dividere per a
ambo i membri (più formalmente, moltiplicando ambo i membri per l’inverso di a) da cui
l’equazione risulta soddisfatta per x = ab . L’unicità dell’inverso, negli isiemi numerici in cui
operiamo, assicura l’unicità della soluzione dell’equazione considerata.
1.2.2
Equazioni di secondo grado in una incognita.
Anche il problema della ricerca delle soluzioni di un’equazione di secondo grado in una incognita consiste, come già anticipato prima, nello stabilire delle condizioni che ci garantiscano
l’esistenza di tali soluzioni e, in caso affermativo, determinarle tutte. Nel dare le indicazioni
teoriche per risolvere il problema supporremo di avere a che fare con equazioni in forma
normale cioè del tipo:
ax2 + bx + c = 0 con a, b, c ∈ R
Iniziamo con l’analizzare dei particolari tipi di equazioni di secondo grado in un’incognita,
le cosiddette equazioni pure che sono quelle con il coefficiente del termine di primo grado
uguale a zero, cioè con b = 0; dunque saranno della forma ax2 + c = 0 che è equivalente a
x2 + ac = 0 e anche alla x2 = − ac . Proprio da questa ultima forma, ricordando la definizione
di radice algebrica di un numero2 si può cominciare a dare delle soluzioni al nostro problema.
Un’equazione pura del tipo x2 = − ac ammette due soluzioni distinte se il coefficiente
q
− ac > 0, le quali si ottengono estraendo la radice quadrata algebrica di − ac , cioè ± − ac .
Se invece il coefficiente − ac < 0 l’equazione data non ammette soluzioni reali.
√
Esempio 1.5 L’equazione 2x2 −8 = 0 equivalente alla x2 = 4 ha due soluzioni distinte ± 4
cioè ±2. L’equazione x2 = −1 non ammette soluzioni reali.
Un altro tipo di equazione particolare, risolvibile senza troppi calcoli è un’equazione
riducibile alla seguente forma normale ax2 + bx = 0, che si chiama equazione spuria. Questo
tipo di equazione ha anch’essa due soluzioni distinte e si risolve raccogliendo a fattor comune
la x e invocando la legge dell’annullamento del prodotto. Ricordiamo infatti che un prodotto
è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Da ciò segue facilmente che x(ax + b) = 0 se e
2
La radice algebrica di un numero reale positivo r è un elemento qualsiasi numero reale che elevato al
quadrato sia uguale a r; in simboli k ∈ R è una radice quadrata algebrica di r ∈ R se e solo se k 2 = r. Ci si
convincerà subito del fatto che per ogni numero reale, positivo o nullo, esiste la radice algebrica: precisamente
√
per ogni numero positivo p esistono due radici algebriche, ± p mentre la radice di zero è zero.
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solo se sostituiamo 0 a x, oppure se sostituiamo a x il valore − ab . In altre parole, un’equazione
di secondo grado spuria ammette due soluzioni distinte delle quali una è x1 = 0 e l’altra
x2 = − ab .
Per quanto riguarda una generica equazione di secondo grado completa, cioè della forma
2
ax + bx + c = 0 con a 6= 0, b 6= 0, c 6= 0, occorre fare dei calcoli algebrici, precisamente occorre ricordare il cosiddetto completamento dei quadrati, pensando agli sviluppi dei quadrati
di un binomio. Abbiamo visto in classe la progressione del ragionamento. In questa sede
eseguiamo, in prima battuta, solo i passaggi essenziali:
ax2 + bx + c = 0 è equivalente a a(x2 + ab x + ac ) = 0 equivalente alla x2 + ab x + ac = 0;
b2
sommiamo e sottraiamo 4a
2 al primo membro, cosı̀ da ottenere l’equazione equivalente
b
b2
b2
c
2
(x + a x + 4a2 ) − 4a2 + a = 0, dove il termine messo tra parentesi è il quadrato del bi2 −4ac
b 2
b
). Quindi l’equazione si trasforma in (x − 2a
) = b 4a
nomio (x − 2a
Ora è possibile
2 .
b2 −4ac
2
2
estrarre la radice quadrata di 4a2 se e solo se b − 4ac ≥ 0, 4a essendo un quadrato
non influisce sul segno, avendolo positivo. Dunque se b2 − 4ac ≥ 0 l’equazione ammette
sicuramente soluzioni, altrimenti l’equazione è impossibile.
Definizione 1.6 Data un’equazione di secondo grado ax2 +bx+c = 0 dl’espressione b2 −4ac
si chiama discriminante e si indica con ∆.
Distinguiamo tre casi:
1. Se ∆ < 0 l’equazione è impossibile, cioè non ammette soluzioni.
b
2. Se ∆ = 0 l’equazione ammette due soluzioni coincidenti x1 = x2 = − 2a
3. Se ∆ > 0 l’equazione ammette due soluzioni distinte date dalla formula x1,2
√
−b
±
∆
=
2a
La formula che ci dà le soluzioni dell’equazione nel caso ∆ ≥ 0 è quindi la seguente:
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2 =
2a
4
