Microeconomia
Esercitazione del 24.11.10
A cura di Giuseppe Gori ([email protected])
1
Esercizi.
1.1
La funzione di domanda in un mercato é descritta da:
p = 60 − 3Q
nel mercato opera una sola impresa monopolistica. Sapendo che in corrispondenza della quantitá offerta l’elasticitá della domanda é 2 e che il monopolista
ha costi fissi pari a 120 e costi marginali costanti:
(a) Definite i suoi costi totali.
(b) Calcolate il profitto del monopolista, quale livello dei costi fissi gli
garantirebbe profitti economici nulli?
(c) A quanto ammonta il suo mark-up?
1.2
La funzione di domanda in un mercato é descritta da:
p = 30 − 3Q
nel mercato opera una sola impresa monopolistica. Sapendo che in corrispondenza della quantitá offerta l’elasticitá della domanda é 1.5, i costi
medi totali ammontano a 10, che il monopolista ha costi marginali costanti
e dei costi fissi:
(a) Individuate l’ammontare dei suoi costi fissi.
(b) A quanto ammonta il profitto del monopolista?
(c) A quanto ammonta il surplus dei consumatori?
1
1.3
Supponete che si debba svolgere una gara per l’affidamento della gestione
di un determinato servizio pubblico locale, la configurazione di mercato è
quella del monopolio naturale. L’ente affidante istituisce come unico criterio
di selezione tra le candidature quello della tariffa minima offerta e fissa un
tetto del 50% al mark-up che le imprese possono praticare. Alla gara si
presentano due societá (A e B), ognuna con una diversa funzione di costo
totale descritta da:
T CA = 10 + 2Q
(1)
T CB = 6 + 4Q
(2)
mentre la curva di domanda di mercato é descritta da:
p = 20 − 2Q
(a) Individuate quantitá e prezzo che massimizzano il profitto di entrambi
i candidati, che prevarrebbero se l’ente affidante decidesse di fissare
prezzo uguale a costo marginale e che prevarrebbero se decidesse di
fissare prezzo uguale costo medio totale (in modo da garantire al monopolista la copertura dei costi economici).
(b) Se entrambe le societá decidono di offrire la tariffa corrispondente al
mark-up massimo, quale società vincerà la gara sulla base del criterio
descritto?
(c) Quale mark-up dovrebbe praticare l’impresa che ha perso se volesse
almeno pareggiare l’offerta dell’altra? Quale sarebbe in quel caso il
suo profitto?
2
Soluzioni suggerite
1.1:
Punto (a): Per rispondere a questo primo punto é necessario per prima
cosa derivare la curva di ricavo marginale, che sappiamo avere pendenza
doppia rispetto a quella di domanda:
M R = 60 − 6Q
Per scrivere la funzione di costo totale, dato che abbiamo giá l’ammontare dei
costi fissi, manca solo il livello dei costi marginali, che sappiamo costante.
Sappiamo che la quantitá che massimizza il profitto di un monopolista é
quella per cui M R = M C, individuando allora il valore del ricavo marginale
nel punto descritto, avremo individuato anche quello del costo marginale. Il
valore dell’elasticitá della curva di domanda é un’informazione preziosa dato
che noi sappiamo che il ricavo marginale si puó esprimere come funzione di
prezzo ed elasticitá, secondo la formula:
1
M R = p(1 − )
possiamo allora scrivere:
1
1
M R = p(1 − ) = p
2
2
sostituendo in p la definizione di domanda otteniamo:
3
1
M R = (60 − 3Q) = 30 − Q
2
2
possiamo adesso imporre che questa definizione di ricavo marginale sia uguale
alla prima che abbiamo dato ovvero:
3
30 − Q = 60 − 6Q
2
e ricavare cosí la quantitá che massimizza il profitto del monopolista1 :
Q=
20
3
e cosíl valore del ricavo marginale e del costo marginale:
M R = 60 − 6
20
= 20 = M C
3
p
Un metodo alternativo é quello di osservare che = − 1s Q
dove s é la pendenza della
curva di domanda. Dato che conosciamo la pendenza e il valore dell’elasticitá possiamo
ricavare una relazione tra p e Q che, messa a sistema con la curva di domanda ci permette
di identificare quantité e prezzo di monopolio.
1
3
La funzione di costo totale dell’impresa sará allora:
T C = 120 + 20Q
Punto (b): Per calcolare il profitto del monopolista ci serve il prezzo, che
adesso possiamo ricavare:
p = 60 − 3
20
= 40
3
Abbiamo dunque che:
T C = 120 + 20
T R = 40
20
= 253, 3̄
3
20
= 266, 6̄
3
e
Π = T R − T C = 266, 6̄ − 253, 3̄ = 13, 3̄
Affinché l’impresa ottenesse profitti economici nulli allora i suoi costi fissi
dovrebbero essere pari a:
F CΠ=0 = 120 + 13, 3̄ = 133, 3̄
Punto (c): Per calcolare il mark-up possiamo semplicemente osservare che,
in corrispondenza della quantitá che massimizza il profitto del monopolista,
questo é pari a:
1
mark − up =
infatti:
mark−up =
p − MC
p − MR
MR
p(1 − 1/)
1
1
=
= 1−
= 1−
= 1−1+ =
p
p
p
p
e quindi, nel nostro caso sará pari a 1/2 ovvero del 50%.
1.3:
Punto (a): Deriviamo la curva di ricavo marginale:
M R = 30 − 3Q
e utilizzando l’informazione sull’elasticitá come nell’esercizio precedente abbiamo che:
1
MR = p
3
4
uguagliando le due definizioni di ricavo marginale otteniamo:
Q=4
e quindi:
M R = 30 − 6 · 4 = 6 = M C
Per trovare l’ammontare dei costi fissi, consideriamo che:
AT C =
FC
+ MC
Q
quindi possiamo scrivere:
FC
+ 6 = 10 → F C + 24 = 40 → F C = 16
4
la funzione di costo totale sará allora:
T C = 16 + 6Q
Punto (b): Una volta trovato il prezzo di monopolio sostituendo la quantitá nella funzione di domanda (p = 18) possiamo trovare il profitto del
monopolista:
Π = T R − T C = (18 · 4) − (16 + 6 · 4) = 72 − 40 = 32
Punto (b): Il surplus dei consumatori é pari a 24.
1.3:
Punto (a): Scriviamo ancora per prima cosa il ricavo marginale ricavandolo
dalla curva di domanda:
M R = 20 − 4Q
Passiamo a considerare l’impresa A.Quest’impresa ha costi marginali pari a
2:
∂T CA
=2
M CA =
∂Q
e costi medi totali descritti da:
AT CA =
T CA
10 + 2Q
10
=
=
+2
Q
Q
Q
5
Per individuare la quantità che massimizza il profitto del monopolista (senza
tenere conto del vincolo sul mark-up) dobbiamo imporre:
M C = M R → 20 − 4Q = 2 → Qm
A = 4, 5
che sostituita nella curva di domanda ci dá il prezzo di equilibrio:
pm
A = 11
Nel caso in cui invece l’autoritá imponesse la condizione di concorrenza perfetta avremmo:
p = M C → 20 − 2Q = 2 → Qpc
A =9
e
ppc
A =2
Nel caso in cui invece l’autoritá imponesse la condizione di profitto economico
nullo:
p = AT C → 20−2Q =
10
+2 → 10+2Q = 20Q−2Q2 → 2Q2 −18Q+10 = 0
Q
che, risolvendo (ricordandosi che la soluzione
di un’equazione di secondo
√
−b± b2 −4ac
2
grado del tipo aX + bX + c = 0 é X =
) dá:
2a
√
1
1
Qatc
A = (9 + 61) = (9 + 7, 8) = 8, 4
2
2
che sostituita nella curva di domanda ci dá il prezzo:
patc
A = 3, 2
Lo stesso procedimento ci permettere di trovare i prezzi e le quatitá per
l’impresa B. Ricapitolando i risultati abbiamo che:
m
(pm
A , QA ) = (11, 4.5)
pc
(ppc
A , QA ) = (2, 9)
atc
(patc
A , QA ) = (3.2, 8.4)
m
(pm
B , QB ) = (16, 4)
pc
(ppc
B , QB ) = (4, 8)
atc
(patc
B , QB ) = (4.8, 7.6)
Punto (b): Dato che le imprese intendono partecipare alla gara dovranno
6
offrire una tariffa che tenga conto del vincolo sul mark-up. Dato che il costo
marginale di entrambe le imprese é costante, possiamo determinare un unico
prezzo associato al mark-up massimo (chiamiamolo pmu ), e questo sarà diverso per le due imprese:
pA
pA
2
mu − M CA
mu − 2
=
0.5
→
= 0.5 → 1 − A = 0.5 → pA
mu = 4
A
A
pmu
pmu
pmu
e
pB
mu = 8
questo implica che:
A
A
A
A
QA
mu = 8; AT Cmu = 3.25; Πmu = T Rmu − T Cmu = 32 − 26 = 6
e
B
B
B
B
QB
mu = 6; AT Cmu = 5; Πmu = T Rmu − T Cmu = 48 − 30 = 18
L’impresa A riesce quindi ad offrire una tariffa inferiore e si aggiudica la gara.
Punto (c): L’impresa che ha perso, quindi la B, dovrebbe offrire una tariffa corrispondente a mark-up nullo (ovvero 4). In questo modo peró realizzerebbe profitti negativi dato che questa scelta corrisponde, per lei, a
p = M C. Infatti, in quel caso:
p = 4; Q = 8; T C B = 6 + 4 · 6 = 38; ΠA = 32 − 38 = −6
7
