Logica e teoria degli insiemi

Teoria degli insiemi
Introduzione
•
•
•
•
La logica è la disciplina che studia le regole del ragionamento, per
poter costruire oggetti e relazioni di senso compiuto...
�Date delle frasi di senso compiuto, se su di esse s’opera ... [in questo modo] ..., si ottengono frasi di senso
compiuto�
Logica e segni logici
Teoria degli insiemi
Operazioni fra insiemi
... e per poter trasferire attraverso il ragionamento un valore di
verità
�Date delle frasi ...., la frase ottenuta operando ... [in
questo modo] ... è vera�.
Le ricerche booleane
L’insieme delle parti
"Lezione 2".tex
19 ottobre 2014
Logica e teoria degli insiemi
II - 1
Logica e segni logici
Si parte da proposizioni elementari:
"Lezione 2".tex
Logica e teoria degli insiemi
II - 2
Logica e segni logici
Piove,
Compro l’insalata,
che sono frasi di senso compiuto, si può dire (alternanza)
• Compro l’insalata
• Esiste l’amore
e
• Ho sete
da
• Quel libro è bello
e si combinano con dei segni logici, che danno luogo ad operazioni
logiche.
19 ottobre 2014
19 ottobre 2014
Da
• Ho fame
"Lezione 2".tex
Logica e segni logici
Logica e segni logici
Logica e teoria degli insiemi
•
Logica e teoria degli insiemi
II - 3
Piove o compro l’insalata
Compro l’insalata o piove;
Esiste l’amore
si può dire (negazione)
Non esiste l’amore.
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II - 4
Logica e teoria degli insiemi
Logica e segni logici
Logica e teoria degli insiemi
Logica e segni logici
Da
Mangio,
Vado a dormire,
si può dire, analogamente:
si può dire (implicazione)
Mangio o vado a dormire
e
da
Combinando
Piove e Compro l’insalata
Vado a dormire o mangio;
Piove implica compro l’insalata
Ho sete
si può dire (negazione)
"Lezione 2".tex
Non ho sete.
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Logica e teoria degli insiemi
II - 5
Logica e segni logici
"Lezione 2".tex
Logica e teoria degli insiemi
Piove
Compro l’insalata
si può dire (congiunzione)
Piove e compro l’insalata
ed analogamente
Mangio e vado a dormire.
Logica e segni logici
Le proposizioni, elementari o no, possono avere un contenuto di
verità.
Piove può esser vero oppure falso (oppure incerto, perché non si
sa). Analogamente ho fame, compro l’insalata, mi bagno, ecc.
combinando implicazione e congiunzione (equivalenza)
(Piove implica mi bagno) e (mi bagno implica piove)
ovvero
Piove è equivalente a mi bagno
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II - 6
Tavole di verità
da
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II - 7
La logica non è in grado di stabilire se queste proposizioni sono
vere o false: occorre una verifica empirica.
La logica è in grado di stabilire se, supposte vere o false alcune
proposizioni, quelle ottenute operando su di esse sono vere o false.
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II - 8
Logica e teoria degli insiemi
Logica e segni logici
Si può stabilirlo col calcolo logico, basato sulle tavole di verità.
A
v
v
f
f
B
v
f
v
f
nonA
f
f
v
v
nonB
f
v
f
v
AoB
v
v
v
f
AeB
v
f
f
f
non(nonA o nonB)
v
f
f
f
A implica B
v
f
v
v
nonA o B
v
f
v
v
Sostituendo A e B con frasi compiute, s’ottengono tavole di verità
empiriche, identiche a quella proposta.
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Logica e teoria degli insiemi
II - 9
Logica e segni logici
la congiunzione è vera se tutte e due le frasi sono vere
piove e mi bagno
ma l’alternanza delle due negazioni:
v
f
f
f
non piove o non mi bagno
f
v
v
v
e la sua negazione
non(non piove o non mi bagno)
v
f
f
f
dànno, se applicate in sequenza, una tavola identica alla
congiunzione.
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II - 11
Logica e teoria degli insiemi
Logica e segni logici
Piove
Mi bagno
v
v
v
f
f
v
f
f
la negazione scambia vero e falso
non piove
non mi bagno
f
f
f
v
v
f
v
v
l’alternanza è vera se almeno una delle due frasi è vera
piove o mi bagno
v
v
v
f
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Logica e teoria degli insiemi
II - 10
Logica e segni logici
l’implicazione è falsa solo quando la prima frase è vera e la seconda
è falsa
piove implica mi bagno
v
f
v
v
la tavola è identica all’alternanza della negazione della prima frase
con la seconda
non piove o mi bagno
v
f
v
v
L’equivalenza è vera quando le due proposizioni sono entrambe
vere od entrambe false
piove equivale a mi bagno
v
f
f
v
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II - 12
Logica e teoria degli insiemi
Logica e segni logici
I quantificatori
I segni logici servono a concatenare proposizioni sempre più complesse.
Le tavole di verità servono a trasferire la verità da proposizioni più
semplici a proposizioni più complesse.
In effetti si dimostra che questo non è sufficiente in matematica,
perché oltre alle proposizioni si usano degli oggetti.
In particolare, per trasferire le verità relative ad oggetti
s’introducono i quantificatori.
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Logica e teoria degli insiemi
II - 13
Logica e segni logici
Logica e segni logici
Il quantificatore esistenziale corrisponde all’enunciato
�esiste un oggetto x tale che la proposizione R�
Il quantificatore universale corrisponde all’enunciato
�Per ogni oggetto x la proposizione R�
Per sapere se questi enunciati sono veri o no, non si possono usare le tavole di verità ed occorre ricorrere ad un ragionamento più
complesso. In pratica, per dimostrare l’esistenza d’un oggetto, occorre mostrarne effettivamente uno, per dimostrare l’universalità
d’una proposizione, occorre mostrare che non esiste nessun oggetto
per cui essa sia falsa.
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Logica e teoria degli insiemi
II - 14
Logica e segni logici
La logica permette di costruire correttamente delle proposizioni
relative a certi oggetti e trasferire la verità da una proposizione
all’altra. Il trasferimento avviene in base a tre criteri:
Esempio:
�Esiste un x tale che (x miagola)�
Per stabilire che questa proposizione è vera, occorre dotarsi d’un
gatto e tirargli la coda.
�Per ogni x ((x è un uomo) implica (x è mortale))�
Per stabilire che questa proposizione è falsa, occorre trovare un
uomo immortale.
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Logica e teoria degli insiemi
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II - 15
C1) assiomi espliciti: la proposizione
� Gli asini volano�
è da considerarsi vera a priori;
C2) schemi d’assioma: la proposizione
� Se (non T) è vera, allora T è falsa �
è vera qualunque sia T ;
C3) sillogismi: se le due proposizioni
T e �T implica S �
sono vere, allora è vera anche la proposizione S .
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II - 16
Logica e teoria degli insiemi
Logica e segni logici
Esempio
Tutti gli uomini sono mortali,
poichè
Socrate è un uomo,
allora
Socrate è mortale.
Uso scorretto
� Tutti i gatti sono mortali,
poichè
Socrate è mortale,
allora
Socrate è un gatto�.
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Logica e teoria degli insiemi
II - 17
Logica e segni logici
Assiomi della geometria euclidea
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Una teoria matematica si basa su certi termini specifici della
teoria, per i quali si stabiliscono delle relazioni, specifiche della
teoria.
La verità delle relazioni si basa su un sistema d’assiomi espliciti
(come la geometria euclidea). Il loro ruolo è quello di modello per
la realtà da studiare.
A partire da essi, mediante dimostrazioni basate su regole logiche
(schemi d’assiomi e sillogismi) si costruiscono verità via via più
complesse. Esse, ottenute per deduzione, sono vere per tutti gli
oggetti che verificano gli assiomi espliciti della teoria.
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Logica e teoria degli insiemi
II - 18
Logica e segni logici
Assiomi di Peano
1. Per due punti si può tirare un segmento di retta.
2. Una retta per due punti può esser prolungata oltre i due
punti.
3. Fissato un punto ed un segmento, esiste una circonferenza
con centro il punto e raggio il segmento.
4. Tutti gli angoli retti sono uguali.
5. Se due rette tagliate da una secante comune, formano con
essa angoli diversi, allora le due rette s’incontrano dal lato
in cui la somma degli angoli è minore d’un angolo piatto.
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Logica e segni logici
Teorie matematiche
� È vero: infatti ho un gatto di nome Socrate�. (Eugène
Ionesco, Il rinoceronte))
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Logica e teoria degli insiemi
II - 19
1.
2.
3.
4.
lo zero è un numero naturale;
il successore d’un numero naturale è un numero naturale;
il successore d’un numero naturale non è lo zero;
se i successori di due numeri naturali sono uguali, lo sono
anche i due numeri;
5. se un insieme contiene lo zero ed il successore d’ogni
suo elemento, allora contiene l’insieme dei numeri naturali
(assioma d’induzione).
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II - 20
Teoria degli insiemi
La teoria degli insiemi
Teoria degli insiemi
La teoria degli insiemi
La teoria degli insiemi è una teoria logica quantificata, dotata di
due segni
=
ed
∈
che permettono, dati due termini x ed y, di formare la relazione
x=y
che si legge
�x uguale ad y�
o la relazione
x∈y
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che si legge
L’uguaglianza
L’uguaglianza si caratterizza con due schemi d’assioma:
S1 �se due termini sono uguali, essi verificano le stesse
relazioni (hanno le stesse proprietà)�
S2 �se due relazioni sono equivalenti per ogni oggetto, gli
oggetti che le verificano rispettivamente sono uguali�.
�x appartiene ad y�.
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Teoria degli insiemi
II - 21
La teoria degli insiemi
19 ottobre 2014
Teoria degli insiemi
II - 22
La teoria degli insiemi
Una relazione R(x,y) (in cui cioè compaiono due lettere distinte)
può essere:
x=x
Teorema 2) simmetria dell’uguaglianza
• riflessiva se è un teorema
(∀x)R(x, x)
esempi: �essere parente di�, ma non �essere più vecchio
di�
( x = y) ⇔ (y = x)
Teorema 3) transitività dell’uguaglianza
• simmetrica se è un teorema
(∀x)(∀y)(R(x, y) ⇒ R(y, x))
esempi: �essere parente di�, ma non �essere più vecchio
di�
((x = y) e (y = z)) ⇒ (x = z)
La negazione di T = U si indica con T �= U
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Relazioni
Da essi discendono i tre teoremi:
Teorema 1) riflessività dell’uguaglianza
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La teoria degli insiemi
II - 23
"Lezione 2".tex
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II - 24
Teoria degli insiemi
La teoria degli insiemi
• antisimmetrica se è un teorema
(∀x)(∀y)((R(x, y) e R(y, x)) ⇒ (x = y))
esempi: �essere in fila�, ma non �essere parente di�
Nota: una relazione antisimmetrica è implicitamente
riflessiva.
• transitiva se è un teorema
(∀x)(∀y)(∀z)((R(x, y) e R(y, z)) ⇒ R(x, z))
esempi: �essere un discendente di�, ma non �essere
parente di�
Nota: Solo la relazione �x = y� è simmetrica ed antisimmetrica
insieme.
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Teoria degli insiemi
II - 25
La teoria degli insiemi
L’appartenenza
�x appartiene ad y�,
�x è elemento di y�,
�y contiene x�
Una relazione R si dice univoca in x se è un teorema che
�se R è vera per due oggetti essi sono uguali�
Esempi:
�x ha y come madre� è univoca, perché se è viva, è unica.
�x ha il passaporto y� non è univoca, perché uno può averne
due.
Una relazione R si dice funzionale in x se è un teorema che
�esiste ed è unico un x tale che R�
Esempi:
�x è nato y� è funzionale, perché ognuno è nato una sola volta.
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Teoria degli insiemi
II - 26
La teoria degli insiemi
questo è possibile mediante l’enumerazione degli elementi:
A = {a, b, c, d} = {d, c, a, b} (l’ordine non conta)
B = The Beatles = {John, Paul, George, Ringo }
oppure con una relazione vera che caratterizza tutti e soli gli elementi dell’insieme:
N = {x|x è un numero naturale}
F (R) = {f |f è una funzione reale di variabile reale}.
Se S è un termine della teoria degli insiemi, si dirà
�S è un insieme�
La negazione �S non è elemento di T � si scrive
S ∈
/ T
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La teoria degli insiemi
In pratica,
si chiama insieme un qualunque termine d’una teoria matematica del quale si possa stabilire a priori, con certezza e
senza contraddizioni, quali altri termini della teoria contenga, detti elementi dell’insieme.
La relazione x ∈ y si legge
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Teoria degli insiemi
II - 27
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19 ottobre 2014
II - 28
Teoria degli insiemi
La teoria degli insiemi
Se è vero che I = {x|R}, allora si dice che R è collettivizzante
in x.
In tal caso si scrive anche
I = CollxR
con I l’insieme che collettivizza R.
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19 ottobre 2014
Teoria degli insiemi
II - 29
La teoria degli insiemi
Teoria degli insiemi
La teoria degli insiemi
Esempi:
T = {io, mammeta e tu}
C = {Totò, Peppino e la malafemmina}
D = {io, tu e le rose}
I = {x | x è italiano}
N = {x | x è un numero naturale}
R = {x | x è un triangolo rettangolo}
AA = {x | x è un’attrice americana}
non sono insieme
AB = {x | x è un bell’attore americano}
C = {x | x è un concetto astratto}
X = {x | x ∈
/ x}
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Teoria degli insiemi
II - 30
La teoria degli insiemi
L’inclusione
La relazione
Teorema 4)
x ⊆ x
(riflessività dell’inclusione)
Un insieme è sottoinsieme di sé stesso.
(∀z)((z ∈ x) ⇒ (z ∈ y))
si chiama inclusione e si scrive
e si legge
x ⊆ y
�x contenuto in y� ovvero �x è sottoinsieme di y�
Esempi:
BS = I Beatles superstiti = { Paul, Ringo}
E = { io, tu }
E ⊆ D
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BS ⊆ B
II - 31
Teorema 5)
((x ⊆ y) e (y ⊆ z)) ⇒ (x ⊆ z)
(transitività dell’inclusione)
Un insieme sottoinsieme d’uno che è sottoinsieme d’un terzo, è
anch’esso sottoinsieme del terzo.
Nota: x ⊆ y ⊆ z ⇒ x ⊆ z ma non x ∈ y ∈ z ⇒ x ∈ z.
Il gatto Fuffi appartiene alla specie Felis catus, che appartiene
all’insieme delle specie, ma Fuffi non è una specie...
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II - 32
Teoria degli insiemi
La teoria degli insiemi
Teoria degli insiemi
La teoria degli insiemi
Assioma di estensionalità:
(∀x)(∀y)(((x ⊆ y) e (y ⊆ x)) ⇒ (x = y))
(antisimmetria dell’inclusione) ovvero: due insiemi uno contenuto nell’altro sono uguali.
È la tecnica che si usa per verificare se due insiemi sono uguali.
Conseguenza: L’inclusione ⊆ é una relazione d’ordine
(riflessiva, antisimmetrica e transitiva).
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Teoria degli insiemi
II - 33
La teoria degli insiemi
Esempio X = { x | x è un multiplo di 2 }
Y = { y | y diviso 2 dà resto 0 }
x ∈ X, allora x = 2n, dunque x / 2 = 2n / 2 = n (resto 0) e
x ∈ Y, dunque X ⊆ Y.
y ∈ Y, allora y / 2 = n con resto 0, dunque y = 2n e y ∈ X e
quindi Y ⊆ X.
Quindi, per l’assioma d’estensionalità, X = Y .
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Teoria degli insiemi
II - 34
La teoria degli insiemi
Sia
la relazione
A ⊆ X
l’insieme
x ∈
/ Aex ∈ X
è collettivizzante in x e l’insieme
si chiama
/ X ex ∈ X}
Collx { x | x ∈
è l’insieme vuoto, il quale dovrebbe collettivizzare la relazione
{ x|x ∈
/ Aex ∈ X }
x ∈
/ X e x ∈ X.
Il fatto che questa relazione sia falsa per ogni X (dunque una
contraddizione), ∅ non ha elementi.
Risulta perø‘che l’insieme vuoto è sottoinsieme d’ogni insieme.
�complementare di A rispetto ad X �
e s’indica con
Cx A
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S’indica con ∅
II - 35
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II - 36
Teoria degli insiemi
Operazioni fra insiemi
Operazioni fra insiemi
Teoria degli insiemi
Se R ed S sono relazioni, e
Dati insiemi A e B, il termine
si legge
Operazioni fra insiemi
risulta
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
intersezione di A e B
A ∩ B è un insieme, anzi un sottoinsieme sia di A che di B.
A
A = Collx R e B = Collx S,
A ∩ B = Collx (R e S)
Esempio:
A = { le attrici americane }
B = { le attrici bionde }
A ∩ B = { le attrici americane bionde }
B
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Teoria degli insiemi
II - 37
Operazioni fra insiemi
Dati insiemi A e B, il termine
si legge
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Teoria degli insiemi
II - 38
Operazioni fra insiemi
Se R ed S sono relazioni, e
A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}
risulta
unione di A e B
A = Collx R e B = Collx S,
A ∪ B = Collx (R o S)
Esempio:
A = { le attrici americane }
B = { le attrici bionde }
A ∪ B = {le attrici americane o bionde}
ed è un insieme che contiene A e B.
A
B
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II - 39
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II - 40
Teoria degli insiemi
Operazioni fra insiemi
Dati insiemi A e B, il termine
Operazioni fra insiemi
Se R ed S sono relazioni, e
A = CollxR e B = CollxS, risulta A − B = Collx(R e non S)
A - B = {x | x ∈ A e x ∈
/ B}
si legge
Teoria degli insiemi
B - A = B - (A ∩ B) = CB (A ∩ B)
A - B = A - (A ∩ B) = CA (A ∩ B)
A meno B
Esempio:
A = { le attrici americane }
B = { le attrici bionde }
A - B = {le attrici americane che non sono bionde}
Rita Hayworth ∈ A - B
Marilyn Monroe ∈
/ A - B.
è un sottoinsieme di A.
A
A-B
B
BA
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II - 41
Operazioni fra insiemi
Se B ⊆ A allora A - B = CA B si chiama complementare di B
rispetto ad A.
A
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Teoria degli insiemi
II - 42
Operazioni fra insiemi
Dati insiemi A e B
A Δ B = {x | x ∈ A ∪ B e x ∈
/ A ∩ B}
si legge
A aut B
oppure
oAoB
è un sottoinsieme di A ∪ B, la differenza simmetrica fra A e B.
B
Esempio:
A = { le attrici americane }
B = { le attrici americane bionde }
A
B
CA B = {le attrici americane che non sono bionde}
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II - 43
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II - 44
Teoria degli insiemi
Operazioni fra insiemi
È l’unione degli insiemi (x ∈ A e x ∈
/ B) ed (x ∈ B e x ∈
/ A),
cioè:
A Δ B = (A - B) ∪ (B - A) = (A ∪ B) - (A ∩ B)= C A
∪B A∩B
Se R ed S sono relazioni, e
A = Collx R e B = Collx S ,
risulta
A Δ B = Collx ((R o S) e non (R e S)),
ovvero
A Δ B = Collx (o R o S).
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Teoria degli insiemi
II - 45
Operazioni fra insiemi
Proprietà (da dimostrare per esercizio):
associativa:
Operazioni fra insiemi
Esempio:
A Δ B = {x | x ∈ A ∪ B e x ∈
/ A ∩ B}
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) = (A - B) ∪ (B - A)
A = { le attrici americane }
B = { le attrici bionde }
A Δ B = {le attrici americane non bionde
e le attrici bionde non americane}
dunque, Rita Hayworth,Valeria Marini ∈ A Δ B.
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Teoria degli insiemi
II - 46
Operazioni fra insiemi
distributiva:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
De Morgan:
commutativa:
(coll’insieme vuoto):
Teoria degli insiemi
A - (B ∪ C) = (A - B) ∩ (A - C)
A - (B ∩ C) = (A - B) ∪ (A - C)
A ∩B=B ∩A
A ∪B=B ∪A
A ∩∅=∅A ∪∅=A
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II - 47
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II - 48
Teoria degli insiemi
Le ricerche booleane
Le ricerche booleane
Le operazioni fra insiemi si utilizzano per eseguire le ricerche nelle
basi di dati o sul web.
Impostando la ricerca con elefante o “elefante”, s’ottengono tutti
i documenti in cui compare (esattamente) la parola elefante:
{x | x contiene la parola elefante}
Impostando la ricerca con elefante africano, s’ottengono tutti i
documenti in cui compaiono (esattamente) o la parola elefante o
la parola africano (o tutt’e due):
{x | (x contiene la parola elefante) o
(x contiene la parola africano)}
È quindi come scrivere elefante OR africano.
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Teoria degli insiemi
II - 49
L’insieme delle parti
L’insieme delle parti
I sottoinsiemi d’un insieme costituiscono un insieme
P(X) = {Y |Y ⊆ X}
detto insieme delle parti di X . L’insieme P(X) non è mai vuoto:
infatti ∅ ∈ P(X) ed X ∈ P(X).
Inoltre, rammentando che ∅ �= {∅}, si ha in particolare
∅ ∈ P(∅) = {∅}, P(P(∅)) = {∅, {∅}}....
Se = {a, b}, allora P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}
Se A = {a, b, c} allora
P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
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19 ottobre 2014
II - 51
Teoria degli insiemi
Le ricerche booleane
Per ottenere invece le informazioni sugli elefanti africani, occorre
scrivere “elefante africano”, perché le virgolette impongono la
ricerca sulle due parole contigue:
{x | x contiene la parola “elefante africano”}
Impostando la ricerca con elefante AND africano, s’ottengono
tutti i documenti in cui compaiono simultaneamente le parole
elefante ed africano, ma non necessariamente vicine:
{x| (x contiene la parola elefante) e (x contiene la parola
africano)}
Se dai documenti con elefanti si vogliono escludere quelli con la
parola africano, occorre chiedere elefante AND NOT africano:
{x | (x contiene la parola elefante) e
(x non contiene la parola africano)}
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19 ottobre 2014
II - 50