Istituzioni di Logica Matematica

Istituzioni di Logica Matematica
Sezione 11 del Capitolo 3
Alessandro Andretta
Dipartimento di Matematica
Università di Torino
A. Andretta (Torino)
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AA 2013–2014
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L’antinomia di Russell
Due principi fondamentali.
Principio di estensionalità
Due insiemi sono uguali sse hanno gli stessi elementi.
Quindi un insieme è completamente determinato dai suoi elementi.
Principio di comprensione
Ogni proprietà P (x) definisce un insieme, c’è un insieme {x | P (x)}.
L’antinomia di Russell
Consideriamo la proprietà P (x) data da x ∈
/ x e sia R = {x | x ∈
/ x}.
R∈
/R ⇒ R∈R ⇒ R∈
/R
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Gli assiomi di MK
Fissiamo un linguaggio del prim’ordine con un solo predicato binario ∈.
Gli oggetti della nostra trattazione si chiamano classi. Gli elementi di una
classe sono a loro volta classi.
Definizione
Una classe A è un insieme sse A appartiene a qualche classe. Posso
definire la formula Ins(x) che dice che x è un insieme, ∃y(x ∈ y).
Una classe propria è una classe che non è un insieme.
Definiremo la teoria del prim’ordine Morse-Kelly MK.
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Gli assiomi di MK
Assioma di estensionalità
∀z(z ∈ x ⇔ z ∈ y) ⇒ x = y.
Schema di assiomi di comprensione
Se x è libera in ϕ(x, y1 , . . . , yn ) e A è una variabile differente da
x, y1 , . . . , yn . Allora ∃A∀x (x ∈ A ⇔ ∃z(x ∈ z) ∧ ϕ(x, y1 , . . . , yn )).
Cioè per ogni ϕ e per ogni scelta di classi y1 , . . . , yn , posso trovare la
classe A di tutti gli insiemi che soddisfano ϕ. Per estensionalità A è unica
e si denota con
A = {x | ϕ(x, y1 , . . . , yn )}
Nota bene:
Sono infiniti assiomi, uno per ogni ϕ.
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Gli assiomi di MK
Riesaminiamo l’antinomia di Russell: per comprensione R = {x | x ∈
/ x} è
una classe. Se R fosse un insieme, allora R ∈ R ⇔ R ∈
/ R, quindi R è una
classe propria.
Notazione
{x ∈ A | ϕ(x, y1 , . . . , yn )} è la classe data dalla formula
x ∈ A ∧ ϕ(x, y1 , . . . , yn ).
A∩B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} = {x ∈ A | x ∈ B} = {x ∈ B | x ∈ A}.
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈
/ B} = {x ∈ A | x ∈
/ B}.
A 4 B = (A \ B) ∪ (B \ A).
Dall’Assioma di Estensionalità segue che A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A
e A4B = B4A.
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Gli assiomi di MK
Assioma di esistenza di insiemi
∃x∃y (x ∈ y).
Definizione
x è una sotto-classe di y sse ∀z(z ∈ x ⇒ z ∈ y). In simboli x ⊆ y.
Se y ⊆ x e x è un insieme, vogliamo che anche y sia un insieme.
Assioma dell’insieme potenza
Se x è un insieme allora c’è un insieme y tale che ∀z (z ⊆ x ⇔ z ∈ y).
L’insieme y è unico per estensionalità e si indica con P(x).
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Gli assiomi di MK
La classe vuota {x | x 6= x} = ∅ è inclusa in un qualsiasi insieme, quindi è
un insieme.
Assioma della coppia
Ins(x) ∧ Ins(y) ⇒ ∃z (Ins(z) ∧ ∀w (w ∈ z ⇔ w = x ∨ w = y)).
L’insieme z lo si indica con {x, y}. Se x = y lo si scrive {x}.
Definizione
def
(x, y) = {{x}, {x, y}}.
Proposizione
Per ogni insieme x, y, z, w, (x, y) = (z, w) ⇔ x = z ∧ y = w.
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Gli assiomi di MK
Assioma di fondazione
x 6= ∅ ⇒ ∃y(y ∈ x ∧ x ∩ y = ∅).
Se x ∈ x, allora {x} è un insieme e per l’assioma di fondazione c’è un
y ∈ {x} tale che y ∩ {x} = ∅: ma y = x e x ∈ x ∩ {x}, contraddizione.
Definizione
def
V = {x | x = x} è la classe di tutti gli insiemi.
Definizione
S
S
def
Se A è una classe l’unione su A è A = x∈A x = {y | ∃x ∈ A(y ∈ x)}
T
T
def
e l’intersezione su A è A = x∈A x = {y | ∀x ∈ A(y ∈ x)}.
Per convenzione: se A = ∅ allora
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T
A = ∅.
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Gli assiomi di MK
Assioma dell’unione
S
Se A è un insieme allora anche A è un insieme.
def S
Se x e y sono insiemi, allora {x, y} e x ∪ y = {x, y} sono insiemi.
def
A × B = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B} = {c | ∃a∃b(a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c = (a, b))}
è una classe che esiste per l’Assioma di Comprensione.
Proposizione
Se A e B sono insiemi, anche A × B è un insieme.
Dimostrazione.
Basta trovare un insieme che contiene A × B. Se x ∈ A e y ∈ B, allora
{x}, {x, y} ⊆ A ∪ B e quindi (x, y) = {{x}, {x, y}} ⊆ P(A ∪ B). Ne
segue che A × B ⊆ P(P(A ∪ B)).
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Gli assiomi di MK
Usando gli assiomi di coppia e unione possiamo costruire infiniti nuovi
insiemi {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}, {{{{∅}}}}, . . . oppure
{∅} = S(∅), {∅, {∅}} = S({∅}), {∅, {∅}, {∅, {∅}}} = S({∅, {∅}}), . . . dove
def
S(x) = x ∪ {x}
è il successore di x.
Una classe I si dice induttiva se ∅ ∈ I ∧ ∀x(x ∈ I ⇒ S(x) ∈ I).
Assioma dell’infinito
Esiste un insieme induttivo.
Definizione
def T
N = I dove I la classe di tutti gli insiemi induttivi.
0 = ∅, 1 = S(0), 2 = S(1) = S(S(0)), . . .
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Proposizione
N ∈ I e ∀n ∈ N (n = 0 ∨ ∃m ∈ N (n = S(m))).
Dimostrazione.
T
0 ∈ I per ogni I ∈ I, quindi 0 ∈ I = N.
Fisso n ∈ N: n ∈ I e quindi S(n)T∈ I per ogni I ∈ I. Essendo I ∈ I
arbitrario, otteniamo che S(n) ∈ I = N. Quindi N ∈ I.
Sia n ∈ N \ {0} e supponiamo per assurdo che n 6= S(m) per ogni m ∈ N.
Allora l’insieme J = N \ {n} soddisferebbe
T la formula che definisce I e
quindi J ∈ I. Da questo segue che J ⊇ I = N, ma per costruzione
J ⊂ N: contraddizione.
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Proposizione (Principio di Induzione su N — prima formulazione)
Sia I ⊆ N tale che 0 ∈ I e tale che ∀n (n ∈ I ⇒ S(n) ∈ I). Allora I = N.
Dimostrazione.
I ∈ I, quindi I ⊇ N.
Una relazione binaria è una classe di coppie ordinate. Una relazione binaria
F è funzionale se (x, y), (x, y 0 ) ∈ F ⇒ y = y 0 .
Scriveremo x R y invece di (x, y) ∈ R. Se R è funzionale, R(x) = l’unico
y (se esiste) tale che (x, y) ∈ R.
dom(R) = {x | ∃y((x, y) ∈ R)}
ran(R) = {y | ∃x((x, y) ∈ R)}
fld(R) = dom(R) ∪ ran(R).
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Proposizione
Se R è un insieme, allora dom(R), ran(R), fld(R) sono insiemi.
Dimostrazione.
Se xS∈ S
dom(R) allora x ∈ {x} ∈S(x,
S y) ∈ R, per qualche y, quindi
x ∈ ( R), quindi dom(R) ⊆
R. I casi di ran(R) e fld(R) sono
analoghi.
Definizione
Se F è una relazione funzionale e A una classe poniamo
F [A] = {F (x) | x ∈ A ∩ dom(F )}
F A = {(x, y) ∈ F | x ∈ A}.
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Esercizio
Se F è un insieme anche F [A] è un insieme
Assioma del rimpiazzamento (forte)
Se F è una relazione funzionale e A un insieme, allora F [A] è un insieme.
A
B = B A = {F | F : A → B}.
Proposizione
Se A e B sono insiemi, allora B A è un insieme.
Dimostrazione.
B A ⊆ P(A × B).
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Teorema.
Non esiste nessuna funzione f tale che dom(f ) = N e
∀n ∈ N f (S(n)) ∈ f (n).
Dimostrazione.
Per assurdo. Poiché ∅ =
6 ran(f ), per l’assioma di Fondazione c’è un
y ∈ ran(f ) tale che y ∩ ran(f ) = ∅. Sia n ∈ N tale che y = f (n). Ma
f (S(n)) ∈ f (n) ∩ ran(f ): contraddizione.
Notazione
hai | i ∈ Ii è la funzione I 3 i 7→ ai .
Per esempio, s = ha0 , a1 , . . . , an−1 i è la funzione di dominio
n = {0, 1, . . . , n − 1} che ad ogni i < n associa l’insieme ai .
n = dom(s) è la lunghezza di s, e la si indica con lh(s).
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Se X è una classe X <N = {s | s è una stringa finita e ran(s) ⊆ X}.
Esercizio
Dimostrare che se X è un insieme, allora X <N =
insieme.
S
{X n | n ∈ N} è un
Se I è un insieme e hAi | i ∈ Ii è una successione di insiemi, sia
"i∈I Ai = {f | f è una funzione, dom(f ) = I e ∀i ∈ I (f (i) ∈ Ai )}.
Quindi se Ai = A per ogni i ∈ I, allora "i∈I Ai = AI .
Se Ai0 = ∅ per qualche i0 ∈ I allora "i∈I Ai = ∅. Vale anche il viceversa?
Vogliamo scambiare i quantificatori passando da ‘∀i ∈ I∃x(x ∈ Ai )’ a
‘∃f ∀i ∈ I(f (i) ∈ Ai )’.
Assioma di Scelta (AC)
Se A =
6 ∅ è un insieme e ∀A ∈ A (A 6= ∅), allora esiste f : A →
che ∀A ∈ A (f (A) ∈ A).
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S
A tale
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Gli assiomi di MK
Gli assiomi di MK
Riassumendo: MKC = MK + AC e gli assiomi di MK sono:
Estensionalità: ∀z(z ∈ x ⇔ z ∈ y) ⇒ x = y
Comprensione: ∃A∀x (x ∈ A ⇔ ∃z(x ∈ z) ∧ ϕ(x, y1 , . . . , yn )), dove
x è libera in ϕ(x, y1 , . . . , yn ) e A è diversa da x, y1 , . . . , yn
Esistenza di insiemi: ∃x∃y (x ∈ y)
Potenza: Ins(x) ⇒ ∃z (Ins(z) ∧ ∀t (t ∈ z ⇔ t ⊆ x))
Coppia:
Ins(x) ∧ Ins(y) ⇒ ∃z (Ins(z) ∧ ∀w (w ∈ z ⇔ w = x ∨ w = y))
Fondazione: x 6= ∅ ⇒ ∃y (y ∈ x ∧ y ∩ x = ∅)
Unione: Ins(x) ⇒ ∃u (Ins(u) ∧ ∀z (z ∈ u ⇔ ∃y(y ∈ x ∧ z ∈ y)))
Infinito: ∃I (Ins(I) ∧ ∅ ∈ I ∧ ∀x (x ∈ I ⇒ S(x) ∈ I))
Rimpiazzamento: ∀F ∀A ∀x∃!y(x, y) ∈ F ∧ Ins(A) ⇒ Ins(F [A]) .
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Gli assiomi di ZF
La teoria Zermelo-Frænkel ZF è formulata nel linguaggio con un solo
predicato binario ∈. Gli enti di questa teoria si dicono insiemi. Gli assiomi
di ZF sono:
Estensionalità: ∀z(z ∈ x ⇔ z ∈ y) ⇒ x = y
Separazione: ∃A∀x (x ∈ A ⇔ x ∈ B ∧ ϕ(x, y1 , . . . , yn , B)), dove x è
libera in ϕ(x, y1 , . . . , yn , B) e A è diversa da x, y1 , . . . , yn , B.
A = {x ∈ B | ϕ(x, y1 , . . . , yn , B)} è il sottoinsieme di B formato
dagli elementi che godono della proprietà ϕ.
Potenza: ∃z∀t (t ∈ z ⇔ t ⊆ x)
Coppia: ∃z∀w (w ∈ z ⇔ w = x ∨ w = y)
Fondazione: x 6= ∅ ⇒ ∃y (y ∈ x ∧ y ∩ x = ∅)
Unione: ∃u∀z (z ∈ u ⇔ ∃y(y ∈ x ∧ z ∈ y))
Infinito: ∃I (∅ ∈ I ∧ ∀x (x ∈ I ⇒ S(x) ∈ I))
Rimpiazzamento: ∀x ∈ A∃!yϕ ⇒ ∃B∀x ∈ A∃y ∈ Bϕ, per ogni
formula ϕ(x, y, A, w1 , . . . , wn ).
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Funzioni e relazioni
Definizione.
Una funzione finitaria o operazione su X è una f : X n → X per qualche
n ∈ N detto arietà di f , n = ar(f ).
Se n = 0 allora f : {∅} → X, quindi le funzioni 0-arie su X possono essere
identificate con gli elementi di X.
Y ⊆ X è chiuso per f se f [Y n ] ⊆ Y .
Esercizio
Sia Y ⊆ X eTsia C = {Z ⊆ X | Y ⊆ Z ∧ Z chiuso per f }. Dimostrare che
C 6= ∅ e che C è il più piccolo Z ⊆ X contenente Y e chiuso per f .
T
L’insieme C si dice chiusura di Y sotto f e lo si indica con Clf (Y ).
Analogamente si definisce ClF (Y ) quando F è una famiglia di funzioni
finitarie su X.
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