tonolini-biennio - MATEMATICA Algebra 1

CU 4
OL 3-2
A
15-12-2010
16:15
Pagina 3
Questo volume, sprovvisto di talloncino a fronte (o opportunamente punzonato o altrimenti contrassegnato),
è da considerarsi copia di saggio-campione gratuito, fuori commercio (vendita e altri atti di disposizione
vietati art.17, c.2 L.633/1941). Esente da IVA (D.P.R. 26.10.1972, n. 633, art.2, lett.d).
L. Tonolini F. Tonolini G. Tonolini A. Manenti Calvi
LE BASI CONCETTUALI DELLA MATEMATICA
VOLUME 1 - ALGEBRA GEOMETRIA STATISTICA
Con
■
■
■
■
Configurazione dell’opera e opzioni di vendita
Volume 1 (Algebra, Geometria, Statistica)
+ Prove INValSI
Volume 2 (Algebra, Geometria, Probabilità)
ISBN 978-88-298-3143-2
ISBN 978-88-298-3144-9
Algebra 1 e Statistica + Prove INValSI
Algebra 2 e Probabilità
Geometria
ISBN 978-88-298-3134-0
ISBN 978-88-298-3135-7
ISBN 978-88-298-3154-8
La matematica nel laboratorio di informatica
con CD-ROM
ISBN 978-88-298-3018-3
Guida per il Docente con CD-ROM
ISBN 978-88-298-3136-4
Per il 2° biennio e il 5° anno
In preparazione
LE BASI CONCETTUALI DELLA MATEMATICA
■
Attività per capire meglio e fissare i concetti:
Fermati e prova; Organizza le tue idee; Rivediamo insieme
Ricchissimi apparati didattici: Prova d’ingresso; Esercitazione di base
argomento per argomento; Esercitazione di riepilogo e potenziamento;
Autoverifiche e Attività di recupero per ogni Unità
Rubriche dedicate al linguaggio matematico:
Perfeziona il tuo linguaggio; Improve your Glossary
Riflessioni sulla storia e sulle applicazioni della matematica:
Il filo della storia; Matematica e storia; Matematica perché; Applicazioni
Riflessioni sui concetti matematici alla base dell’informatica:
Verso l’informatica
L. Tonolini F. Tonolini
G. Tonolini A. Manenti Calvi
LE
DE BAS A
LL I C A.
A O VV
97
M N .
8
M -8 Vo AT CE
IN 8 lum EM TT
ER 2
e
A U
VA 98- 1 TIC ALI
A
S 31
tonolini-biennio - MATEMATICA Algebra 1
L. Tonolini F. Tonolini G. Tonolini A. Manenti Calvi
LE BASI CONCETTUALI
DELLA MATEMATICA
VOLUME 1
ALGEBRA
GEOMETRIA
STATISTICA
Con volume per le
PROVE INVALSI
CONTENUTI MULTIMEDIALI
La matematica nel laboratorio di informatica:
attività con Excel, Derive e Cabri
• Filmati dimostrativi dell’uso di Excel, Derive
e Cabri
• Quick TEST: i Fermati e prova in modalità interattiva
• Math STORIA: schede per collocare nei contesti
storici il pensiero matematico
• Math VIVA: animazioni, simulazioni e attività con
GeoGebra
• E-trainer: esercizi interattivi per mettere alla prova
le proprie conoscenze
• Recupero: attività per conseguire gli obiettivi
minimi di apprendimento
• Strumenti per il docente: programmazione
e prove di verifica personalizzabili
•
Le basi concettuali
della matematica
Volume 1 +
Preparati alle
Prove INVALSI
non vendibili
separatamente
Prezzo al pubblico
Euro 27,80
1
Conforme alle Indicazioni
Nazionali per i Nuovi Licei
VIII
Indice
Sezione
0 Compendio di aritmetica
Unità A Le operazioni aritmetiche
con i numeri naturali e decimali
2A
1. La successione dei numeri naturali
2A
Tavola 1 La successione dei numeri naturali
2A
2. I simboli di relazione tra numeri
3A
Tavola 2 I simboli di relazione tra numeri
3A
3. Le quattro principali operazioni aritmetiche
4A
Tavola 3 L’addizione
4A
Tavola 4 Le proprietà dell’addizione
4A
Tavola 5 La sottrazione
5A
Tavola 6 Le proprietà della sottrazione
5A
Tavola 7 La moltiplicazione
6A
Tavola 8 Le proprietà della moltiplicazione
6A
Tavola 9 La divisione propria
7A
Tavola 10 La divisione impropria
8A
Tavola 11 Le proprietà della divisione
8A
Tavola 12 Casi particolari: lo 0 e l’1 nella divisione 9 A
Tavola 13 Criteri di divisibilità tra numeri naturali 10 A
Tavola 14 Le espressioni aritmetiche
con i numeri naturali
12 A
4. Le quattro principali operazioni aritmetiche
con i numeri decimali
13 A
Tavola 15 I numeri decimali
13 A
Tavola 16 L’approssimazione dei numeri decimali 14 A
Tavola 17 Accorgimenti particolari per eseguire
le operazioni con i numeri decimali
15 A
5. Le operazioni di elevamento a potenza
16 A
e di estrazione di radice
Tavola 18 L’operazione di elevamento a potenza 16 A
Tavola 19 Le proprietà delle operazioni
con le potenze
17 A
Tavola 20 Casi particolari: lo 0 e l’1
nell’elevamento a potenza
18 A
Tavola 21 L’operazione di estrazione di radice
20 A
6. La scomposizione di un numero
in fattori primi. M.C.D. e m.c.m. tra numeri
22 A
Tavola 22 La scomposizione di un numero
in fattori primi
22 A
Tavola 23 M.C.D. e m.c.m. di due
o più numeri naturali
23 A
Tavola 24 Il sistema decimale posizionale
25 A
Tavola 25 Sistemi posizionali in altre basi
25 A
Unità B Le frazioni e i numeri razionali.
I rapporti e le proporzioni
27 A
1. Le frazioni e le loro proprietà
27 A
Tavola 26 Le frazioni interpretate come operatori 27 A
Tavola 27 Le frazioni proprie. Le frazioni
improprie. Le frazioni apparenti
29 A
Tavola 28 La proprietà invariantiva delle frazioni.
Le frazioni equivalenti
30 A
Tavola 29 Le applicazioni della proprietà
invariantiva
31 A
2. Relazioni di confronto e operazioni con frazioni 34 A
Tavola 30 Il confronto di frazioni
34 A
Tavola 31 Le operazioni con le frazioni
35 A
Tavola 32 La somma di due o più frazioni
35 A
Tavola 33 La differenza di due frazioni
36 A
Tavola 34 Il prodotto di due o più frazioni
37 A
Tavola 35 Il quoziente di due frazioni
37 A
Tavola 36 L’elevamento a potenza di una frazione 39 A
Tavola 37 L’estrazione di radice di una frazione 39 A
3. Le frazioni interpretate come numeri
43 A
Tavola 38 Rappresentazione numerica di frazioni.
I numeri razionali
43 A
Tavola 39 Dalla rappresentazione in cifre
alla rappresentazione frazionaria
di un numero razionale
44 A
Tavola 40 Il rapporto tra numeri e tra grandezze.
La scala. La percentuale
46 A
Tavola 41 La proporzione
49 A
Tavola 42 Altre proprietà delle proporzioni
51 A
Unità C Le grandezze e la loro misura
Tavola 43 La misura delle grandezze
Tavola 44 I sistemi di misura decimali
Tavola 45 Le operazioni con le misure
di grandezza nel sistema decimale
Tavola 46 I sistemi di misura non decimali
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
Prova 1 Le operazioni aritmetiche con i numeri naturali
e decimali
Prova 2 Le frazioni e i numeri razionali.
I rapporti e le proporzioni
Prova 3 Le grandezze e la loro misura
52 A
52 A
54 A
58 A
58 A
62 A
62 A
64 A
66 A
Indice
Sezione
IX
1 Insiemi, relazioni, funzioni
Matematica perché Che cosa consente di fare
la matematica degli insiemi
Prova d’ingresso
68 A
70 A
Unità 1 Insiemi e operazioni tra insiemi
71 A
1. Insiemi e loro rappresentazione
Il concetto di ente primitivo
L’idea d’insieme
L’insieme matematico
Indicazione simbolica di un insieme
e dei suoi elementi
I simboli di appartenenza e di non appartenenza
di elementi a un insieme
Modalità di rappresentazione di un insieme
L’insieme vuoto e l’insieme unitario
71 A
71 A
71 A
72 A
72 A
73 A
73 A
74 A
IL FILO DELLA STORIA: Eulero e Venn accomunati nei
famosi diagrammi
75 A
2. Sottoinsiemi di un insieme, insiemi uguali,
insiemi disuguali, insiemi disgiunti
76 A
Insiemi uguali, insiemi disuguali, insiemi disgiunti 77 A
3. Altri insiemi
L’insieme delle parti
L’insieme universale
L’insieme complementare
77 A
77 A
79 A
79 A
4. Le operazioni di unione e intersezione tra insiemi
L’unione di insiemi o somma logica
L’intersezione di insiemi o prodotto logico
Proprietà dell’unione e dell’intersezione di insiemi
80 A
80 A
81 A
81 A
5. Differenza tra insiemi
83 A
6. Prodotto cartesiano tra due insiemi
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
83 A
85 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
86 A
86 A
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
Unità 2 Relazioni e funzioni
100 A
101 A
102 A
1. Le relazioni e loro modalità di rappresentazione 102 A
Le relazioni binarie tra insiemi e in un insieme
102 A
La rappresentazione grafica delle relazioni
104 A
2. La relazione inversa
106 A
3. Proprietà delle relazioni
106 A
4. Relazioni e classi di equivalenza
Relazioni di equivalenza
Classi di equivalenza
Insiemi quoziente
108 A
108 A
109 A
109 A
5. Relazioni d’ordine
Relazioni di ordine largo e relazioni
di ordine stretto
6. Corrispondenze significative tra insiemi
110 A
111 A
112 A
Corrispondenza univoca tra due insiemi
Corrispondenza biunivoca tra due insiemi
Corrispondenza biunivoca e insiemi equipotenti
La relazione di equipotenza
7. Insiemi finiti e insiemi infiniti
112 A
112 A
113 A
113 A
114 A
IL FILO DELLA STORIA: L’evoluzione della matematica
degli insiemi: dagli uomini primitivi
alla Teoria di Cantor
115 A
8. Funzioni e loro caratteristiche
Definizione di funzione
Funzioni suriettive, iniettive, biiettive
Funzioni inverse
Funzioni composte
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
116 A
116 A
119 A
121 A
121 A
122 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
123 A
123 A
144 A
146 A
148 A
Unità 3 Gli insiemi numerici:
dai numeri naturali ai numeri reali relativi 150 A
1. Premessa
2. Il procedimento di espansione
degli insiemi numerici
I criteri che caratterizzano il processo di
espansione
Motivazioni che qualificano il processo di
espansione
3. I numeri naturali: l’insieme N
4. I numeri razionali assoluti: l’insieme Q þ
L’espansione dai numeri naturali ai numeri
razionali
La corrispondenza tra numeri razionali assoluti e
punti di una semiretta è univoca
150 A
150 A
150 A
151 A
151 A
153 A
153 A
154 A
IL FILO DELLA STORIA: I numeri razionali nella musica 155 A
5. I numeri irrazionali assoluti: l’insieme I þ
6. Grandezze commensurabili e grandezze
incommensurabili
7. I numeri reali assoluti: l’insieme R þ
8. I numeri relativi: l’insieme R
La necessità di introdurre i numeri relativi.
I segni predicatori
Corrispondenza tra numeri reali relativi e
punti di una retta
156 A
158 A
158 A
159 A
159 A
160 A
IL FILO DELLA STORIA: Uno sguardo retrospettivo
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
161 A
162 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
163 A
163 A
166 A
166 A
alla storia dei numeri
X
Indice
Sezione
2 I numeri relativi
Matematica perché Che cosa consente di fare
la matematica con i numeri relativi
168 A
Prova d’ingresso
170 A
Unità 4 Relazioni e operazioni
tra numeri relativi e loro proprietà
171 A
1. Numeri relativi e loro valore assoluto
171 A
2. Relazioni di confronto tra numeri relativi
172 A
3. Operazioni con i numeri relativi
Addizione di numeri relativi e sue proprietà
173 A
173 A
173 A
IL FILO DELLA STORIA: Fibonacci e la contabilità
IL FILO DELLA STORIA: Il lungo cammino
175 A
Sottrazione di numeri relativi e sua proprietà
176 A
L’addizione algebrica
176 A
Moltiplicazione di numeri relativi e sue proprietà 177 A
Divisione di numeri relativi e sue proprietà
179 A
IL FILO DELLA STORIA: Brahmagupta quasi ci azzecca 179 A
Elevamento a potenza di un numero relativo
180 A
Scritture semplificate di prodotti, quozienti,
potenze
181 A
dei numeri relativi
4. Espressioni con i numeri relativi
Sezione
182 A
5. Ampliamento del concetto di potenza:
potenze a esponente negativo
183 A
IL FILO DELLA STORIA: I numeri relativi arrivano
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
183 A
184 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
185 A
185 A
210 A
in Europa
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
Unità 5 Le potenze di dieci e la
notazione scientifica
212 A
213 A
1. Le potenze di dieci e dell’unità decimale
2. La notazione scientifica
3. Ordine di grandezza di un numero
4. Multipli e sottomultipli di unità di misura
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
216 A
216 A
217 A
218 A
218 A
219 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
220 A
220 A
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
223 A
223 A
3 Il calcolo letterale
Matematica perché Che cosa consente di fare il
calcolo letterale
Prova d’ingresso
224 A
226 A
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
Unità 6 Monomi e operazioni
con monomi
227 A
1. L’impiego delle lettere al posto dei numeri
2. Definizione di monomio e sue caratteristiche
Definizione di monomio
Riduzione di un monomio a forma normale
Caratteristiche di un monomio ridotto
227 A
228 A
228 A
228 A
229 A
IL FILO DELLA STORIA: L’introduzione delle lettere
in algebra
3. Operazioni con monomi
Addizione di monomi
Sottrazione tra monomi
Addizione algebrica di monomi
Moltiplicazione fra monomi
Divisione tra monomi
Elevamento a potenza di un monomio
Massimo Comune Divisore e minimo comune
multiplo di due o più monomi interi
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
229 A
231 A
231 A
232 A
232 A
233 A
235 A
236 A
237 A
238 A
239 A
239 A
262 A
264 A
266 A
Unità 7 Polinomi e operazioni
tra polinomi
268 A
1. Definizione di polinomio e sue caratteristiche
Definizione di polinomio
Caratteristiche di un polinomio
268 A
268 A
269 A
IL FILO DELLA STORIA: Rappresentazioni algebriche
dei numeri primi: la sfida continua
2. Operazioni fra polinomi
Addizione di polinomi
Sottrazione tra polinomi
Moltiplicazione tra polinomi
Potenza di un polinomio e prodotti notevoli
270 A
272 A
272 A
273 A
273 A
277 A
IL FILO DELLA STORIA: Niccolò Fontana,
detto il Tartaglia, e il celebre triangolo
Divisione tra polinomi
280 A
283 A
IL FILO DELLA STORIA: Paolo Ruffini: filosofo, medico,
matematico
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
292 A
298 A
Indice
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
299 A
299 A
343 A
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
Prova 1 Generalità sui polinomi e operazioni con essi
Prova 2 Potenze di polinomi e prodotti notevoli
Prova 3 Divisione di polinomi
346 A
346 A
347 A
ATTIVITÀ DI RECUPERO
Esercitazione 1 Generalità sui polinomi
Esercitazione 2 Addizione, sottrazione e
moltiplicazione di polinomi
Esercitazione 3 Potenze di polinomi e prodotti notevoli
Esercitazione 4 Divisione di polinomi
348 A
349 A
350 A
351 A
Unità 8 Scomposizione in fattori
di un polinomio
352 A
1. Polinomi scomponibili in fattori o riducibili
2. Metodi di scomposizione in fattori di polinomi
Raccoglimento a fattor comune totale
Raccoglimento a fattor comune parziale
352 A
353 A
353 A
354 A
IL FILO DELLA STORIA: Le origini dell’algebra:
dall’algebra verbale all’algebra sincopata
355 A
Scomposizione della differenza di due quadrati 355 A
Scomposizione di un polinomio, sviluppo del
quadrato di un binomio
356 A
Scomposizione di un polinomio, sviluppo del
quadrato di un polinomio
357 A
Scomposizione di un polinomio, sviluppo del
cubo di un binomio
358 A
Scomposizione di un binomio somma o differenza
di potenze simili con esponente maggiore di 2
359 A
362 A
Scomposizione di trinomi di 2 grado
Scomposizione di un polinomio con la regola
di Ruffini
364 A
3. Massimo Comun Divisore e minimo comune
multiplo di due o più polinomi
366 A
M.C.D. di polinomi
366 A
m.c.m. di polinomi
366 A
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
367 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
Sezione
368 A
368 A
398 A
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
Prova 1 Scomposizione mediante raccoglimenti
o prodotti notevoli
Prova 2 Scomposizione di trinomi particolari
e di polinomi con la regola di Ruffini.
M.C.D. e m.c.m. di polinomi
ATTIVITÀ DI RECUPERO
Esercitazione 1 Scomposizione mediante
raccoglimenti o prodotti notevoli
Esercitazione 2 Scomposizione di trinomi
particolari e di polinomi con la regola di Ruffini.
M.C.D. e m.c.m. di polinomi
Unità 9 Le frazioni algebriche letterali
XI
402 A
403 A
403 A
405 A
406 A
1. Le frazioni algebriche letterali e loro condizione
di esistenza
406 A
Definizione di frazione algebrica letterale
406 A
Condizioni di esistenza di una frazione algebrica 407 A
2. Frazioni algebriche letterali equivalenti.
Proprietà invariantiva
Frazioni algebriche letterali equivalenti
Proprietà invariantiva per le frazioni
algebriche letterali
3. Semplificazione di frazioni algebriche letterali
Semplificazione e riduzione ai minimi termini di
una frazione algebrica letterale
Riduzione di frazioni algebriche letterali allo
stesso denominatore
407 A
407 A
408 A
408 A
408 A
409 A
4. Operazioni con le frazioni algebriche letterali
410 A
Addizione algebrica di frazioni algebriche letterali 410 A
Moltiplicazione tra frazioni algebriche letterali
411 A
Frazioni algebriche letterali reciproche
412 A
Divisione di frazioni algebriche letterali
412 A
Potenza di una frazione algebrica
413 A
Espressioni con frazioni algebriche letterali
413 A
IL FILO DELLA STORIA: Ulteriori sviluppi dell’algebra 414 A
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
415 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
416 A
416 A
434 A
438 A
439 A
4 Equazioni e risoluzione di problemi
Matematica perché Che cosa consente di fare
l’algebra delle equazioni e delle disequazioni
Prova d’ingresso
440 A
442 A
1. Uguaglianze e identità
Uguaglianze tra espressioni algebriche
Identità
443 A
443 A
444 A
Unità 10 Identità ed equazioni
di primo grado
443 A
2. Equazioni
Definizione e classificazione di equazioni
446 A
446 A
XII
Indice
Soluzioni di un’equazione
Principi di equivalenza
Forma normale o standard di un’equazione e
grado dell’equazione
3. Risoluzione di equazioni numeriche di primo
grado
Equazioni numeriche intere di 1 grado
Equazioni numeriche fratte riconducibili a
equazioni intere di 1 grado
4. Risoluzione di equazioni letterali
Equazioni letterali intere
Equazioni letterali fratte
447 A
448 A
450 A
451 A
451 A
453 A
455 A
455 A
456 A
IL FILO DELLA STORIA: Il lungo cammino dei simboli
458 A
matematici
5. Equazioni particolari
459 A
Equazioni particolari di grado superiore al primo 459 A
Equazioni con valori assoluti di espressioni
460 A
6. Equazioni di 1o grado a due incognite
461 A
7. Introduzione ai sistemi di equazioni di 1o grado
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
462 A
463 A
Sezione
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
464 A
464 A
492 A
497 A
498 A
Unità 11 Analisi e risoluzione matematica
500 A
di problemi
1. Considerazioni generali
500 A
2. Piano di risoluzione di un problema:
indicazioni di metodo
501 A
3. Esempi di problemi
502 A
IL FILO DELLA STORIA: L’evoluzione dei problemi nella
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
503 A
503 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
504 A
504 A
storia delle attività dell’uomo
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
513 A
513 A
5 Il piano cartesiano e la rappresentazione
grafica di funzioni
Matematica perché Che cosa consente di fare
la rappresentazione grafica di funzioni
nel piano cartesiano
Prova d’ingresso
514 A
516 A
Unità 12 Funzioni nel piano cartesiano
517 A
1. Il piano cartesiano
Coordinate cartesiane ortogonali di un punto
nel piano
517 A
IL FILO DELLA STORIA: L’origine delle coordinate
2. Rappresentazione grafica di funzioni
nel piano cartesiano
Rappresentazione grafica di una funzione
empirica
Rappresentazione grafica di una funzione
analitica
3. Rappresentazione grafica di alcune particolari
funzioni
La funzione y ¼ kx
La funzione y ¼ kx þ c
k
La funzione y ¼
x
La funzione y ¼ kx 2
k
La funzione y ¼ 2
x
La funzione y ¼ jxj
522 A
523 A
524 A
524 A
525 A
526 A
4. Zeri di funzione
5. Interpretazione geometrica della risoluzione
di una equazione di 1o grado
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
527 A
528 A
520 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e di potenziamento
529 A
529 A
537 A
522 A
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
539 A
540 A
517 A
519 A
520 A
520 A
526 A
Indice
Sezione
6 Statistica
Matematica perché Che cosa consente
di fare la statistica
Prova d’ingresso
Unità 13 L’indagine statistica
1. Un approccio all’analisi dei dati statistici
Che cos’è la statistica
542 A
544 A
545 A
545 A
545 A
IL FILO DELLA STORIA: Origine del termine
‘‘statistica’’
2. L’indagine statistica e le sue fasi
La rilevazione
Lo spoglio
L’elaborazione
3. Rappresentazione grafica di distribuzioni
di frequenza
Diagrammi cartesiani
Istogrammi
Settori circolari
Ortogrammi
Sezione
XIII
546 A
547 A
547 A
547 A
549 A
550 A
550 A
552 A
552 A
553 A
4. Indicatori di centralità
556 A
Le medie
556 A
Le medie semplici
557 A
Le medie ponderate
559 A
La mediana
559 A
La moda
562 A
5. Indicatori di dispersione
563 A
Scarto quadratico medio e varianza
563 A
6. Cenni al problema della misura di una grandezza 564 A
Misurazione dell’errore di misurazione
565 A
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
567 A
567 A
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
568 A
568 A
586 A
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
588 A
591 A
ORGANIZZA LE TUE IDEE
7 Primi elementi di geometria piana.
Congruenza tra figure piane
Matematica perché Quale arricchimento può portare
lo studio della geometria razionale
Prova d’ingresso. Richiami
1G
3G
Unità 1 Concetti geometrici fondamentali
8G
1. Significato e caratteristiche degli assiomi
Caratteristiche degli assiomi
8G
9G
IL FILO DELLA STORIA: Evoluzione del significato
degli assiomi
2. Gli enti geometrici primitivi
3. Un primo gruppo di assiomi
4. Alcune definizioni:
semirette, segmenti, semipiani, angoli
5. Il movimento rigido e la congruenza
delle figure geometriche
6. Confronto e somma di segmenti
7. Confronto e somma di angoli convessi
Confronto tra angoli convessi
Una nuova definizione di angolo
8. Un approccio al concetto di classe di grandezze.
La classe dei segmenti e la classe degli angoli
9G
10 G
11 G
13 G
15 G
16 G
18 G
18 G
19 G
20 G
IL FILO DELLA STORIA: Le origini del pensiero
geometrico
ORGANIZZA LE TUE IDEE
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
21 G
22 G
22 G
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
23 G
23 G
29 G
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
Prova 1 Assiomi, enti primitivi, semirette,
segmenti, angoli
Prova 2 Congruenza di figure piane.
Confronto e somma di segmenti.
Confronto e somma di angoli convessi.
ATTIVITÀ DI RECUPERO
Esercitazione 1 Assiomi. Enti primitivi. Semirette.
Segmenti. Angoli
Esercitazione 2 Congruenza di figure piane.
Confronto e somma di segmenti.
Confronto e somma di angoli convessi
31 G
31 G
32 G
33 G
33 G
34 G
Unità 2 I poligoni e in particolare
i triangoli
36 G
1. I poligoni
2. Il triangolo
3. Il concetto di teorema
Teorema inverso
Corollario
4. I primi due criteri di congruenza dei triangoli
1o criterio di congruenza dei triangoli
36 G
38 G
39 G
40 G
40 G
40 G
41 G
XIV Indice
5.
6.
7.
8.
2o criterio di congruenza dei triangoli
Il triangolo isoscele e le sue proprietà
Il 3 criterio di congruenza dei triangoli
Il teorema dell’angolo esterno
e la classificazione dei triangoli
Disuguaglianze tra gli elementi di un triangolo
e di un poligono qualunque
Teorema relativo a un triangolo con due lati
disuguali
Teorema relativo a un triangolo con due angoli
disuguali.
Teorema relativo alle relazioni tra i lati
di un triangolo
Relazioni tra i lati di un poligono
41 G
42 G
44 G
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
87 G
87 G
47 G
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
88 G
88 G
97 G
47 G
48 G
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
52 G
52 G
66 G
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
Prova 1 Poligoni. Triangoli. Criteri di congruenza
Prova 2 Disuguaglianze tra gli elementi di un triangolo
e di un poligono
68 G
68 G
ATTIVITÀ DI RECUPERO
Unità 3 Perpendicolarità e parallelismo
tra rette
1. Rette perpendicolari
Teorema relativo alle rette perpendicolari
Distanza di un punto da una retta.
Altezza di un triangolo.
Asse di un segmento
2. Rette parallele. Il 5o postulato di Euclide
3. Un criterio di parallelismo
69 G
69 G
72 G
72 G
72 G
74 G
74 G
76 G
IL FILO DELLA STORIA: La lunga storia del 5o postulato
di Euclide
85 G
85 G
ORGANIZZA LE TUE IDEE
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
ORGANIZZA LE TUE IDEE
84 G
46 G
48 G
49 G
50 G
51 G
51 G
IL FILO DELLA STORIA: Gli Elementi di Euclide
Teorema relativo agli assi di un triangolo
Teorema relativo alle bisettrici degli angoli
di un triangolo
Teorema relativo alle altezze di un triangolo
78 G
4. Somma degli angoli di un triangolo
e di un poligono
78 G
Somma degli angoli interni di un triangolo
78 G
2o criterio di congruenza dei triangoli in forma
generalizzata
79 G
Somma degli angoli interni ed esterni di un
poligono
79 G
5. Criterio di congruenza dei triangoli rettangoli
80 G
6. Perpendicolari e oblique a una retta
81 G
Proiezione ortogonale
81 G
Teorema relativo ai segmenti che uniscono
un punto con i punti di una retta
82 G
7. Alcuni luoghi geometrici
82 G
Esempi di luoghi geometrici
83 G
Il concetto di luogo geometrico: due controesempi 84 G
8. I punti notevoli di un triangolo
84 G
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
100 G
102 G
Unità 4 Quadrilateri particolari
105 G
1. I quadrilateri
2. Il trapezio
Proprietà del trapezio
3. Il parallelogrammo
Proprietà del parallelogrammo
Criteri per riconoscere parallelogrammi
4. Il rettangolo, il rombo e il quadrato
Proprietà caratteristica del rettangolo
Criterio per riconoscere un rettangolo
Proprietà caratteristiche del rombo
Criteri per riconoscere un rombo
Proprietà caratteristiche del quadrato
Criteri per riconoscere un quadrato
5. Trasversali di un fascio di rette parallele
6. Il baricentro di un triangolo
Teorema sulle mediane di un triangolo
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
105 G
105 G
106 G
107 G
107 G
107 G
109 G
109 G
110 G
110 G
110 G
111 G
111 G
113 G
114 G
114 G
116 G
116 G
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
117 G
117 G
127 G
ORGANIZZA LE TUE IDEE
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
ATTIVITÀ DI RECUPERO
Unità 5 Trasformazioni geometriche.
Le isometrie
1. Generalità sulle trasformazioni geometriche
del piano
Trasformazione del piano in sé.
Immagine di un punto
Punto unito. Identità. Invarianti
2. Le isometrie e le loro proprietà
Proprietà delle isometrie
3. La traslazione
Vettori
Vettori equipollenti. Vettori opposti
Somma di vettori
Traslazione
129 G
129 G
131 G
131 G
131 G
131 G
132 G
132 G
134 G
134 G
134 G
135 G
136 G
Indice
4.
5.
6.
7.
8.
La rotazione
La simmetria centrale
La simmetria assiale
Simmetrie nelle figure piane
Composizione di isometrie
Composizione di due traslazioni
Composizione di due rotazioni
aventi lo stesso centro
Composizione di una simmetria con se stessa.
Isometrie involutorie
Composizione di due simmetrie centrali
Composizione di due simmetrie assiali ad assi
paralleli
Composizione di due simmetrie assiali ad assi
incidenti
Composizione di trasformazioni di tipo diverso
Trasformazioni inverse
136 G
138 G
138 G
141 G
142 G
142 G
142 G
143 G
143 G
143 G
Amplia il tuo linguaggio (Improve your Glossary)
144 G
145 G
145 G
146 G
146 G
ESERCITAZIONI
Attività di base
Attività di riepilogo e potenziamento
147 G
147 G
157 G
ORGANIZZA LE TUE IDEE
VERIFICA IL TUO APPRENDIMENTO
XV
Matematica verso l’informatica
Gli algoritmi
1S
Gli algoritmi matematici
L’algoritmo euclideo per il calcolo del M.C.D.
1S
2S
Matematica e storia
Il concetto di numero nella storia
5S
I numeri all’alba della civiltà
La numerazione indo-araba e il sistema posizionale
Numeri: simboli di ordine e di bellezza
Numeri in natura e nell’arte: i numeri di Fibonacci
Numeri primi: ogni tentativo di acciuffarli è fallito
Numeri negativi, dramma dei matematici
Gli insiemi numerici e il concetto di infinito
5S
6S
8S
9S
11 S
13 S
15 S
159 G
CONTENUTI MULTIMEDIALI
Per la classe virtuale
Math VIVA
Animazioni, simulazioni e attività con GeoGebra
Math STORIA
L’evoluzione del pensiero matematico
Per esercitarsi
Quick TEST
I Fermati e prova in modalità interattiva
E-TRAINER
Per allenarsi online prima della verifica. Al termine di tutte le Unità
RECUPERO
Attività ulteriori per conseguire gli obiettivi minimi di apprendimento. Al termine
di tutte le Unità
Attività con Excel, Derive e Cabri
n
n
n
La matematica nel laboratorio di informatica
Filmati dimostrativi dell’uso di Excel, Derive e Cabri
Esercitazioni svolte con Excel, Derive e Cabri
www.libropiuweb.it
Unità A
LE OPERAZIONI ARITMETICHE
CON I NUMERI NATURALI E DECIMALI
Obiettivi dell’Unità
Conoscenze
Abilità
n
La successione dei numeri naturali
n
I principali simboli di relazione tra numeri
Le proprietà delle principali operazioni aritmetiche
n
L’operazione di elevamento a potenza e le sue
proprietà
n
Il minimo comune multiplo (m.c.m.) e il Massimo Comun Divisore (M.C.D.) di due o più numeri
n
L’estrazione di radice come operazione inversa
dell’elevamento a potenza
n
n
Saper leggere e scrivere numeri naturali e decimali
n Saper esprimere relazioni tra numeri mediante
simboli
n Saper applicare le proprietà delle principali operazioni aritmetiche
n Saper calcolare potenze e radici di numeri e applicare le proprietà delle operazioni di elevamento
a potenza e di radice di numeri
n Scomporre un numero in fattori primi, sapere
determinare minimo comune multiplo (m.c.m.) e
Massimo Comun Divisore (M.C.D.) di due o più
numeri
n Saper trasformare numeri in base 10 in numeri
in altra base e viceversa
n
Sistemi di numerazione
1. LA SUCCESSIONE DEI NUMERI NATURALI
Tavola 1 La successione dei numeri naturali
La successione 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .... è chiamata
successione dei numeri naturali.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...
La successione dei numeri naturali è infinita: ha un
inizio (il numero zero) ma non ha una fine.
precedente di
20
21
successivo di
15
...
18
precede
23
...
segue
27
Dato un numero naturale, il numero che si trova immediatamente prima nella successione è chiamato
suo precedente, quello che si incontra immediatamente dopo è detto suo successivo.
Diciamo inoltre che un numero precede un altro numero se viene prima nella successione, diciamo che
segue se viene dopo.
Unità A Le operazioni aritmetiche con i numeri naturali e decimali
1
Il numero 34:
a) è il precedente di 33;
b) precede il 33;
c) è il successivo di 33.
2
4
Stabilisci quale delle seguenti affermazioni è
vera.
Il numero 129:
a) è il precedente di 130;
b) è il precedente di 128;
c) precede il 119.
3
e) Il precedente di 0 non esiste nella
successione dei numeri naturali.
f) 37 segue 35.
g) 2794 precede 2790.
Stabilisci quale delle seguenti affermazioni è
vera.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
Scrivi il precedente e il successivo dei seguenti numeri.
a) 899: ......., ......
b) 1101: ......., ......
c) 7999: ......., ......
d) 9990: .......; ......
5
Scrivi:
a) due numeri che seguono il 435;
b) due numeri che precedono il 58.
6
Completa.
a) 5 è il .......... di 6 e il successivo di ..........
b) 0 è il .......... di 1.
c) Nella successione dei numeri naturali il
numero 5 .......... il numero 17.
d) Nella successione dei numeri naturali il
numero 78 .......... il numero 43.
Vero o falso?
a) Il successivo di 75 è 76.
b) Il successivo di 290 è 300.
c) Il precedente di 4000 è 3900.
d) Il precedente di 1 è 0.
A3
2. I SIMBOLI DI RELAZIONE TRA NUMERI
Tavola 2 I simboli di relazione tra numeri
¼ uguale a
Il simbolo ¼ esprime la relazione di uguaglianza fra numeri.
6¼ diverso da
Il simbolo 6¼ esprime la negazione della relazione di uguaglianza fra numeri.
> maggiore di
Il simbolo > esprime la relazione che sussiste tra due numeri quando il
primo è maggiore del secondo.
< minore di
Il simbolo < esprime la relazione che sussiste tra due numeri quando il
primo è minore del secondo.
maggiore o uguale a
Il simbolo esprime la relazione che sussiste tra due numeri quando il
primo è maggiore o uguale al secondo.
minore o uguale a
Il simbolo esprime la relazione che sussiste tra due numeri quando il
primo è minore o uguale al secondo.
’ approssimativamente uguale a Il simbolo ’ esprime la relazione di uguaglianza approssimata tra due numeri.
7
Poni tra le seguenti coppie di numeri il simbolo >, <, ¼.
a) 7 .......... 8;
b) 35 .......... 35;
c) 100 .......... 99;
d) 3700 .......... 7300;
e) 10 .......... 100;
f) 2500 .......... 2400.
8
Esprimi in parole le seguenti relazioni tra
numeri.
a) b > a;
b) b 6¼ 5;
c) a 7;
d) a 10;
e) a ¼ b;
f) 5 < a < 7.
A4
9
Sezione 0 Compendio di aritmetica
Scrivi in simboli le relazioni tra numeri
espresse dalle frasi seguenti.
a) Il numero a è diverso da zero.
b) Il numero b è maggiore del numero a.
c) Il numero a è minore o uguale a 5.
d) Il numero a è maggiore o uguale al
numero b.
e) Il numero a è compreso tra 1 e 100,
estremi inclusi.
f) Il numero b è compreso tra 10 e 18,
estremi esclusi.
10 Individua tutti i numeri naturali n che soddisfano le condizioni seguenti.
d) 6 n 22;
e) 7 n 8;
f) 10 < n < 11.
a) n < 10;
b) n 15;
c) 5 < n < 12;
11 Elenca i numeri naturali, se esistono, che
soddisfano le relazioni seguenti.
a) a < 5;
b) 18 a < 20;
c) 72 < a 73;
d) 22 < a < 23;
e) 4 < a < 8;
f) a 0.
12 Per ciascuna delle seguenti relazioni scrivi
due numeri che non la soddisfino.
a) a < 8;
b) a 4;
c) 10 a < 15.
13 Stabilisci se i numeri riportati soddisfano le
relazioni scritte accanto.
Sı̀
No
a) 5
a 5;
b) 7
7 < a 15;
c) 12 12 a < 18;
d) 48 40 < a < 50.
3. LE QUATTRO PRINCIPALI OPERAZIONI ARITMETICHE
Tavola 3 L’addizione
La somma di due numeri naturali è il numero al
quale perveniamo contando di seguito al primo,
lungo la successione dei numeri naturali, tante
unità quante sono indicate dal secondo.
1° addendo
2° addendo
somma
2
+ 5 = 7
1
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
7
8
9
Tavola 4 Le proprietà dell’addizione
2+3=3+2=5
Proprietà commutativa: cambiando l’ordine degli
addendi la somma non cambia.
1+ 2+3 =1+5=6
Proprietà associativa: la somma di più addendi
non cambia se a due o più di essi sostituiamo la
rispettiva somma.
1+ 5 =1+2+3=6
Proprietà dissociativa: la somma di più addendi
non cambia se sostituiamo uno o più di essi con
altri, che abbiano per somma l’addendo o gli addendi sostituiti.
14 Stabilisci quale proprietà è stata applicata
alla seguente operazione:
4 þ 2 þ 14 ¼ 6 þ 14
a) commutativa;
b) associativa (applicata al secondo e terzo
addendo);
c) dissociativa:
d) associativa (applicata al primo e al
secondo addendo).
Unità A Le operazioni aritmetiche con i numeri naturali e decimali
15 Stabilisci quali proprietà dell’addizione sono
state applicate nelle operazioni seguenti.
a) 5 þ 17 þ 15 ¼ 5 þ 15 þ 17 ¼ 20 þ 17 :::; :::
b) 38 þ 22 ¼ 30 þ 8 þ 22 ¼ 30 þ 30 ..., ...
c) 23 þ 50 þ 7 ¼ 23 þ 7 þ 50 ¼ 30 þ 50 ..., ...
d) 42 þ 17 þ 18 þ 23 ¼ 42 þ 18 þ 17 þ 23 ¼
¼ 70 þ 40 ..., ...
A5
16 Applica opportunamente le proprietà commutativa, associativa o dissociativa per calcolare mentalmente, e più rapidamente, i risultati delle operazioni seguenti:
a) 1315 þ 7 þ 3;
b) 50 þ 790 þ 50;
c) 347 þ 53;
d) 15 þ 27 þ 5 þ 3;
e) 14 þ 118 þ 80 þ 2;
f) 222 þ 78.
Tavola 5 La sottrazione
La differenza di due numeri naturali, dei quali il
primo sia maggiore o uguale al secondo, è il numero naturale che, addizionato al secondo, dà
come somma il primo.
minuendo
sottraendo
differenza
7
7
– 4 = 3
– 4 = 3
4
0
1
2
3
3
4
2
5
La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione.
1
6
7
8
9
Tavola 6 Le proprietà della sottrazione
9–5=4
9 + 2 – 5 + 2 = 11 – 7 = 4
Proprietà invariantiva: la differenza di due numeri naturali non cambia se a entrambi aggiungiamo, o togliamo
se è possibile, uno stesso numero.
9–2 – 5–2 =7–3=4
5– 2+1 =5– 2 – 1 =3– 1 =2
5– 2–1 =5– 2 + 1 =5– 3 =2
a) Se dobbiamo sottrarre a un numero la somma non ancora eseguita di due o più addendi, possiamo sottrarre a
esso successivamente gli addendi della somma;
b) viceversa, se dobbiamo sottrarre a un numero successivamente due o più numeri, possiamo sottrarre a esso
direttamente la somma di tutti i sottraendi.
17 Completa.
a) La sottrazione è l’operazione inversa
della .....................................................
b) Nella sottrazione 15 5 ¼ 10, 15 è detto
.............................................................
c) Il risultato di una sottrazione è detto .......
.............................................................
18 Esegui, se possibile, le seguenti sottrazioni.
a) 25 22;
b) 0 22;
c) 0 0;
d) 35 34;
e) 28 28;
f) 28 0.
19 Stabilisci se le seguenti affermazioni sono
vere o false.
a) 25 13 ¼ 13 25
V
F
b) 14 10 ¼ 14 6 4
V
F
c) 75 30 5 ¼ 75 35
V
F
d) 764 24 ¼ 764 þ 6 24 þ 6
V
F
e) 432 78 ¼ 432 2 78 8
V
F
20 Per la sottrazione vale la proprietà commutativa? Riporta due esempi.
Sezione
1 Primi elementi
di geometria piana.
Congruenza
tra figure piane
Matematica perché
Quale arricchimento può portare lo studio della geometria razionale
Iniziamo in questa Sezione lo studio della geometria utilizzando un metodo che è parte dell’eredità culturale arrivata fino a noi dall’antica Grecia. Ricordiamo che la parola ‘‘geometria’’ deriva dal greco e significa ‘‘misura della terra’’ (ghe è il nome greco della terra e metron significa ‘‘misura’’).
Il nome stesso della geometria dice che essa nacque per rispondere a necessità pratiche: per misurare distanze e aree, per descrivere la forma e la dimensione degli oggetti materiali.
Cosı̀ come è accaduto lungo la storia dell’umanità anche tutti noi accumuliamo inizialmente, fin da piccoli, conoscenze geometriche attraverso esperienze concrete, ricorrendo principalmente a osservazioni e
intuizione.
Nell’esperienza quotidiana viviamo infatti numerose situazioni nelle quali dobbiamo tenere conto delle
proprietà dello spazio e dobbiamo comunicarle.
Ecco alcuni esempi di espressioni nelle quali figurano proprietà dello spazio.
«La via dove abito è lunga ventidue passi». «I bordi di questo foglio di carta sono rettilinei». «La facciata
di questo palazzo è simmetrica». «L’appartamento in cui abito è piu piccolo del tuo». «La trottola sta in
piedi finché gira».
Accade, però, che molte delle nostre conoscenze relative allo spazio rimangano in gran parte a livello inconsapevole o intuitivo.
Basandoci inoltre solo sull’esperienza e l’osservazione non siamo talvolta in grado di giustificare alcune
situazioni o di dare risposte valide in generale.
Esaminiamo due diverse situazioni in cui è necessario tener conto delle proprietà geometriche di figure.
Abbiamo a disposizione varie asticelle di legno collegabili tra loro agli estremi. Prese tre asticelle qualunque è sempre possibile costruire una struttura triangolare?
Prese quattro asticelle qualunque è sempre possibile costruire una struttura quadrangolare?
n
In un giardino ci sono due aiuole triangolari e due aiuole quadrangolari.
Ci chiediamo: per sapere se le aiuole triangolari sono uguali è sufficiente controllare che i tre bordi dell’una siano a due a due uguali ai bordi dell’altra? E per le aiuole quadrangolari è sufficiente che siano a
due a due uguali i quattro bordi?
n
Le risposte alle precedenti domande si possono trovare attraverso prove ripetute, tentativi, osservazioni.
Per cercare ad esempio di capire attraverso una
verifica sperimentale quale relazione deve sussistere tra le lunghezze di tre asticelle date, affinché
si possa ottenere una costruzione triangolare incernierandole agli estremi, si possono effettuare
varie prove. Ci renderemo conto a poco a poco
che la lunghezza di ogni asticella deve essere minore della somma delle lunghezze delle altre due
(nella figura 1 evidenziamo due esempi).
n
Attraverso prove ripetute e osservazioni possiamo anche renderci conto che due aiuole triangolari aventi i bordi a due a due di uguale lunghezza
sono sempre tra loro uguali.
n
Ma si possono trovare aiuole quadrangolari diverse tra loro, pur se con i bordi a due a due di uguale lunghezza.
Figura 1. Con le tre asticelle rosse non è possibile costruire
un triangolo. Con le due asticelle rosse e l’asticella blu è
possibile costruire un triangolo.
La geometria che studia le caratteristiche delle figure basandosi sulle esperienze che ce ne danno i nostri
sensi viene chiamata geometria intuitiva; in essa si operano attente osservazioni sulle figure disegnate
o sugli oggetti reali. Tali osservazioni suggeriscono definizioni, regole, generalizzazioni di particolari
proprietà.
Nelle prossime Unità affronteremo invece lo studio della geometria razionale, in cui si studiano le proprietà di ‘‘figure ideali’’, basandosi principalmente sul ragionamento. In particolare faremo riferimento
all’impostazione dello studio della geometria proposta da Euclide. Ricordiamo tuttavia che la geometria
razionale qui presentata non costituisce un vero e proprio corso completo, ma è proposta come esempio
di sistema ipotetico-deduttivo, ossia di un insieme di ragionamenti che si propongono di far vedere come, accettate certe proprietà iniziali, allora si devono accettare altre proprietà, che da esse derivano come
loro conseguenze logiche.
In particolare lo studio della geometria razionale permetterà di:
scoprire la scienza, e in particolare la geometria, come mezzo con cui comunicare mediante un linguaggio basato sia sulla ricchezza dell’intuizione, sia sul rigore del ragionamento logico;
n
riorganizzare con metodo razionale, cioè basato principalmente sul ragionamento deduttivo, conoscenze geometriche acquisite attraverso l’intuizione e l’esperienza concreta.
n
Obiettivi della Sezione
CONOSCENZE
n
n
n
n
n
I concetti geometrici fondamentali
I poligoni e in particolare i triangoli
Perpendicolarità e parallelismo tra rette
Quadrilateri particolari
La circonferenza e il cerchio
COMPETENZE
Cogliere il significato del metodo assiomaticodeduttivo
n Riformulare definizioni, costruire figure geometriche aventi caratteristiche date, dimostrare teoremi
n
Sezione 1 Primi elementi di geometria piana. Congruenza tra figure piane
G3
Prova d’ingresso. Richiami
La geometria nelle cose che ci circondano
QUESITI
1
Le figure geometriche sono spesso presenti in varie forme artistiche. Nelle figure sotto riportate sono rappresentati un quadro di Mondrian, la facciata di una chiesa, un lavoro di cucito del tipo
‘‘patchwork’’, la decorazione di un pavimento. La bellezza di queste opere è legata anche a una ammirevole composizione di figure geometriche; prova a riconoscerne alcune e a individuare eventuali
simmetrie.
2
Qui sotto sono riportati alcuni fra i più comuni segnali stradali. Ne conosci il significato?
Individua in essi le figure geometriche che conosci e descrivine le proprietà.
3
Tutti i segnali stradali di pericolo hanno forma di triangoli equilateri, i segnali di divieto hanno forma circolare. Sai indicare tra quelli sotto riportati quali ammettono un asse di simmetria e quali
un centro di simmetria? Indica inoltre quali segnali formano coppie costituite da una figura simmetrica dell’altra rispetto a una opportuna retta.
Strettoia
Direzioni consentite:
destra e sinistra
4
Strettoia asimmetrica
Direzioni consentite:
diritto e destra
Divieto di sosta
Divieto di fermata
Direzioni consentite:
diritto e sinistra
Alla stazione, in attesa del treno, due amici guardano l’ora su un grande orologio digitale; sul display vi sono quattro caselle, di cui due sono occupate dall’ora e due dai minuti, separate dai
‘‘due punti’’. Gli amici notano che le cifre che rappresentano l’ora formano in quel momento una
figura geometrica simmetrica rispetto alla retta dei due punti centrali e si chiedono quante volte in
una giornata (dalle ore 0 alle ore 24) si presenterà una situazione analoga e quali siano le ore che
si possono presentare sul display con una figura simmetrica.
Prova a calcolarlo tenendo conto che le cifre che possono
comparire nel quadrante sono quelle rappresentate qui a lato.
0123456789
G4
Sezione 1 Primi elementi di geometria piana. Congruenza tra figure piane
La geometria delle ’’figure ideali’’
Punti, rette, semirette, segmenti, angoli nel piano
5
Sai già che:
punti e rette sono gli elementi più semplici sui quali si basa la geometria del piano (indichiamo i
punti con lettere maiuscole e le rette con lettere minuscole);
n
a partire poi da questi enti se ne definiscono altri, alcuni dei quali sono rappresentati nelle figure
della tabella sotto riportata.
n
Descrivi a parole, con la maggior precisione possibile, tali figure.
A
B
b
B
O
b
a
C
A
a
O
Semiretta
di origine O
Segmento
di estremi A e B
Segmenti AB
e BC consecutivi
O
Angolo convesso
di vertice O
e lati a e b
Angolo concavo
di vertice O
e lati a e b
a
O
b
Angolo piatto
di vertice O
e lati a e b
Poligoni e in particolare triangoli. Figure congruenti
6
Sai già che:
viene chiamata spezzata la linea costituita da più segmenti consecutivi; i segmenti si dicono lati
della spezzata e i loro estremi si dicono vertici;
n
se ogni vertice della spezzata, nessuno escluso, è comune a due lati e se due lati non consecutivi
non si intersecano, la figura formata dalla spezzata e dalla parte di piano ad essa interna viene
detta poligono; un poligono che giace tutto dalla stessa parte rispetto ad ogni retta ottenuta prolungando ciascuno dei suoi lati viene detto convesso, in caso contrario viene detto concavo.
n
Tenendo conto di quanto sopra ricordato completa la seguente tabella scrivendo i nomi delle figure rappresentate e descrivendone le principali proprietà.
D
C
E
D
D
F
B
..........
7
A
A
P
Q
A
..........
C
..........
O
R
P
B
B
B
..........
S
C
C
A
T
Q
..........
M
N
..........
Ricordando che:
due figure F ed F0 vengono dette congruenti quando possono essere pensate come posizioni diverse di una figura in movimento, cioè quando sono sovrapponibili mediante un movimento rigin