Microeconomia, Esercitazione 6.
A cura di Giuseppe Gori ([email protected])
1
Esercizi.
1.1
La funzione di domanda in un mercato é descritta da:
p = 60
3Q
nel mercato opera una sola impresa monopolistica. Sapendo che in corrispondenza della quantitá
offerta l’elasticitá della domanda é 2 e che il monopolista ha costi fissi pari a 120 e costi marginali
costanti:
(i) Definite i suoi costi totali.
(ii) Calcolate il profitto del monopolista, quale livello dei costi fissi gli garantirebbe profitti
economici nulli?
(iii) A quanto ammonta il suo mark-up?
1.2
La funzione di domanda in un mercato é descritta da:
p = 30
3
Q
2
nel mercato opera una sola impresa monopolistica. Sapendo che in corrispondenza della quantitá
offerta l’elasticitá della domanda é 1.5, i costi medi totali ammontano a 10, che il monopolista
ha costi marginali costanti e dei costi fissi:
(i) Individuate l’ammontare dei suoi costi fissi.
(ii) A quanto ammonta il profitto del monopolista?
(iii) A quanto ammonta il surplus dei consumatori?
1
1.3
Supponete che si debba svolgere una gara per l’affidamento della gestione di un determinato
servizio pubblico locale, la configurazione di mercato è quella del monopolio naturale. L’ente
affidante istituisce come unico criterio di selezione tra le candidature quello della tariffa minima offerta e fissa un tetto del 50% al mark-up che le imprese possono praticare. Alla gara si
presentano due societá (A e B), ognuna con una diversa funzione di costo totale descritta da:
T CA = 10 + 2Q
(1)
T CB = 6 + 4Q
(2)
mentre la curva di domanda di mercato é descritta da:
p = 20
2Q
(i) Individuate quantitá e prezzo che massimizzano il profitto di entrambi i candidati, che prevarrebbero se l’ente affidante decidesse di fissare prezzo uguale a costo marginale e che
prevarrebbero se decidesse di fissare prezzo uguale costo medio totale (in modo da garantire al monopolista la copertura dei costi economici).
(ii) Se entrambe le societá decidono di offrire la tariffa corrispondente al mark-up massimo,
quale società vincerà la gara sulla base del criterio descritto?
(iii) Quale mark-up dovrebbe praticare l’impresa che ha perso se volesse almeno pareggiare
l’offerta dell’altra? Quale sarebbe in quel caso il suo profitto?
2
Soluzioni suggerite
1.1: Punto (i): Per rispondere a questo primo punto é necessario per prima cosa derivare la
curva di ricavo marginale, che sappiamo avere pendenza doppia rispetto a quella di domanda:
M R = 60
6Q
Per scrivere la funzione di costo totale, dato che abbiamo giá l’ammontare dei costi fissi, manca
solo il livello dei costi marginali, che sappiamo costante. Sappiamo che la quantitá che massimizza
il profitto di un monopolista é quella per cui M R = M C, individuando allora il valore del ricavo
marginale nel punto descritto, avremo individuato anche quello del costo marginale. Il valore
dell’elasticitá della curva di domanda é un’informazione preziosa dato che noi sappiamo che il
ricavo marginale si puó esprimere come funzione di prezzo ed elasticitá, secondo la formula:
1
)
✏
M R = p(1
possiamo allora scrivere:
1
1
)=p
2
2
M R = p(1
sostituendo in p la definizione di domanda otteniamo:
M R = (60
1
3Q) = 30
2
3
Q
2
possiamo adesso imporre che questa definizione di ricavo marginale sia uguale alla prima che
abbiamo dato ovvero:
30
3
Q = 60
2
6Q
e ricavare cosí la quantitá che massimizza il profitto del monopolista1 :
Q=
20
3
e cosíl valore del ricavo marginale e del costo marginale:
M R = 60
6
20
= 20 = M C
3
La funzione di costo totale dell’impresa sará allora:
T C = 120 + 20Q
1
Un metodo alternativo é quello di osservare che ✏ =
1 p
s Q
dove s é la pendenza della curva di domanda.
Dato che conosciamo la pendenza e il valore dell’elasticitá possiamo ricavare una relazione tra p e Q che, messa
a sistema con la curva di domanda ci permette di identificare quantità e prezzo di monopolio.
3
Punto (ii): Per calcolare il profitto del monopolista ci serve il prezzo, che adesso possiamo
ricavare:
p = 60
3
20
= 40
3
Abbiamo dunque che:
T C = 120 + 20
T R = 40
20
= 253, 3̄
3
20
= 266, 6̄
3
e
⇧ = TR
T C = 266, 6̄
253, 3̄ = 13, 3̄
Affinché l’impresa ottenesse profitti economici nulli allora i suoi costi fissi dovrebbero essere pari
a:
F C⇧=0 = 120 + 13, 3̄ = 133, 3̄
Punto (iii): Per calcolare il mark-up possiamo semplicemente osservare che, in corrispondenza
della quantitá che massimizza il profitto del monopolista, questo é pari a2 :
mark
up =
1
✏
infatti:
mark
up =
p
MC
p
=
p
MR
=1
p
MR
=1
p
p(1
1/✏)
p
=1
1+
1
1
=
✏
✏
e quindi, nel nostro caso sará pari a 1/2 ovvero del 50%.
1.2: Punto (i): Deriviamo la curva di ricavo marginale:
M R = 30
3Q
e utilizzando l’informazione sull’elasticitá come nell’esercizio precedente abbiamo che:
1
MR = p
3
uguagliando le due definizioni di ricavo marginale otteniamo:
Q=8
2
Si noti che se volessimo definire il mark-up come
p MC
,
MC
4
avremo che mark
up =
1
✏ 1
.
e quindi:
M R = 30
3 · 8 = 6 = MC
Per trovare l’ammontare dei costi fissi, consideriamo che:
AT C =
FC
+ MC
Q
quindi possiamo scrivere:
FC
F C + 48
+ 6 = 10 !
8
8
80
= 0 ! F C = 32
la funzione di costo totale sará allora:
T C = 32 + 6Q
Punto (ii): Una volta trovato il prezzo di monopolio sostituendo la quantitá nella funzione di
domanda (p = 18) possiamo trovare il profitto del monopolista:
T C = (18 · 8)
⇧ = TR
(32 + 6 · 8) = 144
80 = 64
Punto (iii): Il surplus dei consumatori é pari a 48.
1.3: Punto (i): Scriviamo ancora per prima cosa il ricavo marginale ricavandolo dalla curva di
domanda:
M R = 20
4Q
Passiamo a considerare l’impresa A.Quest’impresa ha costi marginali pari a 2:
M CA =
@T CA
=2
@Q
e costi medi totali descritti da:
AT CA =
T CA
10 + 2Q
10
=
=
+2
Q
Q
Q
Per individuare la quantità che massimizza il profitto del monopolista (senza tenere conto del
vincolo sul mark-up) dobbiamo imporre:
M C = M R ! 20
4Q = 2 ! Qm
A = 4, 5
5
che sostituita nella curva di domanda ci dá il prezzo di equilibrio:
pm
A = 11
Nel caso in cui invece l’autoritá imponesse la condizione di concorrenza perfetta avremmo:
p = M C ! 20
2Q = 2 ! Qpc
A =9
e
ppc
A =2
Nel caso in cui invece l’autoritá imponesse la condizione di profitto economico nullo:
p = AT C ! 20
2Q =
10
+ 2 ! 10 + 2Q = 20Q
Q
2Q2 ! 2Q2
18Q + 10 = 0
che, risolvendo (ricordandosi che la soluzione di un’equazione di secondo grado del tipo aX 2 +
bX + c = 0 é X =
p
b± b2 4ac
)
2a
dá:
p
1
1
Qatc
A = (9 + 61) = (9 + 7, 8) = 8, 4
2
2
che3 sostituita nella curva di domanda ci dá il prezzo:
patc
A = 3, 2
Lo stesso procedimento ci permettere di trovare i prezzi e le quantitá per l’impresa B. Ricapitolando i risultati abbiamo che:
m
(pm
A , QA ) = (11, 4.5)
pc
(ppc
A , QA ) = (2, 9)
atc
(patc
A , QA ) = (3.2, 8.4)
m
(pm
B , QB ) = (16, 4)
pc
(ppc
B , QB ) = (4, 8)
atc
(patc
B , QB ) = (4.8, 7.6)
3
Si noti che la condizione p=ATC risulta verificata in corrispondenza di due soluzioni positive (Q=0,6 e Q=8,4).
Abbiamo considerato la soluzione maggiore dato che, considerando che il prezzo viene imposto dall’autorità, è
logico supporre che questa lo fisserà in modo tale da massimizzare il surplus totale scegliendo il prezzo che
garantisce una maggior quantità di bene scambiata sul mercato.
6
Punto (ii): Dato che le imprese intendono partecipare alla gara dovranno offrire una tariffa
che tenga conto del vincolo sul mark-up. Dato che il costo marginale di entrambe le imprese
é costante, possiamo determinare un unico prezzo associato al mark-up massimo (chiamiamolo
pmu ), e questo sarà diverso per le due imprese:
pmu
A
M CA
pmu
A
= 0.5 !
pmu
2
A
= 0.5 ! 1
mu
pA
2
pmu
A
= 0.5 ! pmu
A =4
e
pB
mu = 8
questo implica che:
mu
mu
mu
Qmu
A = 8; AT CA = 3.25; ⇧A = T RA
mu
T CA
= 32
26 = 6
e
mu
mu
mu
Qmu
B = 6; AT CB = 5; ⇧B = T RB
mu
T CB
= 48
30 = 18
L’impresa A riesce quindi ad offrire una tariffa inferiore e si aggiudica la gara.
Punto (iii): L’impresa che ha perso, quindi la B, dovrebbe offrire una tariffa corrispondente a
mark-up nullo (ovvero 4). In questo modo peró realizzerebbe profitti negativi dato che questa
scelta corrisponde, per lei, a p = M C. Infatti, in quel caso:
p = 4; Q = 8; T C B = 6 + 4 · 6 = 38; ⇧A = 32
7
38 =
6
