Conduzione e Corrente Elettrica
I conduttori (metallici) sono solidi costituiti da atomi disposti in maniera
ordinata nello spazio, che hanno perso uno o più elettroni (negativi) che
sono liberi di muoversi nello spazio tra gli ioni positivi.
NA ≈ 8 1028 m-3, Ne =1÷4 NA m-3 =1÷4 x 8 1022 cm-3
In un corpo in equilibrio elettrostatico il moto degli elettroni avviene ad
elevatissima velocità ma in maniera caotica: vmed = 0.
In presenza di un campo elettrico gli elettroni acquistano una piccola
velocità nella direzione opposta al campo elettrico, vmed ≠ 0.
Questo moto di chiama corrente elettrica.
Q
1
In realtà si considera sempre la corrente costituita da cariche positive che,
che
quindi, si muovono nel verso del campo elettrico.
La corrente può essere istantanea (es: tra due corpi a diverso potenziale
messi a contatto), oppure stazionaria.
La corrente (stazionaria) deve circolare in un circuito, percorso chiuso
costituito
i i da
d più
iù conduttori
d
i collegati.
ll
i
Per ottenerla è necessario un generatore, dispositivo in grado di mantenere
una d.d.p. (e quindi un campo elettrico) costante nel tempo.
Simbolo circuitale di un generatore (in continua)
2
Il campo elettrico prodotto dal generatore non può essere conservativo!
Quindi è un Campo elettromotore che genera una forza elettromotrice
(f
(f.e.m.).
)
E Pila,
Es.
Pil accumulatore,
l t
di
dinamo,
alternatore,…
lt
t
gassosi,, elettrolitici e semiOltre ai conduttori metallici,, esistono conduttori g
conduttori!
Il moto delle cariche incontra sempre una resistenza,
resistenza dovuta agli urti contro
vari ostacoli.
M d ll semplice
Modello
li della
d ll conduzione
d i
elettrica
l tt i (di Drude)
D d )
Hp:
p n p
portatori di carica p
per unità di volume che,
con E = 0, si muovono con velocità termica media
vt (random).
3
In presenza di un campo elettrico E,
E
all’interno
all
interno del conduttore,
conduttore
prodotto da un generatore, su ogni carica, tra due urti successivi, agisce
una forza
f
F = e E e un’accelerazione
’
l
i
a = e E/m,
E/ lungo
l
una distanza
di t
f i
fra
due urti l e per un tempo τ = l / v
Dato che la media delle velocità termiche è zero,
a ogni elettrone resta solo la velocità di deriva (drift)
=μ
E
μ si chiama mobilità del materiale.
unità di misura: μ = vd /E = m/s m/V = m2/ V s
4
Se consideriamo
id i
il numero di elettroni
l
i che
h attraversano una sezione
i
dΣ
di un conduttore nell’unità di tempo, esso sarà (v. def. di flusso):
n dΦ (vd ) = n vd dΣ cosθ
con θ l’angolo tra vd e un , normale a dΣ,
Il flusso di carica (per unità di tempo) attraverso dΣ, indichiamolo con di,
sarà quindi:
di = q n vd dΣ cosθ = n q vd ⋅un dΣ
Se chiamiamo il vettore
Allora si ha
j = n q vd
densità di corrente
di = j ⋅un dΣ
5
Chiamiamo corrente, i, la carica che , nell’unità di tempo, attraversa tutta
la sezione Σ del conduttore; si ha:
j un
•
se j e costante su tutta Σ e parallelo a un
i=jΣ
e
j=i/Σ
Unità di misura: i = C/s = A , Ampere
j = i/ Σ = A/m2
6
N.B. I portatori veri sono elettroni di carica q = - e, ma la loro velocità è
opposta
pp
al campo
p elettrico. Q
Quindi
j + = n +e vd e
j- = n- (-e) (-)vd
sono concordi.
concordi
N i semiconduttori
Nei
i d
i e negli
li elettrolitici
l
li i i cii sono portatorii + e - quindi
i di
jtot = j+ + j- = n+e vd + n- (-e) (-)vd
7
In genere la carica totale che passa in ogni sezione di un conduttore è
costante (Condizione di stazionarietà della corrente).
Quindi :
j è solenoidale, non ci sono né pozzi né sorgenti
Ma se
≠
≠0
Σ
q è la
l quantità
i à di carica
i dentro
d
Equazione
q
di continuità della corrente (o della carica (!))
8
Applichiamo
pp
il teo. della divergenza
g
inoltre
o e
Quindi ll’equazione
equazione di continuità diventa
da cui
Forma locale dell’equazione di continuità
9
Ma per la legge di Gauss
in forma locale la legge di Gauss è:
per cui
per cui
stazionarietà:
non stazionarietà:
10
Leggi di Ohm
Oh ha
Ohm
h verificato
ifi t che
h per una certa
t categoria
t
i di conduttori,
d tt i detti
d tti metallici,
t lli i
il rapporto tra la tensione ai capi del conduttore, V e la corrente che scorre
in esso, i, è una costante, indicata con R, Resistenza del conduttore.
V/ i = R
(I “Legge”)
11
Ri
Riprendiamo
di
j = n q vd = n q μ E = σ E
σ = nqμ
con
σ , si chiama conduttività/conducibilità del materiale
La relazione
j =σE
è la legge
gg di Ohm p
per la conduttività ((Legge
gg di Ohm microscopica,
p
locale))
Se chiamiamo ρ = 1/σ resistività (del materiale di cui è fatto il conduttore)
allora
j =σE =E/ρ
E= j/σ = jρ
ρ = E / j (R = V/I)
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Per un conduttore di forma irregolare,
irregolare in un
tratto dh di sezione Σ, si ha
E= ρj
con
Questa è una definizione più generale di R, resistenza del conduttore.
Infatti
13
Se il conduttore di lunghezza h, ha sezione
Σ e resistività ρ costanti la resistenza R si
può scrivere come
“ II legge di Ohm”.
14
Unità di misura
R = V/ i ≡ Volt/Ampere ≡ V/A = Ohm ≡ Ω
G = Conduttanza = 1/ R ≡ Ω -1 (Mho) ≡ Siemens ≡ S
ρ=
≡ Ohm cm2/cm ≡ Ω cm
σ = 1/ ρ ≡ ( Ω cm) -1 = S/cm
ρ varia con la temperatura: ρ = ρ0 ( 1 +α Δ t)
α = coefficiente termico
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Effetto Joule
Se una carica dq si muove nel conduttore
sotto l’azione di un campo elettrico, in
presenza di resistenza al moto, il campo
compie il lavoro
dW = dq V = V i dt
producendo una potenza P = dW/dt =
iV = i2 R = V2 /R
Dopo un tempo t è stato prodotto il lavoro
P
Se i è costante nel tempo: W = i2 R t
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Di solito si finge che la resistenza sia tutta concentrata in alcuni elementi,
elementi
mentre si trascura quella del resto del circuito (fili di collegamento, ecc.)
Q ti elementi
Questi
l
ti sii chiamano
hi
R i t i (Resistors),
Resistori
(R i t ) ognuno caratterizzato
tt i t
dalla sua resistenza R.
Simbolo circuitale di un resistore (resistenza!)
17
Più resistori possono essere collegati tra loro per ottenere valori di
resistenza diversi da quella dei singoli resistori.
Due modalità: In serie, in parallelo.
Calcoliamo la resistenza equivalente nei due casi:
Resistori in serie
Nei resistori in serie passa in tutti la stessa corrente, la d.d.p. dipende dalla R
Dobbiamo trovare la resistenza equivalente
alla serie di R1 e R2 : Req
Req = R1 + R2
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Per n resistori in serie
Req = R1 + R2 + R3 + R4 … + Rn
N.B. Req > Max{ Ri}
La potenza totale spesa dal generatore vale :
P = (VA – VC ) i = (R1 + R2 ) i2 = R1 i2 + R2 i2 = P1 + P2
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R i t i in
Resistori
i parallelo
ll l
Nei resistori in parallelo,
parallelo c’è la stessa d.d.p.
d d p V ai
capi di tutti. La corrente si divide.
In condizioni stazionarie:
i = i1 + i2
Per n resistori in parallelo:
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N.B.: Req < min { Ri}
Quanto valgono le due correnti i1 e i2 ?
La potenza spesa dal generatore:
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F
Forza
elettromotrice
l tt
t i
Per la I legge di Ohm la d.d.p. ai capi di un conduttore di resistenza R è:
Se il circuito è costituito dal solo conduttore
l’integrale circuitale diviene
e rappresenta la Forza Elettromotrice (f.e.m.) che fa circolare la corrente,
prodotta dal generatore,
generatore nella resistenza totale RT
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Se l’integrale circuitale non è 0, il campo E non può essere elettrostatico
e conservativo!
All’interno del generatore ci sono forze di natura non elettrostatica che
provocano il moto delle cariche. Tali forze possono essere di varia natura:
chimica, elettromagnetica,…
Ovviamente nel generatore è presente anche
un campo elettrostatico Eel che, però, farebbe
muovere le cariche in senso opposto al campo
E*, ed e minore di E*.
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E* è presente solo nel generatore, quindi
E
Il generatore possiede anche una sua resistenza
interna r,
r della quale si dovrebbe sempre tener
conto.
Quindi per il semplice circuito in figura si ha:
E = (r
( + R)) i
E
E
e può disegnare ll’andamento
andamento a fianco:
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Partitore resistivo
Se ci sono n resistori in serie,
serie ai capi di
ognuno si ha la d.d.p., Vi :
ma VAB = E - r i < E
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C i
Carica
dii un condensatore attraverso un resistore
i
(Circuito RC)
Per t < 0, circuito aperto, non circola corrente,
VC = 0
A t = 0, il tasto T viene chiuso, inizia a
circolare corrente.
Applichiamo la Legge di Ohm:
26
27
τ=
28
S i
Scarica
dii un condensatore (carico)
( i )
attraverso un
resistore
Per t < 0, C carico, < T aperto, non scorre
corrente
A t = 0,, si chiude T,, inizia a scorrere corrente
da + a −
q: carica sul condensatore
29
30
C
Corrente
dii spostamento
Durante la carica o scarica del condensatore nel
circuito scorre corrente anche se il condensatore
è una interruzione del circuito.
Ogni +dq che si accumula sulla faccia sup. di C
induce una carica –dq sulla faccia inferiore, che
allontana una carica +dq e fa proseguire il moto
di cariche.
Chiamiamo questa corrente fittizia tra le armature del condensatore
p
, is
Corrente di Spostamento,
31
Per un C.f.p.p.
Cfpp
La corrente di spostamento dipende dalla variazione nel tempo del flusso
di E. C’è finche Φ(E) varia.
Definiamo densità di CdS:
In un circuito RC durante la carica o la scarica la corrente è formata da
due componeneti
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ic e jc : nei conduttori
f le
fra
l armature
t
d l C.f.p.p.
del
Cf
Se nel condensatore c’è un dielettrico
di cost. diel. realtiva k si
moltiplica ε0 per k.
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Leggi di Kirchhoff per le reti elettriche
Reti
elettriche:
circuiti
più
complessi.
Contengono nodi, rami e maglie
N d punto
Nodo:
t nell quale
l convergono almeno
l
t conduttori
tre
d tt i
Ramo: tratto di circuito tra due nodi. (Può contenere elementi attivi o
passivi)
Maglia: cammino chiuso di più rami.
N.B. Un ramo può appartenere a più maglie.
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L’ li i delle
L’analisi
d ll retii può
ò essere molto
l
complessa.
l
(V Corso
(V.
C
di
Elettrotecnica).
Si usano le due Leggi di Kirchhoff.
I)
(Legge dei Nodi): La somma algebrica delle correnti entranti in un
nodo deve essere nulla
Σ k ik = 0
II) (Legge delle maglie): La somma algebrica delle f.e.m. presenti nei rami
della maglia deve essere uguale alla somma dei prodotti Rk ik
Σ k Rk ik = Σ kEk
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I segni
g delle f.e.m. e dei p
prodotti Rk ik ((d.d.p.)
p ) si ricavano dalle seguenti
g
regole:
1) Si fissa
fi arbitrariamente
bit i
t come positivo
iti un verso
di percorrenza della maglia. (es. orario).
2) se nel k-esimo ramo la corrente è concorde
con il verso scelto, Rk ik si prende positivo,
altrimenti si prende negativo.
3) se una f.e.m. viene attraversata dalla corrente
arbitraria dal – al +, di prende positiva,
altrimenti negativa.
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Es.:
VP + E1 - R1 i1 +E2 - R2 i2 - E3 - R3 i3 –Ek - R4 i4 = VP
E1 +E2 - E3 -Ek = R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 + R4 i4
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Strumenti di misura di I e V
Per misurare la corrente si deve aprire il circuito e inserire uno
strumento nel quale scorra la corrente da misurare.
Amperometro,
p
, milli- , micro-,, Galvanomtro
Anche
ha
interna!
Ideale:
h l’amperometro
l
h una sua resistenza
i
i
d l rg = 0 !
38
L corrente misurata
La
i
non è V/R ma V/(R+r
V/(R g)
Shunt
Se si mette in parallelo all
all’amperometro
amperometro una resistenza di “shunt”
shunt più
piccola di rg ( ad es. 1/9 rg), la maggior parte della corrente passa nello
shunt
h t (9/10) e 1/10 nell’Amperometro.
ll’A
t
Così si può aumentare di 10 volte la massima corrente che si può
misurare.
Misure di d.d.p
d d p.
Per misurare la d.d.p.
d d p tra due punti di un
circuito si deve sfrutta la misura di i e la si
moltiplica per R.
R Si deve mettere lo
strumento (Voltmetro, milli-, micro-,…,
El
Elettrometro)
) in
i parallelo
ll l all circuito
i i tra i
due punti.
La resistenza interna del voltmetro deve essere molto alta così che ci passi
pochissima corrente.
corrente
Ma la corrente che ora scorre nel circuito i’ è > della precedente i e il
prodotto i’R ≠ iR.
