2008Tutti compiti - E-learning del Polo di Ingegneria

FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
PROVA SCRITTA del 14 gennaio 2008
NOTE:
-
Tempo a disposizione: 2h 30m
E’ obbligatorio giustificare brevemente ma in modo esauriente e comprensibile
le risposte e dare le valutazioni numeriche quando possibile
I punteggi sono indicati in parentesi per ogni domanda. Da 0 a 3 punti per la
chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
Costanti fisiche: ε 0 = 8.85 ×10−12 C 2 ( N ⋅ m 2 ) ; μ0 = 4π × 10−7 T ⋅ m A ; g = 9.81ms −2
Esercizio 1
Una bicicletta con ruote di raggio R=28cm si muove
con velocità vB=10km/h su una strada bagnata. Le
goccioline d'acqua vengono trascinate dal copertone e
si staccano dal copertone stesso ad un angolo di θ=30°
dal piano della strada.
1.1 (3) Calcolare le componenti orizzontale e verticale
della velocità delle goccioline al momento del
distacco nel sistema di riferimento della strada.
1.2 (4) Calcolare l'altezza massima che verrebbe
raggiunta dalle goccioline in assenza di parafango.
1.3 (4) Dire se le goccioline vengono fermate da un
parafango che termina ad una distanza d=5.0cm dal
bordo superiore della ruota.
Esercizio 2
Un cilindro isolante infinito di raggio a=5.0cm, è carico uniformemente con una densità di carica
di volume ignota ρ. Il cilindro è avvolto in una calza metallica di spessore trascurabile, caricata
uniformemente con una densità superficiale di carica σ=+2.0nC/cm2.
2.1 (3) Calcolare la densità di carica ρ (con segno) sapendo che il campo elettrico all'esterno del
cilindro è ovunque nullo.
2.2 (4) Determinare il modulo, direzione e verso del campo elettrico all'interno del cilindro in
funzione della distanza r dall'asse del cilindro, ed in particolare valutare numericamente E
ad un raggio pari ad a/2 = 2.5cm.
2.3 (4) Calcolare la differenza di potenziale tra il centro del cilindro e la sua superficie (all'interno
della calza metallica).
Esercizio 3
Una sbarretta conduttrice di massa m=25g può scorrere senza attrito
lungo due binari conduttori collegati da una resistenza R=8.0Ω e distanti
l=20cm come in figura. Il sistema è immerso in un campo magnetico
B=2.0T uniforme perpendicolare alla figura e diretto dentro il foglio.
Inizialmente (t=0) la sbarretta si muove con una velocità vi=5.0 m/s.
3.1 (3) Calcolare, nell’istante t=0, il modulo della corrente indotta ed
indicare in che verso scorre.
3.2 (4) Calcolare il modulo, direzione e verso della forza che un operatore
esterno deve esercitare sulla sbarretta per mantenere la velocità costante non considerando
la forza di gravita’.
3.3 (4) Se la sbarretta è orizzontale e le rotaie verticali, calcolare la velocità di regime che
raggiunge la sbarretta cadendo sotto l'azione della gravità.
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
PROVA SCRITTA del 31 gennaio 2008
NOTE:
-
Tempo a disposizione: 2h 30m
E’ obbligatorio giustificare brevemente ma in modo esauriente e comprensibile
le risposte e dare le valutazioni numeriche quando possibile
I punteggi sono indicati in parentesi per ogni domanda. Da 0 a 3 punti per la
chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
(
)
Costanti: ε 0 = 8.85 × 10 −12 C 2 N ⋅ m 2 ; μ 0 = 4π × 10 −7 T ⋅ m A ; g = 9.81m ⋅ s −2
Esercizio 1
Una sbarra (di lunghezza L=50cm e massa M=10kg) e’ incernierata senza attrito in un suo
estremo C e può ruotare in un piano verticale in presenza di gravità. La sbarra è
inizialmente ferma in una posizione orizzontale e viene lasciata cadere al tempo t=0.
1.1 (3) Dire quali delle seguenti quantità si conservano nel moto della sbarra e perchè:
quantità di moto, momento angolare rispetto al punto C, energia meccanica.
Calcolare, quando la sbarra è in posizione verticale:
1.2 (2) la velocità angolare della sbarra
1.3 (3) le componenti orizzontale e verticale dell’accelerazione del centro di massa della
sbarra
1.4 (3) le componenti orizzontale e verticale della forza esercitata sulla sbarra dalla
cerniera nel punto C.
(Si ricordi che il momento di inerzia di una sbarra rispetto ad un estremo è I=(1/3) ML2.)
Esercizio 2
Quattro cariche (due positive, +Q, e due negative, -Q) sono
y
disposte ai vertici di un quadrato di diagonale 2d, come
+Q
mostrato in figura. Come valori numerici si considerino
Q=100pC e d=2cm.
2.1 (3) Determinare il campo elettrico (componenti Ex ed Ey) al
d
d
centro del quadrato (punto O)
O
+Q
2.2 (4) Determinare il potenziale elettrico V(x) lungo l’asse x,
ponendo V(xÆ∞)=0, e calcolare la differenza di potenziale tra il
punto x=2d ed il punto x=-2d.
-Q
2.3 (4) Una carica di prova positiva con carica q=2pC e massa
m=1mg viene lasciata libera nel punto x=-2d. Indicare in che
direzione si muove la carica, e qual è la sua velocità quando essa si trova a grande
distanza dalle altre cariche.
-Q
Esercizio 3
Una resistenza R=470kΩ ed un condensatore di capacitá C=1nF sono
collegati in serie in un circuito piano e chiuso che racchiude una
superficie di area A=10cm2. Nella regione di spazio occupata dal circuito
B
è presente un campo magnetico uniforme diretto perpendicolarmente al
⎛
t ⎞
piano del circuito e variabile per t>0 secondo la formula: B(t ) = ⎜⎜ B0 ⎟⎟ zˆ
⎝ t0 ⎠
con B0=0.03T, t0=1ms.
3.1 (3) Calcolare la forza elettromotrice indotta nel circuito ed indicare il
verso della corrente indotta.
3.2 (3) Calcolare qual è la carica massima accumulata sulle armature del condensatore.
3.3 (5) Determinare la corrente I(t) che scorre nel circuito in funzione del tempo e riportarla
in un grafico
x
SOLUZIONI
Esercizio 1
1.1 La quantita’ di moto non si conserva, essendo presenti forze esterne (la forza peso e la
reazione vincolare) la cui somma in generale non si annulla.
Il momento angolare rispetto al punto C non si conserva perche’ c’e’ una forza esterna,
la forza peso, con momento meccanico diverso da 0 rispetto a C (il momento della
reazione vincolare invece e’ nullo rispetto a C).
L’energia meccanica si conserva perche’ la forza gravitazionale e’ conservativa e non
c’e attrito col vincolo
1.2 Dalla conservazione dell’energia, considerando che a t=0 la sbarra e’ ferma e che il
moto e’ puramente rotatorio (quindi l’energia cinetica si puo’ scrivere come
1
1
L 1
3g
Ecin = Iω 2 = ML2ω 2 ) : Mg = ML2ω 2 . Quindi ω =
= 7.7rad / s
2
6
2 6
L
1.3 Sia x l’asse orizzontale e y l’asse verticale, diretto verso l’alto. Si fissi l’origine degli assi
in C.
La componente verticale dell’accelerazione del CM quando la sbarra e’ in posizione
L 3
m
verticale non e’ altro che la componente radiale: a y = a r = ω 2 rCM = ω 2 = g = 14.7 2 .
2 2
s
La componente orizzontale dell’accelerazione del CM quando la sbarra e’ in posizione
L
verticale e’ dovuta alla sola componente tangenziale: a x = −at = −αrCM = −α .
2
L’accelerazione angolare α si trova con la seconda equazione cardinale della dinamica
( τ = Iα ) valutata rispetto al polo C. Quando la sbarra e’ in posizione verticale il
m
momento della forza peso rispetto al polo e’ nullo e quindi α=0 e a x = 0 2
s
est
1.4 Si applica la prima equazione cardinale della dinamica ( ∑ F = Ma CM ). Le forze agenti
sul sistema sono la reazione vincolare della cerniera ( N = N x x̂ + N y ŷ ) e la forza peso
( −Mgŷ ). Quindi: N x = Ma x = 0 N e N y = Ma y + Mg =
5
Mg = 245 N
2
Esercizio 2 (vedi 11 giugno 2007)
2.1 I campi elettrici dovuti alle 4 cariche nel punto O sono uguali in modulo e diretti come
in figura. Le componenti x e y sono uguali tra loro e sono pari a 2 volte il modulo del
Q
= 4.5 kV m
campo elettrico generato da ciascuna carica: E x = − E y = 2
4πε 0 d 2
2.2 Il potenziale elettrico totale lungo l’asse x e’ uguale alla somma dei potenziali elettrici
generati dalle 4 cariche puntiformi. Lungo tale asse i potenziali delle cariche +Q in
(x=0,y=d) e –Q in (x=0,y=-d) si annullano a vicenda, e rimane solo il contributo dovuto alle
−Q
Q
Q ⎛ 1
1 ⎞
altre 2 cariche: V (x ) =
+
=
−
⎜
⎟.
4πε 0 x − d 4πε 0 x + d 4πε 0 ⎝ x + d x − d ⎠
Q
Q
Q ⎛ 1 1⎞
Q ⎛1 1 ⎞
, V (x = −2d ) =
e
Quindi V (x = 2d ) =
=−
=
−
−
6πε 0 d
4πε 0 ⎝ 3d d ⎠
4πε 0 ⎝ d 3d ⎠ 6πε 0 d
−Q
V ( x = 2 d ) − V ( x = −2 d ) =
= −60V
3πε 0 d
2.3 Partendo da ferma, la carica si muove inizialmente nel verso del campo elettrico totale
in (x=-2d,y=0), quindi verso x<-2d, y<0. Dalla conservazione dell’energia si ricava la
velocita’
v∞ =
della
carica
all’infinito:
1 2
qQ
mv ∞ = q[V (x = −2d) − V (∞)]=
2
6πε 0 d
da
cui
2qQ
mm
= 10.9
6πε 0 dm
s
Esercizio 3
3.1 Il flusso del campo magnetico concatenato con il circuito e’ 0 per t<0. Per t>0 il flusso
t
e’ Φ B t = B(t) A = B0 A , dove il versore normale al circuito viene considerato
t0
orientato lungo +z. La forza elettromotrice indotta e’ quindi
(t < 0)
⎧0V
dΦ B (t ) ⎪
= ⎨ B0 A
ε (t ) = −
(t ≥ 0)
dt
⎪− t = −V0 = −30mV
0
⎩
Quindi per t>0 c’e’ una corrente indotta, che – dato il segno della forza elettromotrice –
circola in senso orario attorno all’asse z.
()
3.2 Il circuito per t>0 e’ un circuito RC con una forza elettromotrice costante pari a 30mV. Il
condensatore quindi si carica progressivamente fino a un valore asintotico
Q = CV0 = 30 pC
3.3 La variazione nel tempo della carica sulla armatura positiva del condensatore e della
corrente nel circuito sono date dalle ben note espressioni:
Q (t ) = CV0 1 − e−t / RC
(
)
V0 −t / RC
e
R
La corrente che scorre nel circuito e’ massima all’istante iniziale t=0, dove vale
V
I (0 ) = 0 = 64nA , e tende a 0 per tÆinf.
R
I (t ) =
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
PROVA SCRITTA del 21 febbraio 2008
SOLUZIONI
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2006/2007
PROVA SCRITTA del 21 febbraio 2008
NOTE:
-
Tempo a disposizione: 2h 30m
E’ obbligatorio giustificare brevemente ma in modo esauriente e comprensibile
le risposte e dare le valutazioni numeriche quando possibile
I punteggi sono indicati in parentesi per ogni domanda. Da 0 a 3 punti per la
chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
(
)
Costanti: ε 0 = 8.85 × 10−12 C 2 N ⋅ m 2 ; μ0 = 4π ×10−7 T ⋅ m A ; g = 9.81m ⋅ s −2 ;c = 3 × 108 m / s
Esercizio 1
Una molla di costante elastica K=80N/m e di lunghezza a riposo L=0.5m ha un estremo
fissato nella posizione x=0 di una guida orizzontale. Una massa M=5kg e’ premuta contro
la molla fino a comprimerla completamente. Al tempo t=0 la massa viene lasciata libera di
muoversi partendo da ferma. Nel moto lungo l’asse x non vi e’ nessun attrito nella regione
0<x<L (x=L è anche il punto in cui la massa si stacca dalla molla); vi e’ invece un attrito
dinamico fra massa e piano di appoggio per x>L. Si osserva che la massa si ferma in
x=5L.
1.1 (3) Calcolare quanto vale il coefficiente di attrito dinamico nella regione L<x<5L.
1.2 (4) Ricordando che il moto di una massa spinta da una molla è sinusoidale, si calcoli il
tempo t1 a cui la massa si stacca dalla molla.
1.3 (4) Si dica che tipo di moto compie la massa nella regione L<x<5L e calcolare il tempo
t2 a cui la massa si ferma.
Esercizio 2
Un filo di stagno di sezione S=1mm2 e resistività ρ=115 nΩ.m forma una spira circolare
di raggio a=1cm. La spira è immersa in un campo magnetico uniforme che forma un
angolo θ=π/6 con l’asse della spira. Il campo di induzione magnetica ha, per t=0, un
valore massimo B=0.1T ed oscilla con una frequenza f=100Hz.
2.1 (3) Si calcoli la massima corrente indotta che circola nel filo.
2.2 (4) Si calcoli il momento magnetico (modulo, direzione e verso) indotto nella spira in
funzione del tempo t ed il suo valore massimo μmax.
2.3 (4) Si calcoli il momento delle forze sulla spira in funzione del tempo t ed il suo valore
massimo τmax.
Esercizio 3
Un filo rettilineo di lunghezza infinita e’ uniformemente caricato con una densita’ di carica
negativa λ = - 1μC/m. Si consideri il filo allineato lungo l'asse z di un sistema di coordinate
polari cilindriche (r,φ, z).
3.1 (3) Si calcoli il campo elettrico (modulo, direzione e verso) a distanza r = 1cm dal filo.
3.2 (4) Si calcoli la differenza di potenziale con segno VB-VA tra i due punti A=(r=2cm, φ=0,
z=0) e B=(r=5.42cm, φ=0, z=0).
3.3 (4) Un elettrone (qe = -1.6 x 10-19 C, me = 9.1 x 10-31 kg) viene lasciato da fermo nel
punto A: calcolare con quale velocita’ raggiunge il punto B. Confrontare il risultato con
la velocita’ della luce .
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2007/2008
Soluzioni della prova scritta parziale del 28 febbraio 2008
Esercizio 1
1.1
Per capire se le componenti della quantità di moto si conservano usiamo la I◦ equazione
caridinale
X
dP~
F~ ext =
(1)
dt
scomponendo i vettori lungo gli assi cartesiani x̂, ŷ.
• x̂ :
P
Fxext = 0 =⇒ Px si conserva. Non ci sono forze esterne lungo l’asse x̂
• ŷ : Fyext 6= 0 =⇒ Py non si conserva. Le forze esterne al sistema blocchetto-cuneo
sono la forza di gravità che agisce sui due corpi m~g e M~g e la reazione vincolare
~ . Fino a che il blocchetto non arriva sul pavimento
del pavimento sul cuneo N
~
m~g + M~g + N 6= 0 visto che il CM del sistema si abbassa.
P
~ si conserva consideriamo questa volta la II◦
Per capire se il il momento angolare L
equazione cardinale
X
~τ ext =
~
dL
(polo fisso oppure polo CM).
dt
(2)
Nel nostro caso ~τ ext 6= 0 per cui il momento angolare non si conserva. Le forze esterne
che producono il momento della forza sono le forze peso m~g e M~g e la reazione vincolare
~.
del pavimento sul cuneo N
L’energia si conserva perché:
P
• la forza peso è conservativa,
• la reazione vincolare del piano sul cuneo non compie lavoro perché la reazione è
ortogonale al moto del cuneo,
• il lavoro totale delle forze interne al sistema è nullo.
1.2
Applichiamo la conservazione dell’energia meccanica e la conservazione della componente
della quantità di moto lungo l’asse x̂ per calcolare le velocità finali del blocchetto vB e del
cuneo vC .
Ki + Ui = Kf + Uf
(3)
Pxi = Pxf ,
(4)
per cui:
1
1
2
2
mvB
+ M vC
2
2
0 = mvB + M vC .
mgh =
1
(5)
(6)
Risolvendo il sistema si ricavano vB e vC :
vC
vB
m
= −0.76 m/s
M (M + m)
p
M
= 2.44 m/s.
= + 2gH · p
M (M + m)
p
= − 2gH · p
(7)
(8)
Come convezione abbiamo preso l’asse x̂ positivo verso destra. Per questo motivo il blocchetto nello stato finale si muove verso destra (verso positivo), mentre il cuneo verso
sinistra (verso negativo).
1.3
Visto che la componente della quantità di moto lungo l’asse x̂ si conserva Pxi = Pxf = 0
il centro di massa rimane fermo nella posizione iniziale. Se consideriamo come origine del
nostro sistema di coordinate il vertice del cuneo che forma l’angolo retto nella posizione
iniziale del sistema otteniamo che
xiCM =
M L3
= 0.18 m
M +m
(9)
Per quanto riguarda invece la componente lungo l’asse ŷ, il CM parte da una altezza
iniziale
M H3 + mH
i
= 0.20 m,
(10)
yCM
=
M +m
e mentre il blocchetto scende sul cuneo il CM fa un moto rettilineo in verticale (verso il
basso) fino a raggiungere la posizione finale
f
=
yCM
M H3
= 0.10 m
M +m
(11)
nell’istante in cui il blocchetto si separa dal cuneo.
Esercizio 2
2.1
Fino all’istante prima dell’urto l’energia meccanica si conserva perché la forza peso è
conservativa e il vincolo è liscio (non fa lavoro):
Ki + Ui = Kf + Uf .
(12)
L
1
0 + M gL = Iωp2 + M g ,
2
2
(13)
Questo significa che:
dove I = 13 M L2 è il momento di inerzia della sbaretta rispetto ad un asse passante per
l’estremità e ωp è la velocità angolare della sbarretta un istante prima dell’urto. Si ricava
che:
r
3g
rad
ωp =
= 7.00
.
(14)
L
s
2.2
Durante l’urto non si conserva l’energia meccanica perché si generano forze di attrito
dissipative tra sbarretta e pallina. Non si conserva la quantità di moto perché si generano
~
forze impulsive esterne (nella cerniera). Si conserva il momento angolare totale L.
2
Se con l’indice p indichiamo l’istante subito prima dell’urto e con l’indice d quello subito
dopo l’urto otteniamo
~p = L
~ d.
L
(15)
Quindi scriviamo che
Iωp = (I + mL2 )ωd ,
da cui ricaviamo
M
ωd =
M + 3m
r
rad
3g
= 4.38
.
L
s
(16)
(17)
Esercizio 3
3.1
Applichiamo la I◦ e la II◦ equazione cardinale per un sistema in equilibrio:
X
F~ ext = 0,
X
(18)
~τ ext = 0.
~ è la reazione vincolare della cerniera sulla sbarretta e N
~1 è la reazione vincolare del
Se R
cuneo sulla sbarretta, possiamo scrivere:
Rx − N1 sin(θ) = 0,
(19)
Ry + N1 cos(θ) − M g = 0,
L
−M g + N1 cos(θ)L = 0.
2
Da cui ricaviamo che:
Rx =
Ry =
N1 =
Mg
tan(θ) = 42.48 N,
2
Mg
= 24.52 N,
2
Mg
= 49.05 N.
2 cos(θ)
(20)
3.2
~ 2 è la reazione vincolare del pavimento
Applichiamo la I◦ equazione cardinale al cuneo. Se N
~
sul cuneo e FA è la forza di attrito statico tra cuneo e pavimento:
−FA + N1 sin(θ) = 0,
(21)
N2 − mg − N1 cos(θ) = 0.
Ricordando che il modulo della forza di attrito statico è FA ≤ µs N2 e che N1 =
punto precedente, ricaviamo che il minimo coefficiente di attrito statico è
µs =
M tan(θ)
= 0.35.
2m + M
3
Mg
2 cos(θ)
dal
(22)
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2007/2008
PROVA SCRITTA PARZIALE del 28 febbraio 2008
NOTE:
-
Tempo a disposizione: 2h 30m
E’ obbligatorio giustificare brevemente ma in modo esauriente e comprensibile
le risposte e dare le valutazioni numeriche quando possibile
I punteggi sono indicati in parentesi per ogni domanda. Da 0 a 3 punti per la
chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
Costanti fisiche: g = 9.81ms −2
Esercizio 1
Un blocchetto di massa m=2.5kg scivola senza attrito
su un cuneo di massa M=8kg, altezza H=40.0cm e
base L=69.3cm. Il cuneo e' appoggiato sul pavimento
g
ed e' libero di muoversi senza attrito. Il blocchetto
viene rilasciato da fermo dal punto più alto del cuneo,
H
CM
scivola lungo il cuneo ed una volta raggiunto il
pavimento continua sul pavimento.
1.1 (4) Dire quali delle seguenti quantità relative al
L
sistema blocchetto più cuneo si conservano, e
perchè: componenti della quantità di moto, momento angolare, energia.
1.2 (5) Dire con che velocità si muovono blocchetto e cuneo una volta che il blocchetto si
trova sul pavimento.
1.3 (5) Dire qual è la traiettoria del centro di massa del sistema cuneo-blocchetto, sapendo
che il centro di massa del cuneo si trova ad 1/3 dell'altezza e della base come indicato in
figura.
Esercizio 2
Una sbarretta omogenea di massa M=1.0kg e lunghezza L=0.60m è
incernierata ad una estremità ed è inizialmente orizzontale. Viene
rilasciata da ferma sotto l'azione della gravità.
2.1 (4) Dire con quale velocità angolare arriva nella posizione verticale.
2.2 (5) Quando si trova nella posizione verticale la sbarretta colpisce
una pallina di stucco di massa m=200g che si attacca alla sbaretta.
Calcolare la velocità angolare del sistema sbarretta più stucco
subito dopo l'urto.
Esercizio 3
Una sbarretta di massa M=5.0kg e lunghezza L=1.60m è
incernierata ad una parete ed appoggiata all'altra estremità su
un cuneo di massa m=10kg con angolo di 60° appoggiato sul
pavimento. Sbarretta e cuneo sono in equilibrio.Tra sbarretta
e cuneo non c'è attrito, mentre c'è attrito tra cuneo e
pavimento.
3.1 (5) Determinare le componenti Rx e Ry della reazione
della cerniera sulla sbarretta.
3.2 (5) Determinare il minimo coefficiente di attrito statico tra
cuneo e pavimento perchè il cuneo non si muova.
.
M,L
m
L,M
m
60°
(Per l'esercizio 2 e 3, si ricordi che il momento di inerzia di una sbarretta omogenea rispetto
ad un asse passante per l'estremità vale (1/3) ML2)
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2007/2008
PROVA SCRITTA PARZIALE del 18 Aprile 2008
NOTE:
-
Tempo a disposizione: 2h 00m
E’ obbligatorio giustificare brevemente ma in modo esauriente e comprensibile
le risposte e dare le valutazioni numeriche quando possibile
I punteggi sono indicati in parentesi per ogni domanda. Da 0 a 3 punti per la
chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
Costanti fisiche: g = 9.81
m
C2
−12
,
ε
=
8
.
85
⋅
10
.
0
s2
N ⋅ m2
Esercizio 1
Una pallina di massa m=1g e carica q=4μC e’ attaccata al
soffitto con una corda inestensibile di lunghezza L=10cm.
La pallina e’ immersa in un campo elettrico costante e
G
uniforme E = ( E x ,0,0) , con Ex = 2 ⋅103V ⋅ m −1 .
G
g
α
1.1 (5) Trovare l’angolo α0 tra la corda e la verticale per cui
la pallina e’ in equilibrio. Calcolare la tensione della
L
G
corda nella posizione di equilibrio.
E
1.2 (5) Considerando lo zero del potenziale elettrostatico
nella posizione α=0, determinare il potenziale
m,q
elettrostatico della pallina in funzione dell’angolo α, ed
in particolare nella posizione di equilibrio α=α0.
1.3 (5) Se la pallina viene lasciata andare dalla posizione
α=0 con velocita’ nulla, calcolare la sua velocita’ quando transita dalla posizione di
equilibrio α=α0.
Esercizio 2
Un cilindro di silicio di resistività ρ=20kΩ·cm con base di area S=80cm2
e altezza h=0.5mm è inserito tra due armature metalliche (denominate
A e B) della stessa area e distanti tra loro d=2mm. Una faccia del
cilindro di silicio dista a=1mm dall'armatura metallica. Le due armature
metalliche sono collegate ad una batteria con f.e.m. V0=10V attraverso
una resistenza R2 = 100Ω. Si può schematizzare il sistema come due
condensatori ed una resistenza collegati come in figura.
2.1 (4) Calcolare il valore dei condensatori C1,C2 e della resistenza
R1.
2.2 (4) Supponendo di aver raggiunto la condizione stazionaria,
calcolare le cariche Q1 e Q2 sui due condensatori C1 e C2 e quanta
energia è immagazzinata nei due condensatori.
2.3 (4) All'istante t=0 la resistenza R2 viene collegata all'armatura
metallica B attraverso il deviatore S. Calcolare dopo quanto tempo la
carica sui condensatori è diventata 1/10 della carica iniziale.
2.4 (4) Calcolare quanta energia viene dissipata nel cilindro di silicio
(resistenza R1) dall'istante t=0 fino alla scarica completa dei
condensatori.
A
B
C1
R1
R2
S
+ V0 -
C2
SOLUZIONI
Esercizio 1
1.1 Dalla prima equazione cardinale possiamo scrivere che la somma delle forze esterne
G
sulla pallina deve essere nulla. Per cui se T e’ la tensione della corda, scomponendo lungo
l’asse x (positivo verso destra) e l’asse y (positivo verso il basso) otteniamo che:
qE x − T sin α 0 = 0
mg − T cos α 0 = 0
Da cui ricaviamo che: tan α 0 =
qE x
mg
e T=
. Sostituendo i valori numerici
mg
cos α 0
α 0 = 39.2 D e T = 1.26 ⋅ 10 −2 N .
1.2
Dalla definizione di potenziale ricaviamo che V (α ) = − E x L sin(α ) , da cui ricaviamo il valore
nel punto di equilibrio V (α 0 ) = −126.4 Volt.
1.3
Per calcolare la velocita’ della pallina nella posizione di equilibrio e’ sufficiente imporre la
conservazione dell’energia del sistema pallina (agiscono solo forze conservative e la
tensione della corda non fa lavoro). Con la stessa convenzione di coordinate di cui sopra:
1
− mgL = − mgL cos α 0 − qE x L sin α 0 + mv 2
2
L’unica incognita e’ la velocita’ della pallina nello stato finale.
2qEL
sin α 0 − 2 gL(1 − cos α 0 )
v=
m
m
v = 0.75 .
s
Esercizio 2
S
h
S
= 141.6 pF , R1 = ρ = 12.5Ω .
2.1 C1 = ε 0 = 70.8 pF , C 2 = ε 0
a
d − (h + a)
S
2.2 Quando il circuito raggiunge la condizione stazionaria non passa piu’ corrente, per cui la
differenza di potenziale ai capi delle resistenze (sia R1 che R2 ) e’ nulla. Il circuito e’
equivalente ad un circuito composto da due condensatori in serie collegati ad una batteria
con una f.e.m. V0=10V. La carica del condensatore equivalente Q e’ uguale alla carica che
si trova sui condensatori C1 e C2, cioe’ Q=Q1=Q2 (condensatori in serie). Se C e’ la
capacita’ del condensatore equivalente otteniamo:
C1 ⋅ C 2
Q = Q1 = Q 2 = C ⋅ V 0 =
⋅ V 0 = 472 ⋅ 10 −12 C .
C1 + C 2
C1 ⋅ C 2 2
Notiamo anche che C =
= C1 = 47.2 pF visto che C 2 = 2C1.
C1 + C 2 3
L’energia immagazzinata dai due condensatori e’ uguale a quella immagazzinata dal
condensatore equivalente C. Per cui
1 Q2
U=
= 2.36 ⋅ 10 −9 J .
2 C
2.3 Utilizzando le leggi di Kirchhoff notiamo che il circuito con l’interruttore nella posizione S
e’ equivalente ad un circuito RC in cui R1 e R2 sono in serie e C1 e C2 sono a loro volta in
serie:
C1 ⋅ C 2
= 47.2 pF .
C1 + C 2
Risolvendo l’equazione differeziale per un cirtcuito RC (scarica) troviamo l’andamento della
t
2
carica in funzione del tempo q (t ) = q 0 exp(−
) dove q0 = Q = C ⋅V 0 = C1 ⋅ V 0 e’ la carica sul
RC
3
condensatore equivalente C nell’istante iniziale. Per cui il tempo che impiega la carica a
ridursi di un fattore 10 e’ t10 = RC ⋅ ln(10) = 1.22 ⋅ 10 −8 s .
R = R1 + R 2 = 112.5Ω
e C=
2.4 Nelle due resistenze R1 e R2 scorre la stessa corrente i(t). La la potenza dissipata al
tempo t nelle resistenze R1 ed R2 e’ uguale a W (t ) = W 1(t ) + W 2(t ) = R1 ⋅ i (t ) 2 + R 2 ⋅ i (t ) 2 per cui
R1
. L'energia dissipata totale è pari all'energia immagazzinata sul
W 1(t ) = W (t )
R1 + R 2
condensatore, per cui si ottine che l'energia dissipata dalla resistenza R1 è uguale a
R1
E1 =
⋅ U = 2.62 ⋅10−10 J . Si può anche usare l'espressione esplicita della corrente in
R1 + R 2
dq(t )
V0
t
funzione del tempo: nel cilindro di silicio passa una corrente i(t ) = −
=
exp(−
).
R1 + R2
RC
dt
Integrando da t = 0 a t = +∞ a potenza dissipata al tempo t nella resistenza R1
( W 1(t ) = R1 ⋅ i (t ) 2 ) si ottiene che l’energia dissipata dalla resistenza R1 e’ uguale a
E1 =
R1
V 02 C
R1
⋅
=
⋅ U = 2.62 ⋅ 10 −10 J .
R1 + R 2
2
R1 + R 2
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2007/2008
PROVA SCRITTA PARZIALE del 22 Maggio 2008
NOTE:
-
Tempo a disposizione: 2h 00m
E’ obbligatorio giustificare brevemente ma in modo esauriente e comprensibile
le risposte e dare le valutazioni numeriche quando possibile
I punteggi sono indicati in parentesi per ogni domanda. Da 0 a 3 punti per la
chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
Costanti fisiche: g = 9.81
m
C2
N
−12
,
ε
=
8
.
85
⋅
10
, μ0 = 4 π ⋅10−7 2 .
0
2
2
A
s
N ⋅m
Esercizio 1
Una spira rettangolare di lati AB=20cm e BC=5.0cm e
di resistenza R = 1.5Ω , ruota con velocità angolare
ω = 30 rad s intorno all’asse passante per il lato AD in
D
C
verso antiorario. La spira è immersa in un campo
magnetico uniforme B = 0.75T perpendicolare all'asse
di rotazione. Al tempo t=0 la spira si trova come
indicato in figura.
B
1.1 (5) Calcolare la forza elettromotrice indotta nella A
spira in funzione del tempo e determinarne il
valore numerico nell’istante in cui la spira si trova
con il lato AB parallelo al campo magnetico, come
B
indicato in figura.
1.2 (5) Per mantenere la spira in rotazione con velocità angolare costante, è necessario che
un operatore esterno applichi un momento alla spira. Calcolare il momento della forza
applicato dall'operatore esterno in funzione del tempo e determinarne il valore numerico
all'istante in cui la spira si trova nella posizione indicata in figura.
1.3 (5) Calcolare la potenza media necessaria per mantenere la spira in rotazione.
Esercizio 2
Un filo rettilineo infinito è disposto lungo l'asse x ed è percorso da una corrente I = 9.0A
orientata nella direzione delle x positive.
2.1 (5) Determinare il modulo e le componenti (Bx ,By ,Bz ) del campo magnetico generato dal
filo nel punto generico (0, y,z) ed in particolare nei due punti P = (0,a,0) e Q = (0,0,a) ,
con a = 5.0mm .
Q
2.2 (5) Si dica se l’integrale
∫ B ⋅ dl dipende dal percorso di integrazione e perche’. Se non
P
dipende se ne calcoli il valore lungo un percorso a scelta. Se invece dipende, se ne
calcoli i valori su due percorsi a scelta e si mostri che sono diversi.
ˆ
2.3 (5) Una particella carica con q = 1.0nC si muove con velocita’ v 0 = +(100m /s) z e passa ad
un certo istante per il punto Q. Calcolare il modulo e le componenti ( Fx , Fy , Fz ) della forza
magnetica agente sulla particella. Quale sarebbe la forza se invece la particella
passasse, con la stessa velocità, per il punto P ?
SOLUZIONI
Esercizio 1
1.1 Dalla legge di Faraday-Neumann sappiamo che la forza elettromotrice indotta in una
∂Φ( B)
dove Φ( B) e’ il flusso del campo di induzione magnetica che
spira e’ uguale a V = −
∂t
attraversa la spira all’istante t. Se prendiamo come normale alla spira il versore entrante
nel piano del foglio (prendiamo come riferimento la posizione della spira nella figura) e
chiamiamo ϑ = ωt +
π
2
l’angolo tra la normale alla spira e il campo di induzione magnetica
B otteniamo che Φ( B) = abB cos(ωt +
π
2
) dove abbiamo indicato con a il lato della spira AB
e con b il lato BC. Ricaviamo che V = +abωBsin(ωt +
π
) . La forza elettromotrice
2
nell’istante in cui la spira si trova nella posizione indicata in figura e’ V = 0.225V dove
abbiamo sostituito t = 0 .
1.2 L’intensita’ della corrente indotta e’ I(t) = +
abωBsin(ωt +
π
)
2 . Poiche’ la spira ruota con
R
velocita’ angolare costante l’operatore applica un momento della forza sulla spira uguale
ed opposto a quello indotto dal campo di induzione magnetica τ op = −τ indotto .
π
τ indotto = μ × B = −I(t)abB sin(ωt + ) z dove z indica il versore dell’asse di rotazione (rivolto
2
verso l’alto). Ricaviamo che τ op = +I(t)abBsin(ωt +
t =0
τ op
otteniamo che il valore
(abB) 2 ω
=
= 1.125 ⋅10−3 N ⋅ m .
R
del
π
)z = +
2
momento
1.3 La potenza svilpuppata dall’operatore e’ Pop = τ op ⋅ ω = +
(abB) 2 ω 2
π
sin (ωt + ) z . All’istante
R
2
della forza in modulo e’
(abBω ) 2 2
π
sin (ωt + ) . La potenza
R
2
(abBω ) 2
= 1.69 ⋅10−2 W . Lo stesso risultato poteva essere ottenuto
2R
notando che la potenza sviluppata dall’operatore viene totalmente dissipata dalla
resistenza per effetto Joule Pop (t) = RI(t) 2 .
media e’ < Pop >=
Esercizio 2
2.1 Il campo di induzione magnetica generato da un filo infinito percorso da corrente e’
tangente alle circonferenze parallele al piano yz e centrate sull’asse x. Dalle legge di
Ampere si ricava l’espressione del campo in cordinate cilindriche (asse x e’ l’asse del
μI
cilindro): B = o ϕˆ . In cordinate cartesiane il campo magnetico nel punto (x,y,z) diventa:
2πr
μo I ⎛ z y ⎞
2
2
2
B=
⎜0,− , ⎟ dove r = y + z . Come si nota il campo B non dipende da x. Quindi
r r⎠
2πr ⎝
possiamo ricavare il valore numerico del campo nei punti P=(0,a,0) e Q(0,0,a)
μI
μI
μI
BP (0,a,0) = 0 (0,0,1) e BQ (0,0,a) = 0 (0,−1,0) dove 0 = 3.6 ⋅10−4 T .
2πa
2πa
2πa
2.1 Il campo di induzione magnetica non e’ conservativo, quindi l’integrale di linea
Q
∫ B ⋅ dl dipende dal percoso di integrazione. Possiamo infatti considerare
due percorsi
P
alternativi, il primo quello che va da P a Q in senso antiorario (percorriamo un angolo di
π
3
) e il secondo in senso orario (percorriamo un angolo di
π ).
2
2
z
Q
dl1
P
y
dl2
Q
Nel primo caso otteniamo
∫ B ⋅ dl =
1
P
μ0 I
4
Q
−6
= 2.83⋅10 Tm e
∫ B ⋅ dl
2
P
=−
3μ0 I
= −8.48 ⋅10−6 Tm .
4
2.2 La forza magnetica e’ F = qv × B . Quando la particella passa per il punto Q con velocita’
v 0 = v 0 (0,0,1) la forza magnetica ha direzione lungo l’asse x, ha verso positivo e modulo
μI
F = qv 0 0 = 3.6 ⋅ 10−11 N . Quando invece la particella passa per P, la forza magnetica e’ nulla
2πa
dato che B e’ parallelo a v 0 .
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2007/2008
PROVA SCRITTA del 9 Giugno 2008
NOTE:
-
Tempo a disposizione: 2h 30m
E’ obbligatorio giustificare brevemente ma in modo esauriente e comprensibile
le risposte e dare le valutazioni numeriche quando possibile
I punteggi sono indicati in parentesi per ogni domanda. Da 0 a 3 punti per la
chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
m
C2
N
−12
Costanti: g = 9.81 2 , ε 0 = 8.85 ⋅ 10
, μ0 = 4 π ⋅10−7 2 , me = 9.1⋅10−31 kg , e = 1.6 ⋅10−19 C .
2
A
s
N ⋅m
Esercizio 1
Una lamina quadrata di massa M = 3.8kg e lato L = 74.6cm e
spessore trascurabile e’ incernierata sullo spigolo O ed e’ m
M,L
appoggiata sul cuneo A come mostrato in figura. La cerniera
v
permette alla lamina di ruotare senza attriti in un piano
verticale, attorno all’asse passante per O e perpendicolare alla
g
lamina. La distanza tra O e A e’ pari a d = 58.3cm .
A
O
1.1 (4) All’equilibrio calcolare modulo, direzione e verso delle
forze esercitate dalla cerniera e dal cuneo sulla lamina.
Una pallina di massa m = 0.5M e dimensioni trascurabili,
incide con velocita’ orizzontale v = 1.96m /s sull’angolo della
lamina opposto ad O e vi rimane attaccata.
1.2 (4) Dire quali delle seguenti quantità relative al sistema lamina più pallina si conservano
durante l’urto, e perché: componenti della quantità di moto, momento angolare, energia.
1.3 (4) Calcolare la velocita’ angolare del sistema lamina piu’ pallina subito dopo l’urto,
sapendo che il momento di inerzia della lamina rispetto ad un asse passante per il suo
centro di massa e perpendicolare alla lamina e’ IG = 1 ML2 .
6
Esercizio 2
Una sbarretta conduttrice e’ appoggiata ortogonalmente su
P
due guide parallele conduttrici di resistenza trascurabile. I
punti P e Q di appoggio distano tra di loro h = 50cm . Le due
F
B
guide sono collegate da una resistenza R = 0.5Ω . Sul sistema
h
agisce un campo magnetico uniforme, perpendicolare alle
guide ed alla sbarretta, uscente dal piano del foglio, e di
Q
intensita’ B = 5T , Inoltre una forza costante F = 10N e’
applicata alla sbarretta come mostrato in figura.
2.1 (5) Determinare la velocita’ limite della sbarretta dopo che ha raggiunto un moto
stazionario.
2.2 (4) Determinare la potenza dissipata dalla resistenza nella condizione in cui la sbarretta
si muove di moto rettilineo uniforme con la velocita’ limite calcolata al punto precedente.
Esercizio 3
Sul piano y = a (con a = 2.5cm ) è disposta una carica σ = +2.3nC /m 2 , mentre sul piano
x = −a è disposta una carica −2σ .
3.1 (3) Determinare le componenti del campo elettrico (E x , E y , E z ) in un punto generico (x, y,z)
dello spazio. In particolare se ne determino le componenti nell'origine O.
A
3.2 (4) Dire se l'integrale
∫ E ⋅ds
con A = (a,0,0) dipende dal percorso e perchè. Se non
O
dipende se ne calcoli il valore; se dipende, se ne calcoli i valori su due percorsi e si mostri
che sono diversi.
3.3 (4) Un elettrone viene rilasciato da fermo al tempo t = 0 nel punto A. Determinare quale
dei due piani l'elettrone colpirà, ed in che punto.
R
SOLUZIONI
Esercizio 1
1.1 All’equilibrio la somma delle forze esterne al sistema deve essere nulla e la somma dei
momenti delle forze esterne al sistema deve essere nulla. Per cui se N A e NO sono le
reazioni vincolari rispettivamente del cuneo in A e della cerniera in O, possiamo scrivere:
2
−Mg + N A + NO = 0 e
L ⋅ Mgsin(135 ) − dN A sin(90 ) = 0 . Abbiamo scelto come polo l’asse
2
passante per O, l’asse x positivo rivolto verso destra, e l’asse y positivo rivolto verso
L
l’alto. Dalla seconda equazione ricaviamo N A = Mg
= 23.85N , e sostituendo nella prima
2d
⎛
L⎞
equazione otteniamo NO = Mg ⋅ ⎜1 − ⎟ = 13.43N . Le reazioni vincolari hanno direzione
⎝ 2d ⎠
parallela alla forza di gravita’ (asse y) e hanno verso positivo, cioe’ opposto a quello della
forza di gravita’.
1.2 Le componenti della quantita’ di moto NON si conservano perche’ durante l’urto agiscono
forze esterne impulsive tra la cerniera e la lamina in O. Il momento angolare totale
rispetto al polo O si conserva, infatti le forze impulsive che si generano tra la cerniera e
la lamina hanno momento della forza nulla, mentre la forza di gravita’ che ha un momento
delle forza non nullo non e’ una forza impulsiva. L’energia meccanica totale NON si
conserva perche’ l’urto e’ perfettamente anelastico, per cui si generano delle forze di
attrito dissipative.
1.3 Utilizzando la conservazione del momento angolare possiamo scrivere che Li = L f . Da
1
1
cui ricaviamo che −mvLz = −Iωz , dove I = ML2 + ML2 + 2 mL2 e’ il momento di inerzia
6
2
totale del sistema (lamina piu’ pallina) dopo l’urto, rispetto all’asse passante per O e
3 v
rad
perpendicolare al piano della lamina. Ricaviamo che ω =
= 0.788
dove abbiamo
10 L
s
1
sostituto m = M nell’equazioni.
2
Esercizio 2
2.1 La sbarretta si muove verso sinistra sotto l’azione della forza F . Nella spira si genera
una forza elettromotrice indotta a causa della variazione di flusso del campo di induzione
∂φ ( B)
∂x
magnetica attraverso la superficie della spira V = −
= −Bh = −Bhv . x e’ la
∂t
∂t
coordinata della sbarretta (positivo verso sinistra), v e’ la velocita’ della sbarretta, ed
abbiamo scelto come normale alla spira l’asse z , parallelo e concorde a B . La corrente
Bhv
indotta’ e’ I = −
(verso orario).
Sulla sbarretta agisce la forza magnetica
R
vh 2 B 2
Fm = −ILBx = −
x . La condizione stazionaria si raggiunge quando F + Fm = 0 . Per cui
R
FR
m
ricaviamo che la velocita’ limite e’ v L = 2 2 = 0.8 .
Bh
s
2.2 La potenza dissipata dalla resistenza e’ uguale alla potenza sviluppata dalla forza F , da
cui ricaviamo P = F ⋅ v = F ⋅ v L = 8W .
Esercizio 3
3.1 Se dividiamo lo spazio nelle 4 regioni formate dai due piani infiniti otteniamo che:
σ
σ
,+
,0)
ε0 2ε0
σ σ
x < −a, y < a ⇒ E = (+ ,−
,0)
ε0 2ε0
σ
σ
x > −a, y > a ⇒ E = (− ,+
,0)
ε0 2ε0
σ σ
x > −a, y < a ⇒ E = (− ,−
,0)
ε0 2ε0
x < −a, y > a ⇒ E = (+
Nell’origine il campo elettrico vale E (0,0,0) = (−259.88,−129.94,0)
V
.
m
A
3.2
∫ E ⋅ds
non dipende dal percorso poiche’ il campo elettrico e’ conservativo. In particolare
O
∫
A
O
E ⋅ ds = −
σ
a = −6.50V .
ε0
3.3 L’elettrone si muove di moto accelerato uniforme sia lungo l’asse x che y.
L’accelerazione lungo l’asse x e’ il doppio di quella lungo l’asse y. Otteniamo che:
F
eσ
1 eσ 2
F
eσ
1 eσ 2
ax = x = +
⇒ x(t) = a +
t e ay = y = +
⇒ y(t) = +
t . L’elettrone
me
meε0
2 meε0
4 meε0
me
2meε0
subisce una forza verso destra e verso l’alto, quindi colpira’ il piano y = a . Per calcolare il
punto di intersezione ricaviamo t dall’equazione del moto lungo l’asse y
1 eσ 2
4ε0 me a
a=+
t ⇒t=
e sostituiamo nell’equazione del moto lungo l’asse x.
eσ
4 meε0
Otteniamo che l’elettrone colpisce il piano y = a nel punto (3a,a,0) = (7.5,2.5,0) ⋅10−2 m .
Possiamo anche calcolare la velocita’ (non richiesta dall’esercizio) con cui l’elettrone
eσ
1 eσ
t e v y (t) =
t . Se a t sostituiamo il valore trovato sopra
colpisce il piano: v x (t) =
meε0
2 meε0
m
eσa
troviamo v =
(2,1,0) = (2.14,1.07,0) ⋅10−6 .
s
ε0 m e
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2007/2008
PROVA SCRITTA del 4 luglio 2008
NOTE:
-
Tempo a disposizione: 2h 30m
E’ obbligatorio giustificare brevemente ma in modo esauriente e comprensibile
le risposte e dare le valutazioni numeriche quando possibile
I punteggi sono indicati in parentesi per ogni domanda. Da 0 a 3 punti per la
chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
m
C2
N
−12
Costanti: g = 9.81 2 , ε 0 = 8.85 ⋅ 10
, μ0 = 4 π ⋅10−7 2 .
2
A
s
N ⋅m
Esercizio 1
Un corpo di massa M1 = 2.3kg scivola su un piano orizzontale con velocita’ v 0 = 3.5 m s nel verso
positivo dell’asse x . Un secondo corpo di massa M 2 = M1 , appoggiato in quiete sul piano
orizzontale, e’ attaccato ad un estremo di una molla
y
di costante elastica k = 25 N m inizialmente a
riposo. L’altro estremo della molla e’ collegato ad
una parete verticale. Tutti gli attriti sono trascurabili.
Si considerino le masse come punti materiali.
M1
M2
1.1 (3) Nell’ipotesi di urto totalmente anelastico dire
v
k
0
che moto compie il sistema composto da M1 e
M 2 dopo l’urto e calcolare dopo quale intervallo
di tempo Δt a partire dall’istante dell’urto il
x=0
sistema ritorna nella posizione iniziale.
1.2 (4) Sempre nell'ipotesi di urto totalmente anelastico, calcolare la massima compressione della
molla.
1.3 (4) Se invece l'urto è perfettamente elastico, dire che moto compiono M1 e M 2 dopo l’urto e
calcolare la massima compressione della molla.
Esercizio 2
Una sfera isolante di raggio R1 = 12.0cm possiede una carica q1 = 0.2nC . La carica
e’ distribuita uniformemente nel volume della sfera. Un guscio conduttore sottile di
raggio R2 = 4R1 , concentrico alla sfera, possiede una carica totale q2 = −3q1.
2.1 (3) Determinare il campo elettrico E (r ) all’interno della sfera isolante ( 0 < r < R1 )
e calcolarne il valore per r = R1.
x
R1
2.2 (4) Determinare il campo elettrico E (r ) nelle regioni di spazio: R1 < r < R2 e
R2
r > R2 e disegnare il grafico del campo elettrico in funzione di r in tutto lo spazio.
2.3 (4) Calcolare la differenza di potenziale ΔV = V (R2 ) − V (+∞) .
Esercizio 3
Una spira quadrata conduttrice di lato L = 3.4cm
ha una
y
resistenza R = 2.4kΩ ed e’ collegata ad un condensatore di capacita’
B
C = 1.2μF , come mostrato in figura. Il condensatore e’ inizialmente
P
scarico e l’autoinduttanza della spira e’ trascurabile. Nel semispazio
v
x > 0 è presente un campo magnetico uniforme B = 1.5 T diretto lungo
l’asse z ortogonale al piano della figura ed uscente ad esso. La spira
Q
si trova inizialmente nel semispazio x < 0 e viene spinta da un
x
operatore con velocita’ costante v = 8.5 m s nel verso positivo
dell’asse x . Il lato PQ passa da x = 0 al tempo t = 0 .
3.1 (3) Calcolare la f.e.m. indotta Vin nella spira ad ogni istante di tempo e disegnarne il grafico in
funzione del tempo.
3.2 (4) Calcolare la corrente che scorre nel circuito a t = 0 e la forza (direzione, verso e modulo) che
deve essere applicata dall’operatore per mantenere costante la velocita’ della spira sempre
nell’istante t = 0 .
3.3 (4) Scrivere l’equazione del circuito e trovare la carica elettrica sul condensatore quando la spira
entra completamente nella regione di spazio in cui e’ presente il campo magnetico (cioe’ quando
i punti P e Q si trovano a x = L ).
SOLUZIONI
Esercizio 1
1.1 Durante l’urto totalmente anelastico si conserva la quantita’ di moto lungo l’asse in cui aviene il
moto dal momento che la forza elastica non e’ una forza impulsiva. Possiamo scrivere che
M1v 0 = (M1 + M 2 )v f da cui ricaviamo che il sistema composto dalla due masse, subito dopo
l’urto, si muovera’ con velocita’ v f =
v
M1
v 0 = 0 = 1.75 m s . Dopo l’urto il sistema subisce
M1 + M 2
2
una forza elastica per cui si muovera’ di un moto armonico semplice con pulsazione
ω=
k
k
=
= 2.33rad s intorno all’origine degli assi. Il sistema M1 + M 2 ritornera’
M1 + M 2
2M1
nella posizione di partenza la prima volta dopo meta’ periodo Δt =
T 1 2π
2M1
=
=π
= 1.35s .
k
2 2 ω
1.2 Subito dopo l’urto l’energia meccanica del sistema si conserva perche’ la forza elastica e’
conservativa.
x max = v f
Per
cui
1
1 2
,
(M1 + M 2 )v 2f = kx max
2
2
scriviamo
M1 + M 2 v f
v
=
= 0 = 0.75m .
k
ω 2ω
da
cui
si
ricava
1.3 Durante l’urto elastico si conserva la quantita’ di moto e l’energia meccanica. Possiamo scrivere
che M1v 0 = M1v1 + M 2v 2 e
1
1
1
M1v 02 = M1v12 + M 2v 22 , dove v1 e v 2 sono le velocita’ finali subito
2
2
2
dopo l’urto delle due masse. Risolvendo il sistema troviamo due soluzioni: la prima banale
v1 = v 0,v 2 = 0 che e’ lo stato iniziale del sistema, e la seconda non banale
⎛
2M 2 ⎞
2M1v 0
v1 = ⎜1−
. Considerando che M1 = M 2 otteniamo che v1 = 0,v 2 = v 0 .
⎟v 0 ,v 2 =
M1 + M 2
⎝ M1 + M 2 ⎠
Subito dopo l’urto M1 rimane ferma mentre M2 si muove con velocita’ v 0 . In questo caso la
k
= 3.30 rad s .
massa M 2 si muovera’ di un moto armonico semplice con pulsazione ω =
M1
M2 ritornera’ nella posizione di partenza dopo meta’ periodo Δt = T = 1 2π = π M1 = 0.95s . La
2
massima compressione in questo caso sara’ x max = v 0
2 ω
k
M1 v 0
= = 1.06m .
k
ω
Esercizio 2
2.1 Per il teorema di Gauss e per la simmetria sferica della distribuzione di carica il campo elettrico
all’interno della sfera e’: 0 < r < R1 ⇒ E (r) =
2.2 Per
gli stessi motivi di sopra
r > R2 ⇒ E (r) = −
che E(R2− ) = 7.8
2q1 1
r.
4 πε0 r 2
q1
V
r
r . E(R1 ) = 124.9
3
m
4 πε0 R1
otteniamo per
R1 < r < R2 ⇒ E (r) =
q1
1
r
4 πε0 r 2
Per r = R2 il campo elettrico non e’ continuo.
V
V
e E(R2+ ) = −15.6 . Il grafico e’:
m
m
e per
Otteniamo
2.3 La differenza di potenziale ΔV = V (R2 ) − V (+∞) = −
∫
R2
+∞
E ⋅ dl = −
2q1 1
= −7.5V .
4 πε0 R2
Esercizio 3
3.1 La forza elettromotrice indotta nela spira e’ diversa da 0 solo nell’intervallo di tempo in cui la spira
penetra nel semisazio x > 0 in cui e’ presente il campo magnetico. Una volta che la spira e’
totalmente immersa nella regione con campo magnetico, cioe’ per t >
L
la forza elettromotrice
v
indotta torna ad essere nulla, dal momento che non c’e’ piu’ variazione di flusso del campo
⎡
⎢t < 0 ⇒ Vin = 0
⎢
L
magnetico attraverso la spira. Per cui possiamo scrivere: ⎢0 < t < ⇒ Vin = −BLv = −0.43V
v
⎢
⎢ L
⎢⎣t > ⇒ Vin = 0
v
BLv
V
3.2 All’istante t = 0 la corrente che scorre nella spira e’ uguale a I(0) = in = −
= −1.8 ⋅10−4 A . Il
R
R
segno meno indica che la corrente scorre nel verso orario nella spira, poiche’ per calcolare il
flusso del campo magnetico al punto precendente abbiamo scelto la normale della spira uscente
dal piano del foglio. La forza che deve essere applicata dall’operatore e’ uguale ed opposta alla
PQ
nell’istante
cui
forza
magnetica
che
agisce
sul
lato
t = 0 . Per
B 2 L2v
Fop = −Fm = −IL × B = +
x = +9.2 ⋅10−6 xN
R
3.3 Consideriamo ora come verso positivo della corrente che scorre nella spira quello orario. Per le
leggi di Kirchhoff possiamo scrivere −R
⎛
⎝
dq
q
+ Vin − = 0 . La soluzione delle equazione
C
dt
t ⎞
)⎟ . Abbiamo assunto che la carica del condensatore a
RC ⎠
⎛
⎛ L⎞
⎛ L ⎞⎞
L
−7
t = 0 e’ nulla. Se sostituiamo t = troviamo che q⎜ ⎟ = BLvC⎜1− exp⎜−
⎟⎟ = 3.9 ⋅10 C .
⎝v⎠
⎝ vRC ⎠⎠
v
⎝
differenziale e’ q(t) = Vin C⎜1− exp(−
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2007/2008
PROVA SCRITTA del 18 luglio 2008
NOTE:
-
Tempo a disposizione: 2h 30m
E’ obbligatorio giustificare brevemente ma in modo esauriente e comprensibile
le risposte e dare le valutazioni numeriche quando possibile
I punteggi sono indicati in parentesi per ogni domanda. Da 0 a 3 punti per la
chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
m
C2
N
−12
Costanti: g = 9.81 2 , ε 0 = 8.85 ⋅ 10
, μ0 = 4 π ⋅10−7 2 .
2
A
s
N ⋅m
Esercizio 1
Un corpo di massa M=2.0kg e’ vincolato a muoversi lungo una
y
guida circolare di raggio R=1.0m e si trova inizialmente nel
punto A di minima altezza. Un proiettile di massa m=100g viene
sparato con velocita’ v0=75m/s lungo l’asse x e si conficca
istantaneamente nel corpo M. L’attrito tra il corpo e la guida
circolare e’ trascurabile.
C
1.1 (3) Calcolare la massima altezza h raggiunta dal sistema
m+M delle due masse dopo l’urto
1.2 (3) Calcolare il lavoro fatto dalle forze che agiscono fra le
M
h
m
x
masse durante l’urto.
1.3 (3) Calcolare la reazione vincolare N esercitata dalla guida
v0
A
sul sistema m+M quanto il sistema si trova ad un’altezza h/2.
1.4 (3) Se invece il proiettile viene sparato inizialmente con una velocita’ v superiore a v0, calcolare la
velocita’ minima v affinche’ il sistema m+M faccia il giro completo della circonferenza.
Esercizio 2
Un elettrone (carica Qe = -e = -1.6x10-19 C, massa me=9.11x10-31 kg) e’ in orbita attorno a un nucleo di
Litio (carica +3e) fisso nell'origine delle coordinate.
2.1 (3) Dire quali delle seguenti quantita’ si conservano nel moto dell’elettrone e perche’: quantita’ di
moto, momento angolare, energia cinetica, energia potenziale, energia meccanica.
2.2 (3) Trovare la velocita’ v0 dell’elettrone se esso percorre un’orbita circolare attorno al nucleo di
raggio r0 = 2.8pm.
2.3 (4) Calcolare per un’orbita circolare di raggio generico r il rapporto tra energia potenziale ed
energia cinetica dell'elettrone.
Esercizio 3
Un circuito elettrico è costituito da due fili conduttori rettilinei
y
semiinfiniti connessi da un filo conduttore a forma di
semicirconferenza di raggio a=2.0m come mostrato in figura.
Nel circuito scorre una corrente I diretta nel verso positivo
dell'asse x. L’asse z e’ uscente dal piano della figura.
3.1 (3) Calcolare le componenti (Bx,By,Bz) del campo
I
x
O
magnetico nell’origine degli assi O per I=5.0A.
Al centro O della semicirconferenza si trova una piccola
bobina costituita da N=400 spire conduttrici di raggio
b=0.5cm con asse parallelo all'asse z. La resistenza complessiva della bobina e’ R=0.50Ω, mentre
l’autoinduttanza e’ trascurabile. Si supponga che la corrente I nel circuito sia per t<0 costante ed
uguale a I(t)=I0, mentre per t>0 vari secondo la legge I(t)=I0exp(-t/τ) con I0=5.0A e τ=1.5ms.
3.2 (4) Calcolare la corrente i(t) che scorre nella bobina in funzione del tempo, dicendo se il verso
della corrente e’ orario o antiorario. Disegnare il grafico della corrente i(t) in funzione del tempo t e
valutarne il valore numerico per t=2ms.
3.3 (4) Calcolare quanta energia viene dissipata nella bobina nell’intervallo di tempo –∞<t<+∞.
3.4 SOLUZIONI
Esercizio 1
1.1 Nell’urto si conserva la quantita’ di moto. Per cui la velocita’ subito dopo l’urto del sistema m+M
a
vd =
m
v0
m+ M
e’
uguale
h=
2
1⎛ m ⎞ 2
⎜
⎟ v 0 = 0.65m
2g ⎝ m + M ⎠
.
Dopo
l’urto
si
conserva
l’energia.
Otteniamo
che
1.2 Dal teorema dell forze vive sappiamo che il lavoro fatto delle forze interne durante l’urto e’
⎛ m
⎞
1
1
1
L = Tf − Ti = (m + M)v d2 − mv 02 = mv 02⎜
−1⎟ = −267.85J .
⎝m+ M ⎠
2
2
2
1.3 Imponendo
la
prima
equazione
N − (m + M)gcos θ = (m + M)ac = (m + M) ⋅
v
imponendo la conservazione dell’energia
2
h /2
R
cardinale
otteniamo
che
. Abbiamo due incognite. Se ricaviamo v h / 2
l’unica incognita rimane N. Ricaviamo che
⎡
m v0
m
h
v2 ⎤
= 2.52 e N = (m + M)⎢g(1− ) + h / 2 ⎥ = 27.29N .
R ⎦
m+ M 2
s
2R
⎣
1
1.4 Dalla conservazione dell’energia abbiamo che (m + M)v d2 = (m + M)g2R da cui ricaviamo la
2
velocita’ del sistema subito dopo l’urto v d = 2 gR . Dalla conservazione della quantita’ di moto
m+ M
m+ M
m
vd = 2
gR = 131.5 .
ricaviamo la velocita’ minima del proiettile v =
m
m
s
vh / 2 =
Esercizio 2
2.1 L’elettrone e’ soggetto a una forza non nulla (la forza elettrica) e quindi la quantita’ di moto non
si conserva. La forza e’ centrale quindi il momento angolare rispetto al punto in cui si trova il
nucleo di Litio si conserva. La forza elettrica e’ conservativa quindi l’energia meccanica si
conserva; non si conservano in generale separatamente l’energia cinetica e l’energia potenziale,
a meno che la traiettoria non sia una circonferenza attorno al nucleo di elio (in quel caso la forza
elettrica e’ perpendicolare alla velocita’ e quindi non fa lavoro, quindi l’energia cinetica e’ costante,
e la distanza dal nucleo di elio e’ costante quindi anche l’energia potenziale e’ costante).
2.2 L’elettrone percorre un’orbita circolare intorno al nucleo. Per cui possiamo scrivere che
Fe =
v 02
1 −3e 2
3e 2
m
r
=
m
a
r
=
−m
da
cui
ricaviamo
che
v
=
= 1.64 ⋅10 7 .
e c
e
0
2
r0
4πε0 me r0
4 πε0 r0
s
1
1
3e 2
mev 2 = me
4 πε0 me r
2
2
2
−3e
U(r)
. Da cui ricaviamo che il rapporto
mentre l’energia potenziale e’ uguale a U(r) =
= −2
4 πε0 r
T(r)
per ogni r .
2.3 L’energia cinetica dell’ elettrone
in funzione di r e’ uguale a T(r) =
Esercizio 3
3.1 Il campo magnetico generato dal filo percorso da corrente nell’origine degli assi riceve contributo
solo dalla semicirconferenza. In particolare e’ uguale alla meta’ del campo magnetico generato da
una spira circolare nel suo centro. Otteniamo che B = −
1 μ0 I
z = −7.85 ⋅ 10−7 Tz . Le componeti
2 2a
lungo x e y sono nulle.
3.2 Poiche’ la bobina e’ molto piccola rispetto al semicirconferenza, il campo al suo interno puo’
essere considerato uniforme ed uguale a quello generato al centro della semicirconferenza
calcolato al punto precedente. Il flusso attraverso la bobina e’ uguale a Φ( B) = −Nπb 2 ⋅
la legge di Faraday-Neumann
μ0 I ( t )
4a
. Per
la forza elettromotrice indotta nella spira e’ uguale a
∂Φ Nπb 2μ0 ∂I(t)
=
. Se t<0 abbiamo che V (t) = 0 , mentre se t>0 otteniamo
∂t
4a
∂t
⎛ t⎞
Nπb 2μ0 I0
V (t) = −
exp⎜− ⎟ . La corrente che score nella bobina e’ uguale a i(t) = 0 per t<0,
⎝ τ⎠
4a τ
2
⎛ t⎞
Nπb μ0 I0
t
i(t) = −
exp⎜− ⎟ = −3.29 ⋅10−5 exp(−
)A per t>0. Per t=2ms otteniamo che
⎝ τ⎠
1.5 ⋅10−3
4a τR
V (t) = −
i(2ms) = −8.66 ⋅10−6 A . Poiche’ i(t)<0 per ogni istante t, la corrente scorre nella bobina sempre in
senso orario (la normale alla bobina e’ uscente dal piano del foglio).
3.3 L’energia
dissipata
nella
E=
∫
+∞
−∞
Ri 2 (t) =
Nπb 2 ⎞
1⎛
⎜ μ0 I 0
⎟
R⎝
4aτ ⎠
2
∫
+∞ −2t / τ
0
e
dt =
τ ⎛
bobina
Nπb 2 ⎞
−13
⎜ μ0 I 0
⎟ = 4.05 ⋅10 J.
2R ⎝
4aτ ⎠
2
e’
FISICA GENERALE per INGEGNERIA GESTIONALE - A.A. 2007/2008
PROVA SCRITTA del 19 settembre 2008
NOTE:
-
Tempo a disposizione: 2h 30m
E’ obbligatorio giustificare brevemente ma in modo esauriente e comprensibile
le risposte e dare le valutazioni numeriche quando possibile
I punteggi sono indicati in parentesi per ogni domanda. Da 0 a 3 punti per la
chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nel compito.
m
C2
N
−12
Costanti: g = 9.81 2 , ε 0 = 8.85 ⋅ 10
, μ0 = 4 π ⋅10−7 2 .
2
A
s
N ⋅m
Esercizio 1
Una corda inestensibile e priva di massa è avvolta attorno ad un cilindro pieno
omogeneo di raggio R=5cm e massa M=2kg. La corda è attaccata al soffito ed il
cilindro viene fatto cadere da fermo, srotolando la corda, che si può supporre verticale.
1.1 (4) Calcolare l'accelerazione del centro di massa del cilindro e la tensione della
corda
M
1.2 (4) Calcolare la velocità del centro di massa del cilindro dopo che è caduto per un
tratto d=50cm
1.3 (4) La corda è lunga d=50cm e non è fissata al cilindro, per cui il cilindro si stacca
dalla corda e prosegue il suo moto. Calcolare l'accelerazione del centro di massa e la velocità
angolare di rotazione dopo che il cilindro si è staccato dalla corda e calcolare la sua velocità
quando è caduto complessivamente per un tratto 2d.
Esercizio 2
y
Un filo infinito uniformemente carico con densità lineare λ=3.5μC/m è
parallelo all'asse z ad una distanza d=5cm nella direzione positiva
dell'asse x. Un secondo filo, carico con densità –λ è posto, sempre
parallelamente all'asse z ad una distanza d nella direzione negativa
-λ
λ
dell'asse x.
d
d
2.1 (5) Determinare il modulo, direzione e verso del campo elettrico lungo
l'asse x in funzione della coordinata x. Calcolarne il valore numerico
nell'orgine O delle coordinate.
2.2 (5) Determinare il modulo direzione e verso del campo elettrico lungo
l'asse y in funzione della coordinata y. Calcolarne il valore numerico nel punto P=(0, 5cm, 0)
Esercizio 3
Un solenoide di 1000 spire ha un'altezza di 20cm ed un raggio di 1.5cm.
L'asse del solenoide è diretto lungo l'asse z ed il suo centro è posto
nell'origine delle coordinate O. Nel piano xy giace una spira quadrata di lato
d=10cm, con il centro del quadrato coincidente con l'origine O. La spira ha
solenoide
una resistenza R=10Ω. La corrente nel solenoide è costante per t<0 e pari a
z
I0=1.5A, mentre varia, per t>0, secondo la legge I(t)=I0exp(-t/τ) con τ=350us.
La corrente scorre in senso antiorario se vista da z.
3.1 (3) Calcolare le componenti (Bx,By,Bz) del campo magnetico nell’origine
degli assi O per t<0.
3.2 (4) Calcolare la corrente i(t) che scorre nella spira in funzione del tempo,
dicendo se il verso della corrente e’ orario o antiorario. Disegnare il
d
grafico della corrente i(t) in funzione del tempo t e valutarne il valore
numerico per t=1ms.
3.3 (4) Calcolare quanta energia viene dissipata nella spira nell’intervallo di tempo –∞<t<+∞.
x
R
SOLUZIONI
Esercizio 1
1.1 Le uniche forze agenti sul cilindro sono la forza peso e la tensione del filo, si ha quindi
l’equazione: F = Mg − T = Ma . Il momento dovuta alla tensione del filo è TR = Iα , data la
condizione di puro rotolamento durante lo srotolamento del filo si anche α = a / R . Nella prima
equazione si può quindi sostituire T ed ottenere Mg − Ia / R 2 = Ma , da cui esplicitando
1
l’accelerazione e sostituendo I con il momento d’inerzia di un cilindro, I = MR 2 , si ha quindi che
2
1
1
2
m
l’accelerazione del centro di massa è: a = g = 6.54 2 e T = Ma = Mg = 6,54 N .
2
3
3
s
1.2 Sfruttando la conservazione dell’energia, applicabile in quanto la forza di gravità è conservativa, si
ha che l’energia iniziale E0 = 0 , mentre l’energia dopo aver percorso una distanza d è
1
1
Ed = − Mgd + Mvd2 + Iωd2 , dove il primo elemento è l’energia potenziale dovuta alla caduta, il
2
2
secondo l’energia cinetica dovuta alla traslazione del centro di massa mentre il terzo è l’energia
dovuta alla rotazione. Come al punto precedente dalla condizione di puro rotolamento si ha:
ωd = vd / R . Sostituendo quindi per velocità angolare e momento d’inerzia si ottiene:
3
Ed = − Mgd + Mvd2 ; imponendo quindi Ed = E0 si può esplicitare la velocità del centro di massa:
4
vd = 4 gd = 2.56m/s .
3
1.3 Dopo aver percorso una distanza d la corda termina ed il moto del cilindro è quello di un corpo
libero soggetto alla sola forza di gravità. L’accelerazione a cui è soggetto è quindi la sola forza di
gravità, quindi a = g = 9.81m/s 2 . La velocità angolare rimarrà quella raggiunta a d=50cm perchè
la forza di gravità non ha momento rispetto al CM. Dalla soluzione alla domanda precedente e dal
vincolo di puro rotolamento si ha: ωd = vd / R = 51.1rad/s . Dalla conservazione dell'energia si
1
1
1
1
Mv22d + I ωd2 = − Mgd + Mvd2 + I ωd2 , dove il termine di energia rotazionale
2
2
2
2
1
8
si semplifica.Si ottiene: v2 d = 2 gd + vd2 =
gd = 3, 61m/s .
2
3
ottiene −2 Mgd +
Esercizio 2
2.1 Il generico campo elettrico generato da un filo rettilineo infinito con densità di carica λ può essere
G
scritto in forma vettoriale come E =
λ rˆ
, r è il raggio che unisce il filo al punto di interesse.
2πε 0 r
dove x0 ed y0 sono le coordinate dove è posto il filo. Lungo l’asse x, ha pertante solo componete
x. Per il filo con carica positiva in x=d sarà E x+ ( x) =
negativa
Ex ( x) =
in
x=-d
sarà
Ex− =
λ
2πε 0 ( x − d )
−λ
.
2πε 0 ( x − (− d ))
Il
, mentre per il filo con carica
campo
totale
sarà
perciò
λ ⎛ 1
1 ⎞
−
⎜
⎟ . Il campo tende a infinito nella posizione dei fili. Sarà Ex>0 per
2πε 0 ⎝ ( x − d ) ( x + d ) ⎠
x<-d oppure x>d, mentre sarà Ex<0 per –d<x-d. Dall’equazione precedente è poi immediato
risolvere come per x=0: E x (0) = −
λ
V
= −2.52 ⋅106
m
πε 0 d
2.2 Per trovare il campo elettrico lungo l'asse y possiamo utilizzare la forma vettoriale del campo
G
elettrico di un filo infinito: E =
λ
2πε 0 ( x − x0 ) + ( y − y0 )
2
2
( x − x0 , y − y0 )
⋅
( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2
dove x0 e y0 sono
le coordinate del filo. Per il filo con carica positiva sarà ( x0 , y0 ) = (d , 0) , mentre per quello a carica
( x0 , y0 ) = (−d , 0) .
I
due
campi
elettrici
risulteranno
quindi:
G
λ
( x − d , y) G −
−λ ( x + d , y )
E+ =
,E =
. Sommandoli, la componente y si annulla (come
2
2
2πε 0 ( x − d ) + y
2πε 0 ( x + d ) 2 + y 2
λ
d
, il campo è
si poteva vedere per simmetria, mentre la componente x risulta Ex = −
2
πε 0 d + y 2
negativa
sarà
quindi sempre rivolto in direzione di x negativo e per y=5cm si ha Ex = −1.26 ⋅106 V/m .
Esercizio 3
3.1 Nell’origine del sistema di coordinate l’unica componente non nulla del campo magnetico è quella
diretta lungo l’asse z, vale quindi la formula per il campo interno di un solenoide:
Bz (0, 0, 0) = μ0
N
I 0 = 9, 42 ⋅10−3 T , dove h è l’altezza del solenoide. Il campo è positivo perchè la
h
corrente nel solenoide circola in senso antiorario visto dal verso positivo di z.
3.2 Per t<0 il flusso magnetico attraverso la spira è costante e pertanto non scorre corrente. La
variazione della corrente nel solenoide per t>0 induce una differenza di potenziale pari a
d Φ B (t )
N
−t
, dove Φ (t ) = S μ0
I 0 e τ dove S=πr2 è l'area del solenoide, da cui
dt
h
2
μ N πr
V (t )
−t
=+ 0
i (t ) =
I 0 e τ . Poichè la corrente risulta positiva, scorre in senso antiorario.
R
τ h R
Vind (t ) = −
Infatti la diminuzione della corrente nel solenoide corrisponde ad una diminuzione di flusso e la
corrente indotta si oppone a questa variazione per la legge di Lenz. Per t=1ms, i (1ms) = 109 μ A .
Il
grafico
della
corrente
è
riportato
sotto.
0.002
i (A)
0.0015
0.001
0.0005
0
-0.003
-0.002
-0.001
0
0.001
0.002
0.003
t(s)
3.3 La
potenza
dissipata
dalla
spira
per
t<0
è
0,
mentre
2
∞
⎛ μ0 N π r 2 ⎞ ∞ − 2 t τ
2
⋅
=
(
(
)
)
i
t
R
dt
I 0 ⎟ R ∫ e dt =
⎜
∫0
⎝τ h R
⎠ 0
2
∞
2
⎛ μ0 N π r 2 ⎞
⎛ μ0 N π r 2 ⎞
τ
⎛ τ − 2t τ ⎞
⋅
⋅
−
=
I
R
e
I 0 ⎟ ⋅ R ⋅ = 6,34 ⋅10−9 J
⎜
⎜
0⎟
⎜
⎟
2
⎝ 2
⎠0 ⎝ τ h R
⎝τ h R
⎠
⎠
per
t>0
è
data
da:
Compito n. 1
Nome
Cognome
Numero di matricola
Fisica Generale I per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2008/2009
Primo Compitino
17/11/2008.
• La parte A di questo compito sarà corretto da un computer, che analizzerà solo le risposte numeriche fornite dallo
studente. Fare quindi massima attenzione nei calcoli. I punteggi di ciascuna domanda sono indicati tra parentesi:
attenzione, una risposta errata verrà valutata con il numero negativo indicato sempre in parentesi.
• La parte B verrà corretta soltanto se il punteggio ottenuto nella parte A sarà uguale o superiore a 5/10. In tal caso
il punteggio ottenuto nella parte A si sommerà a quello ottenuto nella parte B.
• Nella parte B verranno prese in considerazione sia la risposta numerica sia lo svolgimento del problema, senza
penalità per le risposte errate, con un punteggio massimo per ogni domanda indicato tra parentesi.Potranno essere
assegnati fino a 3 punti di bonus per la chiarezza delle spiegazioni e l’ordine nello svolgimento del compito.
• Modalità di risposta: scrivere il valore numerico della risposta nell’apposito spazio e barrare la lettera corrispondente.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario standard, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Candidati scoperti in violazione di questa
norma verranno allontanati dalla prova.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: accelerazione di gravità alla superficie
terrestre g = 9.81 ms−2
Parte A
r
Quesito 1: Calcolare il valore numerico dell’espressione:
X=
A 21.6
B 0.935
C 3.81
2.70 · 1018 + 3.90 · 1019 + 5.30 · 1017
.
6.80 · 1017
D 7.88
(1,-1)
E 4.23
Quesito 2: Scrivere una combinazione dell’accelerazione g, l’altezza h e la massa m che dimensionalmente rappresenti:
(0.5,-0.5)(0.5,-0.5)
Tempo
Velocità
Quesito 3: Indiana Jones si perde in un labirinto. Per uscire percorre 30.0 m verso N, poi 28.0 m verso W, infine 38.0 m
verso S. A che distanza in linea retta si trova dal punto inziale ?
(1,-1)
Distanza [m] =
A 19.6
B 36.0
C 16.7
D 71.6
E 29.1
Quesito 4: Un barcone viene tirato da due cavalli che camminano sulle due rive. L’angolo formato da ciascuna corda
rispetto alla direzione di moto del barcone è di 40.0 gradi, e la forza esercitata da ciascun cavallo è 2000 N nella direzione
della corda. Calcolare la forza di attrito viscoso dell’acqua se il barcone procede a velocità costante. Indicare -1 se non
si può calcolare.
(1,-1)
Forza [N] =
A
2570
B -1.00
C
30100
Quesito 5: Si determini l’incognita x nella seguente equazione
con a = 0.900, b = 7.20, c = −6.40, d = −8.00, e = −8.90
x=
A -79.6
B
-134
C
531
D
21400
E
3060
c
d
=
ax + b
ax + e
(1,-1)
D
733
E
-241
Quesito 6: Un’auto procede con v0 = 88.0 km/h. Esprimere questa velocità in diverse unità di misura: (0.5,-0.5)(0.5,0.5)
cm/ms
km/giorno
Quesito 7: Una stanza a base circolare ha un diametro di 5.90 m e altezza di 2.90 m. Ogni molecola di gas che la riempie
occupa in media un volume di 4.50×10−26 m3 . Calcolare quante molecole ci sono nella stanza.
(1,-1)
Nmolecole =
A 6.77 × 1027
B 9.82 × 1026
C 1.76 × 1027
D 2.90 × 1026
E 2.56 × 1026
Quesito 8: In un tunnel lungo 2.90 km le autovetture procedono a 80.0 km/h con una distanza di sicurezza tra le
autovetture di almeno 240 m. Dire qual è il numero di autovetture che transitano nel tunnel in 1.00 ora.
(2,-1)
Nautovetture =
A
1460
B 28.0
C
333
D
8420
E 12.0
Parte B
Problema 1: Uno sciatore di massa M = 71.0 kg scende per un pendio ed arriva ad un trampolino inclinato di α=10.0 gradi rispetto all’orizzontale. La quota del punto di partenza rispetto al punto in cui lo sciatore lascia il trampolino é di
h=33.0 m . Il cronometrista determina che lo sciatore impiega ∆t=2.30 s dal momento in cui lascia il trampolino al
momento in cui tocca la pista sottostante. Trascurando tutti gli attriti calcolare, indicando sia la formula risolutiva che
il risultato numerico:
1.a Il modulo della velocitá dello sciatore quando lascia il trampolino.
(4)
V0 [m/s]=
1.b La quota del punto di partenza rispetto al punto in cui lo sciatore tocca la pista sottostante
(4)
H=[m]
1.c La distanza orizzontale del punto in cui lo sciatore tocca la pista rispetto al trampolino
(4)
D=[m]
Problema 2: Una massa M = 58.0 g é appoggiata su di un piano inclinato di angolo 30.0◦ rispetto all’orizzontale e
attaccata ad una molla, di costante elastica k = 95.0 N/m e lunghezza a riposo l0 = 5.20 cm, il cui altro estremo é
collegato al punto piú basso del piano inclinato, chiamato O. Si chiami x la distanza tra la massa M ed O. Nelle risposte
indicare sia la formula risolutiva sia il risultato numerico.
2.a Calcolare x0 di equilibrio della massa M in assenza di attrito
(4)
x0 [m]=
2.b Se è presente attrito statico, con coefficiente di attrito µs = 0.270, calcolare il minimo e massimo valore di x per cui
la massa puó rimanere in equilibrio.
(4)
xmin [m]=
xmax [m]=
2.c Con la massa inizialmente in equilibrio nella posizione x0 e in presenza di attrito, il sistema viene messo in rotazione
intorno ad un asse verticale passante per il punto O. Trovare la massima velocità angolare ωMAX per cui la massa
non si muove.
(4)
ωmax [rad/s]=
Compito n. 1
Compito n. 1
Nome
Cognome
Numero di matricola
Fisica Generale per Ingegneria Gestionale (Prof. F. Forti)
A.A. 2007/2008
Appello straordinario
17/11/2008.
• La parte A di questo compito sarà corretto da un computer, che analizzerà solo le risposte numeriche fornite dallo
studente. Fare quindi massima attenzione nei calcoli. I punteggi di ciascuna domanda sono indicati tra parentesi:
attenzione, una risposta errata verrà valutata con il numero negativo indicato sempre in parentesi.
• La parte B verrà corretta soltanto se il punteggio ottenuto nella parte A sarà uguale o superiore a 5/10. In tal caso
il punteggio ottenuto nella parte A si sommerà a quello ottenuto nella parte B.
• Nella parte B verranno prese in considerazione sia la risposta numerica sia lo svolgimento del problema, senza
penalità per le risposte errate, con un punteggio massimo per ogni domanda indicato tra parentesi.
• Modalità di risposta: scrivere il valore numerico della risposta nell’apposito spazio e barrare la lettera corrispondente.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato. Candidati scoperti in violazione di questa
norma verranno allontanati dalla prova.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m.
Parte A
r
Quesito 1: Calcolare il valore numerico dell’espressione:
X=
A 14.5
B 2.35
C 28.3
2.40 · 1018 + 6.20 · 1019 + 3.00 · 1017
.
2.40 · 1017
D 16.4
(1,-1)
E 30.6
Quesito 2: Scrivere una combinazione della carica Q, della d.d.p. V , della massa m e della distanza d che abbia le
dimensioni di:
(1,-1)(1,-1)
Accelerazione
Velocità
Quesito 3: Indiana Jones si perde in un labirinto. Per uscire percorre 28.0 m verso N, poi 40.0 m verso W, infine 20.0 m
verso S. A che distanza in linea retta si trova dal punto inziale ?
(1,-1)
Distanza [m] =
A 20.6
B 1.35
C 48.0
D 40.8
E 6.10
Quesito 4: Un barcone viene tirato da due cavalli che camminano sulle due rive. L’angolo formato da ciascuna corda
rispetto alla direzione di moto del barcone è di 30.0 gradi, e la forza esercitata da ciascun cavallo è 1700 N nella direzione
della corda. Calcolare la forza di attrito viscoso dell’acqua se il barcone procede a velocità costante. Indicare -1 se non
si può calcolare.
(1,-1)
Forza [N] =
A
41300
B
18700
C
2940
Quesito 5: Si determini l’incognita x nella seguente equazione
con a = −0.600, b = 5.10, c = 0.200, d = −8.10, e = −2.30
x=
A 8.20
B
107
C 17.8
D -1.00
E
1700
c
d
=
ax + b
ax + e
(1,-1)
D -11.5
E -84.4
Quesito 6: Un’auto procede con v0 = 110 km/h. Esprimere questa velocità in diverse unità di misura: (0.5,-0.5)(0.5,-0.5)
cm/ms
km/giorno
Quesito 7: Una stanza a base circolare ha un diametro di 5.50 m e altezza di 2.90 m. Ogni molecola di gas che la riempie
occupa in media un volume di 4.50×10−26 m3 . Calcolare quante molecole ci sono nella stanza.
(1,-1)
Nmolecole =
A 6.15 × 1026
B 1.12 × 1027
C 7.10 × 1026
D 1.53 × 1027
E 2.09 × 1027
Quesito 8: In un tunnel lungo 3.30 km le autovetture procedono a 80.0 km/h con una distanza di sicurezza tra le
autovetture di almeno 190 m. Dire qual è il numero di autovetture che transitano nel tunnel in 1.00 ora.
(1,-1)
Nautovetture =
A 17.0
B
421
C
4240
D 24.0
E
1550
Parte B
Problema 1: Un cannone di massa MC = 180 kg è montato sul bordo di una piattaforma cilindrica di massa MP =
1300 kg e raggio R = 4.40 m, vincolata a ruotare per un asse verticale passante per il suo centro. La canna del cannone
(di lunghezza trascurabile) è inclinata di α = 55.0◦ rispetto all’orizzontale. Il sistema è inizialmente in quiete. Il cannone
spara un proiettile di massa m1 = 190 g con modulo della velocità pari a v0 = 160 m/s. Nelle risposte indicare sia la
formula risolutiva sia il risultato numerico.
1.a Considerato il sistema piattaforma, cannone e proiettile, dire quali quantità si conservano nello sparo, e spiegare
perchè. (Potrebbe conservarsi anche piú di una quantità)
(4)
B Energia meccanica
C Momento angolare
A Quantità di moto
1.b Calcolare la velocità angolare della piattaforma dopo che il cannone ha sparato.
(4)
ω[m]=
1.c Calcolare la componente orizzontale della reazione esercitata dall’asse di rotazione durante il successivo moto della
piattaforma. (Suggerimento: considerare il moto del centro di massa)
(4)
F=[N]
Problema 2: Un solenoide di altezza H = 29.0 cm, raggio a = 1.30 cm è composto da N = 1100 spire di filo di carbonio
di diametro d = 800 µm (resistività ρ = 3.5 × 10−5 Ω · m).
2.a Calcolare la resistenza R del solenoide
(4)
R[Ω]=
2.b Calcolare l’autoinduttanza L del solenoide
(4)
L[m]=
2.c Se all’istante t = 0 il solenoide viene collegato ad una batteria con d.d.p. di 10 V, calcolare dopo quanto tempo la
corrente nel circuito sarà pari alla metà del valore asintotico per t → ∞.
(4)
t1/2 [s]=
Compito n. 1