Le successioni di Fibonacci - Dipartimento di Matematica e Informatica

Orazio Muscato
Dipartimento di Matematica e Informatica
Università degli studi di Catania
Le successioni di Fibonacci
Complementi al corso di Istituzioni di Matematiche , Corso di Laurea Specialistica quinquennale in
Architettura, Facoltà di Architettura con sede in Siracusa AA 2004-2005
Le successioni di Fibonacci
Un po di st oria.
Leonardo Pisano det t o filio Bonacci o Fibonacci, fu un famoso matematico
italiano (Pisa 1175 circa - 1240 circa). Figlio di un commerciante pisano che
trafficava nel mediterraneo, visse fin da piccolo ad Algeri dove apprese i
principi dell algebra da m aest ri arabi. Più t ardi, esercit ando sem pre il m est iere
di mercante, viaggiò in Siria, Egitto, Grecia conoscendo i più importanti
matematici musulmani.
Da questi contatti ed anche dalla necessità pratica di usare le regole di
numerazione in uso localmente, nacque la sua opera fondamentale il Liber
Abaci ( I l libro dell Abaco ) , in cui si int roduceva per la prim a volt a nella
cultura occidentale le regole di calcolo note nel mondo arabo, cioè la
numerazione decimale. Veniva introdotto per la prima volta il numero
zero( dall arabo zefiro, cioè un soffio di vent o) , che era sconosciut o sia agli
antichi greci e romani.
L opera di Fibonacci si completa con due altri libri Pratica Geometriae ("La
Pratica della Geometria"), in cui si espone esaustivamente concetti di
geometria e trigonometria e il Liber Quadratorum ("Il Libro dei Quadrati") in
cui si espone un metodo per approssimare le radici quadrate e cubiche con una
precisione di nove cifre.
Le successioni di Fibonacci.
Quest a successione nacque da un problem a concret o, propost o dall Imperatore
Federico II di Svevia a Pisa nel 1223 in un torneo di matematici. Il problema
era il seguente
Quant e coppie di conigli si ot t engono in un anno , salvo i casi di m ort e,
supponendo che ogni coppia dia alla luce un alt ra coppia ogni m ese e che le
coppie più giovani siano in grado di riprodursi già al secondo m ese di vit a ? .
Fibonacci diede una risposta così rapida al test, che qualcuno pensò male:
1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 ,
dove ogni numero della successione si ottiene prendendo la somma dei due
che lo precedono ( con l esclusione dei prim i due) .
La serie di Fibonacci è una successione di interi definita a partire dalla coppia
1, 1 in cui l elem ent o successivo è calcolat o com e som m a degli ult im i due.
Una definizione più formale è:
a0 = 1
a1 = 1
a n+1 = an + an-1 se n>2
(1)
si osservi che il valore della funzione a n è definito in termini della funzione
stessa. Funzioni di questo tipo sono dette ricorsive e vengono definite da
equazioni dette ricorrenti o alle differenze.
Proviamo a calcolare i primi numeri della serie a partire dalla definizione
inform ale, in cui cost ruiam o l elem ent o successivo per som m a degli ult im i due,
iniziando dalla coppia 1, 1:
a 0 = 1 (primo numero iniziale)
a 1 = 1 (secondo numero iniziale)
a 2 = 2 = 1+ 1 (somma degli ultimi due)
a 3 = 3 = 2 +1 ( .... come sopra ... )
a4 = 5 = 3 + 2
a 5 = 8 = 5 + 3 ( .... come sopra ... )
...
Teorema 1.
La successione (1) è crescente ed illimitata, quindi divergente positivamente.
Risposta al problema di Federico II
Supponiamo di avere a n coppie di conigli dopo n mesi. Il numero di coppie in
n+1 mesi sarà a n (in questo problema (i conigli non muoiono mai) più il
numero di nuove coppie nate. Ma queste nuove coppie sono nate solamente a
coppie che hanno almeno un mese, così ci saranno a n-1 nuove coppie, cioè
a n+1 = an + an-1
che é la regola per generare i numeri di Fibonacci.
Le sezione aurea
Un valore numerico speciale correlato alla successione di Fibonacci è la
sezione aurea. Quest o num ero
si ot t iene prendendo il rapport o di t erm ini
successivi della successione per n molto grande ovvero, usando il concetto di
limite,
lim an 1
n
an
(2)
In pratica se prendo il rapporto tra termini successivi della successione ottengo
, , 32 , 53 , 85 ,.......
1 2
1 1
e se faccio un grafico si ottiene
Sezione aurea
Rapporto
2,5
2,0
1,5
Rapporto
Fibonacci
1,0
0,5
0,0
1
2
3
5
8 13 21 34 55
Numeri di Fibonacci
Si osservi come, per n molto grande, il rapporto tende ad un valore limite.
Teorema 2
Vale il limite (2).
Dimostrazione.
Supponiamo che il limite dato dalla (2) esista (ciò può essere dimostrato
rigorosamente). Siano a n+1 e a n due termini successivi della serie di Fibonacci.
Allora
a
a
n 1
n
a a
a
n
n 1
1
n
a
a
n 1
(3)
n
Per n molto grande avremo che
a
a
, an
n 1
a
n
1
1
n
da cui la ( 3) divent a un equazione di secondo grado nell incognit a
1
1 (4)
da cui
2
-1 = 0
la cui soluzione positiva è
1
5
2
1.618
(5)
Osservazione 1
La sezione aurea si può ottenere anche geometricamente. In un segmento AC
si fissi un punto intermedio B in modo che lo divida in parti diseguali con la
seguente caratteristica:
la parte più corta è proporzionale alla più lunga allo stesso modo della parte
lunga rispet t o all int ero segm ent o.
Ne segue la seguente proporzione:
AB
BC
BC
(6)
AC
ovvero se AB=x e BC=y e definendo sezione aurea
y
x
dalla (6) si ottiene ancora l equazione (5) .
Osservazione 2
I l num ero
è irrazionale (con infinite cifre decimali aperiodiche). Il metodo
geometrico permette quindi di calcolare la radice quadrata di 5.
Osservazione 3 (com e calcolare
in m odo sem plice)
Usando una calcolatrice scientifica si può facilmente calcolare
seguente procedimento:
1.
2.
3.
4.
5.
, con il
inserire 1 per iniziare
prendere il suo reciproco ( il bottone 1/x) . Aggiungere 1
prendere il suo reciproco . Aggiungere 1
prendere il suo reciproco . Aggiungere 1
ripetere il procedimento fino a quando il display non dà un numero
costante
Questo procedimento si basa sulla formula (4).
Natura estetica della sezione aurea
Il matematico greco Euclide (300 a.c.) fu il primo a scoprire il suo
significat o e gli archit et t i greci usarono il rapport o 1:
com e part e
integrale delle loro progettazioni, di cui la più famosa è il Partenone di
Atene. Anche il famoso scultore greco Fidia usò questa proporzione nei
suoi lavori. Prima dei greci anche gli egiziani usarono questa proporzione
per progettare la piramide di Giza (4600 a.c.) .
Un matematico americano usò la lettera
numero, dalle iniziali dello scultore Fidia.
per rappresent are quest o
Leonardo da Vinci chiam ò quest o num ero la divina proporzione . I suoi
studi sul corpo umano hanno indicato come Rapporto Aureo il rapporto
esteticamente più piacevole tra le lunghezze del corpo umano (ad
esempio tronco/gambe). Anche il viso del famoso quadro raffigurante
Monna Lisa fu t racciat o seguendo quest e proporzioni.
In un pentagono regolare tracciando le sue diagonali, si ottiene una
stella a pentagramma i cui lati sono in rapporto con la sezione aurea.
Questa stella forma molte delle bandiere del mondo
I rettangoli di Fibonacci e le conchiglie a spirale
I numeri di Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,.. possono essere usati per tracciare
opportuni quadrati.
Com inciam o con due piccoli quadrat i di lat o 1 uno vicino all alt ro, quindi sopra
di questi tracciamo un quadrato di lato 2 (=1+1).
Possiamo adesso tracciare un nuovo quadrato, che tocca sia il quadro di lato
uno che l ult im o di lat o 2 ( così avent e lat i 3) ; quindi un alt ro che t occa
entrambi irettangoli di lati 2 e 3 ( che ha adesso lato 5).
Si può così continuare aggiungendo quadrati attorno alla figura, ogni nuovo
quadrato avente un lato che ha una lunghezza pari alla somma dei lati
dei due quadrati più vicini.
Questo insieme di rettangoli i cui lati hanno lunghezze pari a numeri di
Fibonacci successivi e che sono composti da quadrati con lati che sono numeri
di Fibonacci sono chiamati Rettangoli di Fibonacci.
Se adesso in ogni quadrato si traccia in quarto di cerchio, si ottiene una spirale
(detta logaritmica). Questa spirale è fatta di parti di circonferenza e quindi è
un approssim azione di una vera spirale. Si può provare che t ale spirale form a
una linea dal centro che si incrementa di un fattore pari alla sezione aurea in
ogni quadrato. Così i punti sulla spirale sono 1,618 volte distanti dal centro
dopo un quarto di giro.
Queste spirali sono osservate in natura nelle forme delle conchiglie, come nella
conchiglia marina Nautilus
Le piante e i numeri di Fibonacci
Molte piante hanno un numero di petali pari ai numeri di Fibonacci. Il lilium e
l iris ne hanno 3, la rosa selvaggia e l aquilegia 5, il delphinium 8, la cineraria
13 etc.
I numeri di Fibonacci si possono anche vedere nel numero di semi presenti in
alcuni fiori. La figura che segue è un fiore che vive nelle prat erie dell I llinois,
chiam at o Echinacea purpura
Ecco una vista frontale del fiore
Si vede che i petali arancioni sembrino formare delle spirali che si curvano sia
sulla destra che sulla sinistra. Partendo dal bordo della foto, si possono contare
55 spirali che curvano verso destra; se si va verso il centro si contano circa 34
spirali e così via, cioè si ottengono i numeri di Fibonacci.
Ciò accade anche in molti fiori con semi (per es. i girasole). Il numero di spirali
in ogni direzione sono all incirca num eri di Fibonacci.
Il motivo di questo fenomeno sembra dovuto al fatto che questa disposizione
forma un impacchettamento ottimale dei semi, supposto che tutti abbiano la
stessa dimensione.
Le pigne mostrano anche delle spirali di Fibonacci.
Quest a è una pigna vist a dal basso, dove il picciolo si connet t e all albero.
L insiem e di spirali che si vedono sono connesse ai num eri di Fibonacci. Simile
fenomeno si ha nel cavolfiore.
I numeri di Fibonacci si ritrovano anche nel numero di foglie che ci sono
attorno al fusto di una pianta. Partendo dalla foglia più in basso nel fusto della
pianta, il numero di foglie che si incontrano fin quando si incontra una foglia
direttamente sopra quella di partenza è un numero della successione di
Fibonacci.
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