L`equazione di Schrödinger 1 Forma dell`equazione

L’equazione di Schrödinger
1
Forma dell’equazione
Postulato - ψ(~r, t0 ) definisce completamente lo stato dinamico del sistema al tempo t0 .
L’equazione che regola l’evoluzione di ψ(~r, t) deve essere:
1. del 1◦ ordine rispetto al tempo
=⇒
ψ(~r, t0 ) determina ψ(~r, t) ad ogni istante t.
2. lineare ed omogenea, cioé se ψ1 e ψ2 sono soluzioni
complessi c1 ψ1 + c2 ψ2 é soluzione
=⇒
la combinazione a coefficienti
Scriviamo la funzione d’onda ψ(~r, t) come trasformata di Fourier
Z
1
ψ(~r, t) = q
A(~p) ei(~p·~r−E(p)t)/h̄ d~p
3
(2πh̄)
(1)
Con il fattore inserito prima dell’integrale si ha:
[ψ(~r, t)] = [l−3/2 ]
[A(~p)] = [p−3/2 ]
(2)
Per il postulato di de Broglie abbiamo
λ=
h
p
k=
2π
p
=
λ
h̄
E = hν = h̄ω
(3)
per una particella libera di mass m non relativistica
E=
ih̄
p2
2m
=⇒
ω=
h̄k 2
2m
(4)
Z
∂
ψ(~r, t) = E A(~p) ei(~p·~r−E(p)t) d~p
∂t
(5)
Z
h̄ ~
∇ ψ(~r, t) = p~ A(~p) ei(~p·~r−E(p)t) d~p
i
2
2
−h̄ ∇ ψ(~r, t) =
Corrispondenza osservabile fisica
E
=⇒
ih̄
∂
∂t
p~
=⇒
=⇒
Z
(6)
p2 A(~p) ei(~p·~r−E(p)t) d~p
(7)
operatore differenziale
~
−ih̄ ∇
p2
=⇒
−h̄2 ∇2 ;
~r
=⇒
~rb
(8)
quindi scriviamo l’equazione di Schrödinger Schrödinger per una particella libera
ih̄
∂
h̄2 2
ψ(~r, t) = −
∇ ψ(~r, t)
∂t
2m
1
(9)
L’eq.(12) é invariante per rotazione, ma non per trasformazioni di Lorentz. In presenza di un potenziale scalare l’energia classica diventa
E = Ecin + Epot =
p2
+ V (~r)
2m
(10)
Introduciamo la funzione hamiltoniana H(~r, p~) = E = Ecin + Epot . Il postulato di quantizzazione
richiede che alla funzione hamiltoniana classica corrisponda l’operatore hamiltoniana
H(~r, p~, t)
=⇒
c~
H(
rb, p~b, t) = −
h̄2 2
∇ + V (~rb)
2m
(11)
dove gli operatori corrispondenti alle variabili posizione e impulso sono dati dall’eq.(8). Quindi,
l’equazione di Schrödinger per una particella in presenza di un potenziale, si scrive
ih̄
∂
ψ(~r, t) = H ψ(~r, t)
∂t
(12)
La funzione d’onda ψ(~r, t) deve essere complessa. Cerchiamo una soluzione dell’eq.(12) per separazione di variabile ψ(~r, t) = ψ(~r) φ(t). Si ha (U = 2m/h̄2 V )
h̄2
∂
(∇2 + U (~r) )ψ(~r)
ih̄ψ(~r) φ(t) = φ(t) −
∂t
2m
"
#
(13)
da cui segue
ih̄
φ(t)
= const. ≡ E
φ(t)
=⇒
Et
φ(t) = e−i h̄
(14)
La funzione ψ(~r) é determinata dall’equazione stazionaria di Schrödinger
h̄2
E ψ(~r) = −
(∇2 + U (~r) ) ψ(~r)
2m
(15)
Proprietá della funzione d’onda:
• φ(t) e la sua derivata, continua e finita
• ψ(~r) finita, ad un sol valore e continua, perché la probabilitá sia finita, i valori di aspettazione
definiti e per ammettere almeno derivata sinistra e destra
• derivate spaziali di ψ(~r) finita ed ad un sol valore, affinché la corrente sia definita ed i valori di
aspettazione definiti
• derivate spaziali prima di ψ(~r) continua per V (~r) finito in ogni punto, affinché la discontinuitá
della derivata spaziali prima sia finita, per esempio in una dimensione
d2
2m
ψ(x)
=
(V (x)−E) ψ(x)
dx2
h̄2
=⇒
d
2m Z x=x0 +ε
0 +ε
ψ(x)|x=x
=
(V (x)−E) ψ(x) dx < ∞
x=x0 −ε
dx
h̄2 x=x0 −ε
(16)
2
Se E < 0 ( stati legati) soluzioni per valori discreti di E, spettro discreto (ψ(~r)r→∞ −→ 0). Se E > 0
soluzioni per ogni valore di E, spettro continuo (ψ(~r)r→∞ −→6= 0).
Ambiguitá della quantizzazione Consideriamo un sistema in due dimensioni l’energia cinetica
K si scrive, in coordinate cartesiane
p2x + p2y
2m
h̄2
−
2m
=⇒
in coordinate sferiche
1
2m
∂2
∂2
+
∂x2 ∂y 2
p2φ
2
pr + 2
r
!
=⇒
h̄2
−
2m
h̄2
−
2m
!
=⇒
∂2
1 ∂2
1 ∂
+
+
∂r2 r ∂r r2 ∂φ2
∂2
1 ∂2
+
∂r2 r2 ∂φ2
!
(17)
!
(18)
Come si vede le espressioni nel lato destro delle precedenti equazioni sono diverse. Inoltre le variabili
classiche commutano, quindi l’ordine di scrittura é irrilevante, questo non vale per gli operatori
x px
=⇒
x − ih̄
∂
∂x
px x
=⇒
−ih̄
∂
x
∂x
(19)
Regole di quantizzazione:
1. La funzione hamiltoniana deve essere scritta in coordinate cartesiane e quindi quantizzate applicando il principio di corrispondenza eq.(11). Successivamente puó essere conveniente esprimere
gli operatori differenziali in altri sistemi di coordinate.
2. Il prodotto di osservabili classiche va scritta in forma simmetrica, cioé per esempio
x px
1
(x px + px x)
2
=⇒
(20)
e successivamente va quantizzato con le regole eq.(8)
x px
2
=⇒
−ih̄
2
∂
∂
x
+
x
∂x
∂x
!
(21)
Distribuzione di probabilitá
Il modulo quadro della funzione d’onda, diviso la norma, da la densitá di probabilitá, cioé la probabilitá di trovare la particella in un voumetto dV intorno alpunto ~r
ρ(~r, t) =
|ψ(~r, t)|2
||ψ||
(22)
Affinché tale espressione abbia un senso deve essere
||ψ|| =
Z
|ψ(~r, t)|2 dV < ∞
(23)
quindi ψ(~r, t) deve appartenere allo spazio delle funzioni, denotato con il simbolo l2 , il cui integrale
del modulo quadro é finito. Una funzione d’onda tale che la sa norma is auguale ad uno (||ψ|| = 1)
si dice normalizzata. Ovviamente tutte le funzioni d’onda possono essere normalizzate dividendole
3
per una opportuna costante. In seguito assumeremo che le funzioni d’onda siano normalizzate. La
funzione d’onda in n-dimensioni ha le dimensioni [l−n/2 ]. l modulo quadro dell’antitrasformata di
Fourier A(~p) della funzione d’onda da la densitá di probabilitá nello spazio degli impulsi.
Z
|ψ(~r, t)|2 d~r =
=
Z
Z
Z
d~r
d~p
Z
d~p
Z
~0
dp~0 A∗ (p~0 , t) A(~p, t) ei/h̄ (~p−p ·~r)
dp~0 A∗ (p~0 , t) A(~p, t) (2πh̄)3 δ(~p − p~0 ) =
ψ(~p, t) =
3
Z
Z
d~p A∗ (~p, t) A(~p, t) (2πh̄)3(24)
|A(~p, t)|2 d~p
(25)
L’equazione di continuitá
Scriviamo l’equazione di Schrödinger e la sua complessa coniugata
ih̄
∂
ψ(~r, t) = H ψ(~r, t)
∂t
=⇒
−ih̄
∂ ∗
ψ (~r, t) = H ψ ∗ (~r, t)
∂t
(26)
Notiamo che si ha
!
∂ ∗
∂
∂
|ψ(~r, t)|2 = ψ ∗ ψ +
ψ ψ
∂t
∂t
∂t
1 ∗
[ψ H ψ − (H ψ)∗ ψ]
=
ih̄
1 h̄2 ∗ 2
=
[ψ ∇ ψ − (∇2 ψ)∗ ψ]
ih̄ 2m
1 h̄2 ~ ∗ ~
~ ψ)∗ ψ]
=
∇ [ψ ∇ ψ − (∇
ih̄ 2m
(27)
Definendo la corrente di Schrödinger
h̄
~ ψ − (∇
~ ψ)∗ ψ)
(ψ ∗ ∇
j(~r~, t) = −i
2m
(28)
Riscriviamo l’eq.(27) nella forma seguente
∂
~ j(~r~, t) = 0
ρ(~r, t) + ∇
∂t
(29)
L’equazione, che ha la stessa forma dell’equazione di continuitá della carica elettrica se si interpretano
ρ e ~j rispettivamente come la densitá di carica e di corrente, é detta l’equazione di conservazione della
a corrente di Schrödinger. Integrando l’eq.(28) rispetto alle variabile spaziali, usando il teorema
della divergenza e la normalizzazione della funzione d’onda si ha
I
∂ Z ∗
~=0
ψ (~r, t)ψ(~r, t) d~r +
j(~r~, t) · dS
∂t
4
(30)
4
Valori medi di osservabile
< x >= x̄ =
< px >= p¯x =
< px > =
=
Z
Z
Z
(31)
∂
−ih̄
ψ(~r, t) d~r
∂x
∗
ψ(~r, t)
d~p A (~p, t) px A(~p, t) =
d~p
ψ(~r, t)∗ x ψ(~r, t) d~r
!
∗
Z
Z
Z
~0
dr~0 ei~p·r /h̄ ψ ∗ (r~0 , t)
d~p
Z
Z
d~r
Z
(32)
~0
dr~0 ei,~p·r /h̄ ψ ∗ (r~0 , t) px ψ(~r, t) e−i~p·~r/h̄
"
#
∂ −i~p·~r/h̄
d~r ih̄
e
ψ(~r, t)
∂x
!
Z
∂
~0
∗ ~0
0
~
ψ(~r, t)
d~p e−i~p·(~r−r )/h̄
=
d~x
dr ψ (r , t) −ih̄
∂x
!
Z
Z
∂
∗
0
0
=
d~r
dr~ ψ (r~ , t) −ih̄
ψ(~r, t) (2πh̄)3 δ(~r − r~0 )
∂x
!
Z
∂
=
d~r ψ ∗ (~r, t) −ih̄
ψ(~r, t)
∂x
Z
Z
(33)
Nell’ultimo passaggio si é integrato per parti e é utilizzata la proprietá che ψ(~r, t)r→∞ −→ 0.
In generale per l’osservabile A
< A >= Ā =
5
Z
ψ(~r, t)∗ A ψ(~r, t) d~r
(34)
Esempio di funzione d’onda
Consideriamo una funzione d’onda in una dimensione
1 Z
ψ(x, t) = √
A(p) ei(px−E(p)t)/h̄ dp
2πh̄
(35)
dove E(p) = p2 /2m e
A(p) = N e−(p−p0 )
2 a2 /h̄2
(36)
dove N é la costante di normalizzazione da scegliere in modo che la funzione d’onda abbia norma
uguale ad uno. Inserendo l’espressione (36) nell’eq.(35) e definendo le funzioni
α(t) =
otteniamo
a2
it
2 +
2mh̄
h̄
β(x) =
ix
a2 p 0
ix
=γ+
2 +
2h̄
2h̄
h̄
Z
1
1
2
2
N e−α(p−β/α) eβ /α e−γ dp = √
N
ψ(x, t) = √
2πh̄
2πh̄
1
π 2Re
|ψ(x, t)| =
|N |2
e
2πh̄
|α|
2
5
β 2 −αγ
α
r
π β 2 /α −γ
e
e
α
(37)
(38)
(39)
dove
(x − v0 t)2
th̄
β 2 − αγ
= − 2
∆=
2Re
2
α
2a (1 + ∆ )
2ma2
2 √
p0
1 dE
a
v0 =
=
|p=p0
|α| =
1 + ∆2
m
m dp
h̄
!
(40)
(41)
Calcoliamo la costante di normalizzazione
1 =
Z
Z
1
|N |2
|ψ(x, t)| dx =
2πh̄
2
2
=
πh̄
1
|N |2 2 √
2πh̄
a 1 + ∆2
√
2a
√
π 2Re
e
|α|
β 2 −α γ
α
dx
√
√
|N | h̄ π
2
√
1+∆ π =
a 2
2
=⇒
v √
u
ua 2
N =t √
h̄ π
Senza perdere di generalitá, abbiamo scelto N reale. L’indeterminazione della variabile x é
√
∆x = a 1 + ∆2
(42)
(43)
Per calcolare il valore medio di p calcoliamo prima
v √
u
ua 2
2
2 2
2
|A(p)| = t √ e−2(p−p0 ) a /h̄
h̄ π
< p >=
Z
p|A(p)|2 dp = p0
(44)
(45)
Quindi abbiamo
h̄
2a
h̄ √
∆x ∆p =
1 + ∆2
2
∆p =
6
(46)
(47)