Hynek Kovar´ık: curriculum vitae

Hynek Kovařı́k: curriculum vitae
Informazioni generali
Nome: Hynek
Cognome: Kovařı́k
Luogo di nascita: Valašské Meziřı́čı́, Repubblica Ceca
Data di nascita: 16 Giugno 1975
Ente di appartenenza: Università degli Studi di Brescia
Recapito telefonico ufficio: 0303715742
E-mail: [email protected]
Pagina web: http://dm.ing.unibs.it/⇠ hynek.kovarik
Residente in: Via Gradisca 6, 26100 Cremona
Recapito telefonico: 335 1694736
Formazione
• Settembre 1993 – Settembre 1998: iscritto al corso di laurea in Fisica presso
l’Università “Univerzita Karlova v Praze” (“Università di Carlo” di Praga).
• 18.09.1998: Laurea in Fisica summa cum laude presso l’Università “Univerzita Karlova v Praze”, con la tesi “Visco-elastic e↵ects in Caroli-Nozieres
theory of dry friction between solid surfaces”, relatore: Prof. B. Velicky.
• Ottobre 1998 – Ottobre 2001: dottorando di ricerca presso l’Università “Univerzita Karlova v Praze”, sotto la supervisione del Prof. Pavel Exner dell’Accademia
delle Scienze della Repubblica Ceca. Durante gli anni del dottorato, sono stato
ricercatore a contratto presso l’Accademia delle Scienze della Repubblica Ceca.
• 01.10.2000 – 31.03.2001: in visita presso l’Institut Fourier dell’Université de
Grenoble 1 di Grenoble, per una collaborazione scientifica con il Prof. A. Joye.
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Titoli accademici
• 24.09.2001: titolo di Dottore di Ricerca in Fisica Teorica presso l’Università
“Univerzita Karlova v Praze”, con la tesi “Magnetic transport in two-dimensional
electron systems”. Relatore della tesi: Prof. P. Exner.
• 21.05.2008: conseguimento dell’Habilitation in Mathematik (Abilitazione all’insegnamento
universitario e alla ricerca in Matematica) presso l’Università di Stoccarda, con
la tesi “Spectral properties of Schrödinger operators”.
Posizioni
• Ottobre 2001 – Marzo 2002: Post-doc presso l’Ecole Polytechnique Fédérale di
Losanna. Responsabile scientifico: Prof. Philippe Martin.
• Aprile 2002 – Febbraio 2008: ricercatore a contratto e assistente per l’insegnamento
dei corsi di Analisi Matematica, presso l’“Institut für Analysis, Dynamik und
Modellierung” della Facoltà di Matematica dell’Università di Stoccarda.
• Marzo 2008 – 15 Novembre 2008: borsista della DFG (Deutsche Forschungsgemeinschaft) presso il Dipartimento di Matematica Pura e Applicata “G. Vitali”
dell’Università di Modena e Reggio Emilia.
• 16 Novembre 2008 – 14 Dicembre 2011: ricercatore universitario di Analisi
Matematica presso il Politecnico di Torino.
• 15 Dicembre 2011 – data presente: ricercatore universitario di Analisi Matematica presso l’Università degli Studi di Brescia.
Comunicazioni a convegni e workshops
(1) Convegno: Sfb288: Di↵erential Geometry and Quantum Physics, Berlin, Germania, Marzo 2000. Contributed talk: “Transport properties of the local Iwatsuka model”.
(2) Convegno: ICMP 2000: XIII International Congress on Mathematical Physics,
Londra, Gran Bretagna, Luglio 2000. Contributed talk: “Transport properties
of the local Iwatsuka model”.
(3) Convegno: Guided Quantum Particles, Praha, Repubblica Ceca, Giugno 2002.
Contributed talk: “Magnetic transport in a parabolic channel”.
(4) Convegno: Mathematical Problems in Quantum Mechanics, Lisboa, Portogallo,
Luglio 2003. Contributed talk: “Resonances in crossed electromagnetic fields”.
(5) Convegno: QMath9: Mathematical Results in Quantum Mechanics, Giens,
Francia, Settembre 2004. Contributed talk: “Resonances in crossed electromagnetic fields”.
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(6) Workshop: Spectral Analysis of Partial Di↵erential Equations, Oberwolfach,
Germania, Novembre-Dicembre 2004. Plenary talk: “Magnetic Hardy inequality in a waveguide”.
(7) Workshop: Mathematical Methods in Quantum Mechanics, Bressanone, Italia,
Febbraio 2005. Contributed talk: “On a magnetic Hardy inequality in the
waveguide”.
(8) Workshop: The Mathematics of Quantum Systems: Spectral Theory, Warwick,
Gran Bretagna, Aprile 2005. Contributed talk: “A Hardy inequality in twisted
waveguides”.
(9) Convegno: OTAMP 2006: Operator Theory, Analysis and Mathematical Physics,
Lund, Svezia, Giugno 2006. Contributed talk: “Weakly coupled Schrödinger
operators on regular metric trees”.
(10) Convegno: OTQP 2006: Operator Theory in Quantum Physics, Praha, Repubblica Ceca, Settembre 2006. Contributed talk: “Eigenvalue estimates for
Schrödinger operators on regular metric trees”.
(11) Convegno: Waves 2007, Reading, Gran Bretagna, Luglio 2007. Contributed
talk: “Estimates for trapped modes in quantum waveguides and layers”.
(12) Workshop: Low lying eigenvalues of Laplace and Schrödinger operators, Oberwolfach, Febbraio 2009. Plenary talk: “Berezin-Li-Yau inequalities with a
correction term”.
(13) Workshop: Transport in nano-structure devices, Agosto 2009. Aalborg, Danimarca. Invited talk: “Eigenvalue estimates for Schrödinger operators on regular metric trees”.
(14) Wokshop: Analysis on graphs and its applications, Isaac Newton Institute,
Cambridge, Regno Unito, Luglio 2010. Invited talk: “Eigenvalue estimates on
metric trees”.
(15) Convegno: QMath 11, Università di Hradec Králové, Repubblica Ceca, Settembre 2010. Contributed talk: “Large time behavior of the heat kernel of
two-dimensional magnetic Schrödinger operators and applications”.
(16) Convegno: Journeés Mathematiques de Kairouan, Università di Kairouan,
Tunisi, Novembre 2010. Invited talk: “Heat kernel of two-dimensional magnetic Schrödinger operators”.
(17) Workshop: Selected topics in spectral theory, Erwin Schrödinger Institute,
Vienna, Austria, Gennaio 2011. Invited talk: “Eigenvalue estimates for twodimensional magnetic Schrödinger operators”.
(18) Workshop: Spectral Theory and Schrödinger Operators, Politecnico di Milano, Marzo 2011. Invited talk: “Heat kernels of two-dimensional magnetic
Schrödinger operators and Pauli operators”.
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(19) Convegno: XXII Convegno Nazionale di Calcolo delle Variazioni, Levico Terme,
Febbraio 2012. Contributed talk: “Heat semi-groups of magnetic Schrödinger
and Pauli operators”.
Seminari presso Università e Centri di ricerca
(1) “Magnetic transport along a one-dimensional perturbation in the plane”, presso
il Dipartimento di Matematica del KTH (Royal Institute of Technology) di
Stoccolma, Svezia. Settembre 2000.
(2) “Magnetic transport in a straight parabolic channel”, presso l’Institut Fourier
dell’Université de Grenoble 1 di Grenoble, Francia. Marzo 2001.
(3) “Magnetic transport in a straight parabolic channel”, presso il Dipartimento
di Matematica del KTH (Royal Institute of Technology) di Stoccolma, Svezia.
Novembre 2001.
(4) “Resonances width in crossed electric and magnetic fields”, Seminario dell’Istituto
Doppler, Università Tecnica Ceca di Praga, Repubblica Ceca. Marzo 2003.
(5) “On the discrete spectrum of the magnetic Schrödinger operator in a waveguide”, Seminario dell’Istituto Doppler, Università Tecnica Ceca di Praga, Repubblica Ceca. Aprile 2004.
(6) “Stability of Schrödinger operator in twisted tubes”, Seminario dell’Istituto
Doppler, Università Tecnica Ceca di Praga, Repubblica Ceca. Marzo 2005.
(7) “Resonances in crossed electric and magnetic fields”, presso il Dipartimento
di Matematica dell’Università di Modena e Reggio Emilia, Modena, Italia.
Ottobre 2005.
(8) “Stark resonances in a magnetic field”, presso l’Institut Fourier dell’Université
de Grenoble 1 di Grenoble, Francia. Novembre 2005.
(9) “On the number of bound states of a Schrödinger operator on regular metric trees”, Seminario dell’Istituto Doppler, Università Tecnica Ceca di Praga,
Repubblica Ceca. Aprile 2006.
(10) “Eigenvalue estimates for Schrödinger operators on regular metric tress”, presso
il Dipartimento di Matematica dell’Università di Pavia, Pavia, Italia. Gennaio
2007.
(11) “Spectral estimates for two-dimensional Schrödinger operators”, presso il Centro di Fisica Teorica del CNRS, Luminy, Marsiglia, Francia. Marzo 2007.
(12) “Eigenvalue estimates for Schrödinger operators on metric trees”, presso l’“Institut
für Analysis, Dynamik und Modellierung” della Facoltà di Matematica dell’Università
di Stoccarda, Stoccarda, Germania. Ottobre 2007.
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(13) “Le disuguaglianze di Berezin e di Li-Yau e le loro generalizzazioni”, presso
il Dipartimento di Matematica dell’Università di Modena e Reggio Emilia,
Modena, Italia. Marzo 2008.
(14) “Le disuguaglianze di Berezin e di Li-Yau e le loro generalizzazioni”, presso
il Dipartimento di Matematica dell’Università di Pavia, Pavia, Italia. Giugno
2008.
(15) “Berezin-Li-Yau inequalities”, presso il Centro di Fisica Teorica del CNRS,
Luminy, Marsiglia, Francia. Giugno 2008.
(16) “Propriétés spectrales des guides d’ondes quantiques”, presso l’Université du
Sud Toulon-Var, Tolone, Francia. Settembre 2008.
(17) “Autovalori del Laplaciano su domini limitati”, presso il Dipartimento di Matematica del Politecnico di Torino, Torino, Italia. Dicembre 2008.
(18) “Proprietà spettrali delle guide d’onda quantistiche”, presso il Dipartimento
di Fisica dell’Università di Modena, Modena. Gennaio 2009.
(19) “Eigenvalue asymptotic of Robin Laplace operators on two-dimensional domains with cusps”, presso l’“Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung”
della Facoltà di Matematica dell’Università di Stoccarda, Germania. Aprile
2009.
(20) “Heat kernel estimates for Laplace operators in twisted tubes”, presso il Centre
Bernoulli, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne, Svizzera. Gennaio 2010.
(21) “Large time behavior of the heat kernel of two-dimensional magnetic Schrödinger
operators”, presso l’“Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung” della
Facoltà di Matematica dell’Università di Stoccarda, Germania. Aprile 2010.
(22) “Heat kernel of two-dimensional magnetic Schrödinger operators”, presso il Dipartimento di Matematica, Université de Provence, Marsiglia, Francia. Giugno
2010.
(23) “Eigenvalue asymptotic of Robin Laplace operators on two-dimensional domains”, presso il Dipartimento di Matematica del KTH (Royal Institute of
Technology) di Stoccolma, Svezia. Settembre 2010.
(24) “Two-dimensional magnetic Hamiltonians”, presso il Dipartimento di Matematica del KTH (Royal Institute of Technology) di Stoccolma, Svezia. Ottobre
2010.
(25) “Eigenvalue asymptotic of Robin Laplace operators on two-dimensional domains with cusps”, presso Dipartimento di Matematica, Università di Milano
Bicocca, Milano, Italia. Febbraio 2011.
(26) “Eigenvalue bounds for two-dimensional Schrödinger operators with magnetic
field”, Seminario dell’Istituto Doppler, Università Tecnica Ceca di Praga, Repubblica Ceca. Aprile 2011.
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(27) “Heat kernel estimates of twisted tubes”, presso l’“Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung” della Facoltà di Matematica dell’Università di Stoccarda, Germania. Maggio 2011.
(28) “Heat semigroups of two-dimensional Schrödinger and Pauli operators”, presso
la Facoltà di Matematica, Pontificia Universidad Catolica de Chile, Santiago.
Maggio 2011.
(29) “Heat kernel estimates of twisted tubes”, presso il Dipartimento di Matematica
del KTH (Royal Institute of Technology) di Stoccolma, Svezia. Settembre 2011.
(30) “Weakly perturbed p-Laplacian”, Dipartimento di Matematica, Università di
Brescia. Febbraio, 2012.
(31) “Weakly coupling behavior of the perturbed p-Laplacian”, Dipartimento di
Matematica, Technion, Israel Institute of Technology, Haifa, Israele. Maggio,
2012.
(32) “Heat semigroups of regular metric trees”, Facoltà di Matematica e Informatica, Weizmann Institute of Science, Rehovot, Israele. Maggio, 2012.
Borse di studio e contratti di ricerca
• Durante la mia visita presso l’Institut Fourier di Grenoble (01/10/2000–31/03/2001)
ho usufruito di una borsa di studio nell’ambito del programma “Tempra” della
regione francese Rhône-Alpes.
• Nell’A.A. 2006-2007 ho usufruito di un contratto di ricerca per un mese,
in qualità di Enseignant invité à temps plein (“Professore invitato a tempo
pieno”) presso l’“Université de Provence”, Marsiglia (Francia).
• Nell’A.A. 2007-2008 ho usufruito di un contratto di ricerca per un mese,
in qualità di Enseignant invité à temps plein (“Professore invitato a tempo
pieno”) presso l’“Université du Sud Toulon-Var”, Tolone (Francia).
• Agosto 2007: vincitore di una borsa di studio DFG (Deutsche Forschungsgemeinschaft) di 18 mesi, per sviluppare un progetto di ricerca presso l’Università
di Modena, a partire dal Marzo 2008.
• Nel Maggio 2011 ho usufruito di un contratto di ricerca per un mese, in qualità
di visiting professor presso la Pontificia Universidad Catolica de Chile, Santiago
del Cile (Cile).
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Attività didattica
Presso l’Università di Stoccarda ho tenuto le esercitazioni dei corsi:
• A. A. 2001-2002: Analisi funzionale per gli studenti del corso di laurea in
Matematica (II semestre) (tenuto in inglese).
• A. A. 2002-2003: Analisi 1 per gli studenti del corso di laurea in Matematica
(I semestre); Analisi 2 per gli studenti del corso di laurea in Matematica (II
semestre) (tenuti in tedesco).
• A. A. 2003-2004: Analisi 3 per gli studenti del corso di laurea in Matematica (I
semestre); Analisi Superiore per gli studenti del corso di laurea in Matematica
(II semestre) (tenuti in tedesco).
• A. A. 2004-2005: Analisi funzionale per gli studenti del corso di laurea in
Matematica (I semestre); Analisi Superiore per gli studenti del corso di laurea
in Matematica (II semestre) (tenuti in tedesco).
• A. A. 2005-2006: Matematica Superiore I per gli studenti del corso di laurea in
Fisica e Ingegneria (I semestre); Matematica Superiore II per gli studenti del
corso di laurea in Fisica e Ingegneria (II semestre) (tenuti in tedesco).
• A. A. 2006-2007: Matematica Superiore III per gli studenti del corso di laurea
in Fisica e Ingegneria (I semestre); Analisi Superiore per gli studenti del corso
di laurea in Matematica (II semestre) (tenuti in tedesco).
• A. A. 2007-2008: Matematica I per gli studenti del corso di laurea in Informatica (I semestre) (tenuto in tedesco).
Presso l’Università di Stoccarda sono stato titolare del corso:
• A. A. 2006-2007: “Problemi di meccanica quantistica dal punto di vista matematico” per gli studenti del corso di laurea in Matematica dell’Università di
Stoccarda (II semestre) (tenuto in tedesco).
Presso il Politecnico di Torino ho tenuto le esercitazioni dei corsi:
• A. A. 2008-2009: Analisi II per gli studenti di vari corsi di laurea in Ingegneria
(II semestre) (tenuto in italiano).
• A. A. 2009-2010: Analisi II per gli studenti di vari corsi di laurea in Ingegneria
(II semestre) (tenuto in italiano).
• A. A. 2009-2010: Corso di recupero di Analisi I per gli studenti di vari corsi di
laurea in Ingegneria (II semestre) (tenuto in italiano).
• A. A. 2010-2011: Mathematical Analysis I per gli studenti stranieri di vari corsi
di laurea in Ingegneria (I semestre) (tenuto in inglese).
• A. A. 2011-2012: Mathematical Analysis I per gli studenti stranieri di vari corsi
di laurea in Ingegneria (I semestre) (tenuto in inglese).
8
• A. A. 2011-2012: Mathematical Analysis II per gli studenti stranieri di vari
corsi di laurea in Ingegneria (I semestre) (tenuto in inglese).
Presso l’Università degli Studi di Brescia ho tenuto le esercitazioni dei corsi:
• A. A. 2011-2012: Analisi Matematica B per gli studenti del corso di laurea in
Ingegneria gestionale (II semestre) (tenuto in italiano).
Presso l’Università degli Studi di Brescia sono attualmente titolare del corso:
• A. A. 2012-2013: Analisi Matematica I per gli studenti del corso di laurea in
Ingegneria dell’ambiente e territorio, e civile (I semestre) (tenuto in italiano).
Attività Scientifica
Interessi scientifici: Nella mia ricerca mi occupo di alcuni problemi di teoria spettrale e di analisi funzionale provenienti dalla fisica quantistica, con particolare riferimento a
(1) Analisi di problemi di trasporto magnetico in sistemi bidimensionali, sistemi
instabili, quantum waveguides, e grafi quantistici.
(2) Analisi spettrale di operatori di Schrödinger.
(3) Studio degli autovalori di operatori di Laplace su domini limitati.
(4) Disuguaglianze di Hardy.
(5) Studio del comportamento di semigruppi e gruppi unitari generati dagli operatori di Schrödinger e di Laplace.
Più precisamente:
• Trasporto magnetico in sistemi bidimensionali. È ben noto che, in sistemi bidimensionali, un campo magnetico costante porta alla localizzazione
di una particella carica. In altri termini, il relativo operatore Hamiltoniano
magnetico ha uno spettro puramente puntuale. D’altro canto, un’opportuna
perturbazione del campo magnetico può portare ad una situazione in cui lo
spettro diventa assolutamente continuo. Un e↵etto simile si può ottenere aggiungendo una catena periodica di interazioni punto-punto nel sistema. Questo
fatto è stato dimostrato nei lavori [1] e [2] dell’elenco che segue. Il problema
della stabilità dello spettro assolutamente continuo cosı̀ ottenuto è stato in
seguito discusso nel lavoro [3]. Risultati connessi sono stati ottenuti recentemente in [28] con un approccio basato sul metodo dei commutatori positivi.
9
• Esistenza di stati di risonanza in sistemi con un campo elettrico e
magnetico costanti. Un operatore magnetico di Schrödinger bidimensionale, associato a un campo magnetico costante e a un potenziale di perturbazione
localizzato, ha in genere infiniti autovalori in prossimità dei livelli di Landau.
Si ritiene che in presenza di un ulteriore campo elettrico tali autovalori “scompaiano” e si trasformino in risonanze. Il comportamento di tali risonanze in
dipendenza dall’intensità del campo elettrico è stato analizzato nei lavori [4]
e [5]. Simili problemi sono stati analizzati nel lavoro [22] con il cosiddetto
metodo di “complex scaling”.
• Disuguaglianze di tipo Hardy per operatori magnetici di Schrödinger
e operatori di Laplace. È ben noto che la disuguaglianza di Hardy per
l’operatore di Laplace non vale in dimensione uno e due. Tuttavia, aggiungendo un opportuno campo magnetico B si può ottenere un certo tipo di
disuguaglianza di Hardy per la forma quadratica dell’operatore magnetico di
Schrödinger. L’operatore magnetico di Schrödinger
HA = ( ir + A)2
in L2 (⌦)
(1)
in un dominio ⌦ ✓ R2 , dove A è il potenziale vettoriale relativo al campo
magnetico B (cioè rotA = B), è associato alla forma quadratica
QA [u] = k( ir + A) uk2L2 (⌦) ,
u 2 H01 (⌦).
(2)
L’e↵etto del campo magnetico sulle disuguaglianze di Hardy in domini del tipo
⌦ = R ⇥ (0, d) è stato studiato nei lavori [6] e [7]. In particolare, in [6] è stato
dimostrato che la disuguaglianza
Z
⇡2
|u(x)|2
2
QA [u]
kuk
C
dx,
8 u 2 H01 (⌦),
(3)
A
L2 (⌦)
2
2
d
⌦ 1 + x1
vale, sotto determinate condizioni sulla regolarità di A, con una costante CA
che dipende solo da A. Si noti che la disuguaglianza (3) è falsa per la forma
quadratica Q0 [u], cioè in assenza del campo magnetico.
In questo contesto, si veda il lavoro [12], è anche possibile dimostrare che lo
stesso tipo di disuguaglianza di Hardy vale per l’operatore di Laplace in un tubo
tridimensionale del tipo ⌦ = R ⇥ ! con sezione ! ⇢ R2 : tale disuguaglianza
può essere ottenuta anche solo con una perturbazione puramente geometrica
del tubo, cioè il cosiddetto twisting. Più precisamente, se la sezione ! non è
invariante per rotazioni e se ⌦T è un cilindro ottenuto da ⌦ = R ⇥ ! tramite
il twisting (cioè una rotazione locale di ⌦ attorno all’asse longitudinale), allora
10
esiste una costante C tale che
kruk2L2 (⌦T )
E1 kuk2L2 (⌦T )
C
Z
⌦T
|u(x)|2
dx,
1 + x21
8 u 2 H01 (⌦T ),
(4)
dove
E1 = inf krf k2L2 (!) : f 2 H01 (!), kf kL2 (!) = 1 .
(5)
Anche in questo caso si vede facilmente che la disuguaglianza (4) è falsa in
assenza del twsiting, cioè quando ⌦T = ⌦ = R ⇥ !.
Risultati connessi sono stati ottenuti anche nei lavori [8], [13]. Inoltre, nel
lavoro [9] viene studiato l’e↵etto del twisting sulle risonanze nelle waveguides: in particolare, come il twisting destabilizza gli autovalori dell’operatore di
Schrödinger immersi nello spettro continuo.
• Proprietà spettrali di operatori di Schrödinger su alberi metrici.
Un albero metrico infinito consiste di un insieme di vertici e di un insieme di lati
(i segmenti che connettono i vertici). Gli alberi metrici sono oggetti con “dimensione mista”: una dimensione locale, uguale a 1, e una dimensione globale,
che è sostanzialmente data dalla “velocità di crescita” dell’albero a infinito.
Nel lavoro [11] è stato dimostrato che le proprietà spettrali dell’operatore di
Schrödinger A↵ =
+ ↵V (ove V è un potenziale infinitesimo all’infinito e
↵ 0), definito su un albero metrico, dipendono sia dalla dimensione locale,
sia dalla dimensione globale dell’albero. Questo risultato è stato generalizzato
in [18] per i potenziali con decrescenza lenta all’infinito. Nel lavoro [21] il
legame fra la dimensione globale di un albero e le suddette proprietà spettrali
è stato analizzato più in dettaglio: in particolare, abbiamo esteso al caso degli
alberi metrici le disuguaglianze di Cwikel-Lieb-Rosenblum e di Lieb-Thirring
per operatori di Schrödinger. I risultati di [21] sono stati generalizzati in [27]
usando opportune stime sul nucleo del calore dell’operatore di Laplace sugli
alberi metrici. Infine, nel lavoro [15] abbiamo ottenuto delle disuguaglianze di
tipo Hardy per operatori di Schrödinger su alberi metrici.
• Disuguaglianze di Lieb-Thirring per operatori di Schrödinger
bidimensionali.
Le disuguaglianze di Lieb-Thirring bidimensionali garantiscono che per ogni
> 0 esiste una constante L tale che gli autovalori negativi n (↵, V ), n =
1, 2, . . . , dell’operatore di Schrödinger di tipo A↵ =
+ ↵V soddisfano
Z
X
1+
| n (↵, V )|  L ↵
V (x)1+ dx,
(6)
n
R2
11
dove V indica la parte negativa del potenziale elettrico V . È noto che nel
caso di dimensione due queste disuguaglianze hanno proprietà peculiari: per
esempio, si sa che L ! +1 per ! 0 e che (6) non è ottimale per ↵ & 0.
A questo scopo, nel lavoro [10] abbiamo introdotto e dimostrato una disuguaglianza di Lieb-Thirring modificata, dalla quale abbiamo dedotto una
stima asintotica ottimale per gli autovalori degli operatori di Schrödinger bidimensionali sia per ↵ % +1, sia per ↵ & 0. In [14] abbiamo sviluppato
applicazioni dei risultati ottenuti in [10] a operatori di Schrödinger su quantum layers. Nel recente lavoro [23] sono state studiate simili disuguaglianze
spettrali di tipo Cwikel-Lieb-Rosenblum, che corrispondo al limite ! 0 in
(6), per operatori di Schrödinger magnetici. In particolare è stato dimostrato
che il carattere di queste stime dipende dalle proprietà del rispettivo campo
magnetico.
• Analisi spettrale dell’operatore di Laplace sui domini limitati.
Le disuguaglianze di Berezin-Li-Yau forniscono una stima dal basso per le
somme degli autovalori j (⌦) dell’operatore di Laplace con condizioni di Dirichlet omogenee su un dominio limitato ⌦ ⇢ Rd , tramite il volume |⌦| del dominio
in questione:
k
X
j (⌦)
j=1
Cd |⌦|
2
d
k
d+2
d
8k
1,
4⇡ 2 d
2/d
con Cd =
!d ,
d+2
(7)
dove !d indica il volume della palla unitaria in Rd . Dal comportamento asinP
totico di kj=1 j (⌦) per k ! 1 si può dedurre che la costante Cd in (7) è
ottimale.
Tuttavia, nel lavoro [16] abbiamo migliorato la disuguaglianza (7) nel caso
bidimensionale aggiungendo al membro di destra un contributo positivo, di
d+2
ordine o(k d ) per k ! 1, che non dipende da |⌦|, ma dalla geometria della
frontiera di ⌦.
• Disuguaglianze di Hardy per il Laplaciano di Robin.
L’operatore di Laplace con condizioni di tipo Robin è stato studiato in [25],
dove abbiamo mostrato come la disuguaglianza di Hardy classica su domini
convessi, nota per il Laplaciano con condizioni di Dirichlet omogenee:
Z
2
⌦
|ru(x)| dx
1
4
Z
⌦
|u(x)|2
dx,
2 (x)
(x) = dist(x, @⌦),
u 2 H01 (⌦),
(8)
12
può essere generalizzata al caso delle condizioni di Robin. In particolare, abbiamo dimostrato, per domini convessi, che per ogni 0  2 L1 (@⌦) vale
Z
Z
Z
1
|u(x)|2
2
2
|ru| +
|u|
dx 8 u 2 H 1 (⌦),
(9)
1
1
2
4 ⌦ ( (x) + 2 (p(x)) )
⌦
@⌦
dove p(x) è il punto di @⌦ più vicino a x (esso è unico per quasi ogni x 2
⌦). Ricordiamo che il caso = 0 corrisponde al Laplaciano con condizioni
di Neumann, mentre
= +1 corrisponde al Laplaciano con condizioni di
Dirichlet.
Strettamente collegato al lavoro [25] è il recente lavoro [29] in cui sono state
ottenute delle stime per il primo autovalore del Laplaciano con condizioni di
Robin su domini convessi. Più precisamente, è stato provato come questo autovalore dipende dalle condizioni al bordo e dalle proprietà geometriche del
dominio. Risultati connessi che riguardano gli operatori di Laplace con condizioni di Robin sono stati ottenuti nel lavoro [20].
• Semigruppi e gruppi unitari degli operatori di Schrödinger magnetici.
Il fatto che l’operatore di Schrödinger magnetico bidimensionale HA , si veda
(1), soddisfa una disuguaglianza di Hardy (a di↵erenza del caso non-magnetico)
ha conseguenze che riguardano il comportamento asintotico (per tempi lunghi)
del semigruppo e tHA associato a questo operatore. Questo e↵etto è stato
messo in evidenza in [24]. In particolare è stato dimostrato che, per campi
magnetici radiali a supporto compatto, vale
e
tHA
(x, y) = O(t
1 minm2Z |m ↵|
per t ! 1
)
(10)
dove e tHA (x, y) è il nucleo integrale del semigruppo e tHA e ↵ è il flusso del
campo magnetico associato all’operatore HA . D’altra parte, in assenza del
campo magnetico si sa che e tH0 (x, y) ' t 1 per t ! 1. Quindi i risultati di
[24] evidenziano che la presenza del campo magnetico accelera la decrescenza
del rispettivo semigruppo generato da HA .
In questo contesto è interessante notare che il campo magnetico accelera
anche la decrescenza del gruppo unitario e it(HA +V ) generato dall’operatore
HA + V , dove V è un potenziale elettrico. Infatti, nel recente lavoro [30] è
stato dimostrato, sotto certe condizioni su V , che per un campo magnetico di
tipo delta di Dirac il gruppo unitario e it(HA +V ) , considerato come operatore
tra opportuni sottospazi pesati di L2 (R2 ), soddisfa
e
it(HA +V )
Pac = O(t
1 minm2Z |m ↵|
)
per t ! 1,
(11)
dove Pac indica il proiettore spettrale di HA + V relativo allo spettro assolutamente continuo.
13
• Semigruppi del operatore di Laplace su domini cilindrici.
Nel lavoro [26] abbiamo studiato l’accelerazione della decrescenza del semigruppo generato dall’operatore di Laplace (con condizioni di Dicrichlet) causata
dal twisting di un cilindro tridimensionale; si veda l’equazione (4) per la definizione
del cilindro “twistato” ⌦T . In particolare, abbiamo dimostrato che per l’elemento
diagonale et ⌦T (x, x) del nucleo integrale del semigruppo vale
et
⌦T
(x, x) eE1 t ⇠ t
3/2
per t ! 1,
8 x 2 ⌦T ,
(12)
mentre nel cilindro “diritto” (ovvero senza twisting) ⌦ = R ⇥ ! si ha
et
⌦
(x, x) eE1 t ⇠ t
1/2
per t ! 1. L’equazione (12) mette in evidenza l’e↵etto del twisting sul
comportamento asintotico delle soluzioni dell’equazione del calore nei domini
cilindrici.
Altri e↵etti del twisting sulle proprietà spettrali dell’operatore di Laplace
con condizioni di Dirichlet sui domini cilindrici sono stati studiati nei lavori
[17] e [28].
Pubblicazioni
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Phys. Lett. A 264 (1999) 124–130.
(2) P. Exner, H. Kovařı́k: Magnetic strip waveguides. J. Phys. A 33 (2000) 3297–
3311.
(3) P. Exner, A. Joye, H. Kovařı́k: Magnetic transport in a straight parabolic
channel. J. Phys. A 34 (2001) 9733–9752.
(4) Ch. Ferrari, H. Kovařı́k: Resonance Width in Crossed Electric and Magnetic
Fields. J. Phys. A 37 (2004) 7671–7697.
(5) Ch. Ferrari and H. Kovařı́k: On the Exponential Decay of Magnetic Stark
Resonances. Rep. Math. Phys. 56 no.2 (2005) 197–207.
(6) T. Ekholm and H. Kovařı́k: Stability of the magnetic Schrödinger operator in
a waveguide. Comm. Partial Di↵erential Equations 30 (2005) 539–565.
(7) D. Borisov, T. Ekholm and H. Kovařı́k: Spectrum of the magnetic Schrödinger
operator in a waveguide with combined boundary conditions. Ann. Henri
Poincaré 6 (2005) 327–342.
(8) P. Exner and H. Kovařı́k: Spectrum of the Schrödinger operator in a perturbed
periodically twisted tube. Lett. Math. Phys. 73 (2005) 183–192.
14
(9) H. Kovařı́k and A. Sacchetti: Resonances in twisted waveguides.
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(10) H. Kovařı́k, S. Vugalter and T. Weidl: Spectral estimates for two-dimensional
Schrödinger operators with application to quantum layers. Comm. Math. Phys.
275 (2007) 827–838.
(11) H. Kovařı́k: Weakly coupled Schrödinger operators on regular metric trees.
SIAM J. Math. Anal. 39 (2007) 1135–1149.
(12) T. Ekholm, H. Kovařı́k and D. Krejčirı́k: A Hardy inequality in twisted waveguides. Arch. Rational Mech. Anal. 188 (2008) 245–264.
(13) H. Kovařı́k and D. Krejčirı́k: A Hardy inequality in a twisted Dirichlet-Neumann
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(28) Ph. Briet, H. Kovařı́k, G. Raikov: Scattering in twisted waveguides. Preprint
ArXiv: 1109.2111. Sottoposto per la pubblicazione.
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operators with Aharonov-Bohm magnetic field. Preprint Arxiv: 1210.7648.
Sottoposto per la pubblicazione.
Data 14/11/2012.