ANALISI SUPERIORE
a.a. 2013-2014
Insegnamento: Analisi Superiore
Docente: Giovanni Pisante
Settore Scientifico - Disciplinare: MAT/05
CFU
ORE
12=12L
96
Obiettivi formativi: obiettivo del corso è di approfondire lo studio di alcuni argomenti che, anche
in vista delle numerose applicazioni, sono considerati fondamentali nello studio dell’Analisi
Matematica, quali la Teoria astratta della Misura e dell’Integrazione, la Trasformata di Fourier, gli
Spazi Funzionali (con particolare attenzione agli spazi di Sobolev) e la Teoria delle Distribuzioni,
motivando lo studio di tali teorie con la descrizione di alcune applicazioni in ambiti quali le
Equazioni Differenziali alle derivate Parziali ed il Calcolo delle Variazioni.
Propedeuticità: Nessuna
Prerequisiti: Si richiede la conoscenza degli argomenti di base di Analisi Matematica. Tra questi:
calcolo differenziale, successioni di funzioni e teoria dell’integrazione di Riemann.
Modalità di svolgimento: lezioni in aula.
Modalità di accertamento del profitto: superamento di una prova orale e/o di una prova scritta.
Legenda: L= Lezioni, E= Esercitazioni, La= Attività di Laboratorio.
PROGRAMMA
Richiami di teoria della misura e integrazione astratta: Funzioni misurabili. Funzioni semi-continue.
Supporto essenziale di una funzione. Funzioni sommabili a valori nel campo complesso. Teorema della
convergenza monotona. Lemma di Fatou. Teorema della convergenza dominata. Misure prodotto.
Teorema di Fubuni. Layer cake formula.
Spazi Lp: Definizioni e prime proprietà. Insiemi e funzioni convesse. Piano di supporto di una funzione
convessa. Disuguaglianza di Jensen. Disuguaglianza di Hölder. Disuguaglianza integrale di Minkowski
e disuguaglianza triangolare in Lp(Ω). Completezza degli spazi Lp(Ω). Funzionali lineari e continui su
Lp(Ω). Convergenza debole. Teorema di separazione con i funzionali lineari. Semi-continuità della
norma Lp. Il duale di Lp(Ω): teorema di rappresentazione di Riesz. Convoluzioni. Approssimazione con
funzioni C∞. Separabilità di Lp. Teorema di Banach-Alaoglu in Lp. Approssimazione con funzioni C∞ a
supporto compatto.
Riarrangiamenti e disuguaglianze integrali: Funzioni che decadono all’infinito. Riordinamenti
simmetrici decrescenti. Prima disuguaglianza di riordinamento. Non-espansività dei riordinamenti.
Disuguaglianza di Riesz in dimensione uno. Disuguaglianza di Riesz in dimensione n. Disuguaglianza
di Young.
Trasformata di Fourier: La trasformata di Fourier in L1. Proprietà elementari della trasformata di
Fourier. La trasformata di Fourier della funzione gaussiana. Il teorema di Plancherel. La trasformata di
Fourier in L2. Formula di inversione e trasformata inversa. Cenni sula trasformata di Fourier in Lp.
Disuguagliaza di Hausdorff-Young (s.d.).
Distribuzioni: Lo spazio delle funzioni test D(Ω). Lo spazio delle distribuzioni D′( Ω) e convergenza. Lo
spazio delle funzioni localmente sommabili in Ω. Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni.
Derivata distribuzionale. Gli spazi di Sobolev. Distribuzioni ed il prodotto di convoluzione. Teorema
fondamentale del calcolo per le distribuzioni. Equivalenza tra derivata classica e derivata
distribuzionale. Distribuzioni con derivate parziali nulle. Moltiplicazione e convoluzione di una
distribuzione con funzioni di classe C∞. Teorema di approssimazione delle distribuzioni con funzioni
C∞. Teorema di densità dello spazio C∞(Ω) in W1,ploc(Ω). Derivata della funzione composta di una
funzione regolare con una funzione di Sobolev. Derivata del valore assoluto. Massimo e minimo di due
funzioni in W 1,p. Il gradiente di una funzione di Sobolev si annulla sulla controimmagine di un insieme
boreliano di misura nulla. Le distribuzioni positive sono misure di Radon (s.d). Laplaciano
distribuzionale delle funzioni di Green. Soluzione dell’equazione di Poisson.
Lo spazio di Sobolev H1: Definizioni e prime proprità. Completezza. Moltiplicaizone con funzioni
regolari e regole di derivazione. Il teorema di Meyers e Serrin. Regola di derivazione per parti.
Disuguaglianza di convessità per i gradienti. Caratterizzazione di Fourier dello spazio H1. Convergenza
debole. Monotonia dell’energia cinetica rispetto al riordinemanto simmetrico decrescente.
Disuguaglianze di Sobolev: Disuguaglianza di Sobolev per i gradienti. Disuguaglianze di Sobolev in
dimensione 1 e 2. La convergenza debole implica la convergenza quasi ovunque. Disuguaglianze di
Sobolev in dimensione n (s.d.). Teorema di Rellich-Kondrashoc (s.d). Le disuguaglianze di Poincaré e
Poincaré-Sobolev.
Cenni di Teoria del potenziale e Regolarità delle soluzioni dell’equazione di Poisson: Funzioni
armoniche, subarmoniche, superarmoniche e loro proprietà. Il principio del Massimo. Disuguaglianza di
Harnack. Equivalenza tra cariche sferiche e cariche puntiformi. Continuità e differenziabilità delle
soluzioni dell’equazione di Poisson.
