Dottorato di ricerca in Metodi e Modelli Matematici
per l’Ingegneria, XXVIII Ciclo, A.A. 2012/13
Programma del corso di Analisi Funzionale
docente: Riccarda Rossi
Introduzione al corso e alla nozione di spazio topologico, esempi e commenti vari. Definizione
di spazio topologico, esempi, confronto fra topologie. Definizione di spazio metrico, metriche topologicamente equivalenti. Distanze dp su R.
Definizione di spazio normato e proprietà. Norme | · |p su Rn , teorema su equivalenza di
norme in dimensione finita. Norme Lp su C 0 ([a, b]).
Definizione insieme aperto, chiuso, denso. Definizione di funzione continua fra spazi
topologici. Continuità e confronto fra topologie. Continuità in spazi metrici e spazi normati. Esempio di un funzionale lineare ma non continuo. Convergenza di successioni in
spazi topologici. Convergenza di successioni in spazi metrici. Caratterizzazione di equivalenza di topologie in termini di successioni convergenti. La topologia L∞ su C 0 ([a, b]) è
strettamente più fine della topologia L1 .
In uno spazio metrico, caratterizzazione in termini di successioni convergenti dei concetti
di insieme chiuso e denso, e della continuità di funzioni.
Definizione di insieme compatto in uno spazio topologico; esempi. Compattezza e confronto fra topologie: l’esempio di C 0 ([a, b]) con le norme Lp . Proprietà degli insiemi compatti: chiusura, insiemi compatti e funzioni continue. Il teorema di Weierstrass in spazi
topologici. Dimostrazione del teorema di Weierstrass in spazi metrici, cenni al metodo
diretto nel calcolo delle variazioni. Cenni al “metodo di compattezza” per le equazioni alle
derivate parziali. Definizione di spazio metrico completo: esempi, considerazioni varie. La
compattezza non è una proprietà topologica: esempio su R.
Definizione di spazio di Banach. Esempi di spazi di Banach e non: Rn con le norme | · |p ,
0
C con la norma k · k∞ e con le norme k · kp (esempio di successione di Cauchy che non
è convergente); C 1 con la norma naturale e con altri tipi di norme. La completezza viene
preservata da norme equivalenti.
Definizione di insieme totalmente limitato, esempi. Caratterizzazione degli insiemi compatti negli spazi metrici completi. I compatti di uno spazio di dimensione finita sono tutti
e soli gli insiemi chiusi e limitati. Corollario: il teorema di Bolzano-Weierstrass in dimensione finita. Dimostrazione del teorema sull’equivalenza di norme in spazi vettoriali
di dimensione finita. Non compattezza della palla unitaria chiusa in spazi di dimensione
infinita: esempi e teorema. Motivazione per le topologie deboli.
Teorema sulla caratterizzazione degli operatori lineari e continui fra spazi normati, con
dimostrazione. Lo spazio degli operatori lineari e continui fra due spazi normati: struttura
di spazio normato. Lo spazio duale di uno spazio normato.
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Introduzione alle topologie deboli, motivazioni. Definizione di seminorma, esempi. Definizione di spazio localmente convesso, ed esempi. Definizione di topologia debole, nozione di
convergenza debole, non metrizzabilità della topologia debole. Confronto fra la topologia
debole e la topologia forte. Proprietà della convergenza debole. Aperti e chiusi nella
topologia debole. Insiemi convessi. Definizione di isometria e commenti vari. Definizione di
spazio riflessivo. Teorema di Kakutani. Teorema di compattezza rispetto alla convergenza
debole. Definizione di funzionale convesso. Applicazione: il teorema di Weierstrass per la
topologia debole, con dimostrazione, e considerazioni varie.
Introduzione alle formulazioni deboli per le equazioni alle derivate parziali: formulazione
debole dell’equazione del trasporto lineare, considerazioni varie. Introduzione agli spazi Lp
e alla misura di Lebesgue.
Definizione di misura di Lebesgue e di funzione integrabile secondo Lebesgue. Condizione
necessaria e sufficiente per l’integrabilità secondo Lebesgue. Il teorema della convergenza
dominata, confronto con i risultati di passaggio al limite nella teoria dell’integrazione secondo Riemann. Confronto con la nozione di integrale di Riemann.
Spazi Lp : definizione, struttura di spazio vettoriale. Norme Lp . Disuguaglianza di
Hölder. Teorema: gli spazi Lp sono di Banach. Risultati di confronto fra spazi Lp su
insiemi di misura di Lebesgue finita, con dimostrazione. Interpolazione fra spazi Lp . Convergenze Lp , legame con la convergenza quasi ovunque, il teorema della convergenza dominata nella versione Lp . Inclusione di C 0 ([a, b]) in Lp (a, b), e proprietà varie. Teorema di
riflessività degli spazi Lp , p ∈ (1, +∞). Teorema di rappresentazione del duale degli spazi
Lp , p ∈ (1, +∞), con dimostrazione parziale. Convergenza debole in spazi Lp , p ∈ (1, +∞).
Compattezza debole in spazi Lp . Applicazioni: cenni al problema del passaggio al limite
nelle formulazioni deboli di equazioni alle derivate parziali. Teorema di rappresentazione
del duale di L1 . Non riflessività di L1 , e considerazioni sulla compattezza debole in L1 , e
sul duale di L∞ . Motivazione per l’introduzione della topologia debole∗ su L∞ . Definizione
della topologia debole∗ su un generico spazio duale. Convergenza debole∗ . Confronto con
la topologia forte e la topologia debole. La topologia debole∗ su L∞ . Il teorema di compattezza debole∗ in L∞ .
Spazi prehilbertiani: definizione e prime proprietà. Definizione di spazio di Hilbert.
Esempi di spazi di Hilbert. Proprietà di riflessività di spazi di Hilbert. Teorema di rappresentazione del duale di uno spazio di Hilbert, con dimostrazione. Topologia debole in
spazi di Hilbert e teorema di compattezza debole. Verifica del fatto che la frontiera della
palla unitaria non è sequenzialmente chiusa rispetto alla topologia debole in `2 . Nozione
di base hilbertiana. Risultato principale sulle basi hilbertiane e corollario: uno spazio di
Hilbert con una base hilbertiana è isomorfo e isometrico a `2 . Teorema: uno spazio di
Hilbert separabile ammette una base hilbertiana.
