EQUAZIONI secondo grado

1. Equazioni di secondo grado algebriche, ad una incognita, intere
Sono equazioni che tramite passaggi possono essere scritte in forma (detta forma normale):
ax 2  bx  c  0
(1)
dove x è l’incognita di cui si vogliono trovare i valori.
Se a, b, c sono non nulli l’equazione è detta completa e in tal caso vale la formula risolutiva:
b  
,
dove
  b 2  4 ac
2a
A seconda del segno del discriminante () si hanno tre casi:
x1,2 
(2)
 > 0. In tal caso la radice quadrata di  è definita e quindi è un numero positivo e si hanno
due soluzioni reali e distinte.
b
 = 0. In questo caso rimane x1,2 
ovvero due soluzioni reali e coincidenti.
2a
 < 0. In questo caso rimane la radice di un termine negativo e quindi non è un numero reale.
Si ottengono due numeri complessi e coniugati ovvero nessuna soluzione reale.
Esempio 1
Risolvere l’equazione (con x R):
 x 2  5  3x  7 x  3  4 x 2
nell’insieme dei numeri reali.
Per prima cosa si nota che l’equazione non è scritta in forma normale: occorre svolgere dei passaggi
per ricondurla al caso (1).
1)
 x 2  4 x 2  3x  7 x  5  3  0
2)
3x 2  10 x  2  0
Calcoliamo  :
  b2  4ac  (10) 2  4  3  2  100  24  76
Quindi  è maggiore di zero per cui ci sono due radici reali e distinte i cui valori sono dati da:
+
x1,2 
x1 
(10)  76 10  4 19 10  2 19 5  19




23
6
6
3
5  19
3
5  19
3
I passaggi che seguono, servono solo per verificare i risultati e quindi NON SONO obbligatori.
Come si verifica ad esempio se x1 è una soluzione?
Sostituiamo il valore ottenuto nell’equazione di partenza: se si trovano due espressioni uguali
allora l’equazione è verificata e x è una sua soluzione (si può sostituire a partire dal punto 2, se si
è sicuri di avere svolto i passaggi in modo corretto fino a lì).
Sostituendo x1 nell’espressione a sinistra dell’uguale:
2
 5  19 
x1
5  19
25  10 19  19
44  10 
2
 x  5  3 x   

 5  (5  19)       1  19
  5  3
3
9
9  9

 3 
-
quindi si trova il valore:

44 19

19
9
9
1/4
x2 
Sostituendo in quella a destra si trova:
2
 5  19  35  7 19
25  10 19  19
7x  3  4x
 3  4 
3 4

 
3
3
3
9


44   7 40 
105  27  176 21  40
44 19
 35
   3  4      19 

19   
19
9  3 9 
9
9
9
9
 3
Si ottiene lo stesso valore, l’equazione è verificata e quindi x1 è una soluzione.
Esempio 2
Risolvere l’equazione (con x R):
x 2  2x  1
2
x1
5

7
19
x 2  2x  1  0
1) Si riscrive l’equazione:
2
2) Quindi si riconosce il quadrato di x-1:  x  1  0  x1  x2  1
3) Quindi x = 1 con molteplicità due. Si ottiene lo stesso risultato utilizzando la formula (2): si
b (2)
trova che =0 da cui x1  x2 

1
2a
2
Esempio 3
Risolvere l’equazione (con x R):
3x 2  5 x  6  0
2
  b 2  4ac   5   4  3  6  25  72  47
1) Si calcola :
2) Quindi  < 0 : allora  non è un numero reale e quindi l’equazione non ha soluzioni reali
(spesso il risultato è indicato con “impossibile”).
Se fossero richieste soluzioni complesse allora:
  5   47
5  1  47 5  i 47
x1,2 
quindi
x1,2 

,
23
6
6
dove i è l’unità
immaginaria
definita come i2 = -1.
Pertanto si ottengono due numeri complessi coniugati (coniugati significa che la parte immaginaria,
cioè il numero che moltiplica i, compare sia con segno positivo che negativo).
Esempio 4
2
x
Risolvere l'equazione (con x R):
2
1 
1
1 
1 1

  x     2 x     x     x  1
4 
4
4 
4 2

2
2
1
1 1
1 1
1
2
 1  1
1) x   x 2  2  x           2 x   2  2 x      x   x 
4
4 4
4 2
2
 4  4
1
1
1
1
1 1
1
2) x   x 2  x   4 x 2  x   x   x 
4
2
16
16
4 2
2
1
1
1
1
1 1
1
3) x   x 2  x   4 x 2  x   x   x   0
4
2
16
16
4 2
2
1
1
1 1 1
 1
4) 1  4  x 2  1   1  1   x     0
5)  3 x 2   0
2
4 4 2
2
 2
1
1
6)  3x 2   
 x  
2
6
Esempio 5
2
Risolvere l'equazione (con x R):
x  1x  1   2
2
2
2
2 2
4
1) x 2  1  

2)
x2  1  
2
2 2
2
2
2
3) x  1  2 
 x  1
impossibile perchè x non può essere negativo , se x è reale.
2/4
2. Equazioni di secondo grado algebriche, ad una incognita, fratte
In queste equazioni è presente almeno una espressione dove l’incognita compare al denominatore.
Per risolverle occorre prima considerare i valori di x che non rendono nulli i denominatori; poi si
moltiplica per il minimo comune multiplo (mcm) delle espressioni ai denominatori.
Degli esempi chiariranno quanto esposto.
Esempio 1
x2
8
1 x7
x
 2
 

x  4 x  16 2 4  x 2 x  8
Risolvere l'equazione (con x R):
1) Per prima cosa cerchiamo per quali valori di x l’equazione ha significato.
In questo caso sono i valori di x che non annullano i denominatori.
Quindi tutti (sistema di equazioni) i denominatori devono essere diversi da zero (motivo: la
divisione di un numero diverso da zero per 0 non dà un numero; si può dire ad esempio che 2/x
tende a +  se x tende a 0 da valori positivi, ma non è corretto dire che 2/x è uguale a + 
perché +  non è un numero).
 x40
 x 2  16  0

l’ultima disuguaglianza è come la penultima

 4x  0
 2 x  8  0
 x  4
 x 2  4


 x4
 x  4
Quindi le eventuali soluzioni dell’equazione devono essere diverse da -4, 4
2) Calcoliamo mcm tra i denominatori:


mcm x  4, x 2  16, 4  x  x 2  16 perché x 2  16   x  4    x  4 
Inoltre 2 x  8  2   x  4 e x  4 è già stato considerato nel calcolo
Si
potrebbe
valutare
anche
mcm
tra
tutti
i
denominatori
2
2
2
mcm  x  4, x  16, 2, 4  x, 2 x  8   2  x  16  e moltiplicare tutto per 2  x  16  , ma si voleva
evidenziare come calcolare il minimo comune multiplo solo tra espressioni letterali].
3) Moltiplichiamo tutti i termini che compaiono nell’equazione per x 2  16 :
 x2  16  xx  24   x2  16  x2 8 16   x2  16  12   x 2  16  4x  7x   x2  16  2 xx 8
e poiché x 2  16   x  4   x  4 si ottiene:
4)  x  4  x  4  x  2   x 2  16 
x4
-1
8
1
x7
x
 x 2  16   x  4  x  4 
  x  4  x  4 
2
x  16
2
4 x
2  x  4


si è tenuto conto di 4-x in: x  7 x 2  16
4x
1
x
5)  x  4  x  2   8  x 2  16   x  4  x  7    x  4 
2
2
Moltiplichiamo tutti i termini per 2:
6) 2 x 2  2 x  4 x  8  16  x 2  16  2 x 2  7 x  4 x  28  x 2  4 x




2

2
 
2
 
2
7) 2 x  12 x  16  16  x  16  2 x  6 x  56  x  4 x
8) 2 x 2  12 x  16  16  x 2  16  2 x 2  6 x  56  x 2  4 x  0
9)  2  1  2  1 x 2   12  6  4  x  16  16  16  56  0
10) 4 x 2  14 x  8  0
11) 2 x 2  7 x  4  0
2
12) Si calcola il discriminante:    7   4  2   4   49  32  81  0
3/4

Dalla formula risolutiva di un’equazione di 2° grado:
13) x1,2 
  7   
22

  7   81
22
79


4
x1 
7 9
 4
4
x2 
79
1
 
4
2
+
-
Esempio 2 [es. 66 pag. 127 libro “Matematica di base 2”]
x  22  8x  2  1  x  4  x
x
x4
 x  2 2  4
Risolvere l'equazione (con x R):
[R: -1, -3]
1) Per prima cosa cerchiamo per quali valori di x l’equazione ha significato: i valori di x che non
annullano i denominatori.
 x  22  4  0
x 2  4x  4  4  0
 x  0, x  4



1a) 
x0
1b) 
1c) 
x0
x0
 x40


x  4
 x  4


2) Calcoliamo mcm tra i denominatori:


mcm ( x  2)2  4, x, x  4  mcm  x( x  4), x, x  4   x  x  4 
3) Moltiplichiamo tutti i termini che compaiono nell’equazione per x( x  4) :
x  x  4
4)
 x  2
2
 x  2
2
 8  x  2 1
x  x  4
 x  x  4
x4
x
 x  x  4
x
x4
2
 8  x  2 1   x  4   x2
5) x 2  4 x  4  8 x  16  1  x 2  8 x  16  x 2
6) 1  1  1x 2  4  8  8x  4  16  1  16  0
7) x 2  4 x  3  0
Applicando la formula risolutiva dell’equazione di II° grado si ha:
+
 4  4 2  4  1  3  4  16  12  4  2
8) x1, 2 


=
2 1
2
2
-
4/4
x1 
 4 2
 1
2
x2 
42
 3
2