Grado di un`equazione algebrica razionale intera

capitolo
8
Equazioni letterali e frazionarie
Grado di un’equazione algebrica razionale intera
Per mezzo dei princìpi di equivalenza si può trasformare ogni equazione algebrica razionale intera nell’incognita x nella forma, detta forma normale:
P(x) = 0
dove P(x) è un polinomio nella variabile x.
Si definisce grado dell’equazione il grado del polinomio P(x).
Le equazioni (algebriche razionali) intere ridotte a forma normale:
di primo grado, dette anche lineari, sono del tipo
ax + b = 0
con a e b numeri reali e a ≠ 0;
di secondo grado sono del tipo
ax 2 + bx + c = 0
con a, b, c numeri reali e a ≠ 0;
di terzo grado sono del tipo:
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0
con a, b, c, d numeri reali e a ≠ 0;
Un’equazione intera di forma normale P(x) = 0 si dice completa se è
completo il polinomio P(x), cioè se
contiene tutti i termini da quello di
grado più alto a quello di grado zero.
di grado n sono del tipo:
an x n + an–1x n–1 + … + a1x + a0 = 0 con an ≠ 0.
Il numero dei termini di un’equazione (algebrica razionale) intera completa aumenta con
l’aumentare del grado; l’equazione di quarto grado ha 5 termini, quella di quinto grado 6
termini, in generale quella di grado n ha n + 1 termini.
Per riconoscere il grado di un’equazione algebrica intera occorre ridurla a forma normale.
sempio
Consideriamo l’equazione
x − 2 x 2 5 − x 7 − 8 x 5 x (2 x − 1)
−
−
=
−
5
2
4
5
20
e riduciamola a forma normale. Per far questo moltiplichiamo entrambi i membri per
m.c.m.(2; 4; 5; 20) = 20; si ha:
20 ⋅
da cui, sviluppando:
5 x (2 x − 1)
x−2
x2
5−x
7 − 8x
− 20 ⋅ − 20 ⋅
= 20 ⋅
− 20 ⋅
20
4
5
5
2
4 x − 8 − 10 x 2 − 25 + 5 x = 28 − 32 x − 10 x 2 + 5 x
ed eliminando i termini –10x 2 e +5x, che compaiono come addendi in entrambi i membri,
si ottiene:
4 x – 33 = 28 – 32x
Trasportando i termini del secondo membro al primo membro, cambiandoli di segno e riducendo i termini simili, si ricava la forma normale:
36x – 61 = 0
L’equazione data è di primo grado, la sua soluzione è
61
x=
36
Si osservi che l’equazione proposta conteneva termini di secondo grado che nello svolgimento si sono potuti eliminare. Pertanto non è possibile stabilire il grado di un’equazione se non
dopo averla scritta in forma normale.
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© 2010 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista