Algebra dei vettori

Pagina 1 di 13
C:\Users\Proprietario\Documents\lisa\FISICA\lezioni appunti e schemi di fisica\Algebra dei vettori aggiornato.doc
Algebra dei vettori
Il vettore è un oggetto matematico che è caratterizzato da modulo, direzione e verso.
Si indica graficamente con una freccia. Un vettore è individuato da una lettera minuscola con sopra
una freccetta Il modulo di un vettore , cioè la sua intensità, si indica o semplicemente con la lettera
senza freccetta, oppure con il simbolo di vettore fra due sbarrette verticali:
le due scritture: a e   hanno lo stesso significato e si leggono: modulo di .
Nota: attenzione a non confondere il vettore con il suo modulo; il modulo è un numero (associato
eventualmente ad un’unità di misura), il vettore ha anche direzione e verso.
Es.
Il vettore viene utilizzato in fisica per rappresentare le grandezze vettoriali, cioè quelle grandezze
che sono caratterizzate dall’intensità, dalla direzione, dal verso (es.: la forza, la velocità,
l’accelerazione, la velocità angolare, la quantità di moto, il momento di una forza, il momento
angolare).
Si chiama scalare una grandezza che è individuata solo dal suo valore numerico (sono grandezze
scalari la massa, il tempo, il volume) Anche il modulo di un vettore è uno scalare
OPERAZIONI FRA VETTORI
Somma di vettori
a) Vettori non paralleli fra loro
La somma di due vettori non paralleli si può ottenere graficamente in due modi:
1. regola del parallelogramma:
=
+
Per sommare i vettori e se ne trasla uno dei due in modo che i loro primi estremi coincidano
(ricordiamo che si può sempre traslare un vettore) e si traccia la diagonale del parallelogramma
come in figura.
Pagina 2 di 13
C:\Users\Proprietario\Documents\lisa\FISICA\lezioni appunti e schemi di fisica\Algebra dei vettori aggiornato.doc
2. metodo punta-coda
Si trasla il vettore in modo che il primo estremo di
il primo estremo di con il secondo estremo di
coincida con la punta di . Poi si congiunge
Attenzione: il modulo del vettore somma non è la somma dei moduli dei vettori e , così
come la lunghezza di un lato di un triangolo non è uguale alla somma degli altri due lati.
b) Vettori paralleli
1. I due vettori sono paralleli e hanno verso concorde:
Questo è l’unico caso in cui il modulo della somma è uguale alla somma dei moduli:
Attenzione:
queste due scritture indicano cose diverse : la prima è una somma di vettori, la seconda è una
somma di moduli
2. I due vettori
e
sono paralleli e hanno verso opposto:
il modulo della somma è uguale alla differenza dei
moduli
La prima scrittura indica la somma di vettori, la
seconda l’operazione che permette di trovare il
modulo della somma: il modulo della somma è il
valore assoluto della differenza dei moduli
Pagina 3 di 13
C:\Users\Proprietario\Documents\lisa\FISICA\lezioni appunti e schemi di fisica\Algebra dei vettori aggiornato.doc
Esempio:
Moltiplicazione di un vettore
per uno scalare k:
il prodotto è un vettore che ha:
 per direzione la stessa del vettore
 per modulo il prodotto dello scalare k per il modulo del vettore
 come verso lo stesso di se k >0, il verso contrario ad se k < 0
Es. k = 2
2
k = -2
-2
Differenza di vettori
Per disegnare il vettore
= – ci sono due metodi:
1 ° metodo:
si moltiplica il vettore per –1, ottenendo il vettore – che ha verso opposto a . Poi si
sommano e – seguendo la regola del parallelogramma
Pagina 4 di 13
C:\Users\Proprietario\Documents\lisa\FISICA\lezioni appunti e schemi di fisica\Algebra dei vettori aggiornato.doc
2° metodo:
Per disegnare il vettore
si traslano i vettori e
in modo che il primo estremo di uno coincida con
il primo estremo dell’altro, poi, partendo dal secondo
estremo di , si traccia il vettore che congiunge le
due punte-
Vettori scritti in componenti cartesiane
Si chiama versore un vettore di modulo 1
Gli assi cartesiani (nel piano) sono individuati da versori che ne indicano il verso e la direzione
è il versore che indica l’asse x
è il versore che indica l’asse y
Pagina 5 di 13
C:\Users\Proprietario\Documents\lisa\FISICA\lezioni appunti e schemi di fisica\Algebra dei vettori aggiornato.doc
Scomponiamo un vettore qualsiasi lungo i due assi cartesiani
a x e a y sono due scalari: sono le
componenti cartesiane del vettore
Per trovare i valori numerici delle componenti a x e a y, se è noto il modulo   del vettore,
utilizziamo il seguente teorema sui triangoli rettangoli:
Teorema sui triangoli rettangoli
In un triangolo rettangolo ogni cateto è uguale all’ipotenusa per il coseno dell’angolo compreso,
oppure all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto
=
=
C

cos  =
cos  =

A
B
Applichiamo questo teorema al vettore e alle sue componenti:
sin 
sin 
Pagina 6 di 13
C:\Users\Proprietario\Documents\lisa\FISICA\lezioni appunti e schemi di fisica\Algebra dei vettori aggiornato.doc
a x = a cos 
a y = a sin 
Se ora moltiplichiamo a x per e a y per (vedi
il prodotto di uno scalare per un vettore)
otteniamo due vettori, uno che sta sull’asse x e
l’altro che sta sull’asse y.
I due vettori a y e a y sono i componenti
cartesiani del vettore
Pagina 7 di 13
C:\Users\Proprietario\Documents\lisa\FISICA\lezioni appunti e schemi di fisica\Algebra dei vettori aggiornato.doc
Se sommiamo vettorialmente i due
vettori
e
con la regola del
parallelogramma ( vedi somma di
vettori) otteniamo come risultato
proprio il vettore
questo è il vettore
forma cartesiana
scritto in
Scrivere un vettore in forma cartesiana significa scriverlo come somma di due vettori: uno è la
componente lungo x moltiplicata per il versore , l’altro è la componente lungo y per il versore
Se conosciamo le componenti cartesiane di un vettore
teorema di Pitagora:
=
il suo modulo si trova applicando il
Somma e differenza di vettori in forma cartesiana
Cominciamo con un esempio:
Abbiamo due vettori scritti in forma cartesiana; li disegniamo e disegniamo la loro somma e la loro
differenza
Pagina 8 di 13
C:\Users\Proprietario\Documents\lisa\FISICA\lezioni appunti e schemi di fisica\Algebra dei vettori aggiornato.doc
Se guardiamo sul disegno le
componenti cartesiane del vettore
somma
notiamo che sono
e
, cioè la somma
delle rispettive componenti di
In generale possiamo scrivere così la somma di due vettori:
se
e
allora
Regola analoga vale per la differenza:
Per esercizio considera i vettori:
Disegnali su un piano cartesiano e disegna il vettore somma e il vettore differenza.
Verifica che vale la regola vista sopra
Prodotto scalare fra due vettori
Il prodotto scalare fra vettori è uno scalare ed è definito da:
e di
Pagina 9 di 13
C:\Users\Proprietario\Documents\lisa\FISICA\lezioni appunti e schemi di fisica\Algebra dei vettori aggiornato.doc
dove α è l’angolo compreso fra i due vettori
Ricordiamo che
è la componente del vettore lungo la direzione di . Nello stesso modo
è la componente del vettore sulla retta individuata da
Sia che pensiamo il prodotto scalare come
otteniamo lo stesso valore scalare
Segno del prodotto scalare:
dati due vettori e
1.
=
il prodotto scalare è positivo e ha valore
massimo
sia che lo pensiamo come
Pagina 10 di 13
C:\Users\Proprietario\Documents\lisa\FISICA\lezioni appunti e schemi di fisica\Algebra dei vettori
aggiornato.doc
2.
il prodotto scalare è positivo e ha valore
decrescente per valori crescenti di α
3.
il prodotto scalare è nullo
4.
il prodotto scalare è negativo e ha valore
assoluto crescente per valori crescenti di α
5.
il prodotto scalare è negativo e ha valore
minimo (valore assoluto massimo)
Il prodotto cartesiano gode della proprietà commutativa
Prodotto scalare in forma cartesiana
Dati due vettori
e
scritti in forma cartesiana:
e
se li moltiplichiamo scalarmente otteniamo:
=
Notiamo che
Quindi si ottiene:
perché sono paralleli e
+
mentre
)
perché sono perpendicolari.
Pagina 11 di 13
C:\Users\Proprietario\Documents\lisa\FISICA\lezioni appunti e schemi di fisica\Algebra dei vettori
aggiornato.doc
Prodotto vettoriale fra due vettori
Il prodotto vettoriale fra vettori è un vettore ed è quindi necessario definirne l’intensità, la direzione
e il verso.
1. L’intensità è:
=
2. La direzione è la retta perpendicolare al piano individuato da i due vettori
3. Il verso si ottiene con la regola della mano destra o della vite:
e
Pagina 12 di 13
C:\Users\Proprietario\Documents\lisa\FISICA\lezioni appunti e schemi di fisica\Algebra dei vettori
aggiornato.doc
Si immagina di dover ruotare su seguendo l’angolo più piccolo: se si deve fare una rotazione
antioraria il prodotto vettoriale è uscente dal piano (nel disegno verso l’alto), se si deve seguire una
rotazione oraria il prodotto vettoriale è entrante (verso il basso)
Il prodotto vettoriale non è commutativo:
=
Prodotto vettoriale in forma cartesiana
Dati due vettori
e
scritti in forma cartesiana:
e
se li moltiplichiamo settorialmente otteniamo:
=
+
)
Pagina 13 di 13
C:\Users\Proprietario\Documents\lisa\FISICA\lezioni appunti e schemi di fisica\Algebra dei vettori
aggiornato.doc
Dobbiamo notare che
Il prodotto vettoriale in forma cartesiana diventa: