Programma di Meccanica Quantistica
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1 Equazioni della Fisica Matematica - Meccanica Quantistica Corso di Laurea Triennale in Matematica - A.A. 2016/17 (3 anno, I semestre, 3 CFU) Docente: Maurizio Serva ”Nissuna umana investigazione si può dimandare vera scienzia s’essa non passa per le matematiche dimostrazioni, e se tu dirai che le scienzie, che principiano e finiscono nella mente, abbiano verità, questo non si concede, ma si niega, per molte ragioni, e prima, che in tali discorsi mentali non accade esperienzia, sanza la quale nulla dà di sé certezza”. - Leonardo da Vinci (1452-1519) Programma • Parte I - Comportamento dei sistemi quantistici e un po’ di storia. Diffrazione e interferenza di elettroni: la doppia fenditura. Il problema della stabilità degli atomi. Le righe spettrali e la formula di Rydberg. La vecchia teoria dei quanti: il modello atomico di Bohr. La regola di quantizzazione di Bohr e Sommerfeld. • Parte II - Postulati, princı̀pi e strumenti matematici della Meccanica Quantistica. Stato quantistico: funzione d’onda e probabilità dell’esito di una misura della posizione. Principio di sovrapposizione. Operatori hermitiani. Autovalori e autostati. Probabilità dell’esito di una misura di un’osservabile. • Parte III - Posizione e impulso: principio di indeterminazione di Heisemberg. Operatore posizione e operatore impulso: autostati e autovalori. Prodotto e commutatore di operatori: il commutatore fondamentale. Relazione di indeterminazione di Heisenberg. • Parte IV - La dinamica: l’equazione di Shrödinger. Hamiltoniana quantistica ed equazione di Shrödinger. Autostati e autovalori. Stati legati e stati di scattering. Soluzione generale. Conservazione della norma ed evoluzione della media di un operatore. • Parte V - L’equazione di Shrödinger in una dimensione. Spettro continuo: il caso libero. Il pacchetto d’onda. Non degenerazione dei livelli discreti nel caso unidimensionale. Spettro discreto: buca di potenziale di altezza infinita. Copresenza di spettro continuo e discreto: buca di potenziale di altezza finita. • Parte VI - L’equazione di Shrödinger per l’oscillatore armonico. Stato fondamentale corrispondente all’autovalore h̄ω/2. Operatori di creazione e distruzione. Autostati e autovalori della hamiltoniana dell’oscillatore armonico. Testi di riferimento K. Konishi e G. Paffuti, Meccanica Quantistica: nuova introduzione, Pisa University Press, 2005. Disponibile su http://people.disim.univaq.it/∼serva/teaching/teaching.html Lev D. Landau e Evgenij M. Lifšits, Fisica Teorica 3 - Meccanica quantistica Teoria non relativistica, Editori Riuniti, University Press, 2010. P. A. M. Dirac, I princı̀pi della Meccanica Quantistica, Bollati Boringhieri, 1990. Testi di consultazione V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, 1989. A. Celletti, Esercizi e complementi di Meccanica Razionale, Aracne, 2003. W. Thirring, A Course in Mathematical Physics. 3 - Quantum Mechanics of atoms and molecules, Springer, 1981. 2 Short Syllabus • I - The behavior of quantum systems and a little of hystory. • II - Postulates, principles and mathematical tools of Quantum Mechanics. • III - Position and momentum: the Heisenberg’s uncertainty principle. • IV - The dynamics: the Shrödinger equation. • V - The Shrödinger equation in one dimension. • VI - The Shrödinger equation for the harmonic oscillator. Course objectives: This course aims to enable the students to understand basic Quantum Mechanics and to handle the Schrödinger Equation. Learning outcomes (Dublin descriptors): On successful completion of this course, the student should • have acquired the basic notions of Quantum Mechanics, • be able to handle the Shrödinger Equation in simple cases, • be able of reading and understanding more advanced topics in Quantum Mechanics, • have acquired a deeper comprehension of the physical world, • be able to face novel problems with a similar mathematical modeling. Prerequisites and learning activities: Classical Mechanics, Elementary Probability Theory, Linear Algebra. Teaching methods: Lectures and exercises. Assessment methods and criteria: Written and, if necessary, oral examination.
