Università degli Studi di Perugia
Dipartimento di Fisica e Geologia
Corso di Laurea Triennale in Fisica
Tesi di laurea triennale
La precessione dell’orbita della stella S2
Candidato:
Lorenzo Quintavalle
Matricola 270558
Relatore:
Prof. Gianluca Grignani
Anno Accademico 2015–2016
Indice
1 Dati utilizzati
3
2 Precessione dell’orbita in metrica statica
2.1 La metrica di Schwarzschild . . . . . . .
2.2 Equazioni del moto e traiettoria . . . . .
2.3 Imposizione di orbita legata . . . . . . .
ed
. .
. .
. .
a simmetria
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
sferica
. . . . .
. . . . .
. . . . .
6
6
11
14
3 Calcolo dell’angolo di precessione
16
3.1 Approssimazione in serie della metrica . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Approccio numerico combinato con metodo Montecarlo . . . . . . . 19
4 Conclusioni
22
1
INDICE
INDICE
La regione centrale della Via Lattea, chiamata Centro Galattico, costituisce il centro rotazionale della nostra Galassia, ed è situata ad una distanza di circa 8 kiloparsec. In tale regione è presente la complessa sorgente radio Sagittarius A, nella
quale è a sua volta contenuta la più compatta sorgente Sagittarius A*, abbreviata
Sgr A*. Le numerose stelle nell’immediata vicinanza di Sgr A* sono state seguite
sin dal 1992 dal team del New Technology Telescope (NTT) dell’European Southern
Observatory (ESO), al quale hanno fatto seguito i telescopi Keck del W. M. Keck
Observatory ed il Very Large Telescope (VLT), anch’esso dell’ESO; questi ultimi
due si occupano tuttora attivamente delle stelle nel Galactic Center. Le stelle che
si trovano entro un arcosecondo di distanza (= 0.038 pc) da Sgr A* sono denominate S-stars, e sin dai primi anni di osservazione sono divenute oggetto di notevole
interesse fisico: l’analisi delle orbite e delle accelerazioni a cui sono sottoposte ha
infatti portato forti prove a sostegno dell’esistenza di un buco nero supermassiccio
al centro della Via Lattea, con sito identificato proprio in Sgr A*. È inoltre molto
diffusa l’ipotesi della presenza di una concentrazione di materia oscura nel Centro
Galattico. Data la loro vicinanza ad oggetti dalle estreme proprietà gravitazionali,
le S-stars sono di conseguenza diventate il perfetto terreno di prova per modelli teorici sulla gravitazione, prima fra tutte la teoria della Relatività Generale di
Einstein.
Storicamente, uno dei principali test che ha portato ad avvalorare la Relatività
Generale è stato il calcolo della precessione del perielio di Mercurio: la teoria di
Einstein prevede infatti che le orbite di corpi in moto Kepleriano subiscano una
precessione dovuta alle sole proprietà dello spazio in cui si trovano. Questo termine
di precessione va a sommarsi a quello già presente nel modello Newtoniano, dovuto
alla presenza di distribuzione estesa di massa.
L’osservazione delle orbite delle S-star ed in particolare della loro precessione
può dunque portare conferma della validità della Relatività Generale (Weinberg
et al. 2005 [4]) su scala galattica, espandendo il suo range di correttezza ben
oltre i corpi del sistema solare. La conoscenza della Relativistic Prograde Precession (RPP) ed il relativo confronto con le osservazioni per almeno due stelle,
potrebbero inoltre fornire dettagli sulla distribuzione di materia oscura attorno a
Sgr A* (Zakharov et al. 2007 [6]).
Questo lavoro si pone dunque l’obiettivo di utilizzare gli ultimi dati attualmente
disponibili sul buco nero Sgr A* e sulle orbite di alcune S-star particolarmente
rilevanti (S38, S102 ed in particolar modo S2) per stimare al meglio la RPP di
queste ultime.
2
Capitolo 1
Dati utilizzati
Negli ultimi anni sono stati principalmente due i team di ricercatori ad occuparsi
della presa dati sugli oggetti orbitanti attorno a Sgr A* : il team del Very Large
Telescope ed il team dei Keck Telescopes. Sono state fatte diverse pubblicazioni da
entrambi i gruppi, e fino al 2016 i dati di riferimento per Sgr A* e le S-stars sono
stati quelli degli articoli di Ghez et al. del 2008 [1] e Gillessen et al. del 2009 [2],
poi riunificati nello stesso 2009 (Gillessen et al. [7]), in modo da avere accordo
tra le misure del Keck e del VLT. Nel 2016 è stato rilasciato per la pubblicazione
sull’Astrophysical Journal un articolo che, oltre a presentare nuove osservazioni
sulle S-star S2 ed S38, fitta i dati di queste ultime per ottenere quella che, ad oggi,
risulta essere la miglior stima sulla massa di Sgr A* e la sua distanza dalla terra;
come risultato del fit sono inoltre restituiti i più probabili parametri orbitali delle
due stelle. Alcuni dei dati di [3] sono presentati in Tabella 1.1 e 1.2. In Tabella 1.2
sono inoltre presentati i dati della stella S102 presi da Meyer et al. 2012 [5].
Tabella 1.1: Massa Mbh e distanza dalla terra R0 del buco nero Sgr A*, ricavati
da Boehle et al. [3].
Mbh (106 M )
R0 (kpc)
7.86 ± 0.14 ± 0.04 4.02 ± 0.16 ± 0.04
Tabella 1.2: Dati sull’orbita di S2, S38 ed S102, relativi a Periodo P , Eccentricità e, Inclinazione i, Argomento del Periapside ω e Longitudine del Nodo
Ascendente .
Stella
P (yr)
e
i(deg)
ω(deg)
(deg)
S2 [3] 15.92 ± 0.04 0.892 ± 0.002 134.2 ± 0.3 66.8 ± 0.5 228.0 ± 0.5
S38 [3]
19.2 ± 0.2 0.810 ± 0.004
170 ± 3
12 ± 21
95 ± 20
S102 [5] 11.5 ± 0.3
0.68 ± 0.02
151 ± 3
185 ± 9
175 ± 5
3
Figura 1.1: Miglior fit per le orbite delle stelle S2 (linea blu) ed S38 (linea rossa),
con dati dal 1995 al 2014. Fonte: Boehle et al. 2016 [3].
È stato scelto di trattare queste tre stelle in particolare poiché S2 ed S38 sono
le S-star dalle orbite meglio conosciute (S2 è stata osservata per più di un’orbita
completa, S38 per più del 40%), mentre S102 è la stella dal periodo orbitale più
breve di tutto il gruppo.
Oltre ai dati riportati nelle suddette tabelle, per il calcolo della precessione degli
apsidi è necessario conoscere il semiasse maggiore dell’orbita. A tale scopo è stata
utilizzata la Terza legge di Keplero. Nel fare ciò è stato considerato il sistema stellabuco nero come indipendente dalla distribuzione di materia in cui è situato, è stata
considerata come massa del sistema la massa del singolo buco nero e le orbite
sono considerate approssimativamente kepleriane. Tale approccio è giustificato
in quanto la massa del buco nero Mbh >> Mstar di circa 5 ordini di grandezza
per ognuna delle tre stelle in analisi, dunque la massa stellare Mstar può essere
trascurata. Inoltre gli effetti dovuti alla presenza di una distribuzione di materia nei
dintorni del sistema potranno essere trattati separatamente1 una volta in possesso
di maggiori informazioni astrometriche. Infine è confermato dai dati sperimentali
che le tre stelle in questione seguono orbite non molto dissimili dal tipo kepleriano
(Figura 1.1 e 1.2).
La Terza Legge di Keplero espressa in termini del periodo della stella orbitante
P , del semiasse maggiore dell’orbita a, della costante di gravitazione universale G,
1
Si veda ad esempio l’articolo di Zakharov et al. 2007 [6], tenendo presente che attualmente [3]
fornisce un upper limit della presenza di materia oscura entro 0.01 pc da Sgr A* pari a 0.13 ×
106 M .
4
Figura 1.2: Miglior fit per le orbite delle stelle S2 (linea nera) ed S102 (linea
rossa). Le osservazioni di S2 vanno dal 1995 al 2012, mentre quelle di S102 dal
2000 al 2012. Fonte: Meyer et al. 2012 [5].
della massa del buco nero Mbh e della massa stellare Mstar è dunque:
4π 2
4π 2
P2
=
≈
a3
G(Mbh + Mstar )
GMbh
Dalla quale può essere ricavato il semiasse maggiore a:
r
2
3 GMbh P
a=
4π 2
(1.1)
(1.2)
5
Capitolo 2
Precessione dell’orbita in metrica
statica ed a simmetria sferica
In linea di principio la metrica più adatta a descrivere lo spazio nei dintorni di
Sgr A* sarebbe la metrica di Kerr1 , la quale tiene conto anche della rotazione del
buco nero. Weinberg et al. in un lavoro del 2005 [4] hanno tuttavia evidenziato come il termine di precessione portato dalla rotazione di Sgr A* risulta essere
inferiore alla RPP di un fattore dell’ordine di v/c, dove v rappresenta la velocità
della stella. Supponendo che le stelle si muovano in orbite circolari con raggio pari
alla distanza all’apocentro e periodo pari a quello osservato, si ottiene una stima
largamente per eccesso della velocità delle stelle, che in ogni caso porta a valori di
v/c dell’ordine dell’1%, è stato pertanto ritenuto sufficiente utilizzare una metrica
del tipo Schwarzschild: statica ed a simmetria centrale.
2.1
La metrica di Schwarzschild
In relatività generale la presenza di massa in una certa regione dello spaziotempo
comporta una curvatura dello stesso. Ciò implica che lo spazio della relatività generale è caratterizzato da una metrica differente da quella di Minkowski, utilizzata
in relatività ristretta. Risulta tuttavia utile prendere quest’ultima come punto di
partenza per costruire la metrica descrivente lo spazio attorno a Sgr A*. Avendo
deciso di trascurare gli effetti di rotazione del buco nero si può infatti supporre che questo sia statico ed a simmetria sferica, e queste proprietà verranno di
conseguenza trasmesse alla metrica dello spazio che lo circonda. Imponendo alla
metrica di soddisfare queste caratteristiche e ricercando la soluzione esteriore al
corpo, si otterrà quella che per la relatività generale è l’unica soluzione nel vuoto
dotata di simmetria sferica: la metrica di Schwarzschild. Si consideri la metrica di
Minkowski, un importante esempio di metrica a simmetria sferica:
1 0
0
0
0 −1 0
0
ds2 = gµν dxµ dxν
con
gµν =
(2.1)
0 0 −1 0
0 0
0 −1
1
Per una trattazione di orbite simili a quella di S2 nella metrica di Kerr fare riferimento a
Zhang et al. 2015 [8].
6
La metrica di Schwarzschild
Passando alle coordinate sferiche questa diventa:
ds2 = c2 dt2 − dr2 − r2 dΩ2
con
dΩ2 = dϑ2 + sin2 ϑdϕ2
(2.2)
La richiesta di simmetria sferica nella metrica che si sta ricercando si traduce nella
imposizione che sia mantenuta la forma di dΩ2 , ci si aspetta dunque una metrica
della forma2 :
ds2 = gaa (a, b)da2 + gab (a, b)(dadb + dbda) + gbb (a, b)db2 − r2 (a, b)dΩ2
(2.3)
Dove a e b sono dei parametri generici e dΩ2 è sempre nella forma (2.2). Si vuole
ora passare dalle coordinate (a, b, ϑ, ϕ) alle coordinate (t, r, ϑ, ϕ). Si procede prima
al passaggio da (a, b) ad (a, r):
b = b(a, r)
=⇒
db =
∂b
∂b
da + dr
∂a
∂r
Sostituendo in (2.3):
ds2 = gaa (a, r)da2 + gar (a, r)(dadr + drda) + grr (a, r)dr2 − r2 dΩ2
(2.4)
La forma che desiderata è del tipo:
ds2 = f (t, r)c2 dt2 − h(r, t)dr2 − r2 dΩ2 ,
(2.5)
dove il parametro t è tale che
t = t(a, r)
dt =
∂t
∂t
da + dr
∂a
∂r
Quadrando il differenziale e sostituendo in (2.5):
2
dt =
2
2
2
2
∂t
∂a
2
ds = f c dt −hdr = f c
2
∂t ∂t
(dadr + drda) +
da +
∂r ∂a
2
∂t
∂a
2
∂t
∂r
2
dr2
2
∂t
∂t
2
(dadr+drda)+c f
da +f c
dr2 −hdr2
∂r ∂a
∂r
2
2 ∂t
Uguagliando i coefficienti di da2 , (dadr + drda) e dr2 in quest’ultima espressione
con quelli della (2.4):
2
∂t
gaa (a, r) = f c
∂a
∂t ∂t
gar (a, r) = f c2
∂r ∂a
2
∂t
grr (a, r) = f c2
−h
∂r
2
(2.6)
2
Per una derivazione più approfondita della (2.3) si veda il libro di Carroll, Spacetime and
Geometry [9].
7
La metrica di Schwarzschild
È stata quindi mostrata la possibilità di passare da (2.4) a (2.5). Volendo conservare la segnatura della metrica adottata per la metrica di Minkowski (2.1) si può
sostituire
f (r, t) = eν(r,t)
e
h(r, t) = eλ(r,t)
in modo da esprimere esplicitamente il segno positivo di tali costanti:
ds2 = eν(r,t) c2 dt2 − eλ(r,t) dr2 − r2 dΩ2
(2.7)
Quella appena scritta è la più generale metrica per un sistema a simmetria sferica,
espressa in dipendenza di (t, r, ϑ, ϕ).
Il tensore metrico è:
gµν
eν(r,t)
0
0
0
0
−eλ(r,t) 0
0
=
2
0
0
−r
0
2
2
0
0
0 −r sin ϑ
(2.8)
Dalle ipotesi fatte, l’unico corpo che può apportare modifiche al tensore metrico è
Sgr A*, pertanto la metrica all’esterno di quest’ultimo sarà la stessa, sia in presenza
di materia che non. Di conseguenza le espressioni della λ(r, t) e della ν(r, t) possono
essere ricavate sfruttando le equazioni di Einstein per la soluzione esteriore al corpo
centrale in assenza di materia. In generale si scrivono:
Gµν =
8πG
Tµν
c4
(2.9)
con
1
Gµν = Rµν − gµ νR
(2.10)
2
Dove Gµν è il tensore di Einstein, G è la costante di gravitazione universale, Tµν è
il tensore energia-impulso, Rµν è il tensore di Ricci e R è lo scalare di curvatura. In
assenza di materia si ha Tµν = 0, da cui segue immediatamente, attraverso la (2.9),
che Gµν = 0. Inoltre
Tµν = 0
=⇒
Tνν = T = 0
=⇒
R=
8πG
T =0
c4
Tutto ciò si traduce nella condizione
Rµν = 0
(2.11)
Il tensore di Ricci può essere ricavato a partire dai simboli di Christoffel i quali
a loro volta, nell’ipotesi di metrica torsion-free compatibile con la connessione,
possono essere ricavati dal tensore metrico. La metrica inversa può essere ricavata
dalla condizione g µν gµν = δµν , ed è
−ν(r,t)
e
0
0
0
0
−e−λ(r,t) 0
0
g µν =
(2.12)
1
0
0
− r2
0
1
0
0
0 − r2 sin
2ϑ
8
La metrica di Schwarzschild
I simboli di Christoffel possono essere ricavati da:
1
Γλµν = g λρ (gµρ,ν + gνρ,µ − gµν,ρ )
2
(2.13)
e risultano essere3 :
ν̇
2
ν0
2
ν0
2
λ̇ λ−ν
e
2
0
0
0
0
ν0
0
0
0
0
2
Γ0µν =
0
0
0
0
0 0 0
0
0 0 1
0
r
Γ2µν =
0 1 0
0
r
0 0 0 − sin ϑ cos ϑ
Γ1µν =
eν−λ
λ̇
2
0
0
Γ3µν
λ̇
2
λ0
2
0
0
0
0
0 −re−λ
0
0
0
−r sin2 ϑ
0 0
0
0
1
0 0
0
r
=
0 0
0
cot ϑ
0
0 1r cot ϑ
Il tensore di Ricci si ricava da
σ
Rµν = Rµσν
= Γλµν,λ − Γλµλ,ν + Γλµν Γρλρ − Γρµλ Γλνρ
(2.14)
Gli unici elementi diversi da zero sono:
R00
R11
R22
R33
00
ν 02 ν 0 λ0 ν 0
λ̈ λ̇2 ν̇ λ̇
ν−λ ν
+
+e
+
−
+
=− −
2
4
4
2
4
4
r
2
00
0 0
0
λ̈ λ̇
ν̇ λ̇
ν
νλ
λ
ν 02
= eλ−ν
−
−
−
+
+ −
2
4
4
2
4
r
4
0
0
r(ν − λ )
= 1 − e−λ 1 +
2
r(ν 0 − λ0 ) 2
−λ
= sin ϑ 1 − e
1+
2
R01 =
λ̇
r
(2.15)
A questo punto si può imporre Rµν = 0:
R01 = 0
=⇒
λ̇ = 0
R22 = 0
=⇒
=⇒
λ(r, t) = λ(r) indipendente da t
r(ν 0 − λ0 )
−λ
=0
1−e
1+
2
Derivando quest’ultima rispetto al tempo si ottiene, data la validità del teorema
di Schwarz per le derivate parziali:
∂ν 0
=0
∂t
=⇒
∂ ∂ν
=0
∂t ∂r
=⇒
ν = f (r) + g(t)
3
I simboli di punto e apice sono da intendere rispettivamente come derivata rispetto a ct e
∂ν
derivata rispetto ad r: ν̇ = ∂(ct)
e ν 0 = ∂ν
∂r .
9
La metrica di Schwarzschild
Dall’imposizione di R00 = 0 e R11 = 0 si può scrivere:
0
0
ν−λ
ν−λ ν + λ
e R11 + R00 = 0
=⇒
e
=0
=⇒
r
=⇒
f = −λ(r) + C1
=⇒
ν 0 = f 0 = −λ0
ν = −λ(r) + g̃(t)
La metrica a questo punto è stata semplificata nella forma:
ds2 = e−λ eg̃(t) c2 dt2 − eλ dr2 − r2 dΩ2
Si può trasformare la variabile t ridefinendola in modo che:
2
0 2
g̃(t) 2
c (dt ) = e
2
c dt
=⇒
0
dt = e
g̃(t)
2
dt
=⇒
0
Z
t =
e
g̃(t)
2
dt
0
Tale scelta fa in modo che eg̃(t ) = 1 ⇒ g̃(t0 ) = 0; così facendo si ha anche
l’importante conseguenza ν = −λ(r), la metrica è ora infatti anche statica 4 , indipendente dal tempo.
Rimane solo da imporre il termine R22 = 0, si ha:
1 − e−λ [1 − rλ0 ] = 0
e−λ (rλ0 − 1) = −1
=⇒
d
(e−λ r) pertanto
Il termine a sinistra è pari a − dr
d −λ
(e r) = 1
dr
=⇒
e−λr = r + cost
La coppia di equazioni soluzione della (2.11) è:
(
e−λ = 1 + cost
r
ν = −λ(r)
(2.16)
Rimane solo da determinare la costante; in limite di campo debole vale
lim g00 = 1 +
r→∞
2ϕ(r)
c2
dove per coordinata 0 si intende ct e ϕ(r) rappresenta il potenziale gravitazionale
, con G costante di gravitazione universale e M massa
Newtoniano ϕ(r) = − GM
r
del corpo centrale. Si ricava da questa il valore della costante:
e−λ = 1 −
2GM
cost
=1+
2
cr
r
=⇒
cost = −
2GM
c2
la quale, cambiata di segno, prende il nome di raggio di Schwarzschild rg =
È stata ottenuta infine la metrica di Schwarzschild :
rg 2 2
1
2
ds = 1 −
c dt −
dr2 − r2 dΩ2
r
1 − rgr
2GM
.
c2
(2.17)
4
In relatività generale una metrica si dice statica se è stazionaria (ovvero se ammette un
vettore di Killing che sia timelike intorno all’infinito) ed invariante per inversione temporale
(t → −t), per ulteriori approfondimenti si veda [9].
10
Equazioni del moto e traiettoria
Si noti come questa metrica presenti due divergenze: per r = 0 e per r = rg . Il
punto r = r0 è una singolarità vera e propria, un punto in cui la curvatura dello
spaziotempo diverge e metrica e spaziotempo non sono più definiti. Ciò, tuttavia,
non rappresenta un problema se si è in cerca di soluzione esteriore: il parametro
r non può infatti assumere valori al di sotto del raggio del corpo centrale. La
superficie descritta da r = rg rappresenta invece una singolarità eliminabile: nessun
invariante di curvatura presenta divergenze in tale punto e la singolarità può essere
inoltre rimossa cambiando sistema di coordinate. Per la maggior parte dei corpi il
raggio di Schwarzschild risulta inferiore al raggio del corpo centrale: per il Sole è
ad esempio pari a 2.95 km, per la Terra è pari a 8.87 mm. Se si parla di buchi neri,
invece, questa superficie ne demarca quello che é chiamato orizzonte degli eventi:
limite della regione dalla quale neppure la luce può fuggire dall’enorme campo
gravitazionale presente. Per quanto riguarda Sgr A*, il suo raggio di Schwarzschild
è pari a 1.19 × 1010 m = 0.0794 AU .
2.2
Equazioni del moto e traiettoria
Avendo trovato una metrica per lo spazio attorno a Sgr A*, si possono ricavare5
le equazioni del moto dei corpi in caduta libera attorno ad esso. La metrica di
Schwarzschild appena ricavata, per questioni di comodità, può essere scritta nel
seguente modo:
ds2 = B(r)dx20 − A(r)dr2 − r2 dϑ2 − r2 sin2 ϑdϕ2
(2.18)
con
2M G
B(r) = 1 − 2
cr
−1
2M G
A(r) = 1 − 2
cr
(2.19)
(2.20)
I corpi soggetti alla sola "forza" gravitazionale orbitanti attorno a Sgr A* si muovono, secondo le leggi della relatività generale, lungo linee geodetiche; concetto che in
qualche modo può esser visto come estensione a spazi con curvatura del concetto di
retta. Le linee geodetiche sono descritte dalla seguente equazione delle geodetiche:
ν
λ
d2 x µ
µ dx dx
+
Γ
=0
νλ
dp2
dp dp
(2.21)
dove p è un parametro che descrive la traiettoria e si vedrà essere proporzionale ad
s, l’intervallo relativistico. I simboli di Christoffel non nulli, dato λ̇ = 0 e ν̇ = 0,
5
Il procedimento per ricavare le equazioni del moto di questo paragrafo è stato preso in buona
parte da [10].
11
Equazioni del moto e traiettoria
possono essere scritti in termini di A e B come:
1 dA(r)
2A(r) dr
r sin2 ϑ
Γrϕϕ = −
A(r)
1
Γϑrϑ = Γϑϑr =
r
1
ϕ
ϕ
Γϕr = Γrϕ =
r
r
A(r)
1 dB(r)
Γrtt =
2A(r) dr
Γrϑϑ = −
Γrr r =
Γϑϕϕ = − sin ϑ cos ϑ
Γϕϕϑ = Γϕϑϕ = cot ϑ
Γttr = Γtrt =
1 dB(r)
2B(r) dr
(2.22)
Sostituendo i valori dei coefficienti di Christoffel (2.22) nelle equazioni (2.21), si
ottengono le seguenti:
2
2
2
2
d2 r
r
dϑ
sin2 ϑ dϕ
B 0 (r) dx0
A0 (r) dr
0= 2 +
−
−r
+
dp
2A(r) dp
A(r) dp
A(r) dp
2A(r) dp
(2.23)
2
dϕ
d2 ϑ 2 dϑ dr
− sin ϑ cos ϑ
0= 2 +
(2.24)
dp
r dp dp
dp
dϕ dϑ
d2 ϕ 2 dϕ dr
+ 2 cot ϑ
(2.25)
0= 2 +
dp
r dp dp
dp dp
d2 x0 B 0 (r) dx0 dr
0=
+
(2.26)
dp2
B(r) dp dp
Siccome il campo gravitazionale generato da una distribuzione a simmetria sferica
è isotropo, il moto del corpo orbitante avviene in un piano. Per comodità si può
fissare
π
(2.27)
ϑ=
2
In tal modo l’equazione (2.24) è automaticamente soddisfatta. Dividendo la (2.25)
0
e la (2.26) rispettivamente per dϕ
e dx
si ottiene
dp
dp
d
dϕ
2
ln
+ ln r = 0
dp
dp
d
dx0
ln
+ ln B = 0
dp
dp
(2.28)
(2.29)
La (2.29) ha soluzione
ln
dx0
+ ln B = cost
dp
dove la costante può essere presa pari a 0, ottenendo
dx0
1
=
dp
B(r)
(2.30)
12
Equazioni del moto e traiettoria
La (2.28) integrata ed esponenziata restituisce invece
r2
dϕ
=J
dp
(2.31)
dove J, costante del moto, rappresenta un momento angolare per unità di mc
(massa · velocità della luce); nel caso in esame si ha infatti (Tabella 3.1):
2M G
'0
c2 r
=⇒
B(r) ' 1
(2.30)
=⇒
p ' x0
Inserendo la (2.27), la (2.30) e la (2.31) nella (2.23) si riscrive l’ultima equazione
del moto come
2
d2 r
J2
B 0 (r)
A0 (r) dr
0= 2 +
− 3
+
(2.32)
dp
2A(r) dp
r A(r) 2A(r)B 2 (r)
dr
si può riscrivere come
Moltiplicando quest’equazione per 2A(r) dp
2
d
dr
J2
1
A(r)
+ 2 −
=0
dp
dp
r
B(r)
dalla quale si ricava l’ultima costante del moto:
2
1
dr
J2
= −E
A(r)
+ 2 −
dp
r
B(r)
(2.33)
Sostituendo le (2.27), (2.30) e (2.31) nella (2.18) si ottiene
1
dp
B(r)
J
dϕ = 2 dp
r
dr
dr = dp
dp
2
1
dr
J2
2
ds =
− A(r)
− 2 dp2
B(r)
dp
r
dx0 =
ma il termine fra parentesi quadre è proprio pari alla costante in (2.33) cambiata
di segno, si ha pertanto la relazione
ds2 = Edp2
(2.34)
da cui si nota immediatamente che la costante E deve essere positiva. Si può far
sparire il parametro p sfruttando la relazione (2.30) nella (2.31), (2.33) e (2.34); si
ottiene
dϕ
r2
= JB(r)
(2.35)
dx0
2
A(r) dr
J2
1
+
−
= −E
(2.36)
B 2 (r) dx0
r2
B(r)
13
Imposizione di orbita legata
ds2 = EB 2 (r)dx20
(2.37)
In ultima istanza, data la necessità di ottenere l’equazione della traiettoria per
calcolare la precessione, si può sostituire la (2.35) nella (2.36), ottenendo
2
A(r) dr
1
E
1
+ 2− 2
=− 2
4
r
dϕ
r
J B(r)
J
(2.38)
Da quest’ultima equazione si può ricavare la legge che restituisce dϕ in funzione di
dr
A1/2 (r)
dϕ = ± q
dr
1
r2 J 2 B(r)
− JE2 − r12
che, integrata, fornisce l’equazione della traiettoria con ϕ in funzione di r:
A1/2 (r)dr
Z
ϕ=±
r2
2.3
q
1
J 2 B(r)
−
E
J2
−
1
r2
(2.39)
Imposizione di orbita legata
In relatività generale, come anche in meccanica classica, le orbite legate di un
sistema a due corpi caratterizzato da interazione gravitazionale sono pressoché
ellittiche. Nel presente paragrafo si ricaverà, a partire dalla traiettoria e imponendo
delle condizioni al contorno, una legge che permette di quantificare l’angolo di
precessione ad ogni periodo di rivoluzione della stella orbitante.
Si impone ora l’esistenza di due punti, periapside ed apoapside 6 , nei quali la
distanza r fra il corpo orbitante e Sgr A* raggiunge rispettivamente il minimo valore
r− ed il massimo valore r+ . Le distanze apsidali sono legate al valore del semiasse
maggiore a ed alla eccentricità e dell’orbita mediante le relazioni
r+ = (1 + e)a
r− = (1 − e)a
(2.40)
(2.41)
In tali punti si deve avere dr/dϕ = 0, di conseguenza la (2.38) diventa
1
1
E
− 2
=− 2
2
r± J B(r± )
J
e da tali equazioni si possono ricavare le due costanti del moto:
E=
J2 =
6
2
r+
B(r+ )
2
r+
1
B(r+ )
1
2
r+
−
−
−
−
2
r−
B(r− )
2
r−
1
B(r− )
1
2
r−
(2.42)
(2.43)
Sono ugualmente diffusi i termini pericentro ed apocentro.
14
Dall’equazione della traiettoria (2.39) si può ricavare l’angolo spazzato dal periapside ad un generico punto dell’orbita di distanza r
Z
r
ϕ(r) − ϕ(r− ) =
A
r−
1/2
(r)
1
E
1
− 2− 2
2
J B(r) J
r
−1/2
dr
r2
nella quale, sostituendo le espressioni (2.42) e (2.43) si ottiene (ricordando che
B −1 (r) = A(r))
Z r
ϕ(r)−ϕ(r− ) =
r−
2
2
r−
(A(r0 ) − A(r− )) − r+
(A(r0 ) − A(r+ )) 1
− 02
2 2
r− (A(r+ ) − A(r− ))
r+
r
−1/2
A1/2 (r0 )r0−2 dr0
(2.44)
L’angolo spazzato da r− ad r+ è lo stesso che viene spazzato da r+ ad r− , pertanto
in un’intera rivoluzione l’angolo totale spazzato è
ϕrivoluzione = 2|ϕ(r+ ) − ϕ(r− )|
L’angolo di precessione può dunque essere calcolato come
∆ϕ = 2|ϕ(r+ ) − ϕ(r− )| − 2π
(2.45)
15
Capitolo 3
Calcolo dell’angolo di precessione
La (2.44) ha soluzione in termini di integrali ellittici, pertanto le soluzioni vanno
ricercate in modo approssimato. Qua sono proposti due metodi di risoluzione: il
primo fa uso di uno sviluppo in serie al secondo ordine della metrica, mentre il
secondo consiste in un approccio all’integrale di tipo computazionale.
3.1
Approssimazione in serie della metrica
Come già parzialmente anticipato nel capitolo sulle equazioni del moto, il termine
2M G/c2 r risulta essere molto piccolo nel caso in analisi (Tabella 3.1), è dunque
possibile espandere1 al secondo ordine la A(r) nell’integranda in termini di questo
fattore ed ottenere una espressione per la soluzione approssimata.
Tabella 3.1: Massimo valore del termine d’espansione 2M G/c2 r per M = Mbh ,
calcolato al periapside di ognuna delle tre stelle S2, S38 ed S102.
Stella
2Mbh G
c2 r−
S2
S38
S102
7.3 × 10−4
3.7 × 10−4
3.1 × 10−4
Per sviluppo binomiale si ottiene
A(r) ' 1 +
2M G 4M 2 G2
+ 4 2 + ...
c2 r
cr
1
(3.1)
Tale espansione, in contesto più generale, è chiamata espansione di Eddington e Robertson,
la quale permette di scrivere un’approssimazione della A(r) e B(r) in termini di tre parametri, α,
β e γ, i quali dipendono dal tipo di teoria su cui ci si sta basando. In questo lavoro si considerano
valide le equazioni di Einstein (2.9), con tale condizione i tre parametri sono α = β = γ = 1 e ci
si riconduce all’espansione qua presentata.
16
Approssimazione in serie della metrica
Sostituendo i termini fino al secondo ordine nella (2.44), l’argomento della prima
radice diventa
2
2
2
2
r−
r+
r+
4M 2 G2 r−
2M G
r
−
r
+
+
−
−
+
−
2
0
0
4
02
02
c
r
r
c
r
r
1
h
i − 02
(3.2)
2
2
r
2 2 2M G
r+
r− c2 r1+ − r1− + 4Mc4G r12 − r12
−
+
che è un polinomio di secondo grado in 1/r0 . Per sostituzione, si può notare che i
due zeri di cui gode sono in r0 = r± ; lo si può pertanto riscrivere come
1
1
1
1
−
−
(3.3)
C
r− r
r r+
Il valore della costante C può essere trovato imponendo l’uguaglianza con la (3.2)
per r → ∞:
1
C=
1
1
G
+
1 + 2M
c2
r+
r−
Sempre per mezzo dello sviluppo binomiale ed arrestandosi al primo ordine, risulta
utile riscrivere i seguenti termini
MG
+ ...
c2 r MG 1
1
'1+ 2
+
+ ...
c
r+ r−
A1/2 ' 1 +
C −1/2
Sostituendo la (3.3) nel radicando della (2.44) ed applicando le espansioni appena
ricavate si ottiene
MG
Z r
1
+
dr0
c2 r 0
MG 1
1
ϕ(r) − ϕ(r− ) ' 1 + 2
+
h
i1/2
c
r+ r−
1
1
1
1
r− 02
−
−
r
r−
r0
r0
r+
Ci si concentri ora sull’integrale: facendo la sostituzione x = r10 e rinominando, per
comodità di scrittura, i fattori r1− ≡ a, r1+ ≡ b e 1r ≡ p risulta
dx = −
Z
r
r−
r02
h
1
r−
1+
−
1
r0
MG
c2 r 0
1 0
dr
r02
dr0
1
r0
−
1
r+
Z
i1/2
=−
a
p
p
1+
MG
x
c2
dx
(a − x)(x − b)
=
Risulta conveniente separare in due integrali, in modo da ritrovare al numeratore
di uno dei due la derivata del termine sotto radice:
Z
Z p
1
M G p −2x + (a + b) − (a + b)
p
p
dx + 2
dx =
=−
2c a
−x2 + (a + b)x − ab
−x2 + (a + b)x − ab
a
17
Approccio numerico combinato con metodo Montecarlo
Parte del termine a destra può essere risolta passando alla variabile y = −x2 + (a +
b)x − ab, la parte rimanente può essere accomunata all’integrale di sinistra:
Z 2
Z p
M G −p +(a+b)p−ab 1
MG
1
p
dx + 2
= − 1 + 2 (a + b)
√ dy =
2c
2c 0
y
−x2 + (a + b)x − ab
a
I due integrali rimasti sono ora tabulati e dunque facilmente risolvibili:
"
#−p2 +(a+b)p−ab
#p "
MG
−2x + a + b
MG√
=
1 + 2 (a + b) arcsin p
y
+
2c
4c2
(a − b)2
a
0
Nel caso d’interesse, si vuole valutare questo integrale per r = rp
+ ovvero p = b, in
modo da ottenere una forma da sostituire in (2.45). Si noti che (a − b)2 = a − b
in quanto a > b. In conclusione, eliminando i termini di ordine superiore al primo,
si ha
3πM G 1
1
ϕ(r+ ) − ϕ(r− ) = π +
+
(3.4)
2c2
r+ r−
che sostituita nella (2.45) restituisce l’angolo di precessione
MG 1
1
∆ϕ ' 3π 2
+
(3.5)
c
r+ r−
Inserendo nella (3.5) i valori relativi alle tre stelle2 facendo uso della (2.40),
della (2.41) e della (1.2) sono stati ottenuti i risultati presentati in Tabella 3.2.
Tabella 3.2: Angolo di precessione delle tre stelle S2, S38 ed S102 calcolato mediante approssimazione in serie della metrica. Nella colonna centrale ci si riferisce
alla precessione per ogni rivoluzione attorno al corpo centrale Sgr A*, mentre nella
colonna di destra è riportato l’angolo di precessione descritto in un secolo.
Stella ∆ϕrivoluzione (arcsec) ∆ϕsecolo (arcsec)
S2
S38
S102
750 ± 29
394 ± 17
354 ± 26
4710 ± 180
2052 ± 91
3080 ± 240
In ultima istanza è stata calcolata, mediante il software Mathematica, la correzione di secondo ordine al ∆ϕ. Il risultato ottenuto è
∆ϕ '
3πG2 M 2
2
2
(19r−
+ 34r− r+ + 19r+
)
2 2
4
8c r− r+
(3.6)
Sostituendo i valori relativi alle tre stelle nella (3.6), ne è conseguito che la
correzione al secondo ordine va a ricadere sulla quarta cifra significativa dell’angolo
di precessione. Considerando che l’errore su tale misura incide sulla seconda cifra
significativa è stato deciso di trascurare il termine (3.6).
2
Il valore della costante di gravitazione universale G è stato preso dalle schede del Particle
Data Group aggiornate al 2016, riportanti G = (6.67408 ± 0.00031)m3 kg −1 s−2 .
18
Approccio numerico combinato con metodo Montecarlo
3.2
Approccio numerico combinato con metodo Montecarlo
Per risolvere numericamente la (2.44) mantenendo tuttavia la possibilità di valutare gli errori sul risultato finale, è stato deciso di combinare un algoritmo di
integrazione numerica con un approccio di tipo Montecarlo.
Le variabili affette da errore da cui dipende l’integrale, avendo l’accortezza di
applicare le sostituzioni (2.20), (2.40), (2.41) e (1.2), sono la massa del buco nero
Mbh , la costante di gravitazione universale G 2 , il semiasse maggiore a, il periodo
dell’orbita P e la sua eccentricità e. È stato ipotizzato che la distribuzione sottostante ognuna di queste variabili sia una gaussiana con σ pari all’errore sulle misure;
a questo punto, un milione di volte per ogni stella sono state generate casualmente
le cinque variabili affette da errore, ognuna secondo la propria distribuzione, per
poi far agire l’algoritmo di integrazione numerica su ciascuno dei gruppi generati.
In tal modo è stata ottenuta una distribuzione dei risultati finali la cui analisi,
realizzabile con l’uso di metodi statistici, ha permesso di ottenere buone stime per
il valore dell’angolo di precessione di ogni stella ed il relativo errore. L’algoritmo
è stato sviluppato all’interno del framework ROOT, sfruttando il metodo Gaus
per la generazione gaussiana delle variabili ed il GSL Integrator per l’integrazione
numerica. Il valore più probabile e la deviazione standard sono state ricavate sia
mediante gli stimatori
PN
xk
(3.7)
µ ' k=1
N
s
PN
2
k=1 (xk − µ)
(3.8)
σ'
N −1
che mediante fit a gaussiana, i cui risultati sono riportati nei grafici in Figura 3.1,
Figura 3.2 e Figura 3.3 come Mean e Std Dev. Si può notare come le distribuzioni di
S2 ed S38 siano approssimabili a gaussiane, con un χ2 rispettivamente pari a 1.07
e 1.34, mentre la distribuzione di S102 mostra un’apprezzabile asimmetria nelle
code, rispecchiata dal valore del χ2 pari a 25.6. I due metodi di stima forniscono
valori in accordo con errore approssimato a due cifre significative. I risultati sono
presentati in Tabella 3.3.
A partire dai dati in Tabella 3.3 è stata fatta una stima della minima precisione
strumentale necessaria ad osservare la RPP per ognuna delle tre stelle. Sono stati
infatti calcolati gli shift della posizione delle tre stelle all’apocentro, punto la cui
variazione può essere osservata con più facilità, mediante la formula
|~xshift | ≈
r+
∆ϕ
R0
(3.9)
I valori ottenuti sono riportati in Tabella 3.4.
19
Approccio numerico combinato con metodo Montecarlo
2500
S2
Entries 1000000
Mean
748.4
Std Dev
28.27
2000
1500
1000
500
0
650
700
750
800
850
Figura 3.1: Distribuzione degli angoli (in arcosecondi) ottenuti dal metodo MC
per la stella S2. In blu è rappresentato l’istogramma a 1500 bins in cui sono
stati inseriti i risultati dell’integrale, in rosso la gaussiana con cui è stato fittato
(χ2ridotto = 0.80)
2500
S38
2000
Entries 1000000
Mean
391.1
Std Dev
15.3
1500
1000
500
0
320
340
360
380
400
420
440
460
Figura 3.2: Distribuzione degli angoli (in arcosecondi) ottenuti dal metodo MC
per la stella S38. In blu è rappresentato l’istogramma a 1500 bins in cui sono
stati inseriti i risultati dell’integrale, in rosso la gaussiana con cui è stato fittato
(χ2ridotto = 1.04)
20
Approccio numerico combinato con metodo Montecarlo
S102
Entries 1000000
Mean
353
Std Dev
22.59
2500
2000
1500
1000
500
0
280
300
320
340
360
380
400
420
440
460
480
Figura 3.3: Distribuzione degli angoli (in arcosecondi) ottenuti dal metodo MC
per la stella S102. In blu è rappresentato l’istogramma a 1500 bins in cui sono
stati inseriti i risultati dell’integrale, in rosso la gaussiana con cui è stato fittato
(χ2ridotto = 9.49)
Tabella 3.3: Angoli di precessione delle tre stelle S2, S38 ed S102 calcolato con
integrazione numerica combinata a metodo Montecarlo. Nella colonna centrale ci
si riferisce alla precessione per ogni rivoluzione attorno al corpo centrale Sgr A*,
mentre nella colonna di destra è riportato l’angolo di precessione descritto in un
secolo.
Stella ∆ϕrivoluzione (arcsec) ∆ϕsecolo (arcsec)
748 ± 28
391 ± 15
353 ± 23
S2
S38
S102
4700 ± 180
2036 ± 81
3070 ± 220
Tabella 3.4: Shift dell’apocentro dovuto alla RPP per le tre stelle S2, S38 ed
S102, misurato in Unità Astronomiche (AU) ed in milliarcosecondi (mas). L’ultima
colonna è stata riportata per fornire una stima del livello di precisione strumentale
necessario ad osservare la precessione relativistica.
Stella |~xshift |(AU) |~xshift |(mas)
S2
S38
S102
6.9
3.9
2.3
0.88
0.50
0.30
21
Capitolo 4
Conclusioni
In questo lavoro sono state ottenute stime della precessione relativistica dell’orbita per le tre stelle S2, S38 ed S102 (Tabella 3.3) a partire dai dati di Boehle et
al. [3]. Per avere un idea dell’entità di questa precessione si consideri che Mercurio,
il pianeta soggetto a più grande precessione fra quelli del sistema solare, precede
di un angolo pari a circa 574 secondi d’arco ogni secolo, di cui solamente 43 arcosecondi sono dovuti alla Relatività Generale. La precessione relativistica di S2,
qua ottenuta, è invece di circa 4700 arcosecondi per secolo, quasi dieci volte più
grande della precessione totale di Mercurio e circa cento volte maggiore della sola
precessione relativistica di quest’ultimo.
Dopo aver calcolato il dato sulla precessione è stato stimato che, con strumentazione in grado di discernere distanze angolari dell’ordine dei 0.3 mas, la precessione
relativistica potrà essere osservata direttamente per tutte e tre le stelle. In tale
caso, i dati ricavati in questo lavoro potranno essere utilizzati per ottenere informazioni sulla distribuzione di massa nei dintorni del buco nero Sgr A*, e per
verificare la validità della teoria della Relatività Generale in tale regione. Una volta in possesso di osservazioni sufficientemente precise, infatti, si potrà sottrarre la
componente relativistica dall’angolo di precessione, in modo da isolare il contributo
dovuto alla distribuzione di massa estesa. Se nell’eseguire questa operazione per
diverse stelle si dovessero ottenere dei risultati simili per il contributo di massa
estesa, si avrebbe un’ulteriore conferma alla già ben comprovata teoria di Einstein.
Conoscendo inoltre la distribuzione di massa del cluster stellare presente attorno
a Sgr A*, si potrebbe persino calcolare la quantità di materia oscura presente nel
core galattico.
L’attesa per questo tipo di risultati potrebbe non essere lunga: nei prossimi
anni dovrebbe diventare operativo al Very Large Telescope il progetto GRAVITY,
un interferometro che combina luce proveniente da più telescopi per restituire immagini di qualità senza precedenti. Tale struttura, con una precisione astrometrica
di circa 10 µas, potrà mettere alla prova le previsioni di questo lavoro e di molti
altri, espandendo notevolmente la nostra conoscenza del Centro Galattico.
22
Bibliografia
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