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Equazioni della Fisica Matematica - Meccanica Quantistica
Corso di Laurea Triennale in Matematica - A.A. 2016/17
(3 anno, I semestre, 3 CFU)
Docente: Maurizio Serva
”Nissuna umana investigazione si può dimandare vera scienzia s’essa non passa per le matematiche
dimostrazioni, e se tu dirai che le scienzie, che principiano e finiscono nella mente, abbiano verità,
questo non si concede, ma si niega, per molte ragioni, e prima, che in tali discorsi mentali non
accade esperienzia, sanza la quale nulla dà di sé certezza”. - Leonardo da Vinci (1452-1519)
Programma
• Parte I - Comportamento dei sistemi quantistici e un po’ di storia.
Diffrazione e interferenza di elettroni: la doppia fenditura. Il problema della stabilità degli atomi. Le righe
spettrali e la formula di Rydberg. La vecchia teoria dei quanti: il modello atomico di Bohr. La regola di
quantizzazione di Bohr e Sommerfeld.
• Parte II - Postulati, princı̀pi e strumenti matematici della Meccanica Quantistica.
Stato quantistico: funzione d’onda e probabilità dell’esito di una misura della posizione. Principio di sovrapposizione. Operatori hermitiani. Autovalori e autostati. Probabilità dell’esito di una misura di un’osservabile.
• Parte III - Posizione e impulso: principio di indeterminazione di Heisemberg.
Operatore posizione e operatore impulso: autostati e autovalori. Prodotto e commutatore di operatori: il
commutatore fondamentale. Relazione di indeterminazione di Heisenberg.
• Parte IV - La dinamica: l’equazione di Shrödinger.
Hamiltoniana quantistica ed equazione di Shrödinger. Autostati e autovalori. Stati legati e stati di scattering.
Soluzione generale. Conservazione della norma ed evoluzione della media di un operatore.
• Parte V - L’equazione di Shrödinger in una dimensione.
Spettro continuo: il caso libero. Il pacchetto d’onda. Non degenerazione dei livelli discreti nel caso unidimensionale. Spettro discreto: buca di potenziale di altezza infinita. Copresenza di spettro continuo e discreto: buca
di potenziale di altezza finita.
• Parte VI - L’equazione di Shrödinger per l’oscillatore armonico.
Stato fondamentale corrispondente all’autovalore h̄ω/2. Operatori di creazione e distruzione. Autostati e
autovalori della hamiltoniana dell’oscillatore armonico.
Testi di riferimento
K. Konishi e G. Paffuti, Meccanica Quantistica: nuova introduzione, Pisa University Press, 2005.
Disponibile su http://people.disim.univaq.it/∼serva/teaching/teaching.html
Lev D. Landau e Evgenij M. Lifšits, Fisica Teorica 3 - Meccanica quantistica Teoria non relativistica, Editori Riuniti,
University Press, 2010.
P. A. M. Dirac, I princı̀pi della Meccanica Quantistica, Bollati Boringhieri, 1990.
Testi di consultazione
V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, 1989.
A. Celletti, Esercizi e complementi di Meccanica Razionale, Aracne, 2003.
W. Thirring, A Course in Mathematical Physics. 3 - Quantum Mechanics of atoms and molecules, Springer, 1981.
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Short Syllabus
• I - The behavior of quantum systems and a little of hystory.
• II - Postulates, principles and mathematical tools of Quantum Mechanics.
• III - Position and momentum: the Heisenberg’s uncertainty principle.
• IV - The dynamics: the Shrödinger equation.
• V - The Shrödinger equation in one dimension.
• VI - The Shrödinger equation for the harmonic oscillator.
Course objectives:
This course aims to enable the students to understand basic Quantum Mechanics and to handle the Schrödinger
Equation.
Learning outcomes (Dublin descriptors):
On successful completion of this course, the student should
• have acquired the basic notions of Quantum Mechanics,
• be able to handle the Shrödinger Equation in simple cases,
• be able of reading and understanding more advanced topics in Quantum Mechanics,
• have acquired a deeper comprehension of the physical world,
• be able to face novel problems with a similar mathematical modeling.
Prerequisites and learning activities:
Classical Mechanics, Elementary Probability Theory, Linear Algebra.
Teaching methods:
Lectures and exercises.
Assessment methods and criteria:
Written and, if necessary, oral examination.
