Analisi dei fenomeni transitori nel circuito RC
Scopo dell’esperimento
Lo scopo dell’attività è verificare sperimentalmente le leggi teoriche che descrivono la carica e la
scarica di un condensatore (circuito RC); l’esperimento si divide in due parti:
1) analisi qualitativa di un circuito RC mediante l’oscilloscopio;
2) analisi quantitativa dei fenomeni transitori in un circuito RC.
Richiamo teorico
Circuito RC
Fig.1 Circuito RC
Fase di carica del condensatore:
La seconda legge di Kirchhoff per il circuito RC nella fase di carica (fig. 1 con il deviatore D
connesso alla posizione “1”) è l’equazione differenziale:
dq q
(1)
f em − R
- =0
dt C
che ha come soluzione:
(
q ( t ) = C f em 1 - e -t τ
)
(2)
dove τ = RC è la costante di tempo del circuito. La corrente è espressa dalla legge:
i=
dq f em -t τ
=
e
dt
R
(3)
Fase di scarica del condensatore:
La seconda legge di Kirchhoff per il circuito RC nella fase di scarica (fig. 1 con il deviatore D
connesso alla posizione “2”) è l’equazione differenziale:
dq q
(4)
R
+ =0
dt C
che ha come soluzione:
(5)
q ( t ) = C f em e - t τ
dove τ = RC è la costante di tempo del circuito. La corrente è espressa dalla legge:
i=
f
dq
= - em e -t τ
dt
R
1
(6)
1) Analisi qualitativa di un circuito RC mediante l’oscilloscopio.
Materiali e strumenti
•
•
•
•
•
Generatore di funzione per alimentare il circuito con un’onda quadra.
Oscilloscopio per visualizzare le tensioni variabili nel tempo nel circuito RC.
Potenziometro 0-10 kΩ e condensatore da 10 nF.
Cavi coassiali da connettere all’uscita del generatore e agli ingressi dell’oscilloscopio.
Basette con spinotti e connettori per costruire il circuito RC.
Fig. 2 Configurazione sperimentale
Procedimento di misura e analisi dei dati
1. Realizzare il circuito RC utilizzando il condensatore di capacità C = 10 nF e il potenziometro
regolato alla resistenza più elevata (circa 10 kΩ, da misurare con un tester), come mostrano le
figure 3-4.
Figura 3 Potenziometro
Figura 4 Circuito RC
2. Collegare ad un canale dell’oscilloscopio il generatore di funzione, che simula le fasi di carica e
scarica fornendo una tensione variabile nel tempo come un’onda quadra. Regolare l'offset del
generatore in modo che l’onda quadra sia positiva (carica del condensatore) e nulla (scarica del
condensatore), vedi fig.5).
Onda quadra
Carica/scarica del
condensatore
Figura 5 Onda quadra e Carica/scarica del condensatore
2
3. Collegare il generatore (G) anche al circuito (mediante il connettore BNC a T) e collegare l’altro
canale dell’oscilloscopio (O) in parallelo al condensatore, avendo l'avvertenza che le masse
dell'oscilloscopio (i connettori di colore nero, solitamente) e del generatore siano collegate insieme
(vedi fig. 6).
Figura 6 Circuito RC con generatore di funzione (G) e oscilloscopio (O)
4. Impostare la frequenza dell’onda quadra ad un valore minore di 1/10τ, con τ = RC, per essere
sicuri di caricare completamente il condensatore prima di iniziare scaricarlo e di scaricarlo
completamente prima di ricaricarlo.
5. Regolare l’oscilloscopio per visualizzare l’andamento della tensione ∆VC(t) ai capi del
condensatore che è proporzionale alla carica q(t); verificare qualitativamente che si ottengono gli
andamenti esponenziali delle leggi teoriche (2) e (5).
6. Agire sul potenziometro per osservare come cambia l’andamento della carica q(t) al variare della
resistenza R. Che cosa si può dedurre?
7. Dopo aver regolato il potenziometro al valore di resistenza più elevato, misurato in precedenza,
agire sui comandi dell’oscilloscopio per visualizzare il grafico completo della q(t) in scarica, e
stimare il valore di τ, sapendo che dopo un tempo t = τ, la carica si è ridotta a circa il 37% del
valore iniziale, in accordo con l’equazione (5). Verificare l’accordo entro gli errori col valore
teorico τ = RC.
8. Visualizzare l’andamento della corrente collegando l’oscilloscopio ai capi della resistenza R.
ATTENZIONE! Modificare il circuito in modo tale che le masse dell'oscilloscopio e del
generatore siano collegate insieme.
9. Regolare l’oscilloscopio per visualizzare l’andamento della tensione ∆VR(t) ai capi della resistenza
che è proporzionale alla corrente i(t); verificare qualitativamente che si ottengono gli andamenti
esponenziali delle leggi teoriche (3) e (6).
10. Agire sul potenziometro per osservare come cambia l’andamento della corrente i(t) al variare della
resistenza R. Che cosa si può dedurre?
11. Dopo aver regolato il potenziometro al valore di resistenza più elevato, misurato in precedenza,
agire sui comandi dell’oscilloscopio per visualizzare il grafico completo della i(t) in carica, e
stimare il valore di τ, sapendo che dopo un tempo t = τ, la corrente si è ridotta a circa il 37% del
valore iniziale, in accordo con l’equazione (3). Verificare l’accordo entro gli errori col valore
teorico τ = RC.
3
2) Analisi quantitativa dei fenomeni transitori in un circuito RC.
Materiali e strumenti
•
•
•
•
•
•
•
Resistenza da 1 kΩ e condensatore da 100 µF.
Cavi di collegamento, deviatore a due vie con centro sconnesso.
Generatore di tensione continua 0-18V, 0-5A.
Interfaccia datalogger ULAB con cavo USB per il collegamento al computer.
Due sensori di tensione per l’interfaccia ULAB.
Personal Computer a cui è collegata l’interfaccia ULAB.
Software di acquisizione dati “Coach 6 Lite” e di analisi dati “Origin”.
Fig. 7 Configurazione sperimentale
Procedimento di misura
Circuito RC (fase di carica)
12. Realizzare il circuito RC (fig.1) utilizzando il resistore di resistenza R = 1kΩ e il condensatore di
capacità C = 100 µF, lasciando la leva del deviatore D alla posizione centrale “0” in cui il circuito
è aperto, cioè non passa corrente.
13. Collegare i morsetti dei sensori di tensione in parallelo al condensatore e alla resistenza (il cavo
rosso al polo positivo e quello nero al polo negativo).
14. Collegare i sensori di tensione all’interfaccia ULAB.
15. Accendere l’interfaccia ULAB e aprire (se non si avvia automaticamente) il software Coach 6 Lite.
16. Cliccare sul pulsante “Apri” e aprire l’attività “Circuito RC”.
17. Cliccare sul menù “Opzioni\Impostazioni” e controllare l’impostazione dei seguenti parametri:
durata della misura al valore = 3 secondi; frequenza = 100 per secondo.
18. Accendere il generatore di tensione e portare il voltaggio a 4 Volt.(attenzione perché le sonde di
tensione misurano 6 Volt al massimo!)
19. Cliccare sul pulsante Start per avviare il programma di misura e subito dopo collegare il deviatore
D alla posizione “1” (fig.1).
4
20. Cliccare col tasto destro sulla finestra del grafico di uno dei due sensori, selezionare “visualizza
tabella” e rilasciare il mouse sulla finestra stessa; cliccare di nuovo col tasto destro sulla tabella e
selezionare “esporta dati” come file di testo e salvare il file.
Circuito RC (fase di scarica)
1. Chiudere il sofware Coach 6 Lite e riavviarlo.
2. Cliccare sul pulsante “Apri” e aprire l’attività “Circuito RC”
3. Cliccare sul pulsante Start per avviare il programma di misura e subito dopo collegare il deviatore
D alla posizione “2” (fig.1).
4. Cliccare col tasto destro sulla finestra del grafico di uno dei due sensori, selezionare “visualizza
tabella” e rilasciare il mouse sulla finestra stessa; cliccare di nuovo col tasto destro sulla tabella e
selezionare “esporta dati” come file di testo e salvare il file.
Elaborazione e analisi dei dati
Circuito RC (fase di carica)
1. Avviare il software Origin
2. Importare i dati contenuti nel file di testo della ddp del condensatore.
3. Costruire la colonna della carica q, eliminando i valori iniziali di carica nulla.
4. Riscalare la colonna t dei tempi, in modo che l’istante iniziale in cui inizia la carica sia t0 = 0.
5. Fare il grafico q(t).
6. Fare il fit dei dati in base all’equazione (2).
7. Determinare quindi la costante di tempo τmis con il relativo errore.
8. Importare i dati contenuti nel file di testo della ddp della resistenza.
9. Costruire la colonna della corrente i, eliminando i valori iniziali di corrente nulla.
10. Riscalare la colonna t dei tempi, in modo che l’istante iniziale in cui inizia la carica sia t0 = 0.
11. Fare il grafico i(t).
12. Fare il fit dei dati in base all’equazione (3).
13. Determinare quindi la costante di tempo τmis con il relativo errore.
Circuito RC (fase di scarica)
1. Importare i dati contenuti nel file di testo della ddp del condensatore.
1. Costruire la colonna della carica q, eliminando i valori iniziali di carica massima.
2. Riscalare la colonna t dei tempi, in modo che l’istante iniziale in cui inizia la scarica sia t0 = 0.
3. Fare il grafico q(t).
4. Fare il fit dei dati in base all’equazione (5).
5. Determinare quindi la costante di tempo τmis con il relativo errore.
6. Importare i dati contenuti nel file di testo della ddp della resistenza.
7. Costruire la colonna della corrente i, eliminando i valori iniziali di corrente nulla.
8. Riscalare la colonna t dei tempi, in modo che l’istante iniziale in cui inizia la scarica sia t0 = 0.
9. Fare il grafico i(t).
10. Fare il fit dei dati in base all’equazione (6).
5
Conclusioni
•
•
Confrontare qualitativamente i grafici sperimentali della carica elettrica e della corrente in
funzione del tempo, con quelli teorici delle leggi espresse nelle formule (2), (3), (5), (6).
Determinare la miglior stima della costante di tempo sperimentale ( τsp ) facendo la media
pesata sugli errori ( ∆τimis ) dei valori ottenuti precedentemente dai dati (τmis):
N
τsp =
∑τ
i =1
mis
i
⋅ pi
N
, con pi =
∑ pi
i =1
•
1
( ∆τ )
mis 2
i
; ∆τsp =
1
N
∑p
i =1
i
Confrontare la costante di tempo τ sperimentale col valore teorico (τ = RC) e discutere i
risultati ottenuti.
6
