Circuito RC serie in corrente continua (carica e scarica di un

Circuito RC serie in corrente continua
(carica e scarica di un condensatore)
Consideriamo il circuito in figura:
che fisicamente viene realizzato mettendo in serie un resistore e un capacitore a un generatore di
ddp continua. Inizialmente l'interruttore è aperto, al tempo t = 0 viene chiuso.
Quando viene chiuso l'interruttore circola corrente finché il condensatore C non è carico. Quando il
condensatore si è caricato completamente, nel circuito non circola più corrente, ed il condensatore
si comporta come un circuito aperto. Se, a condensatore carico, l'interruttore viene aperto, il
condensatore si scarica e nel circuito scorre di nuovo corrente finché il condensatore non si scarica
completamente.
Possiamo ricavare l'andamento della corrente nel tempo scrivendo l'equazione del circuito, che
otteniamo applicando i principi di Kirchhoff all'unica maglia che costituisce il circuito:
q(t )
(1) V 0 −i (t )⋅R−
=0
C
q(t )
avendo indicato con q(t) la carica istantanea presente sulle armature del condensatore (
C
infatti è la ddp tra le armature del condensatore).
dq (t)
Derivando una volta la (1) rispetto al tempo, e tenendo conto del fatto che i (t)=
, possiamo
dt
scrivere l'equazione
di (t ) 1
(2) R
+ i (t)=0
dt
C
(omogenea) di cui cerchiamo una soluzione della forma
(3) i (t)=k e λ t .
Per determinare le costanti k e λ sostituiamo la (3) nella (2), ottenendo
1 λt
λt
Rk λ e + ke =0
C
1
1
λt
da cui ricaviamo ( R λ + ) ke =0 → λ =−
. Per determinare k imponiamo le
C
RC
V
condizioni iniziali, infatti i (t=0)=k e d'altra parte per t =0 si ha i (t=0)= 0 (chiudendo
R
il circuito passa inizialmente la corrente massima, poi il condensatore comincia a caricarsi e la
corrente che scorre diminuisce esponenzialmente). Dal confronto otteniamo
k=
V0
.
R
Posto τ=RC , verifichiamo che τ abbia le dimensioni di un tempo, [ τ]=[ tempo] :
[ τ]=[ RC ]=[ ddp/ I⋅carica/ ddp]=[ carica/ I ]=[tempo] .
τ viene detta costante di tempo del circuito.
Abbiamo perciò
V −t
(4) i (t)= 0 e τ
R
Possiamo ricavare l'andamento nel tempo della ddp ai capi di R:
t
(5) V (t)=i(t )⋅R=V e− τ
R
0
e della ddp ai capi di C:
t
(6) V (t )=V −V (t)=V (1−e− τ )
C
0
R
0
Anche la carica sulle armature del condensatore aumenta esponenzialmente:
t
(7) q(t )=C⋅V (t)=C⋅V (1−e − τ )
C
0
Gli andamenti di i (t) e V C (t ) sono riportati nelle figure seguenti.
Calcoliamo l'energia immagazzinata nel condensatore. Durante la fase di carica, se all'istante t la
ddp tra le armature del condensatore è V C (t ) e la carica sulle armature è q(t ) , per trasferire
t
−
l'ulteriore carica dq(t )=C⋅V 0 1 e τ dt sulle armature bisognerà compiere un lavoro pari a
τ
t
t
−
1 −
dL=V C (t )dq (t)=V 0 (1−e τ )⋅C V 0 e τ dt
τ
Il lavoro necessario per caricare il condensatore, che è anche l'energia U immagazzinata nel
condensatore, sarà
2
2
2
t
t
t
t
∞
−
−
−
CV 0 ∞
CV 0
τ − τ ∞ CV 0
τ 1
2
τ
τ
τ
U = L=∫0 dL=
(1−e
)
e
dt
=
[−τ
e
+
e
]
=
[ τ− ]= CV 0
∫
0
τ
τ
2
τ
2
2
0
Allo stesso risultato si può arrivare più velocemente osservando che
dL=V C dq=
1
q dq
C
quindi
2
U=
1 Q
∫ q dq= 12 QC = 12 C V 20
C 0
Nel caso di un condensatore a facce piane e parallele, di superficie A, separate da una distanza d, la
ε A
capacità vale C = 0
e la ddp tra le armature si può esprimere attraverso il campo elettrico E:
d
V =Ed , quindi l'energia immagazzinata nel volume del condensatore ( vol= Ad ) è
ε A 1
1
U = E 2 d 2⋅ 0 = ε0 E 2⋅Ad
2
d
2
e la densità di energia (energia per unità di volume) è
1
2
w el = ε 0 E
2
Questa ultima relazione è valida in generale per la densità di energia del campo elettrico.
Nel caso della scarica del condensatore, che avviene per esempio quando un condensatore carico
viene chiuso su una resistenza come nella figura:
l'equazione del circuito è
q(t)
i (t)⋅R+
=0
C
che si può integrare come prima oppure anche, osservando che i=
dq
q
R=−
dt
C
→
dq
dt
=−
q
RC
→
q
∫Q
t
dq
dt
=− ∫0
q
RC
→
dq
:
C
ln q−ln Q=−
t
RC
e quindi
−
q(t )=Q e
t
RC
da cui derivando si ottiene
t
V −
i (t)=− e RC
R
Qui il segno meno sta a indicare il verso della corrente e V è la ddp iniziale tra le armature del
condensatore.
Le immagini sono prese da
http://www.sewanee.edu/physics/PHYSICS102/LAB4RC.html
http://www.electronics-tutorials.ws/rc/rc_1.html