Il Calcolo letterale

IL Calcolo letterale (o algebrico). (teoria pag. 29 –31;esercizi pag. 100–103, es.59 – 66)
1) Premessa:
Al posto dei numeri posso utilizzare delle…………………………………………………………..
Esempi: ……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………
2) Introduzione.
a) Un numero qualsiasi: …………………………………………………………………………………………………
b) Il doppio di un numero qualsiasi: …………………………………………………………………………….
c) Il triplo di un numero qualsiasi: ……………………………………………………………………………..
d) La metà di un numero qualsiasi: ………………………………………………………………………………
e) Un terzo di un numero qualsiasi: …………………………………………………………………………….
f) Il quadrato di un numero qualsiasi: …………………………………………………………………………
g) Il cubo di un numero qualsiasi: ………………………………………………………………………………..
h) Un numero elevato alla quarta: ……………………………………………………………………………….
i) Il successivo di un numero: ………………………………………………………………………………………
j) Il consecutivo di un numero: ……………………………………………………………………………………
k) Il precedente di un numero : …………………………………………………………………………………
l) La somma di due numeri qualsiasi:……………………………………………………………………………
m) La differenza tra due numeri qualsiasi: …………………………………………………..............
n) Il quoto tra due numeri qualsiasi: ……………………………………………………………...............
o) Il prodotto tra due numeri qualsiasi:……………………………………………………………………..
3) Esprimi le seguenti frasi con l’aiuto delle lettere:
a) Un multiplo di due : …………………………………………………………………………………………………
b) Un multiplo di 15: …………………………………………………………………………………………………….
c) Un numero sicuramente pari: …………………………………………………………………………………
d) Un numero sicuramente dispari : …………………………………………………………………………
e) Il prodotto di due numeri d e t: ……………………………………………………………………………
f) Il quintuplo di un numero z: …………………………………………………………………………………………
g) La somma di due numeri t e s: ……………………………………………………………………………………
1
h) La somma di tre numeri interi consecutivi: ………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
i) I tre quarti di un numero m: ………………………………………………………………………………………
j) Il perimetro di un esagono regolare di lato a: ………………………………………………………
k) L’area di un quadrato di lato p: ………………………………………………………………………………...
l) L’area di un trapezio: ……………………………………………………………………………….....................
m) L’area di esagono regolare di la lato l: ……………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
n) Il volume di un cubo di spigolo s: ………………………………………………………………………………..
o) Un numero naturale di due cifre, con “u” per le cifre delle unità e “d” per quello delle
decine: …………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
p) L’ammontare di una somma formata da k monete da 2 franchi: …………………………
q) La differenza di due numeri dispari consecutivi: ………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
r) La media aritmetica di due numeri x, y: …………………………………………………………………..
s) La media aritmetica di tre numeri x, y, z: ………………………………………………………………
t) La media di n termini: ……………………………………………………………………………………………………
u) La somma degli angoli interni di un poligono con n lati: …………………………………………
v) Il quoziente di due numeri t e s: ……………………………………………………………………………..
w) L’area di un triangolo di base b e altezza h: …………………………………………………………..
4) Trasforma le seguenti proposizioni in un espressione algebrica:
a) Ad un numero aggiungo il suo doppio. ……………………………………………………………………
b) Ad un numero aggiungo il suo consecutivo : …………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
c) Al doppio di un numero aggiungo il suo precedente: ……………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
2
d) Ad un numero aggiungo il suo precedente e il suo consecutivo: ………………………...
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
e) Ad un numero aggiungo il suo quadrato, il suo cubo e la sua quarta potenza:
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
f) Ad un numero aggiungo il doppio d’un altro numero:……………………………………………….
5) Sapendo che le misure in centimetri dei lati dei due quadrati della figura data
differiscono di una unità, esprimi il perimetro e l’area della figura grigia.
|BE| = 2u ( cm ) ; |GC| = ⋯ … … … … ( 𝑐𝑚 )
la misura del lato del quadrato grande sarà:
|𝐴𝐵| = ⋯ … … … … … . ( 𝑐𝑚 )
P = |𝐴𝐵| + ……………………………………………………………………………………...
P = ……………………………………………………………………………………................
ABEFG = ……………………………………………………………………………………...
AABCD = ……………………………………………………………………………………....................................................
Area totale= ……………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
6) Scrivi l’espressione corrispondente al perimetro P e quella corrispondente all’area A
per ognuno dei seguenti poligoni composti da quadrati di lato a.
a
a
P =…………………………………..; P =………………………………………;
A = ……………………………….;
P =…………………………………….………..;
A = …………………………………….; A = ………………….………………………….;
P =………………………………………………;
A = ………………………………………………………….;
P =…………………………………..;
A = ………………………………………………………….;
3
7) Sostituisci ad ogni variabile il valore assegnato e calcola:
a) x + 2 y = con x = 7; y = 5 ………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
b) a2 - b4 = con a = 5 ; b = 2 ……………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
c) 5m3 - 6n2 = con m = 3 ; n = 2 ……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
8) Completa le seguenti tabelle.
Numero
3
39
Il precedente
Il successivo
Il quadrato
6
6
16
2
2
Con le lettere capita la stessa cosa; ragiona!
Numero
x
a
2x
3b
10m
x+1
17 - m
Il precedente
Il successivo
Il quadrato
a+1
2-b
m +12
23- m
a+b
Numero
3
Il doppio
Il triplo
La metà
10
6
6
(8 + 6)
18 - 6
23
32
4
Con le lettere capita la stessa cosa; ragiona!
Numero
x
a
2x
3b
10m
x+1
4 -y
a-1
a+b
Il doppio
Il triplo
La metà
9) Ordinare e definire lettere sulla retta numerica.
Inserisci sulla retta : 2a ; 2 b ; ( a + 1) ; ( a – 1); ( 2b +2) ;(b - 1) ; ( a : 2 ) ; ( b : 2 )
Completa:
a ……… 2 ; b ……… 3 ; a + 1 ………3; 2b ……… 5 ; (2b + 2) ……… 7 ; 4a ……… 8
a……… 2a ; 2b ……… b ; a + 1 ……… b ; a + 1 ……… ( b : 2) ; (b – 1) ……… (a + 1)
I MONOMI
Concetto:
La più semplice espressione letterale è detta monomio. Il monomio è una espressione
letterale in cui possono figurare una o più variabili ( lettere) e solo le operazioni di
moltiplicazione e divisione. Ovviamente un monomio rappresenta un numero.
Es. + 3a ; +7x ; + 13ab2 ; + 17 x3y5z8 ; Non sono monomi: a +b ;1+a ;(ab +c )2
Due o più monomi si dicono simili quando hanno la stessa parte letterale.
Es. + 3a è simile +13a, ma non simile a + 3a2 ; + 7x2y è simile +3 x2y, ma non simile a + 3
x2y2 ;
Vediamo da vicino come è formato un monomio:
Coefficiente Numerico
4
Completa la tabella
 4x y z
3
2
Grado del monomio
3+2+1=6
Parte letterale x3y2z
5
Monomio
Coefficiente
numerico
Parte Letterale.
Monomi simili
Monomio
opposto
+3a
+12
x2y3
+7 m3
+ 10 a2b5c7
Operazioni tra monomi:
a) L’Addizione e la sottrazione di monomi.
Consideriamo monomi simili (cioè con uguale parte letterale) 2b+ 6b
Addizione:2 b +6 b =(2+6) b = …………………….; 2 x3y4 +6xy =………………………………………………;
Sottrazione: 6ab -2ab =(6-2)ab = …………………… ; 12 x3y4 - 8x3y4 =………………………………;
15 a2b3 – 7 a2b3= ……………………………………………………………………………………………………………………….
Esercizi:
+3x + 7a + 2x + 5a - 8a = …………………………………………………………………………………………………………………..
+5ab2 + 3a2b +7ab2 + 13a2b + 4a2b = ………………………………………………………………………………………………
 Significato geometrico dell’addizione e sottrazione di monomi.
Qual è il risultato della somma di a +b =
Conclusione: la somma di due o più monomi simili è ……………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
e geometricamente ……………………………………………………………………………………………………………………
Quali proprietà possiede l’addizione di monomi?
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6
Esercizi :
1.
2.
3.
4.
a)3a + 2b + 4a + 3b =
b)2xy + 5 xy =
a)7xyz – 3xyz =
b)13abc – 5 abc =
2 5
2
2 5
2
a) 12a b  3ab 10a b  ab 
b) 3x + 5 y =
a) Calcola il perimetro di un esagono avente il lato che misura 5b.
b) Calcola il perimetro di un rettangolo sapendo che la base misura 2x +3y,
mentre l’altezza misura 3x – y.
Applicazioni.
1) Completa le seguenti situazione con i dati mancanti.
?=
?=
?=
?=
?=
?=
2) Scrivi le formule che esprimono il perimetro delle seguenti figure.
Perimetro =
Perimetro =
Perimetro =
Perimetro =
7
Perimetro =
Perimetro =
Perimetro =
Perimetro =
Perimetro =
b) La Moltiplicazione di monomi.
Esempio
Consideriamo i monomi:3a e 4bc
Il loro prodotto è 3 a . 4 b = (3 . 4) . (a . b) = ………………………………………………....................
3 a . 4 a2 = ……………………...........................3xy . 2x3y = …………………………………………….............
 5a 2 b3   3ab 2c3   ……………………...................  5a .  4b  ……………………...............................;
a . b . c = ……………………… ; 2x . 3x4 . 5x6 = ……………………… ;
2xy . 3x4y2 . 5x6y3= …………………………………………………………………………………………………………………..
Significato geometrico della moltiplicazione di monomi.
Qual è il risultato del prodotto di a . b =
8
Conclusione: il prodotto di due monomi è ……………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
geometricamente rappresenta ……………………………………………………………………………………………....
il prodotto di tre monomi è ……………………………………………………………….,
geometricamente rappresenta ……………………………………………………………………………………………....
Esempi:
2xy 2  4x 2 y3   2  4  x  x 2  y2  y3   8x12 y23  8x3 y5
1. a)
2a2 b4 ×3a3b2 =
b)
12ab×3ab2 =
2. a)
12a 2 b5 . 3ab 2 
b)
10a 3b6 .5a 2 b 4 
3. a)
8a× 5b2 × 2a3 =
b)
a2 × b7 × a3 × b8 =
c) La Divisione di monomi.
12 x7 : 4x2 = ( 12 : 4 ) . ( x7 : x2) = ……………………………………………………………………………
 6a5b3c :  3ab2c  ………………………………………………………………………………………………………
Esempi:
20a 2 b 4 : 5a 3b 2 
1. a)
12a 2 b5 : 3ab 2 
2. a)
3. a)
21 x4 b3 : 3 x4b =
b)
b)
b)
12a 5 b7 : 3ab 2 
10a 3b6 : 5a 2 b 4 
10a 2 b 4 : 2a 2 b6 
d) L’elevazione di monomi.
( 3x)2 = 3x . 3x = 3 .3 . x .x = 32. x2 = 9 x2 dunque abbiamo la seguente regola:
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
 6a b c  ....................... ………………………………………………………………..
2a b   ……………………………………….; 3a b c  ……………………………
5 3
2
4 3
2
2
4
3
e) La proprietà distributiva.
Ricorda : 17 . 3 = (10 +7) . 3 = 10 . 3 + 7 . 3 = 30 + 21 = 51
Stessa metodo con le lettere: ( 2 + x) . 3 = 2 . 3 + 3 .x = 6 + 3x
i) 3. ( x + 4) = ……………………………………………………………………………..
ii) 4 . ( 3x + 3b – x + b) =…………………………………………………………………...
iii) 3c . ( 5a + 3c) = ………………………………………………………………………….
iv) (x + 5 ) . 7 = ……………………………………………………………………………..
f) Espressioni con monomi.
i) 20x3 : 5x + (3x )2 + 2x. 3x2 = ………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
ii) 8a3x : (+2a) + 5a . ( +2ax) + a2x =………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
9
Un applicazione del calcolo letterale: l’EQUAZIONI.
1) Calcola un numero il cui doppio è 28.
Osservazione.
Il numero che non conosciamo lo contrassegniamo con una lettera detta incognita,
normalmente si sceglie la “x” , ma posso scegliere altre lettere, solitamente le ultime
dell’alfabeto.
Trasformiamo la proposizione nel linguaggio algebrico, otteniamo:…………………………………..
Questa espressione algebrica è detta EQUAZIONE.
Per calcolare il valore dell’incognita, svolgerò le operazioni inverse.
2x = 28 ; devo ………………………… per 2 ottengo
2x :2 = 28 ; x = ………
Il numero richiesto è dunque …………………….
2) Ad un numero aggiungo il suo doppio, ottengo 135. Calcola il numero.
Scelgo l’incognita: ………………………………………….. Metto in equazione: …………………………………………
Risolvo: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Metto la risposta la problema. ……………………………………………………………………………………………………..
3) Calcola tre numeri consecutivi, sapendo che la loro somma è 96.
4)
[31;32;33]
Carletto è un bambino molto goloso. Per il suo compleanno ha ricevuto in regalo una
scatola con 28 caramelle. Ogni giorno ne mangia il doppio del giorno precedente. In tre
giorni Carletto le ha mangiate tutte.
[……..;…;16]
5) Penso un numero intero, lo moltiplico per 3, sottraggo 11, divido per 4, aggiungo 7 e
ritrovo il numero di partenza!
[17 ]
6) Penso ad un numero. Se lo sottraggo da 4 o se lo moltiplico per 4, trovo lo stesso
risultato.
[0,8 ]
7) Dobbiamo ripartire la somma di 2000 CHF fra tre persone, in modo che la prima abbia
100 CHF più della seconda e la seconda 200 CHF più della terza. Trova le tre somme.
[……..;…;500]
8) Ho delle caramelle che voglio distribuire in parti uguali fra un certo numero di
bambini: m’ accorgo che se do 4 caramelle ciascuno m’ avanzano 3 caramelle, mentre se
do 5 caramelle ciascuno mi mancano 6 caramelle. Quante sono le caramelle e quanti i
bambini?
[9 ; 39 ]
9) In un cortile ci sono polli e conigli: in totale ci sono 40 teste e 130 zampe. Quanti sono
i polli e quanti i conigli?
10) Un mattone pesa un chilo più mezzo mattone. Quanto pesa un mattone?
10
Esercizi – monomi.
1) Completa la seguente tabella.
Monomio
+ 3x2y
Coefficiente numerico
Parte letterale
-4
a 3b2c7
Monomi simili
12m2n5
-8 d3e4f5
10
2xmynzm+3
2) Calcola sostituendo il numero corrispondente alla lettera.
a) x + 6 =
con x = -5
g) x. ( x – 5) =
con x = 10
b) t – 2 – w =
con t = 3 ; w = - 2
h) 2d2e3=
con d = 3 ; e = -2
c) 25x – 10y = con x = -3 ; y = -2
i) a2 + b2 – c2 =
con a = -1 ; b = 2 ; c = -3
d) 5a =
j) 5x2 -3x +x =
con x = -1
con a = 0
e) a : b = con a = 6 ; b = 3
k) (x -2) . ( x -3) =
con x = 5
2
f) a : b = con a = 6 ; b = 0
l) 6 .( y - 4) =
con y = 7
3) Svolgi le seguenti addizioni e sottrazioni di monomi, facendo attenzione ai monomi simili.
a) 2x + 3x + 4x – 8x =
e) 5x2 -3x2y +3x2 – x2y =
b) x3 + 6x3 – x3 =
f) x2 – x3 -2x2 =
c) 2x + 3y + 4x – 8y =
2
d) ab + 2a
4)
g) 2x + (-3x ) – (+ 4x) – ( -8x) =
2
-3ab -5a =
h) - 2x +( - 3y) - (- 4x) – (- 8y )=
Svolgi le seguenti moltiplicazioni. Ricorda la moltiplicazione è …………………………………..
a) 2x . 3x =
f) (-2y) .(- 3x2 ) . ( -4y3)=
b) (-2x) . 3x2 =
g) 2xy . 3x2y =
c) (-2x) .(- 3x2 ) . ( -4x3)=
h) (-2xy2) .(- 3x2y) . ( -4x3y3)=
d) 2x . 3y =
i) 2a . 2ab =
2
j) (-5 a3 b2) . ( - 2a2 b3 c4) =
e) (-2y) . 3x =
5) Elevazione a potenza di monomi.
a) (+3x)2 =
b) (-4y3)2 =
c) (-4x5y3)4 =
d) (-2a5b3c7)5 =
6) Divisione di monomi.
a) 10m : 2 =
e) ( -20 a5b6c8 ) : ( + 5 a4b6c5) =
b) (- 10m) : ( +2m ) =
f) 24 x4y5z6 : 6 x3z4 =
c) 12x3 : ( -3x ) =
g) 15 x3 : 20x =
d) 21y3 : ( -3y3 ) =
h) 15 x3 : 20x4 =
7) La proprietà distributiva nel calcolo letterale.
a) x .( x +1) =
d) -2y . ( y2 – 3 ) =
3
2
g) – (b -4 ) =
b) -x . ( x +1) =
e) -3m . ( -2m – 4m ) =
h) – (-b -4b2 ) =
c) 2a . ( 3a – 4 ) =
f) – (a + 4) =
i) 2 .(a-b) – (-a +b)=
11
8) Raccoglimento a fattore comune: “l’inverso” della proprietà distributiva.
Esempio : 2x – 4 = 2 . ( x - 2 ) ;
a) 2x2 – 4x3 =
b) 10m4 + 15m6 – 20 m7 =
c) 4y4z5 + 12 y6z8 – 20 y7z9=
9) Semplici espressioni.
a)
(a2 +2ab +b2 + a2 -2ab + b2) + (a2 + b2) =
b)
x + [ ( y – x ) – ( y – z) ] =
c)
( a – 6 + bc) – ( 2c – 2bc -3a ) – ( 3c – 4a + bc) =
d)
- [ x + 3y – ( 3y – c) + 6 ] =
e)
(a2x2 – 6z2) - { - (a2x2 – 6z2) - [ 3 a2x2 -3z2 + 4 a2x2] } =
f)
7ab - [ abc + ( ab – c2 + a2 ) – ab ] =
g)
2a – ( 3b + 2c ) + { 5b – ( 6c – 6b ) +5c - [ 2a – ( c + 2b) ] } =
h)
x - [ 2x + ( x – 2y) + 2y ] – 3x - { 4x - [ ( x + 2y ) - y ] } =
i)
x - { 3y + [ 3z – (w – y ) + x ] – 2a } =
j)
- { 3b + [ 2b – ( a – b) ] } =
k)
a - { 2b + [ 3c -3a - ( a + b ) ] + [ 2a – ( b + c ) ] } =
l)
7a3 – ( 5a2x + 3ax2 – 7x3 ) - [ 8a3 – 4a2x - ( ax2 – 7x3)] =
10) Data la seguente figura calcola perimetro
e area d’ogni parte.
11)
Completa la seguente tabella.
+
-4x + 4
-2x + 2
-x
-2x – 2
-4x - 4
3x + 3
x +1
x
x-1
3x - 3
12) La somma algebrica d’ogni casella è data dalla differenza tra la cella sinistra e quella
destra della riga inferiore.
12