Analisi Superiore - Dipartimento di Matematica e Fisica
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ANALISI SUPERIORE a.a. 2013-2014 Insegnamento: Analisi Superiore Docente: Giovanni Pisante Settore Scientifico - Disciplinare: MAT/05 CFU ORE 12=12L 96 Obiettivi formativi: obiettivo del corso è di approfondire lo studio di alcuni argomenti che, anche in vista delle numerose applicazioni, sono considerati fondamentali nello studio dell’Analisi Matematica, quali la Teoria astratta della Misura e dell’Integrazione, la Trasformata di Fourier, gli Spazi Funzionali (con particolare attenzione agli spazi di Sobolev) e la Teoria delle Distribuzioni, motivando lo studio di tali teorie con la descrizione di alcune applicazioni in ambiti quali le Equazioni Differenziali alle derivate Parziali ed il Calcolo delle Variazioni. Propedeuticità: Nessuna Prerequisiti: Si richiede la conoscenza degli argomenti di base di Analisi Matematica. Tra questi: calcolo differenziale, successioni di funzioni e teoria dell’integrazione di Riemann. Modalità di svolgimento: lezioni in aula. Modalità di accertamento del profitto: superamento di una prova orale e/o di una prova scritta. Legenda: L= Lezioni, E= Esercitazioni, La= Attività di Laboratorio. PROGRAMMA Richiami di teoria della misura e integrazione astratta: Funzioni misurabili. Funzioni semi-continue. Supporto essenziale di una funzione. Funzioni sommabili a valori nel campo complesso. Teorema della convergenza monotona. Lemma di Fatou. Teorema della convergenza dominata. Misure prodotto. Teorema di Fubuni. Layer cake formula. Spazi Lp: Definizioni e prime proprietà. Insiemi e funzioni convesse. Piano di supporto di una funzione convessa. Disuguaglianza di Jensen. Disuguaglianza di Hölder. Disuguaglianza integrale di Minkowski e disuguaglianza triangolare in Lp(Ω). Completezza degli spazi Lp(Ω). Funzionali lineari e continui su Lp(Ω). Convergenza debole. Teorema di separazione con i funzionali lineari. Semi-continuità della norma Lp. Il duale di Lp(Ω): teorema di rappresentazione di Riesz. Convoluzioni. Approssimazione con funzioni C∞. Separabilità di Lp. Teorema di Banach-Alaoglu in Lp. Approssimazione con funzioni C∞ a supporto compatto. Riarrangiamenti e disuguaglianze integrali: Funzioni che decadono all’infinito. Riordinamenti simmetrici decrescenti. Prima disuguaglianza di riordinamento. Non-espansività dei riordinamenti. Disuguaglianza di Riesz in dimensione uno. Disuguaglianza di Riesz in dimensione n. Disuguaglianza di Young. Trasformata di Fourier: La trasformata di Fourier in L1. Proprietà elementari della trasformata di Fourier. La trasformata di Fourier della funzione gaussiana. Il teorema di Plancherel. La trasformata di Fourier in L2. Formula di inversione e trasformata inversa. Cenni sula trasformata di Fourier in Lp. Disuguagliaza di Hausdorff-Young (s.d.). Distribuzioni: Lo spazio delle funzioni test D(Ω). Lo spazio delle distribuzioni D′( Ω) e convergenza. Lo spazio delle funzioni localmente sommabili in Ω. Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni. Derivata distribuzionale. Gli spazi di Sobolev. Distribuzioni ed il prodotto di convoluzione. Teorema fondamentale del calcolo per le distribuzioni. Equivalenza tra derivata classica e derivata distribuzionale. Distribuzioni con derivate parziali nulle. Moltiplicazione e convoluzione di una distribuzione con funzioni di classe C∞. Teorema di approssimazione delle distribuzioni con funzioni C∞. Teorema di densità dello spazio C∞(Ω) in W1,ploc(Ω). Derivata della funzione composta di una funzione regolare con una funzione di Sobolev. Derivata del valore assoluto. Massimo e minimo di due funzioni in W 1,p. Il gradiente di una funzione di Sobolev si annulla sulla controimmagine di un insieme boreliano di misura nulla. Le distribuzioni positive sono misure di Radon (s.d). Laplaciano distribuzionale delle funzioni di Green. Soluzione dell’equazione di Poisson. Lo spazio di Sobolev H1: Definizioni e prime proprità. Completezza. Moltiplicaizone con funzioni regolari e regole di derivazione. Il teorema di Meyers e Serrin. Regola di derivazione per parti. Disuguaglianza di convessità per i gradienti. Caratterizzazione di Fourier dello spazio H1. Convergenza debole. Monotonia dell’energia cinetica rispetto al riordinemanto simmetrico decrescente. Disuguaglianze di Sobolev: Disuguaglianza di Sobolev per i gradienti. Disuguaglianze di Sobolev in dimensione 1 e 2. La convergenza debole implica la convergenza quasi ovunque. Disuguaglianze di Sobolev in dimensione n (s.d.). Teorema di Rellich-Kondrashoc (s.d). Le disuguaglianze di Poincaré e Poincaré-Sobolev. Cenni di Teoria del potenziale e Regolarità delle soluzioni dell’equazione di Poisson: Funzioni armoniche, subarmoniche, superarmoniche e loro proprietà. Il principio del Massimo. Disuguaglianza di Harnack. Equivalenza tra cariche sferiche e cariche puntiformi. Continuità e differenziabilità delle soluzioni dell’equazione di Poisson.
