GEOMETRIE NON EUCLIDEE
assiomi
Euclide (300 a.c.) → Elementi → postulati
definizioni
Assioma: proposizione evidente di per sé che non ha bisogno di essere dimostrata (enunciati
matematici di carattere generale).
Gli assiomi devono essere:
a) un numero limitato
b) compatibili, cioè due teoremi dedotti da essi non devono contraddirsi
c) completi, cioè da essi si debbono poter dedurre tutti i teoremi del sistema
d) indipendenti, cioè nessuno di essi deve essere conseguenza logica di altri
1) Cose che sono uguali a una stessa cosa sono uguali anche tra loro
2) Se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le somme sono uguali
3) Se da cose uguali sono sottratte cose uguali, le differenze sono uguali
4) Se cose uguali sono addizionate a cose disuguali, le somme sono disuguali
5) I doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro
6) La metà di una stessa cosa sono uguali tra loro
7) Cose che coincidono tra loro tra loro uguali
8) Il tutto è maggiore della parte
Definizioni: proposizione che introduce un nuovo concetto in funzione di altre nozioni già note.
1) Punto è ciò che non ha parti
2) Linea è lunghezza senza larghezza
3) .......................................
23) Parallele sono quelle rette che essendo nello stesso piano e venendo prolungata
illimitatamente dall’una e dall’altra parte non si incontrano tra loro da nessuna delle due parti
1
Postulato: che si chiede (si postula) di ammettere come vera, per poter fondare su di esso una
dimostrazione o qualunque ragionamento deduttivo (concetti strettamente geometrici).
Risulti postulato
1) che si possa condurre una linea retta da qualsiasi punto a ogni altro punto
2) che una retta terminata si possa prolungare continuamente in linea retta
3) che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni raggio
4) che tutti gli angoli retti sono uguali tra loro
5) che, se una retta venendo a cadere su due rette,
r
t
forma gli angoli interni e dalla stessa parte la cui
α
somma sia minore di due retti, le due rette prolungate
β
illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte
α + β < 180°
s
in cui sono gli angoli la cui somma è minore di due retti
Altrimenti si può dire:
5) esiste ed è unica la parallela a una retta data condotta da un punto esterno ad essa.
Il 5° postulato di Euclide detto anche postulato delle parallele, svolge un ruolo centrale nella nascita
delle geometrie non euclidee. Le due rette r e s formando con la trasversale t, angoli coniugati
interni α e β la cui somma è minore di 180°, non si incontrano nella parte di piano delimitata.
Se consideriamo il piano illimitato cosa accade?
Non è possibile rinunciare a tale postulato poiché da esso dipendono numerosi teoremi.
Già i contemporanei di Euclide mossero critiche al 5° postulato:
mantenerlo come postulato e darne formulazione intuitiva come quelle degli altri postulati,
quindi formulazioni che non coinvolgessero l’infinito
dimostrarlo a partire dagli altri postulati, mostrando che esso è in realtà un teorema
si riformula la definizione di parallelismo in modo da rendere superfluo il postulato delle
parallele
Molti matematici si dedicarono a questo postulato dando diversi contributi formulando anche
geometrie alternative.
Posidonio (Grecia 1° secolo a.c.)
Proclo (arabo 410-485)
Naddir-Eddin (arabo 1201-1274)
John-Wallis (Inghilterra 1616-1703)
Giovanni Gerolamo Saccheri (Italia 1667-1733)
Johann Hendrich Lambert (Svizzera 1728-1777)
2
Adrien Marie Legendre (Francia 1752-1833)
Carl Fredrich Gauss (Germania 1777-1855)
Wolfgang Bolyai (Ungheria 1775-1856)
Janos Bolyai (Ungheria 1802-1860)
Nicolaj Ivanovic Lobacevskij (Russia 1793-1856)
Bernhard Riemann (Germania 1826-1866)
Eugenio Beltrami (Italia 1835-1899)
Felix Klein (Germania 1849-1925)
Henri Poincaré (Francia 1854-1912)
Kurt Godel (Cechia 1906-1978)
I tentativi di dimostrare il quinto postulato di Euclide continuarono con scarsi successi fino al 17°
secolo.
Padre Saccheri tenta di dimostrare il postulato delle parallele per assurdo.
Egli considera una figura geometrica che chiama quadrilatero birettangolo,
D
C
δ
preso un segmento AB, si traccino i segmenti AD e BC, a esso perpendicolari
γ
e tra loro congruenti. Si congiungano quindi C e D. Che cosa si può dire degli
angoli
in C e in D?
X
X
A
B
In linea di principio si possono ammettere tre possibilità:
1) Ipotesi dell’angolo acuto: δ e γ sono acuti → geometria iperbolica: γ + δ < 180°
2) Ipotesi dell’angolo retto: δ e γ sono retti → geometria euclidea: γ + δ = 180°
3) Ipotesi dell’angolo ottuso: δ e γ sono ottusi → geometria sferica: γ + δ > 180°
Ipotesi dell’angolo retto → geometria euclidea → geometria piana o a curvatura nulla.
5° postulato: “fissati nel piano un punto P e una retta r non passante per P
s
esiste ed è unica la retta s passante per P e parallela alla retta prefissata r”.
r
P
3
Ipotesi dell’angolo acuto → geometria iperbolica → geometria a curvatura negativa
(di Lobacevskij, Beltrami, Bolyai, Gauss, Klein)
5°a postulato: “esistono almeno due rette s’ ed s’’ passanti per il punto P
e parallele alla retta r prefissata”.
piano
Questo postulato nega il quinto postulato in relazione all’unicità della
parallela ad una retta condotta per un punto.
Questa geometria sarà non contraddittoria se sarà possibile individuare un
modello che soddisfi ai “normali” postulati descritti da Euclide e anche al
. punto
retta
postulato 5°a.
Il modello cercato esiste e fu ideato da Klein.
Come enti primitivi si hanno:
incidenti
il piano di Klein: costituito dalla superficie interna ad una qualunque
parallele
circonferenza
il punto di Klein: costituito da un qualsiasi punto interno al cerchio
la retta di Klein: costituita da una qualunque corda della circonferenza.
s’ P
r
s’’
Definizione: diremo che due rette di Klein sono incidenti se si intersecano in un
punto di Klein.
Definizione: diremo che due rette di Klein sono parallele se non hanno alcun punto di Klein in
comune o si incontrano in un punto localizzato sulla circonferenza.
Il postulato 5°a è soddisfatto, perché fissato un punto P di Klein, si possono trovare due rette di
Klein, s’ ed s’’ passanti per P e parallele alla retta r (sono le due corde s’ ed s’’ passanti per P e per
gli estremi della corda r).
Tutto ciò ci consente di affermare che la geometria non euclidea di Bolyai-Lobacevskij (iperbolica)
è non contraddittoria e pertanto valida al pari della geometria euclidea.
4
SELLA
5
Ipotesi dell’angolo ottuso → geometria sferica → geometria a curvatura positiva
(di Riemann)
5°b postulato: “non esiste alcuna retta s passante per un punto P e parallela ad una retta r
prefissata”.
In altre parole: “ogni retta s passante per il punto P (1)
D
incontra sempre la retta prefissata r”
il piano di Riemann è costituito da una qualunque
B
superficie sferica.
E
F
il punto di Riemann è costituito da una qualunque
A
coppia di punti diametralmente opposti sulla superficie
C
sferica (1) P’(A,B); P’’(C,D)
la retta di Riemann è costituita da una qualsiasi
(2)
circonferenza massima (2).
Verifichiamo
che
questi
enti
geometrici
primitivi
soddisfano a tutti i postulati scritti da Euclide escluso il
quinto che viene sostituito dal 5°b.
Verifichiamo il postulato di Euclide:
“per due punti del piano passa un’unica retta”.
(3)
Fissati due punti diametralmente opposti: P’(A;B),
P’’(C;D) è unica la retta di Riemann, ossia la
D
circonferenza massima passante per essi (3).
A
“per un punto del piano passano infinite rette”
Fissato
un
punto
di
Riemann,
ossia
B
C
due
punti
diametralmente opposti, allora per esso passano infinite
rette di Riemann ossia infinite circonferenze massime (4).
(4)
Verifichiamo se è verificato il postulato 5°b.
Fissato un punto di Riemann e una retta di Riemann, ossia
una coppia (A;B) di punti diametralmente opposti e una
B
circonferenza massima r, allora ogni altra retta di Riemann
passante per (A;B) interseca sempre la circonferenza
A
massima r, in due punti diametralmente opposti (C;D)
ossia in un punto di Riemann (5).
Quindi non esiste alcuna retta di Riemann passante per un
6
punto di Riemann e parallela ad una prefissata retta di (5)
B
Riemann.
r’
Il modello proposto da Riemann soddisfa sia ai “normali”
postulati scritti da Euclide che al postulato 5°b quindi essa
D
r
è non contraddittoria e pertanto è valida al pari della
C
geometria euclidea.
A
7
