Area del triangolo dati i lati, in alternativa alla formula di Erone
di Luciano Porta
La determinazione dell’area del triangolo di cui siano noti i lati è una situazione problematica molto
significativa perché l’indeformabilità di questo poligono è uno dei punti fondanti della geometria euclidea.
Gli studenti, già nella scuola secondaria di primo grado, intuiscono come l’area del triangolo dipenda dalla
misura dei lati, e disegnando con l’uso del compasso il triangolo dato e misurando la sua altezza possono
calcolarne l’area.
Tuttavia non dispongono degli strumenti matematici per determinare l’area direttamente, se non
utilizzando passivamente la formula di Erone che sarà dimostrata solo negli anni successivi.
Io sono da sempre contrario all’uso di formule, se non sono almeno giustificate.
Presento due metodi, tra loro collegati, che condurranno gli studenti della classe terza della scuola
secondaria di primo grado alla soluzione del problema in modo consapevole.
Prima determiniamo la proiezione x di un lato sul lato maggiore del triangolo, considerato come base,
poi l’altezza relativa al lato maggiore applicando il teorema di Pitagora e, infine, l’area.
Se il triangolo è isoscele o equilatero possiamo procedere nello stesso modo, ma vi sono procedimenti
molto più veloci e facili.
È opportuno considerare come base il lato maggiore affinché non si presenti mai il caso indicato dalla FIG.1.
Consideriamo il triangolo DEF (fig.2) di cui conosciamo le misure a, b, c dei lati, di cui DE è il maggiore:
Uso deliberatamente, per motivazioni didattiche, solo i 2 principi di equivalenza e non le regole derivate
(es. regola del trasporto).
1
Consideriamo il triangolo rettangolo KEF e applichiamo il teorema di Pitagora:
1) (a –x )2 + h2 = c2
Consideriamo poi il triangolo rettangolo DKF e applichiamo il teorema di Pitagora:
2) h2 = b2 – x2 Sostituiamo nella formula 1) h2 con il valore di h2 ricavato dalla formula 2):
3) (a – x)2 + b2 – x2 = c2
Calcolando il quadrato del binomio si ha:
2
2
2
2
a - 2ax + x + b – x = c2 da cui a2 - 2ax + b2 = c2
Sommando ad entrambi i membri 2ax e sottraendo ad entrambi i membri c2 :
a2 - 2ax + b2 + 2ax – c2 = c2 + 2ax - c2 otteniamo:
a2 + b2 – c2 = 2ax
Dividendo entrambi i membri per 2a otteniamo:
Esempi:
-----------------------------------------
In alternativa al metodo precedente, possiamo determinare la proiezione x di un lato sulla base (il lato
maggiore) per mezzo delle equazioni. Risolviamo nuovamente gli esempi.
Consideriamo il triangolo rettangolo KEF (FIG. 3) e applichiamo il teorema di Pitagora:
1) (9 - x)2 + h2 = 82
Consideriamo poi il triangolo rettangolo DKF e applichiamo il teorema di Pitagora:
2) h2 = 72 – x2 Sostituendo h2 della 1) con il valore di h2 della 2) ed eseguendo i calcoli otteniamo:
3) 81 – 18x + x2 + 72 – x2 = 64
da cui x = 3,(6)
------------------------------Consideriamo il triangolo rettangolo KEF (FIG. 4) e applichiamo il teorema di Pitagora:
1) (14 - x)2 + h2 = 122
Consideriamo poi il triangolo rettangolo DKF e applichiamo il teorema di Pitagora:
2) h2 = 132 – x2 Sostituendo h2 della 1) con il valore di h2 della 2) ed eseguendo i calcoli otteniamo:
3) 196 – 28x + x2 + 132 – x2 = 144
da cui x = 7,89 ... cm
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