2 - Trevisini

Nucleo tematico:
geometria
Circonferenza,
cerchio
e loro parti
1. Circonferenza e cerchio
2. Parti della circonferenza e del cerchio
3. Posizione di una retta rispetto a una circonferenza
4. Posizioni reciproche di due circonferenze
5. Angoli al centro
6. Angoli alla circonferenza
7. Relazione tra un angolo alla circonferenza e il corrispondente
angolo al centro
8. Proprietà di corde ed archi
Obiettivi
Prerequisiti
* Usare strumenti per il disegno geometrico
* Operare con misure angolari
* Operare con rapporti e proporzioni
Conoscenze
* I significati di termini e simboli inerenti la circonferenza, il cerchio e le loro parti
* Le relazioni e le proprietà inerenti la circonferenza, il cerchio e le loro parti
Abilità
* Disegnare circonferenze, cerchi e i loro elementi secondo le istruzioni date
* Utilizzare proprietà e relazioni per risolvere problemi con circonferenza, cerchio e loro parti
100
12. Circonferenza, cerchio e loro parti
1 Circonferenza e cerchio
Se si fa ruotare di 360° l’estremità di un compasso attorno a un
punto O del piano si ottiene una linea curva particolare i cui punti sono tutti equidistanti da O.
A
Questa linea curva si chiama circonferenza, il
punto O è detto centro della circonferenza e
la distanza che ogni punto appartenente alla cirr
conferenza ha dal centro è il raggio della circonferenza (come OA in figura 1).
Tutti gli altri punti del piano rispetto alla circonferenza si possono trovare in una di queste due
situazioni:
il punto è esterno alla circonferenza
(figura 1, punto C);
il punto è interno alla circonferenza
(figura 1, punto B).
L’insieme dei punti appartenenti alla circonferenza e di quelli interni ad essa costituiscono il
cerchio. In un piano, sia la circonferenza sia il
cerchio sono individuati quando si conoscono il
centro, in generale indicato con la lettera O, e il
raggio, indicato invece con la lettera r (figura 2).
esercizi
figura 1
B
pagg. 249 - 250
C
O
figura 2
circonferenza
cerchio
raggio r
O
In conclusione:
La circonferenza è una linea chiusa formata da tutti i punti equidistanti da un punto
interno O, detto centro della circonferenza.
Il raggio è la distanza che un punto qualsiasi della circonferenza ha dal centro della
stessa.
Il cerchio è la parte di piano costituito dai punti appartenenti ad una circonferenza e
dai punti interni ad essa.
Il centro di una circonferenza o di un cerchio è anche centro di simmetria; infatti,
per qualsiasi punto della circonferenza o del cerchio esiste sempre il simmetrico rispetto al centro (figura 3).
P
P e P' sono simmetrici
rispetto a O;
infatti PO P'O
O
A e A' sono simmetrici
rispetto a O;
infatti AO A'O
A
O
P'
figura 3
A'
12. Circonferenza, cerchio e loro parti
101
Una qualsiasi retta che passa per il centro della circonferenza o del cerchio è anche
asse di simmetria; infatti per qualsiasi punto della circonferenza o del cerchio esiste sempre il simmetrico rispetto a tale asse (figura 4).
figura 4
P'
P
A
A'
O
P e P' sono simmetrici rispetto a r
A e A' sono simmetrici rispetto a r
r
Nota bene
Osserva la figura 5.
Per un punto (A) passano infinite circonferenze (figura 5a).
Per due punti (A e B) passano infinite circonferenze (figura 5b).
Per tre punti non allineati (A, B e C) passa una e una sola circonferenza. Il centro della circonferenza (O) è il punto d’incontro dei tre assi (circocentro) del triangolo
che ha come vertici i tre punti considerati (figura 5c).
b)
a)
figura 5
c)
B
A
A
B
A
C
O
r
s
t
2 Parti della circonferenza
esercizi
e del cerchio
pagg. 250 - 252
Osserva la figura 6.
figura 6
arco AB
A
corda
AB
B
semicirconferenza
semicerchio
C
arco AB
diametro d
O
D
semicirconferenza
semicerchio
Il segmento che ha come estremi A e B si dice corda e ciascuna delle due parti in
cui la circonferenza viene divisa si chiama arco: quello di minor lunghezza si rappresenta con il simbolo
(arco convesso) e quello di maggior lunghezza invece
con il simbolo
(arco concavo); nell’esempio considerato AB e AB. Quando non
102
12. Circonferenza, cerchio e loro parti
si specifica il tipo di arco, si intende quello convesso. I punti A e B sono gli estremi
sia degli archi AB e AB sia della corda AB: cioè si dice che l’arco AB oppure ABè
sotteso dalla corda AB, oppure che un arco e una corda aventi gli stessi estremi
sono corrispondenti.
Ogni segmento che congiunge due punti di una circonferenza si chiama corda.
L’arco di circonferenza è una parte di circonferenza limitata da due suoi punti che si
dicono estremi dell’arco.
Facendo sempre riferimento alla figura 6, possiamo notare che il segmento che ha per
estremi i punti C e D è una corda che passa per il centro ed è la più lunga che possiamo
disegnare nel cerchio considerato: essa si chiama diametro e si indica con la lettera
d. Si può inoltre osservare che il diametro è il doppio del raggio, ovvero d ⴝ 2 ⴛ r.
Gli estremi del diametro dividono la circonferenza in due archi congruenti detti semicirconferenze. Il diametro divide invece il cerchio in due parti congruenti dette
semicerchi.
Nella figura 7a, ciascuna parte di cerchio limitata dai raggi OP e OQ e dall’arco PQ
oppure PQ si chiama settore circolare, rispettivamente settore circolare convesso
o concavo.
Nella figura 7b, la corda MN divide invece il cerchio in due parti chiamate segmenti
circolari.
figura 7
Q
a)
b)
settore circolare
convesso
O
P
N
M
segmenti
circolari
settore circolare
concavo
Il settore circolare è ciascuna delle due parti in cui un cerchio resta diviso da due raggi.
Un segmento circolare è ciascuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da una sua
corda non passante per il centro.
12. Circonferenza, cerchio e loro parti
CHECK POINT
1. Completa le frasi inserendo al posto dei puntini i nomi delle parti evidenziate nei disegni.
A
B
r
R
O
d
O
S
– La lettera r indica il .................................. e la lettera d il ...................................
– Il segmento AB è una ........................... e divide il cerchio in due ....................................................
– Il segmento RS è un ................................ e divide il cerchio in due .......................................,
mentre i punti R e S dividono la circonferenza in due .......................................................................
– AB e AB sono ......................... di ..............................................., rispettivamente ...........................
e ............................
– La parte di cerchio colorata in verde e quella in violetto sono ................................................., rispettivamente ............................ e .....................
2. Per ciascun punto segnato nella seguente figura indica se appartiene o non appartiene al
cerchio (CO) e alla circonferenza c.
B
A
r
E
F
D
C
O
G
A appartiene a CO
............................................
............................................
A non appartiene a c
............................................
............................................
............................................
............................................
............................................
............................................
............................................
............................................
............................................
............................................
............................................
............................................
3. Riferendoti alla precedente figura in cui con r si indica il raggio, completa le seguenti scritture inserendo in modo adeguato i segni =, >, o <.
OB ............. r
OE ............. r
OF ............. r
OG ............. r
OA ............. r
OD ............. r
OC ............. r
4. Nella circonferenza a fianco disegna, a tuo piacere, una corda
RS non passante per il centro O ed evidenzia con due colori diversi i segmenti circolari che si vengono a formare.
O
103
104
12. Circonferenza, cerchio e loro parti
3 Posizione di una retta
rispetto a una
circonferenza
esercizi
pagg. 252 - 255
Date una retta e una circonferenza in un piano, possono presentarsi le tre situazioni
rappresentate in figura 8:
la retta è esterna: non ha alcun punto in comune con la circonferenza e la sua
distanza dal centro è maggiore del raggio della circonferenza (figura 8a);
la retta è secante: ha due punti in comune con la circonferenza e la sua distanza
dal centro è minore del raggio della circonferenza (figura 8b);
la retta è tangente: ha un solo punto in comune con la circonferenza e la sua
distanza dal centro è uguale al raggio della circonferenza (figura 8c).
a) retta esterna
c) retta tangente
b) retta secante
c
c
c
B
r
r
O
r
O
H
O
K
l
m
OH > r
figura 8
P
A
n
OH < r
OH = r
Ricordando che la distanza di un punto da una retta è un segmento perpendicolare alla
retta stessa, possiamo fare la seguente constatazione:
La tangente ad una circonferenza è perpendicolare al raggio condotto per il punto di
tangenza.
figura 9
Il triangolo che si ottiene tracciando una tangente, il
raggio condotto per il punto di tangenza (P) e la distanza del centro della circonferenza (O) da un punto
appartenente alla tangente (A) è rettangolo.
Pertanto per il teorema di Pitagora si ha che:
P
r
r AP
OA
2
2
r OA
2 AP
2
AP
OA
2 r2
O
i
A
12. Circonferenza, cerchio e loro parti
105
4 Posizioni reciproche
di due circonferenze
esercizi
c
esterne: non hanno alcun punto
in comune e la distanza tra i due
centri è maggiore della somma
dei raggi delle due circonferenze
(figura 10)
pagg. 255 - 257
figura 10
Date due circonferenze c e c' in un piano, esse possono essere reciprocamente:
c'
r
r'
O
O'
OO' > r r'
figura 11
c
secanti: hanno due punti in comune e la distanza tra
i due centri è minore della somma dei raggi delle due
circonferenze (figura 11)
r
r'
O
O'
OO' < r r'
concentriche: hanno lo stesso
centro e raggi diversi: non hanno
pertanto punti in comune; in questo caso la parte di piano compresa
tra le due circonferenze si dice corona circolare e la differenza dei
raggi delle due circonferenze si
dice larghezza della corona circolare: r – r' (figura 12)
B
figura 12
r
c c'
O O'
r'
figura 13
O O'
c
una interna all’altra: non hanno alcun punto in comune e tutti i punti di una circonferenza sono interni
all’altra, ma non sono concentriche. La distanza tra i
due centri è minore della differenza tra i due raggi
(figura 13)
c'
r'
O O'
r
OO' < r r'
tangenti esternamente: hanno
un punto in comune e la distanza
tra i due centri è uguale alla somma
dei raggi delle due circonferenze
(figura 14).
c'
A
figura 14
c'
c
P
r
O
r'
O'
OO' r r'
figura 15
tangenti internamente: hanno un punto in comune
e la distanza tra i due centri è uguale alla differenza tra
i raggi delle due circonferenze (figura 15)
OO' r r'
c
c'
O
r
T
O' r'
106
12. Circonferenza, cerchio e loro parti
CHECK POINT
1. Per ciascuna retta del disegno indica la posizione che occupa rispetto alla circonferenza c.
r
– r rispetto a c è ..................... e, pertanto, non ha ....................
c
punto in comune con c.
– s rispetto a c è .................................. ed ha ............. punti in
comune con c.
– t rispetto a c è .............................. ed ha ........................ in
s
comune con c.
t
2. Osserva il disegno e completa le frasi inserendo i termini adeguati.
– c e c1 sono ....................................
.....................................................
c
– c2 e c3 sono ..................................
c1
c2
.....................................................
c3
– c1 e c2 sono ..................................
.....................................................
– c e c2 sono ....................................
.....................................................
3. Completa il seguente problema in cui la retta t è tangente la circonferenza nel punto T.
OA
25 cm
2p(AOT) ?
30 cm
CD
A(AOT) ?
– CD è il diametro della circonferenza; pertanto
puoi calcolare la misura del raggio OT:
T
OT
CD
: ............. .....................
– Applica il teorema di Pitagora al triangolo retC
O
D
A
t
tangolo AOT per calcolare la misura di AT:
AT
...................................................................
quindi:
2p(AOT) ...............................................................
A(AOT) .................................................................
12
Circonferenza,
cerchio e loro parti
249
teoria
1. Circonferenza e cerchio
pagg. 100 - 101
Ripasso della teoria
La circonferenza è l’insieme di tutti e soli i punti di un piano equidistanti da un punto fisso detto
centro.
Il cerchio è la parte di piano formata da una circonferenza e dai punti ad essa interni.
Per un punto e per due punti passano infinite circonferenze, per tre punti non allineati
passa una ed una sola circonferenza.
1.
Segna sulla figura seguente i punti M, N, P, Q,
R, S in modo che siano soddisfatte le seguenti
condizioni: P appartiene c, Q ⬅ O, R interno a
c, S esterno a c, M e N simmetrici rispetto a O.
3.
c
Considera l’illustrazione seguente e completa
inserendo uno dei seguenti simboli: >, <, =
(r è il raggio della circonferenza).
OF .......... r
OG ......... OH
OH ......... OE
r ............. OH
OE ......... OF
r ............. OG
O
H
G
O
2.
F
Riferendoti alla seguente figura indica la posizione di ciascun punto rispetto alla circonferenza c.
A ........................... c
E è ......................... c
B è ........................ c
M è ......................... c
D ........................... c
N è ......................... c
E
4.
Un cerchio ha il raggio di 3 cm e un punto A
dista dal suo centro 2,8 cm. Il punto A appartiene al cerchio? Giustifica la risposta.
(Confronta la misura del raggio con quella
della distanza del punto A dal centro O).
5.
Considera una circonferenza avente il raggio di
2,9 m e un punto P distante dal centro O 2,6 m.
Il punto P appartiene alla circonferenza? E se la
distanza del punto P fosse 15 dm dove sarebbe
il punto?
Motiva le risposte.
6.
Il segmento OA è lungo 9 cm. Quanto misura
la parte di OA esterna alla circonferenza di
centro O e raggio 5 cm?
G e F sono ................................... rispetto a O
G
M
A
D
N
O
E
B
c
F
1
2
250
7.
12. Esercizi
Osserva le seguenti situazioni e indica in quali casi è possibile tracciare una circonferenza passante
per i punti dati. Giustifica la risposta.
A
B
B
P
1
2
Q
R
C
A
SÌ NO
SÌ NO
Perché gli assi dei segmenti AB e BC si inter-
Perché ...........................................................
secano nel ........................................................
........................................................................
C
D
B
C
B
A
A
C
D
D
SÌ NO
SÌ NO
Perché gli assi dei segmenti AB, BC e CD non
Perché ...........................................................
........................................................................
........................................................................
2. Parti della circonferenza
e del cerchio
teoria
pagg. 101 - 103
Ripasso della teoria
arco di circonferenza (è una parte di circonferenza delimitata da due suoi punti)
settore circolare (è ognuna delle due parti in cui un cerchio è
diviso da due suoi raggi)
r
d
raggio (è la distanza dal centro a un punto qualunque della
circonferenza)
diametro (è una corda passante per il centro, è il doppio del
raggio)
corda (è un segmento avente gli estremi sulla circonferenza)
Il segmento circolare a una base è ognuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da una
sua corda.
12. Circonferenza, cerchio e loro parti
8.
Facendo riferimento alla circonferenza della figura
a lato, scrivi con il linguaggio geometrico le parti
indicate.
251
C
A
E
AO e OB
I raggi: .......................................
D
O
Il diametro: ................................
Le corde: ...................................
B
Alcuni archi convessi: ..............................................
9.
F
Indica in ognuna delle seguenti circonferenze quali segmenti rappresentano delle corde.
F
H
P
O
E
C
G
O
F
B
A
10.
Evidenzia con colori differenti i settori che corrispondono ad un angolo convesso e determina
le loro ampiezze utilizzando il goniometro.
11.
Evidenzia con colori differenti i segmenti circolari. Quanti sono?
12.
In una circonferenza di raggio 4 cm può essere tracciata una corda di 10 cm? Giustifica la risposta.
13.
Considera una circonferenza avente il raggio di 3,8 m; è possibile tracciare in essa una corda di 6,9 m?
Motiva la risposta.
14.
È possibile tracciare una corda di 58 cm in una circonferenza avente il raggio di 2,9 dm?
Motiva la risposta.
15.
Indica se a ciascuna delle seguenti parti di una circonferenza corrisponde un arco convesso o concavo.
2 di circonferenza;
1 di circonferenza;
2 di circonferenza;
3
4
5
3 di circonferenza;
4
1 di circonferenza;
2
4 di circonferenza.
5
1
2
252
12. Esercizi
16.
Disegna una circonferenza; in quante parti essa viene divisa da tre suoi punti? Quanti archi vengono
determinati?
17.
Disegna una circonferenza e traccia in essa un diametro. Rispondi poi alle seguenti domande.
Quanti diametri può avere una circonferenza? ......................................................................................
Che relazione intercorre tra il raggio e il diametro della stessa circonferenza?
1
2
................................................................................................................................................................
Che relazione intercorre tra il diametro e una corda qualsiasi della stessa circonferenza?
..............................................................................................................................................................
18.
Facendo riferimento alla figura, determina gli archi che si ottengono.
PQ ⫹ OP ⫽ ........................
MP⫹ MQ ⫽ ...............
N
M
PM ⫹ MN ⫽ .......................
OM ⫹ ON ⫽ ...............
PM⫹ PQ ⫽ ........................
PN ⫹ OQ ⫽ ................
MN ⫹ ON ⫹ OP ⫽ ............
OM⫺ ON ⫽ ................
OM⫹ OM ⫽ .......................
PM⫺ PN ⫽ .................
O
Q
P
teoria
3. Posizione di una retta
pag. 104
rispetto a una circonferenza
Ripasso della teoria
esterne (nessun punto in comune)
Posizioni reciproche
tra una retta
e una circonferenza
tangenti (un solo punto in comune)
secanti (due punti in comune)
La tangente a una circonferenza è sempre perpendicolare al raggio nel punto di tangenza.
19.
Riferendoti alla circonferenza c della figura, completa
le proposizioni mettendo al posto dei puntini il termine adeguato.
tangente alla circonferenza
La retta p è ............................................................
c
F
E
c
A
La retta s è ............................................................ c
La retta r è ............................................................ c
La retta t è ............................................................ c
La retta v è ............................................................ c
p
B
D t
s
C
r
v
12. Circonferenza, cerchio e loro parti
20. Completa la tabella nella quale con r
è indicata la misura del raggio di una
circonferenza e con ds la misura
della distanza di una retta dal centro
della stessa circonferenza.
r
ds
3m
2,5 m
1,5 cm
3 cm
12 cm
1,2 cm
POSIZIONE DELLA RETTA
RISPETTO ALLA CIRCONFERENZA
5 cm
21.
253
tangente
6m
secante
5 dm
esterna
Traccia le rette a, b, r, d, t in modo che siano soddisfatte le seguenti relazioni:
a è tangente a c nel punto Q;
b è tangente a c nel punto P;
r è secante c e passa per il punto O;
d è secante c e passa per i punti P e S;
t è esterna a c e dista 2,5 cm da O.
1
2
P
c
O
Q
S
22.
Disegna una circonferenza di centro O e raggio 3 cm. Segna su di essa un punto A e traccia la tangente alla circonferenza passante per tale punto. Com’è la tangente rispetto al raggio OA?
23.
Traccia le rette tangenti a una circonferenza negli estremi P e Q di un suo diametro. Come sono tra
loro le due rette?
24.
Disegna una circonferenza avente il raggio di 2,5 cm, traccia poi tre rette parallele tra loro e che distano rispettivamente 2 cm, 2,5 cm e 3 cm dal centro della circonferenza. Come sono le tre rette rispetto alla circonferenza?
25.
Considera una circonferenza di raggio 5 cm e una retta esterna che dista 7 cm dal centro della circonferenza. Indica di quanto deve variare tale distanza affinché la retta:
– diventi secante la circonferenza;
– diventi tangente la circonferenza;
– passi per il centro della circonferenza;
– occupi rispetto al centro della circonferenza una posizione simmetrica rispetto a quella iniziale.
ESEMPIO
Per condurre le tangenti ad una data circonferenza da un punto
P esterno ad essa, si procede nel seguente modo:
1) si congiunge P con il centro O della circonferenza assegnata;
2) si traccia la circonferenza di diametro OP che interseca la circonferenza data nei punti A e B;
3) le rette sostegno di PA e PB sono le tangenti richieste.
A
P
O
B
Nota bene
La semiretta con origine in P e passante per il centro O è bisettrice dell’angolo formato dalle due
^B).
tangenti (AP
26.
Disegna una circonferenza di centro O ed esternamente ad essa segna un punto A la cui distanza da
O sia uguale al doppio del raggio. Da A conduci le tangenti alla circonferenza nei punti P e Q. Verifica
che il triangolo APQ è equilatero.
254
27.
1
2
28.
29.
12. Esercizi
Data una circonferenza di centro O da un punto A
esterno ad essa conduci le tangenti alla circonferenza. Verifica, utilizzando il goniometro, che la semiretta congiungente A con O è bisettrice dell’angolo
^
A formato dalle due tangenti.
A
O
Considera una circonferenza di centro O e raggio
qualsiasi; traccia le tangenti alla circonferenza da un
punto A esterno ad essa e indica con P e Q i punti di
tangenza. Congiungi i punti P e Q ottenendo così un
triangolo.
– Come sono i segmenti AP e AQ?
– Che tipo di triangolo è APQ?
^Q e PQ
^A?
– Come sono gli angoli AP
Motiva le risposte.
P
A
O
Q
Una circonferenza di centro O ha il raggio lungo 12 cm.
Dal punto esterno A si conduce la retta r tangente
alla circonferenza nel punto P. Determina la distanza
del punto A dal centro della circonferenza sapendo
che il segmento AP misura 16 cm.
(Ricorda che il raggio condotto nel punto di tangenza
forma con la retta tangente un angolo di .....).
r
P
A
O
[20 cm]
30.
Considera una circonferenza avente il diametro di 10 m e un punto E esterno alla circonferenza distante
dal centro 13 m. Dal punto E si conduce una retta t tangente la circonferenza nel punto T. Determina
la misura del segmento TE. (Fai riferimento al disegno del problema precedente).
[12 m]
31.
Determina le ampiezze degli angoli indicati nelle figure seguenti in cui t e r sono tangenti la circonferenza.
A
B
t
B
25°
O
t
OAC = ………
AOB = ………
AOC = ………
A
O
C
P
60°
B
r
r
C
ACB = ………
ABC = ………
OBC = ………
OCB = ………
t
B
54°
O
A
D
t
A
O 118°
C
r
OAP = ………
ABP = ………
AOB = ………
A
B
r
PAB = ………
PBA = ………
APB = ………
P
12. Circonferenza, cerchio e loro parti
32.
Risolvi i seguenti problemi utilizzando i dati indicati.
A
B
AO
苶 ⫽ 28 dm
^O ⫽ 30°
AB
AO
苶 ⫽ 30 m
^P ⫽ 45°
AO
苶⫽?
OB
O
苶⫽?
AP
O
AB
苶⫽?
B
A
OP
苶⫽?
45°
30°
A
P
[56 dm; 48,5 dm]
C
C
O
A
[30 m; 42,42 m]
D
^B ⫽ 45°
AP
B
255
AP
苶 ⫽ 4,8 cm
OC è bisettrice degli
angoli ^
Oe^
C
^B ⫽ 60°
AC
A
BC
苶 ⫽ 0,8 cm
苶 ⫽ 5,6 cm
AC
苶⫽r⫽?
OA
C
60°
O
2p(OACB) ⫽ ?
A(OACB) ⫽ ?
45°
B
P
[2 cm]
[17,67 cm; 18,11 cm2]
4. Posizioni reciproche
di due circonferenze
teoria
pagg. 105 - 106
Ripasso della teoria
esterne (nessun punto in comune, OO' > r ⫹ r')
internamente (un solo punto in comune, OO' ⫽ r ⫺ r')
Posizioni
reciproche
di due
circonferenze
tangenti
esternamente (un solo punto in comune, OO' ⫽ r ⫹ r')
secanti (due punti in comune, OO'< r ⫹ r')
una interna all’altra (nessun punto in comune, OO'< r ⫺ r')
concentriche (hanno lo stesso centro)
dove OO' è la distanza dei centri delle due circonferenze, r e r' sono i raggi delle circonferenze.
La corona circolare è la parte di piano delimitata da due circonferenze concentriche di
raggi disuguali.
1
2
256
33.
12. Esercizi
Indica quali punti in comune hanno le circonferenze
indicate con c1, c2, c3, c4, c5 e c6 della seguente figura.
il punto A
c1 e c2 ....................................
c6
E
c2
A
c3 e c4 ....................................
c4 e c5 ....................................
1
2
B
c5
c4
c1
c3
c4 e c6 ....................................
D
c1 e c4 ....................................
34.
Facendo riferimento all'esercizio precedente, completa le seguenti proposizioni.
c1 e c2 sono ..............................................
c3 e c4 sono ..............................................
c5 è ...................................................... a c4
c6 e c4 sono ..............................................
c3 e c5 sono ..............................................
35.
Completa la seguente tabela in cui r, r1, O e O1 sono rispettivamente i raggi e i centri di due circonferenze c e c1. Procedi come nelll’esempio della prima riga.
r
r1
OO1
CONFRONTO
POSIZIONE RECIPROCA DI c E c1
5 cm
4,5 cm
12 cm
OO1 > r ⫹ r1
esterne
8 cm
2,5 cm
6 cm
30 mm
3,5 cm
5 cm
5,5 cm
4,2 cm
tangenti internamente
9 cm
tangenti esternamente
9 cm
2 cm
0
2,5 cm
1,5 cm
7,5 cm
30 mm
45 mm
63 mm
24 mm
2 cm
7 cm
4 cm
secanti
una interna all’altra
concentriche
36.
Disegna due circonferenze che hanno rispettivamente i raggi di 3 cm e 5 cm sapendo che la distanza
dei loro centri è di 10 cm. Come sono una rispetto all’altra?
37.
Disegna due circonferenze tangenti esternamente, tali che la distanza dei loro centri sia di 7 cm e che
il raggio di una di esse sia di 3 cm.
38.
Sia t una retta secante una circonferenza c e siano P e Q i punti in comune. In quante e quali parti c
viene divisa da t?
39.
I raggi di due circonferenze sono uno il triplo dell’altro e il maggiore è lungo 60 cm. Sapendo che la
distanza tra i due centri è 70 cm, indica perché le due circonferenze sono secanti.
2 dell’altro e il minore è lungo 18 dm. Sapendo che la distanza
5
tra i due centri è 65 dm, qual è la lunghezza del raggio maggiore e qual è la posizione reciproca delle
due circonferenze? Motiva la risposta.
[45 dm; ...]
40. I raggi di due circonferenze sono uno i
12. Circonferenza, cerchio e loro parti
41.
257
Risolvi i seguenti problemi utilizzando i dati indicati e specifica la posizione delle circonferenze.
A
OP
苶 ⫽ 3 ⫻ O苶
1P
c
c1
O
O1 P
OO
苶1 ⫽ 4,8 m
B
c1
c
OP
苶⫽?
O
苶
1P ⫽ ?
OP
苶 ⫽ 3 ⫻ O苶
1P
4
OO
苶1 ⫽ 35 m
OP
苶⫽?
P
O1
O
O
苶
1P ⫽ ?
[7,2 m; 2,4 m]
[15 dm; 20 dm]
c e c1 sono ........................................................
c e c1 sono ..........................................................
42.
Due circonferenze sono concentriche: il raggio della maggiore è lungo 9,6 m ed è i 3 del raggio della
2
minore. Calcola la larghezza della corona circolare individuata dalle due circonferenze.
[3,2 m]
43.
Disegna due circonferenze secanti nei punti P e Q e verifica che la retta congiungente i centri O e O1
delle due circonferenze è l’asse del segmento PQ.
Verifica poi che i triangoli OPO1 e OQO1 sono congruenti e che i triangoli OPQ e PQO1 sono isosceli.
Che tipo di quadrilatero è OPO1Q? Ha assi di simmetria?
44. I raggi di due circonferenze c e c1 di centro rispettivamente O e O' misurano rispettivamente 10 dm e
17 dm e il segmento AB che si ottiene congiungendo i due punti d’intersezione delle circonferenze
misura 16 dm. Calcola il perimetro e l’area del quadrilatero AOBO’.
(Osserva che AOBO’ è un deltoide quindi...)
A
O
O'
B
[54 dm; 168 dm2]
In base ai dati forniti dalle illustrazioni risolvi i problemi.
(Osserva che i quadrilateri disegnati sono deltoidi, quindi...).
45. 2p(POQ) ⫽ 98 dm
PQ
苶 ⫽ 40 dm
2p(OQO’P) ⫽ ?
A(OQO’P) ⫽ ?
P
苶 ⫽ 52 dm
PO'
O
O’
H
Q
[162 dm; 1380 dm2]
46. A(EOF) ⫽ 120 m2
OH
苶 ⫽ 15 m
2p(EOFO’) ⫽ ?
A(EOFO’) ⫽ ?
O'H
苶⫽6m
E
O
H
[54 m; 168 m2]
F
O’
1
2
266
esercizi
CONOSCENZE
per l’ autovalutazione
Completa in modo adeguato la seguente mappa delle conoscenze. In ogni casella è
indicato il punteggio che ti devi assegnare in caso di risposta esatta. Controlla
l’esattezza delle risposte utilizzando il “Ripasso della teoria”.
CORONA ………………..
SEGMENTO CIRCOLARE
SETTORE CIRCOLARE
Parte di piano compresa tra
............................................
Ciascuna delle due parti in cui
un cerchio è diviso da una sua
............................................
.................... non passante per
il .................................
Ciascuna delle due parti in
cui un cerchio resta diviso
da .................................
2
CERCHIO
può
essere
1
2
Parte di piano formata dai punti
della ................................ e dai
punti ......................... ad essa.
RAGGIO (r)
Distanza di un punto qualsiasi della
circonferenza dal .................................
........................
1
........................
DIAMETRO (…..)
È qualsiasi corda passante per il
......................... e quindi la corda
di ................................. lunghezza.
1
2
1
Internamente oppure ................
In entrambi i casi hanno ..........
1
................................. in comune
2
CONCENTRICHE
...................................................
...................................................
Le due circonferenze hanno in
comune ................. punti
2
UNA INTERNA
ALL’ALTRA
Tutti i punti di una circonferenza
sono ..........................................
2
le parti della
circonferenza sono
su cui si possono individuare
...................................................
2
ESTERNE
ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA
4
CORDA
Ogni segmento che
congiunge ........ punti
di una .......................
2
ARCO
Parte di circonferenza
limitata da ........... suoi
punti detti ....................
2
...................................................
Una retta e una circonferenza
possono essere
cui corrispondo
........................
Simbolo: ..............
ANGOLI AL CENTRO
Angoli aventi il .................... nel
................ di una circonferenza.
I due lati dell’angolo sono ......................
circonferenza.
2
.............................
Due circonferenze
tra loro
possono essere
Angoli aventi il .................. sulla ..............
......... e i lati secanti la ............................
stessa oppure un lato .......................... e
l’altro ......................... la circonferenza
2
...................................................
il doppio del raggio è il
CIRCONFERENZA
Linea chiusa formata dai punti
................................ da un punto
interno, detto ..................... della
circonferenza.
TANGENTI
...................................................
le parti del
cerchio sono
2
267
12. Circonferenza, cerchio e loro parti
12. Esercizi per l’autovalutazione
3
........................
Simbolo: ..............
2
ESTERNE
può
essere
1
...................................................
SECANTI
Retta e circonferenza non hanno
Retta e circonferenza
.....................................................
..................................
..................................
2
Ho ottenuto il punteggio ......./46
2
2
4
.........................
Retta e circonferenza hanno un
punto in ....................... La retta
........................ è ......................
................. al raggio condotto
dal punto di...............................
1
2
268
12. Esercizi per l’autovalutazione
esercizi per l’ autovalutazione
tipo invalsi
ABILITÀ
1.
punti
Data una circonferenza di raggio 7,5 cm, la distanza dal centro di una retta tangente è:
A minore di 7,5 cm
C maggiore di 7,5 cm
E uguale a 7,5 cm
B diversa da 7,5 cm
D una misura qualsiasi
2. Date due circonferenze, di centri O e O’ e raggi di 4 cm e 3 cm, se OO’
苶 ⫽ 5 cm
le due circonferenze sono:
A secanti
D concentriche
3.
B una interna all’altra
E esterne
4.
5.
6.
1
2
B 120° e 60°
C 60° e 30°
D 72° e 36°
B 45°
C 180°
D 90°
E 60°
Due angoli alla circonferenza sono supplementari e uno è i 2 dell’altro; i due angoli
3
al centro corrispondenti misurano:
A 140° e 220° B 144° e 216° C 72° e 108°
2
E 70° e 35°
Un angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza misura:
A 72°
2
B 12,4 cm e 12,4 c m
C 24,8 cm e 24,8 cm
E non è possibile stabilirlo
Un angolo al centro e un angolo alla circonferenza insistono sulla stesso arco che
è 1 della circonferenza; i due angoli misurano:
6
A 90° e 45°
1
C tangenti internamente
Due circonferenze congruenti, di centri O e O’, sono tangenti esternamente;
se OO’
苶 ⫽ 24,8 cm; i raggi delle due circonferenze misurano:
A 14,4 cm e 10,4 cm
D 0 e 24,8 cm
1
2
3
D 60° e 120° E 90° e 270°
R
O
7.
P
S
^Q = 72° e PO
^S = 1 SO
^Q allora OQ
^R misura:
Q Se PO
2
A 18°
8.
B 36°
C 21°
D 48°
E 24°
Due circonferenze tangenti internamente, di centri O e O’, hanno i raggi che misurano
uno i 3 dell’altro; se OO’
苶 ⫽ 48 cm, i due raggi misurano:
5
A 18 cm e 30 cm
B 24 cm e 72 cm
D 24 cm e 24 cm
E 80 cm e 128 cm
3
3
C 72 cm e 120 cm
Ho ottenuto ............/17