Analisi Matematica 6

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SPAZI DI LEBESGUE
Lezioni di Analisi Matematica 6
a.a. 2002-2003
Introduzione
In queste pagine troverete una traccia delle lezioni e dei seminari svolti nell’ambito del Corso di Analisi Matematica
6. Questi fogli sono, appunto, solo uno schema: non ci sono né dimostrazioni, né esercizi svolti, ma solo il testo
dei risultati fondamentali e di quegli esercizi che mi sono sembrati più significativi (e non nello stesso ordine in cui
sono stati presentati a lezione...). Data la struttura schematica, non troverete le consuete chiacchiere fatte a lezione
per spiegare (o tentare di spiegare) meglio gli argomenti, ma solo una lista di teoremi, corollari, lemmi, esercizi e
osservazioni.
1
Spazi di Lebesgue
Definizione 1 (Spazi di Lebesgue). Sia Ω un sottoinsieme misurabile di RN e sia p ∈ [1, ∞). Poniamo
Z
n
o
Lp (Ω) = u : Ω −→ R misurabili tali che
|u|p < ∞ .
Ω
Se p = ∞ poniamo invece
Lp (Ω) = {u : Ω −→ R misurabili tali che ess sup |u| < ∞},
dove
ess sup |u| = inf{k > 0 : |u| ≤ k q.o. in Ω}.
Esercizio 1. Se Ω è limitato e u : Ω −→ R è continua e limitata, allora u ∈ Lp (Ω) ∀ p ∈ [1, ∞].
Esercizio 2. Sia Ω = B(0, 1) e sai u(x) =
1
|x| .
Allora u ∈ Lp (Ω) se e solo se p < N .
Teorema 2. Lp è uno spazio vettoriale qualunque sia p ∈ [1, ∞].
Su Lp definiamo la seguente quantità (che risulterà essere una norma):
 µZ
¶1/p

p
|u| dx
kukLp (Ω) = kukLp = kukp =
Ω

ess sup |u|
se p < ∞,
se p = ∞.
Esercizio 3. Sia 1 ≤ p ≤ ∞. Se f, g ∈ Lp , allora max{f, g} ∈ Lp . In particolare, se f ∈ Lp , allora f + = max{f, 0} e
f − = max{−f, 0} appartengono ad Lp .
Uno dei risultati fondamentali nella teoria degli spazi Lp è il seguente teorema:
Teorema 3 (Disuguaglianza di Hölder). Siano p, p0 ∈ [1, ∞] tali che
1
1
+
=1
p p0
(con l’ovvia generalizzazione p = 1 se p0 = ∞ o viceversa) e siano u e v due funzioni misurabili definite su Ω. Allora
kuvk1 ≤ kukp kvkp0 .
0
In particolare, se u ∈ Lp (Ω) e v ∈ Lp (Ω), il prodotto uv ∈ L1 (Ω).
Osservazione 4. La disuguaglianza di Hölder permette di dimostrare che kukp è effettivamente una norma, in quanto
vale la disuguaglianza di Minkowski:
ku + vkp ≤ kukp + kvkp
∀ p ∈ [1, ∞].
Di conseguenza, Lp risulta uno spazio metrico, dove la distanza è definita da
dp (u, v) = ku − vkp
∀ u, v ∈ Lp ,
e quindi fn → f in Lp se kfn − f kp → 0.
1
∀ p ∈ [1, ∞]
1
SPAZI DI LEBESGUE
Teorema 5 (Fisher–Riesz). Per ogni p ∈ [1, ∞], Lp (Ω) è uno spazio di Banach rispetto alla norma kukp . Inoltre
L2 (Ω) è uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto scalare
Z
uv dx.
hu, vi =
Ω
Esercizio 4. Sia fn (x) =
n√
.
1+n x
Per quali p fn è una successione di Cauchy in Lp ([0, 1])? (Sol: 1 ≤ p < 2).
La disuguaglianza di Hölder ha utili conseguenze:
Teorema 6. (i) Siano p, q, r ∈ [1, ∞] tali che
1
1 1
= + .
r
p q
Se u ∈ Lp e v ∈ Lq , allora uv ∈ Lr e
kuvkr ≤ kukp kvkq .
(ii) Siano p1 , . . . , pk ∈ [1, ∞] tali che
1
1
1
+
+ ... +
= 1.
p1
p2
pk
Se ui ∈ Lpi , allora Πki=1 ui ∈ L1 e
ku1 . . . uk k1 ≤ Πki=1 kui kpi .
0
(iii) Se un → u in Lp e vn → v in Lp , allora un vn → uv in L1 .
0
(iv) Se un → 0 in Lp e vn è limitata in in Lp , allora un vn → 0 in L1 .
Un altro utile corollario della disuguaglianza di Hölder è il seguente
Teorema 7 (Disuguaglianza di interpolazione). Siano p, q, r ∈ [1, ∞] tali che p < r < q e sia θ ∈ (0, 1) tale che
1
θ 1−θ
= +
.
r
p
q
Allora Lp ∩ Lq ⊂ Lr , cioè se u ∈ Lp ∩ Lq , allora u ∈ Lr e
kukr ≤ kukθp kvk1−θ
.
q
In particolare L1 ∩ L∞ ⊂ L2 (scegliendo p = 1, q = ∞, r = 2 e θ = 1/2).
Teorema 8 (Convergenza dominata (o di Lebesgue) in Lp ).
1 ≤ p < ∞: Supponiamo che un ∈ Lp (Ω), che un → u q.o. in Ω e che esista φ ∈ Lp (Ω) tale che |un | ≤ φ q.o. in Ω.
Allora u ∈ Lp (Ω) e un → u in Lp (Ω).
p = ∞: Supponiamo che un , u ∈ L∞ (Ω). Allora un → u in L∞ (Ω) se e solo se esiste un insieme misurabile A ⊂ Ω
tale che |A| = 0 e un → u uniformemente in Ω \ A.
Vale una sorta di viceversa del Teorema precedente:
Teorema 9. Se fn → f in Lp , 1 ≤ p ≤ ∞, allora esistono una sottosuccessione (fnk )k ed una funzione h ∈ Lp tali
che
• fnk → f q.o. in Ω;
• |fnk (x)| ≤ h(x) ∀ k e q.o. in Ω.
Osservazione 10. Nel teorema precedente, se p = ∞, si può prendere nk = k. Invece, se p < ∞, in generale, la
(fnk )k è proprio una sottosuccessione, come mostra l’esercizio seguente.
Esercizio 5. Siano Ω = R, p ∈ [1, ∞) e fn = χ[log n,log(n+1)[ . Allora fn → 0 in Lp (R), ma non esiste alcuna h ∈ Lp (R)
tale che fn ≤ h q.o. in R. (Invece se nk = k 2 e h(x) = χ∪[log k2 ,log(k2 +1)[ il teorema è verificato).
Teorema 11 (Riflessività). Lp (Ω) è uno spazio riflessivo per ogni p con 1 < p < ∞.
2
1
SPAZI DI LEBESGUE
La dimostrazione di questo teorema si basa sulla (prima) disuguaglianza di Clarkson: se p ∈ [2, ∞), allora per ogni
f , g ∈ Lp , risulta
¯¯
¯¯
¯¯
¯¯
¯¯ f + g ¯¯p ¯¯ f − g ¯¯p
kf kpp + kgkpp
¯¯
¯¯ + ¯¯
¯¯ ≤
.
¯¯ 2 ¯¯
¯¯ 2 ¯¯
2
p
p
Osservazione 12. È possibile dimostrare che gli spazi L1 e L∞ non sono mai riflessivi, a meno che la misura di
Lebesgue in Ω sia sostituita da una misura µ concentrata in un numero finito di atomi, nel qual caso anche L1 (Ω, µ)
e L∞ (Ω, µ) risultano riflessivi.
È anche facile convincersi che L1 non sia riflessivo dal seguente
Esercizio 6. Sia Ω = (−1, 1) e sia fn = n2 χ[− n1 , n1 ] . Evidentemente kfn k1 = 1 ∀ n. Se L1 (Ω) fosse riflessivo, sarebbe
possibile estrarre una sottosuccessione convergente debolmente in L1 . Invece fn converge (nel senso delle distribuzioni!)
alla δ di Dirac concentrata in 0. Difatti L1 è contenuto nell’insieme delle misure di Radon, quindi ogni successione
limitata in L1 ammette sottosuccessioni convergenti nel senso delle misure.
La riflessività di Lp per 1 < p < ∞ garantisce che da ogni successione limitata in tali spazi si possa estrarre una
sottosuccessione debolmente convergente. Ovviamente, in generale, non si potrà avere la convergenza quasi ovunque
al limite debole:
Esercizio 7. Supponiamo di essere in uno dei casi seguenti.
• Ω = (0, π) e fn (x) = sin(nx).
• Ω = R, g ∈ Lp (R) e gn (x) = n1/p g(nx).
• Ω = R, h ∈ Lp (R) e hn (x) = h(n + x).
Allora fn → 0 debolmente in Lp (Ω) ma non q.o.!
È facile dimostrare che se fn → f in Lp , allora kfn kp → kf kp . Ovviamente se kun kp → kukp non si può concludere
che un → u (basta prendere due funzioni diverse che hanno norma uguale...). Però se in più un → u q.o., vale:
Esercizio 8. Se 1 ≤ p < ∞, kun kp → kukp e un → u q.o., allora un → u in Lp .
Se p = ∞ questo risultato è falso: basta considerare Ω = [0, 2], un (x) = xn se x ∈ [0, 1], un (x) = 1 se x ∈ (1, 2] e
u(x) = χ[1,2] (x).
Teorema 13 (Separabilità). Lp (Ω) è uno spazio separabile per ogni p con 1 ≤ p < ∞.
Più precisamente, si può dimostrare che Lp (Ω) è separabile se e solo se p < ∞ (a meno che la misura di Lebesgue
in Ω sia sostituita da una misura µ concentrata in un numero finito di atomi, nel qual caso anche L∞ (Ω, µ) risulta
separabile).
0
Teorema 14 (Rappresentazione di Riesz). Sia 1 ≤ p < ∞ e sia L ∈ (Lp )0 . Allora esiste una, ed una sola, u ∈ Lp
tale che
Z
hL, f i =
uf dx
∀ f ∈ Lp ,
Ω
ed inoltre
kLk(Lp )0 = kukLp0 .
Al solito, si intende 10 = ∞.
0
Grazie a questo Teorema, sarà sempre fatta l’identificazione del duale di Lp con Lp , essendo questi spazi isometrici.
Inoltre si ha adesso una chiara visione di quello che significhi ”convergenza debole” in Lp , per p < ∞:
Z
Z
0
fn * f
⇐⇒
fn g dx →
f g dx
∀ g ∈ Lp (Ω),
Ω
Ω
qualunque sia p ∈ [1, ∞).
Esercizio 9. Consideriamo le successioni introdotte nell’esercizio 7. Allora
• fn converge debolmente, ma non fortemente a 0 in L2 (0, π);
• gn converge debolmente, ma non fortemente a 0 in Lp (R), qualunque sia g ∈ Lp (R);
3
1.1
Misura di Ω finita vs Misura di Ω infinita
1
SPAZI DI LEBESGUE
• hn converge debolmente, ma non fortemente a 0 in Lp (R), qualunque sia h ∈ Lp (R).
Un classico risultato di compattezza negli spazi Lp è una ”generalizzazione” del Teorema Ascoli–Arzelà, per il cui
enunciato diamo prima la seguente
Definizione 15. Per ogni h ∈ R e u ∈ Lp (RN ), poniamo
uh (x) = u(x + h),
x ∈ RN .
Teorema 16 (Fréchet – Kolmogorov – Riesz). Sia F un insieme limititato di Lp (RN ), 1 ≤ p < ∞. Supponiamo
che
lim kuh − ukp = 0
uniformemente per ogni u di F
h→0
(cioè ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tale che ∀ h ∈ RN tale che |h| < δ risulti kuh − ukp < ε ∀ u ∈ F). Allora F|Ω è relativamente
compatta in Lp (Ω) per ogni Ω ⊂ RN misurabile e di misura finita.
1.1
Misura di Ω finita vs Misura di Ω infinita
Se la misura di Ω è finita, ci sono alcuni risultati piuttosto interessanti, tutti conseguenza della disuguaglianza di
Hölder.
Teorema 17. Siano |Ω| < ∞ e p ∈ [1, ∞]. Allora Lp (Ω) si immerge con continuità in Lq (Ω) per ogni q ≤ p. Più
precisamente
kukq ≤ |Ω|1−q/p kukp .
Di conseguenza
Lp (Ω) ,→ Lq (Ω)
(1)
q≤p
e quindi
L∞ (Ω) ⊂ ∩p≥1 Lp (Ω).
Quest’ultima inclusione è stretta, come mostra il seguente
Esercizio 10. Sia Ω = (0, 1) e sia u(x) = log x. Allora u ∈ ∩p≥1 Lp (Ω) (ma evidentemente u 6∈ L∞ (Ω)).
Inoltre anche le inclusioni di (1) sono strette:
Esercizio 11. Sia Ω = (0, 1/2) e sia u(x) = (x log2 x)−1 . Allora u ∈ L1 (Ω), ma u 6∈ Lp (Ω) per alcun p > 1.
Osserviamo anche il Teorema di immersione cessa di essere valido nel caso in cui Ω abbia misura infinita; difatti
la funzione u(x) = 1/x appartiene a L2 (1, +∞) (e ad L∞ (1, ∞)), ma evidentemente non appartiene a L1 (1, +∞).
Inoltre:
√
Esercizio 12. La funzione f (x) = ( x(1 + | log x|))−1 appartiene a L2 (0, ∞), ma non appartiene ad alcun Lp (0, ∞)
per alcun p 6= 2.
Esercizio 13.
• Costruire una funzione u ∈ L1 (0, ∞) tale che u 6∈ L2 (0, ∞) e u 6∈ L∞ (0, ∞).
• Costruire funzione u ∈ L2 (0, ∞) tale che u 6∈ L1 (0, ∞) e u 6∈ L∞ (0, ∞).
Esercizio 14. Sia |Ω| < ∞. Allora
• kf k∞ = lim kf kp per ogni f ∈ L∞ (Ω);
p→∞
• se f ∈ ∩p≥1 Lp (Ω) e
sup kf kp < ∞, allora f ∈ L∞ (Ω).
1≤p<∞
Teorema 18 (Disuguaglianza di Jensen). Sia J : R −→ R una funzione convessa e sia u ∈ L1 (Ω). Allora
µ
¶
Z
Z
1
1
J
u(x) dx ≤
J(u(x)) dx.
|Ω| Ω
|Ω| Ω
4
3
APPOSSIMAZIONI E CONVOLUZIONI
2
Convergenze
Di seguito saranno ricordate le principali implicazioni relative alla convergenza di funzioni. Se non diversamente
specificato, p indicherà un numero tra 1 e ∞ inclusi.
2.1
Caso Generale
• fn → f in Lp ⇒ fn → f in misura;
• fn → f in L∞ ⇒ fn → f q.o.;
• fn → f in Lp ⇒ fn * f debolmente in Lp .
2.2
Misura di Ω finita
Oltre alle implicazioni precedenti, valgono anche le seguenti:
• fn → f in L∞ ⇒ fn → f in Lp ;
• fn → f q.o. ⇒ fn → f in misura;
• se p > q e fn → f in Lp ⇒ fn → f in Lq .
Per interpolazione si può dimostrare che, in certi casi, la convergenza debole implica quella forte:
Esercizio 15. Se |Ω| < ∞, p ∈ (1, ∞), fn ∈ Lp (Ω), fn ≥ 0 q.o. e fn * 0 in Lp (Ω), allora fn → 0 in Lq (Ω) ∀ q < p.
3
Appossimazioni e Convoluzioni
Teorema 19 (Teoremi di densità). Sia 1 ≤ p < ∞.
1. Esiste un’infinità numerabile di funzioni a gradini le cui combinazioni lineari a coefficienti in Q sono dense in
Lp .
0
2. CC
è denso in Lp .
∞
3. CC
è denso in Lp .
Per dimostrare il punto 3 del Teorema precedente, è necessario ricorrere alla nozione di convoluzione.
Definizione 20. Siano f ∈ L1 (RN ), g ∈ Lp (RN ), 1 ≤ p ≤ ∞. Definiamo la convoluzione di f con g come
Z
f ∗ g(x) =
f (x − y)g(y) dy.
RN
Osserviamo immediatamente che, cambiando variabile di integrazione, f ∗ g = g ∗ f .
Teorema 21. Siano f ∈ L1 (RN ), g ∈ Lp (RN ), 1 ≤ p ≤ ∞. Allora per q.o. x di RN la funzione
y 7→ f (x − y)g(y)
è integrabile su RN (ovvero f ∗ g è ben definita).
Inoltre f ∗ g ∈ Lp (RN ) e
kf ∗ gkp ≤ kf k1 kgkp .
Definizione 22. Siano 1 ≤ p ≤ ∞ e u : Ω −→ R. Diciamo che u ∈ Lploc (Ω) se uχK ∈ Lp (Ω) per ogni compatto K
contenuto in Ω.
0
Proposizione 23. Siano f ∈ CC
(RN ) e g ∈ L1loc (RN ). Allora f ∗ g è ben definita in ogni x ∈ RN e f ∗ g è continua
N
k
N
su R . Inoltre se f ∈ CC (R ), allora f ∗ g ∈ C k (RN ) e Dα (f ∗ g) = (Dα f ) ∗ g per ogni multiindice α tale che |α| ≤ k.
La dimostrazione dell’ultima affermazione è una semplice applicazione del teorema di derivazione sotto il segno di
integrale.
5
3
APPOSSIMAZIONI E CONVOLUZIONI
Definizione 24 (Mollificatori). Una successione (ρn )n è detta di mollificatori se ∀ n ∈ N risulta
∞
• ρn ∈ CC
(RN );
• il supporto di ρn è contenuto in B(0, n1 );
R
• ρn ≥ 0 e RN ρn = 1.
Esercizio 16. Sia
(
ρ(x) =
1
e |x|2 −1
0
se |x| < 1,
se |x| ≥ 1
R
e sia C = ( ρ)−1 . Allora la successione definita da ρn (x) = CnN ρ(nx) è una successione di mollificatori.
Teorema 25. Sia ρn una successione di mollificatori.
1. Se f ∈ C(RN ), allora ρn ∗ f → f uniformemente sui compatti di RN ;
2. se 1 ≤ p < ∞ e f ∈ Lp (RN ), allora ρn ∗ f → f in Lp (RN ).
L’ultima affermazione garantisce quindi che C ∞ (RN ) è denso in Lp (RN ). Scegliendo poi una successione wn di
∞
∞
funzioni CC
(RN ) che convergono puntualmente a 1 su RN , si dimostra che CC
(RN ) è denso in Lp (RN ), mostrando
p
che wn (ρn ∗ f ) → f . Estendendo poi le funzioni di L (Ω) a 0 fuori di Ω si dimostra, come corollario, la terza parte del
Teorema 19 su domini qualunque.
6
4
4
SPAZI DI SOBOLEV
Spazi di Sobolev
Definizione 26 (Spazi di Sobolev). Sia Ω un aperto di RN e sia p ∈ [1, ∞]. Definiamo
½
1,p
W (Ω) = u ∈ Lp (Ω) : ∃ g1 , . . . , gn ∈ Lp (Ω) tali che
Z
¾
Z
Ω
uφxi dx = −
gi φ dx
Ω
∞
∀ v ∈ CC
(Ω), ∀ i = 1, . . . , N
.
1
Osservazione 27. Nella definizione precedente si possono considerare anche funzioni ”test” φ appartenenti a CC
(Ω).
Inoltre la funzione gi è unica e si chiama deriva i–sima debole di u.
Teorema 28. Per ogni p ∈ [1, ∞], W 1,p (Ω) è uno spazio di Banach rispetto alla norma
kukW 1,p (Ω) = kukW 1,p = kuk1,p = kukp + kDukp
o a quella equivalente
¡
¢1/p
kuk = kukpp + kDukpp
.
Inoltre H 1 (Ω) := W 1,2 (Ω) è uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto scalare
Z
Z
hu, vi =
uv dx +
Du · Dv dx.
Ω
Ω
In particolare W 1,p è uno spazio metrico completo rispetto alla distanza d(u, v) = ku − vk1,p .
Considerando i risultati ottenuti per gli spazi Lp non è difficile convincersi della validità del risultato seguente.
Teorema 29.
• W 1,p è riflessivo per 1 < p < ∞.
• W 1,p è separabile per 1 ≤ p < ∞.
È ovvio che prodotto di funzioni Lp non sia ancora in Lp . Invece in W 1,p valgono le seguenti regole di derivazione
del prodotto e di derivazione della composizione:
Esercizio 17.
• Se u, v ∈ W 1,p ∩ L∞ , allora uv ∈ W 1,p e
∂
∂u
∂v
(uv) =
v+u
∂xi
∂xi
∂xi
∀ i = 1, . . . , N.
• Se F ∈ C 1 (R), |F 0 | ≤ C e u ∈ W 1,p , allora F ◦ u ∈ W 1,p e
∂u
∂
(F ◦ u) = F 0 (u)
∂xi
∂xi
∀ i = 1, . . . , N.
Se Ω ⊂ RN , estendendo a 0 le funzioni fuori di Ω si ha un’immediata immersione di Lp (Ω) in Lp (RN ). Per gli
spazi di Sobolev la cosa non è cosı̀ semplice, ma vale il seguente
Teorema 30 (Prolungamento). Sia 1 ≤ p ≤ ∞ e sia Ω ⊂ RN di classe C 1 e con frontiera limitata (oppure
1,p
Ω = RN
(Ω) −→ W 1,p (RN ) tale che
+ ). Allora esiste un operatore di prolungamento lineare e continuo P : W
1. P u|Ω = u (prolungamento);
2. kP ukLp (RN ) ≤ CkukLp (Ω) ;
3. kP ukW 1,p (RN ) ≤ CkukW 1,p (Ω) (continuità),
dove la costante C è una costante che dipende solo da N e p.
Tramite prolungamenti e convoluzioni si dimostra il
7
4
SPAZI DI SOBOLEV
Teorema 31 (Densità ristretta). Siano Ω di classe C 1 e 1 ≤ p < ∞. Data u ∈ W 1,p (Ω), esiste una successione di
∞
funzioni un ∈ CC
(RN ) tale che un|Ω → u in W 1,p (Ω).
In realtà l’ultimo teorema può essere migliorato notevolmente, senza ipotesi su Ω:
Teorema 32 (Meyers–Serrin). Sia 1 ≤ p < ∞ e sia u ∈ W 1,p (Ω). Allora esiste una successione di funzioni
un ∈ C ∞ (Ω) ∩ W 1,p (Ω) tale che un → u.
Esercizio 18. Sia p ∈ [1, ∞] e sia f ∈ W 1,p (Ω). Allora f + , f − , |f | ∈ W 1,p (Ω).
Esercizio 19. Sia Ω = B(0, 1) e sia u(x) = |x|α , α ∈ R. Allora u ∈ W 1,p (Ω) se e solo se α > 1 − N/p.
Esercizio 20. Sia 1 ≤ p ≤ ∞ e sia (un )n una successione in W 1,p . Supponiamo che un * u in Lp e che Dun * g in
(Lp )N . Allora u ∈ W 1,p e Du = g.
Teorema 33 (Caratterizzazione di W 1,p ). Sia 1 < p ≤ ∞ e sia u ∈ Lp (Ω). Allora sono equivalenti i fatti seguenti:
1. u ∈ W 1,p (Ω);
2. esiste C tale che
¯Z
¯
¯
¯
¯ u ∂φ dx¯ ≤ Ckφkp0 ;
¯
¯
Ω ∂x1
3. Esiste C tale che per ogni aperto ω compattamente contenuto in Ω e per ogni h ∈ RN tale che |h| < dist(ω, ΩC )
risulta
ku(· + h) − ukLp (ω) ≤ C|h|.
In 2 e 3 la miglior costante C è kDukp .
Osservazione 34. Se p = 1 valgono le seguenti relazioni: 1 ⇒ 2 ⇔ 3. Le funzioni che verificano 2 o 3 per p = 1 sono
le funzioni a variazione limitata.
Teorema 35 (Sobolev (Gagliardo-Niremberg)). Sia p < N e sia
µ
¶
pN
1
1
1
p∗ =
=
−
.
N −p
p∗
p N
Allora esiste γ = γ(N, p) > 0 tale che
µZ
p∗
|u|
¶1/p∗
dx
µZ
¶1/p
|Du|p dx
≤γ
RN
∀ u ∈ W 1,p (RN ).
RN
∗
In altre parole, W 1,p (RN ) si immerge con continuità in Lp (RN ).
Esercizio 21. Il valore di p∗ dato dal Teorema di Sobolev è l’unico valore di q per cui
kukq ≤ γkDukp
con γ = γ(N, p) (si consideri ut (x) = u(tx)).
Per interpolazione si ottiene il seguente corollario.
Corollario 36. Sia p < N . Allora W 1,p (RN ) si immerge con continuità in Lq (RN ) per ogni q ∈ [p, p∗ ]. Più
precisamente, se 1q = αp + 1−α
p∗ , allora
kukq ≤ γkuk1,p ,
dove γ è la costante del Teorema di Sobolev.
Come corollario del Teorema di Sobolev, si ottiene anche il seguente
Teorema 37 (Caso p = N ). Per ogni q ∈ [N, ∞) esiste C = C(N, q) > 0 tale che
µZ
¶1/q
µZ
|u| dx
≤C
q
RN
¶1/N
N
|Du| dx
∀ u ∈ W 1,N (RN ).
RN
In altre parole, W 1,N (RN ) si immerge con continuità in Lq (RN ) ∀ q ∈ [N, ∞).
8
4
SPAZI DI SOBOLEV
Questo risultato è ottimale, nel senso che esistono funzioni di W 1,N che non stanno in L∞ :
Esercizio 22. Sia Ω = B(0, 1/2) e sia u(x) = (− log |x|)α con 0 < α < 1 − 1/N . Allora u ∈ W 1,N (Ω), ma
evidentemente u ∈ L∞ (Ω). Un altro esempio simile è dato dalla funzione u(x) = log log(1 + |x|−1 ) che appartiene a
W 1,n (B(0, 1)).
Teorema 38 (Morrey). Sia p > N . Allora esiste C = C(N, p) > 0 tale che
∀ u ∈ W 1,p (RN ).
kuk∞ ≤ Ckuk1,p
In altre parole W 1,p (RN ) si immerge con continuità in L∞ (RN ).
Inoltre
|u(x) − u(y)| ≤ CkDukp |x − y|1−1/p
per q.o. x, y ∈ RN .
Di conseguenza le funzioni di W 1,p con p > N ammettono un rappresentante continuo (concetto profondamente
diverso dall’essere continue quasi ovunque!).
Corollario 39. Se p > N e u ∈ W 1,p (RN ), allora
lim u(x) = 0.
|x|→∞
In particolare, le funzioni di W 1,p (R), p > 1, tendono a 0 all’infinito.
1,p
Teorema 40 (Differenziabilità q.o.). Sia N < p ≤ ∞ e sia u ∈ Wloc
(RN ). Allora u è differenziabile q.o. e il suo
gradiente distribuzionale coincide col gradiente ”classico”.
Inoltre
1,∞
Teorema 41. u ∈ Wloc
⇔ u ∈ Liploc .
E come corollario
Teorema 42 (Rademacher). Se u ∈ Liploc , allora è derivabile q.o..
Il teorema fondamentale di compattezza negli spazi di Sobolev è il seguente (che si dimostra tramite il Teorema di
Ascoli–Arzelà e il Teorema 16).
Teorema 43 (Rellich–Kondrachov). Sia Ω limitato e di classe C 1 . Allora
• se p < N , allora W 1,p (Ω) ,→ Lq (Ω) ∀ q ∈ [1, p∗ );
• se p = N , allora W 1,p (Ω) ,→ Lq (Ω) ∀ q ∈ [1, ∞);
• se p > N , allora W 1,p (Ω) ,→ C 0 (Ω),
e tutte le immersioni sono compatte.
In particolare W 1,p (Ω) ,→,→ Lp (Ω) qualunque sia p, e quindi se un è una successione che converge debolmente in
W
ad u, allora un → u nei rispettivi spazi di immersione compatta.
1,p
Definizione 44. Sia Ω un aperto di RN e sia p ∈ [1, ∞). Definiamo
∞
W01,p (Ω) = la chiusura di CC
(Ω) in W 1,p (Ω).
Teorema 45 (Disuguaglianza di Poincaré). Sia Ω un aperto limitato. Allora esiste C = C(N, p) > 0 tale che
∀ u ∈ W01,p (Ω).
kukp ≤ CkDukp
Osservazione 46. In realtà è sufficiente che Ω sia limitato in una direzione.
Corollario 47. Se Ω è un aperto limitato kDukp è una norma equivalente a kuk1,p .
Ricordiamo anche la seguente
9
4
4.1
Il caso N = 1
4
SPAZI DI SOBOLEV
Proposizione 48 (Disuguaglianza di Poincaré–Wirtinger). Sia 1 ≤ p < N . Allora esiste C = C(N, p) tale che
Ã
1
|B(x, r)|
!1/p∗
Z
|f − (f )x,r |
p∗
Ã
≤ Cr
B(x,r)
per ogni B(x, r) ⊂ Ω e per ogni f ∈ W 1,p (Ω), dove (f )x,r =
1
|B(x,r)|
1
|B(x, r)|
R
B(x,r)
!1/p
Z
p
|Df |
B(x,r)
f.
0
Indichiamo ora con W −1,p lo spazio duale di W01,p .
0
0
0
Teorema 49 (Rappresentazione di W −1,p ). Sia L ∈ H −1,p (Ω). Allora esistono f0 , f1 , . . . , fN ∈ Lp (Ω) tali che
per ogni u ∈ W 1,p (Ω)
Z
N Z
X
∂u
f0 u dx +
fi
L(u) =
dx.
∂xi
Ω
i=1 Ω
Se Ω è limitato, si può prendere f0 = 0.
R
R
Corollario 50. Sia 1 ≤ p < ∞ e sia Ω limitato. Allora un * u in W 1,p se e solo se Dun · V → Du · V per ogni
R
R
0
0
campo vettoriale V ∈ (Lp )N . In particolare Dun · Dv → Du · Dv per ogni v ∈ W 1,p .
Esercizio 23. Provare che per ogni u ∈ H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω) risulta
µZ
Z
¶1/2 µZ
|Du|2 dx ≤
u2 dx
Ω
¶1/2
|∆u|2 dx
.
Ω
Ricordiamo anche il fatto che le funzioni di Sobolev, anche se definite quasi ovunque, hanno significato anche su
∂Ω in base alla teoria delle tracce:
1
Teorema 51 (Teorema di traccia). Sia 1 ≤ p < ∞ e sia Ω = RN
+ oppure un aperto limitato di classe C . Allora
1,p
p
esiste un operatore lineare e continuo T : W (Ω) −→ L (∂Ω) tale che
• T u = u|∂Ω per ogni u ∈ W 1,p (Ω) ∩ C 0 (Ω);
• esiste C = C(N, p) tale che
kT ukLp (∂Ω) ≤ CkukW 1,p (Ω)
per ogni u ∈ W 1,p (Ω) (continuità).
Ricordiamo infine la seguente definizione.
Definizione 52. Siano 1 ≤ p ≤ ∞ e m ∈ N. Definiamo per ricorrenza lo spazio
½
¾
∂u
W m,p (Ω) = u ∈ W m−1,p (Ω) :
∈ W m−1,p (Ω) ∀ i = 1, . . . , N ,
∂xi
P
dotato della norma kukm,p = 0≤|α|≤m kDukp .
Come prima, W m,p (Ω) risulta uno spazio di Banach, riflessivo per 1 < p P
< ∞, separabile
per 1 ≤ p < ∞, e
R
W
:= H m risulta uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto scalare hu, vi = 0≤|α|≤m Dα u · Dα v.
Non saranno riportati i teoremi relativi agli spazi W m,p , lasciando a chi legge il compito di estendere i risultati
precedenti a questi spazi.
m,2
4.1
Il caso N = 1
In questa sezione il dominio naturale dell funzioni sarà un intervalloSia I di R.
Cominciamo con il seguente miglioramento del Teorema di Morrey.
Teorema 53. Sia 1 ≤ p ≤ ∞. Allora, comunque presa u ∈ W 1,p (I), esiste ũ ∈ C(I) tale che u = ũ q.o. su I e inoltre
vale la formula del Teorema Fondamentale del Calcolo
Z x
ũ(x) − ũ(y) =
u0 (t) dt
∀ x, y ∈ I.
y
La funzione ũ è chiamata ”rappresentante continuo di u”.
10
4
SPAZI DI SOBOLEV
4.1
Il caso N = 1
Teorema 54. Sia 1 ≤ p ≤ ∞. Allora esiste C = C(n, |I|) (dove |I| ≤ ∞) tale che
∀ u ∈ W 1,p (I),
kuk∞ ≤ Ckuk1,p
cioè W 1,p (I) ,→ L∞ (I) ∀ p.
Inoltre, se I è limitato,
W 1,p (I) ,→,→ C(I)
∀ p ∈ (1, ∞],
W 1,p (I) ,→,→ Lq (I)
∀ p ∈ [1, ∞).
Proposizione 55. Sia u ∈ Lp (I), con 1 < p ≤ ∞. Allora sono equivalenti:
1. u ∈ W 1,p (I);
2. esiste C tale che
¯
¯Z
¯
¯
¯ u ∂φ dx¯ ≤ Ckφkp0 ;
¯
¯
Ω ∂x1
3. Esiste C tale che per ogni aperto ω compattamente contenuto in I e per ogni h ∈ RN tale che |h| < dist(ω, I C )
risulta
ku(· + h) − ukLp (ω) ≤ C|h|.
In 2 e 3 la miglior costante C è ku0 kp .
Osservazione 56. Se p = 1 valgono le seguenti relazioni: 1 ⇒ 2 ⇔ 3: le funzioni che verificano 1 sono le funzioni
assolutamente continue, mentre quelle che verificano 2 o 3 sono le funzioni a variazione limitata.
Corollario 57. Sia u ∈ L∞ (I). Allora u ∈ W 1,∞ (I) ⇔ ∃ C > 0 tale che |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y| per q.o. x, y ∈ I.
Esercizio 24. Provare direttamente che se u ∈ W 1,p (0, 1) per qualche p ∈ (1, ∞), allora
µZ
1−1/p
|u(x) − u(y)| ≤ |x − y|
1
¶1/p
|u (t)| dt
0
p
per q.o. x, y ∈ [0, 1].
0
Esercizio 25. Siano a, b > 0. Allora u(x) = |x| appartiene a W 1,p (−a, b) per ogni p ∈ [1, ∞].
11