Poligoni
Def:
Si dice POLIGONO la parte finita di piano limitata da una spezzata chiusa, che si
considera appartenente al poligono.
I punti A, B, C, D, E sono i VERTICI del poligono.
A
E
B
I segmenti AB, BC, CD, DE, AE sono i LATI del
poligono.
La spezzata è il contorno del poligono.
C
D
Def:
Due lati aventi un vertice in comune si dicono CONSECUTIVI.
Due vertici appartenenti allo stesso lato si dicono CONSECUTIVI.
Def:
Si dice PERIMETRO di un poligono la somma dei suoi lati.
(attività 3_ calcolare perimetro.ggb)
PERIMETRO = AB + BC +
CD + AD
P = 6+4+6+4 = 20 cm
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Proprietà:
Un poligono si dice CONVESSO se si trova tutto in uno stesso semipiano rispetto a
ciascuna delle rette cui appartiene un suo lato; si dice CONCAVO se è attraversato da
una o più rette alle quali appartiene un suo lato.
(attività 3_ poligoni convessi_concavi.ggb)
Def:
Si dice ANGOLO INTERNO di un poligono ciascun angolo formato da due lati
consecutivi; si dice ANGOLO ESTERNO ogni angolo adiacente ad un angolo interno
di un poligono.
OSSERVAZIONE:
1. l’angolo esterno è
attraversato dai
prolungamenti dei lati che
lo compongono;
2. angolo interno più angolo
esterno sono uguali ad un
angolo giro (360º)
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DENOMINAZIONE DEI POLIGONI
Proprietà:
Un poligono ha almeno 3 lati, 3 angoli e 3 vertici.
Un poligono prende il nome del numero dei suoi lati o dei suoi angoli.
Il poligono con 3 lati, 3 angoli e 3 vertici, prende il nome di TRIANGOLO.
Il poligono con 4 lati, 4 angoli e 4 vertici, prende il nome di QUADRILATERO.
Il poligono con 5 lati, 5 angoli e 5 vertici, prende il nome di PENTAGONO.
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Il poligono con 6 lati, 6 angoli e 6 vertici, prende il nome di ESAGONO.
Il poligono con 7 lati, 7 angoli e 7 vertici, prende il nome di ETTAGONO.
Il poligono con 8 lati, 8 angoli e 8 vertici, prende il nome di OTTAGONO.
Def:
Un poligono si dice EQUILATERO se ha tutti i lati congruenti.
ROMBO
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Def:
Un poligono si dice EQUIANGOLO se tutti gli angoli congruenti.
RETTANGOLO
Def:
Un poligono si dice REGOLARE se è equilatero ed equiangolo e cioè se ha tutti i lati
e tutti gli angoli congruenti.
Es:
Il ROMBO non è regolare, perché ha i lati uguali , ma gli angoli no.
Il RETTANGOLO non è regolare, perché ha gli angoli uguali, ma i lati no.
Il QUADRATO è REGOLARE.
Tutti i poligoni che sono regolari nel nome si aggiunge la parola “REGOLARE”:
esempio l’ ESAGONO REGOLARE, il PENTAGONO REGOLARE,
l’OTTAGONO REGOLARE….
PENTAGONO REGOLARE
(attività 3_ poligoni regolari.ggb)
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Proprietà:
Ciascun lato di un poligono è minore della somma di tutti gli altri lati.
(attività 3_ disuguaglianza triangolare.ggb)
Def:
Si dice DIAGONALE di un poligono ogni segmento che unisce due suoi vertici non
consecutivi.
Regola:
per calcolare il numero delle diagonali di un poligono si applica la seguente formula
d
n (n 3)
2
n = numero lati
TRIANGOLO n = 3
d
QUADRILATERO n = 4
3 (3 3)
2
d
0 d=0
4 (4 3)
2
(4 1) : 2 4 : 2 2 d = 2
6
5 (5 3)
(5 2) : 2 10 : 2 5 d = 5
PENTAGONO n = 5
2
6 (6 3)
d
(6 3) : 2 18 : 2 9 d = 9
ESAGONO n = 6
2
7 (7 3)
(7 4) : 2 28 : 2 14 d = 14
ETTAGONO n = 7 d
2
d
Regola:
per calcolare il numero delle diagonali uscenti da un vertice di un poligono si applica
la seguente formula:
Teorema:
la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a
1800 .
Dimostrazione:
Si conduce la parallela ad AB per il vertice C: DE // AB
Per il principio delle rette parallele intersecate da una trasversale:
DCˆ A
CAˆ B perché alterni interni (AB e DE parallele, AC trasversale)
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ECˆ B
ABˆ C perché alterni interni (AB e DE parallele, BC trasversale)
Gli angoli
formano un angolo piatto di
DCˆ A ACˆ B ECˆ B 180 0
Se al posto di
al posto di
mettiamo il suo congruente
mettiamo il suo congruente
CAˆ B
ACˆ B
,
, la formula sopra diventa:
ABˆ C
180 0
(c.v.d.)
(attività 3_ somma angoli interni.ggb)
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Teorema:
in ogni triangolo, un angolo esterno è congruente alla somma dei due angoli interni
ad esso non adiacenti.
Dimostrazione:
Si prolunga il lato AB dalla parte del vertice B, e si considera l’angolo esterno
CBˆ D , esso è SUPPLEMENTARE del suo angolo interno ABˆ C :
Ma dal teorema della somma degli angoli interni si sa che TUTTI gli angoli interni
del triangolo sommati danno
:
Ma da quanto detto sopra:
Si conclude che
(c.v.d.)
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