Lezione 2

Temperatura ed Energia Cinetica (1)
•La temperatura di un corpo è legata alla energia cinetica
media dei suoi componenti. Per un gas perfetto si ha:
Ek = ½ me vm2 ; 
Ek = 3/2 kT ;
k = costante di Boltzmann = 8,62 10-5 eV/°K ;
Questa relazione vale per i valori medi, tuttavia le
molecole di un gas non hanno tutte la stessa energia
cinetica anche se hanno tutte la stessa energia cinetica
media.
 l’energia cinetica di una singola molecola ha una sua
distribuzione probabilistica (Maxwell-Boltzmann).
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1
Legge di Maxwell-Boltzmann
Distribuzione delle velocità per un gas di elettroni all’interno
di un materiale
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2
Temperatura ed Energia Cinetica (2)
Quindi:
 ad ogni temperatura T la probabilità di trovare una
particella con una velocità superiore ad un valore
prefissato è non nulla.
E applicando questo concetto agli elettroni in un
materiale:
 ci saranno elettroni con energia cinetica superiore
all’energia necessaria per passare dalla banda di valenza a
quella di conduzione ad ogni temperatura.
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Coppia elettrone-lacuna (1)
Quando un
elettrone ha
sufficiente
energia, spezza il
legame con
l’atomo di
appartenenza e
passa nella banda
di conduzione.
Banda di conduzione
elettrone
lacuna
Banda di valenza
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Coppia elettrone-lacuna (2)
L’atomo privo di un elettrone acquisisce una carica
netta positiva (a) e rimane un “buco” (lacuna) nella
configurazione ottimale.
La lacuna può essere colmata da un elettrone di un atomo
vicino (b), che tuttavia diventerà lui adesso portatore di una
lacuna.
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Coppia elettrone-lacuna nel silicio
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Moto Elettrone-lacuna nel silicio
.
elettrone
di conduzione
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Semiconduttore intrinseco
Quando il numero delle impurità è piccolo
rispetto al numero di coppie elettrone-lacuna
dovute all’agitazione termica.
 una concentrazione di impurità inferiore a
1010 cm-3.
Domanda: Da cosa dipende la concentrazione?
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Concentrazione dei portatori (1)
Dipende da vari ingredienti ed è funzione
dell’energia E che stiamo considerando. Servono:
•
•
F(E) = probabilità che uno stato sia occupato da
un elettrone;
N(E) = funzione di densità di stati permessi;
La concentrazione allora è: C(E) = F(E) x N(E)
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Distribuzione di Fermi-Dirac
La probabilità che uno stato elettronico di energia E
sia occupato da un elettrone è data dalla funzione:
1
F(E) =
1 + e(E-EF)/kT
k = Costante di Boltzmann = 8.62x10-5 eV/K
T = Temperatura assoluta
EF = Energia di Fermi = quando F(E) = 0.5
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Funzione
di Fermi
(1)
E>E 
A T=0°K: se
F
F(E) = 0;
nessuna probabilità di
avere elettroni di
energia E.
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Funzione di Fermi (2)
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Distribuzione della probabilità
di avere un elettrone al di
sopra dell’energia di Fermi
a temperatura T = 0°K
Funzione di
Fermi (3)
Distribuzione della probabilità
di avere un elettrone al di
sopra dell’energia di Fermi
a temperatura T > 0°K
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Concentrazione dei portatori (2)
Integrando in energia le curve precedenti si ottiene la
densità volumetrica (portatori /cm3) di carica:
per gli elettroni e per le lacune:
n = NC e
p = NV e
(-EC-EF)/kT
(-EF-EV)/kT
; NC = 2.8 x1019 cm-3
; NV = 1.0 x1019 cm-3
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Concentrazione dei portatori (3)
Per avere la concentrazione totale dei portatori si
devono unire i due pezzi:
Legge di azione di massa:
np = ni2 = NCNVe(-E /2kT)
g
Con Eg = EC-EV.
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Concentrazione dei portatori (4)
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Concentrazione dei portatori (5)
Per il silicio a temperatura ambiente:
ni = 1.45x1010 cm-3
 1 elettrone per 1012 atomi (circa 1.x1022 atomi in 1 cm-3)
Per un isolante: n = 1.x106 cm-3
Per un conduttore: n = 1.x1022 cm-3
 Praticamente nessuna corrente:
i = ni q /(1 secondo) = 2.x10-9 A = 2 nA
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Drogaggio dei semiconduttori (1)
Per avere correnti maggiori si introducono delle
impurità nel cristallo (drogaggio).
Le impurità sono di due tipi:
tipo n (impurità che cedono un elettrone)
(atomi donatori: As, Sb, etc.)
tipo p (impurità che prendono un elettrone)
(atomi accettori: B, In, etc.)
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Struttura del
silicio con
impurità di
tipo n e p.
Struttura del silicio drogato p o n
Arsenico
Boro
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Drogaggio dei semiconduttori (2)
Elettroni provenienti dall’atomo donatore
n = ND + ni
p = ni
ED = energia di ionizzazione per un atomo donatore
Valgono le stesse relazioni trovate per i semiconduttori intrinseci
A n si sostituisce ND = concentrazione dei donatori
Valori tipici di ND sono: 1015-1017 cm-3
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Livelli di un semiconduttore drogato
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Drogaggio dei semiconduttori (3)
1x1015 cm-3
Temperatura ambiente
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Trasporto dei portatori (1)
F = m a  a = F/m  v = a t ; ma non è così.
v
vn
t
Moto di elettroni in un cristallo
senza (a) e con (b) campo elettrico.
vn = - µn E = velocità di deriva
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Modulo della velocità
di un elettrone in un
cristallo in funzione
del tempo.
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Densità di corrente (1)
Prendiamo un conduttore di forma cilindrica di sezione
A e immaginiamo che in esso ci sia una distribuzione
uniforme di portatori di carica.
Se applichiamo un campo elettrico E, otteniamo
una velocità di deriva vd = L/T.
Vuol dire che i portatori
contenuti nel cilindro di
lunghezza L attraversano la
superficie A in un secondo.
L
A
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Densità di corrente (2)
Allora se N è il numero di portatori presenti nel cilindro
lungo L e la carica di ogni portatore è q, la corrente che
fluisce attraverso A nel tempo T è data da:
I = (qN)/T = (qN)(L/T)/L = (qNvd)/L
Si definisce densità di corrente la corrente per unità di area:
J = I/A = (qNvd)/(LA) ;
La densità dei portatori di carica è: n = N/(LA)
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Densità di corrente (3)
Quindi: J = (qNvd)/(LA) = q n vd= σv vd
con: σv = densità volumetrica di carica.
J = q n vd = q n µ E = σ E
con σ = conducibilità.
I = JA = A σ E = (σ A E L)/L = (σ AV)/L = V/R.
R = L/(σ A) = ρ (L/A). = resistenza del materiale.
ρ = resistività del materiale = 1/ σ
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Densità di corrente (4)
Per esempio: dato un parallelepipedo di silicio drogato
di dimensioni: 3 mm x 100 µm x 50 µm con una
concentrazione di donatori di 5x1014/cm3 a 300°K.
Se il parallelepipedo è attraversato da una corrente di
1 µA quali sono le concentrazioni di portatori e la caduta
di potenziale lungo il parallelepipedo?
n = ND = 5x1014/cm3 ;
p = (1,45x1010)2/(5x1014)=4,2x103/cm3
σ = 1,60x10-19x5x1014x1.5x103 = 0.12 (Ωcm)-1
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Densità di corrente (5)
E quindi:
∆V = (JL)/σ = (IL)/Aσ) = 0.05 V ;
Se invece di un silicio drogato avessimo preso in
considerazione un silicio intrinseco:
σ = 1,60x10-19x1.45x1010x1.5x103 = 0.348x10-6 (Ωcm)-1
∆V = (JL)/σ = (IL)/Aσ) = 1380 V ;
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Trasporto dei portatori (2)
Un altro fattore che contribuisce al moto dei portatori,
e quindi alle correnti è quello della diffusione.
La diffusione è un fenomeno che è presente in tutte le
situazioni dove c’è una situazione di disequilibrio dal
punto di vista della concentrazione di particelle libere
di muoversi.
In tal caso c’è la tendenza ad una redistribuzione delle
particelle in modo da tendere ad una distribuzione
omogenea, cioè ad una concentrazione costante.
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Trasporto dei portatori (3)
Una differenza di
Concentrazione p(0) > p(x)
porta ad un moto dalla zona di
p(0) a quelle a concentrazione
minore con conseguente
apparizione di una corrente
la corrente di diffusione:
Jp = qDp(dp/dx)
Dp/µp = VT = T/11600 .
Jp = Corrente di diffusione dovuta alle diverse concentrazioni dei portatori p.
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Trasporto dei portatori (4)
In un semiconduttore quindi possono essere presenti
contemporaneamente due contributi alla corrente:
Jp = q p µp E + q Dp (dp/dx)
Il primo dovuto ad un gradiente di potenziale
(campo elettrico) ed il secondo ad un gradiente
di concentrazione.
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Giunzione p-n (1)
La giunzione p-n è il dispositivo formato da due
semiconduttori drogati uno di tipo-p ed uno di
tipo-n, messi in contatto tra di loro.
NA = concentrazione degli ioni accettori non compensati
ND = concentrazione degli ioni donori non compensati
Portatori maggioritari = lacune nella zone p
elettroni nella zona n
Portatori minoritari
= elettroni nella zona p
lacune nella zona n
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Giunzione p-n (2)
p
n
E
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Giunzione p-n (3)
Schema della giunzione p-n
Concentrazione di portatori
Campo elettrico
Potenziale elettrico
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Giunzione p-n asimmetrica
NA >> ND
Schema della giunzione p-n
Concentrazione di portatori
Campo elettrico
Potenziale elettrico
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