V. c. multidimensionali e distribuzioni di funzioni di vc

Probabilità e Statistica
Esercitazioni
a.a. 2006/2007
C.d.L.: Ingegneria per l’Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell’Informazione
C.d.L.S.: Ingegneria Civile
V. c. multidimensionali e
distribuzioni di funzioni di v.c.
Ines Campa e Marco Longhi
Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 2006/2007
V. c. multidimensionali e distribuzione di funzioni di v.c.- Ines Campa e Marco Longhi - p. 1
Variabili casuali multidimensionali
Esercizio 1. Sia data la seguente funzione:
2
f (x, y) = ϑ x + y
2
· I[0,1] (x) · I[0,2] (y) .
calcolare la costante ϑ in modo che essa risulti una funzione di densità di probabilità
congiunta di X e Y . Determinare, inoltre,
• la funzione di densità di probabilità marginale di X ;
• la funzione di densità di probabilità marginale di
•
Cov [X, Y ];
• la funzione di ripartizione condizionata di
•
Y;
X , dato Y = 0, 2;
E [X + Y ] e Var [X − Y ].
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Esercizio 2. Lanciamo tre volte una moneta e indichiamo con X la variabile casuale che
denota il numero di volte in cui si ottiene testa e con Y la variabile casuale che denota il
valore assoluto della differenza tra il numero di teste e il numero di croci ottenute.
Determinare:
1. la funzione di densità di probabilità congiunta di X e Y ;
2. le funzioni di densità di probabilità marginali di X e di Y .
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Distribuzioni di funzioni di v.c.
Esercizio 3. Un’azienda stipula un contratto per vendere barattoli di conserva di 500 g . La
quantità di conserva X messa in ciascun barattolo è predeterminata meccanicamente ed è
normalmente distribuita con media µ e deviazione standard 25 g .
1. A quale valore minimo di µ deve essere tarata la macchina, affinchè non più del 2 per
cento dei barattoli contenga meno di 500 g di conserva?
2. Supponiamo che i barattoli siano di metallo e che il loro peso Y da vuoti segua una
distribuzione N (90, 64). Se un ispettore pesa i barattoli pieni e scarta quelli il cui peso è
inferiore 590 g , quale percentuale di barattoli non passerà l’ispezione?
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Esercizio 4 (Esercizio tratto dal tema d’esame del 22/12/2003).
Sia X la variabile casuale avente funzione di densità
fX (x) =
(
e−(x−2)
0
se x > 2
altrimenti
Siano X1 , X2 , · · · , Xn variabili casuali indipendenti e ciascuna con densità di probabilità
fX . Sia Y = min [X1 , X2 , · · · , Xn ]. Calcolare la funzione di ripartizione e la funzione di
densità della variabile casuale Y .
Esercizio 5. Sia X una variabile casuale esponenziale di parametro λ. Dati a, b ∈
che a < b, definiamo Y1 = max [a, X], Y2 = min [b, X] e Y3 = max [a, Y2 ].
Calcolare la funzione di ripartizione delle variabili casuali Y1 , Y2 e Y3 .
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R tali
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Esercizio 6 (Tema d’esame del 13/12/2005).
Data la seguente funzione

 kx se 0 ≤ x ≤ a e 1 ≤ y ≤ e,
y
fX,Y (x, y) =

0
altrove,
nel caso in cui a = 2,
1. determinare il valore della costante k affinché fX,Y (x, y) sia una funzione di densità di
probabilità congiunta nella variabile aleatoria bidimensionale X, Y ;
2. verificare l’indipendenza delle componenti marginali X e Y ;
3. calcolare var
X
−Y .
a
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Campionamento
Esercizio 7. Durante un processo di produzione vengono estratti 300 campioni di un pezzo
e ne viene misurato lo spessore in mm, fornendo una media campionaria di 2, 6 mm. Si
sa inoltre che la varianza della variabile casuale che dà lo spessore è 0, 4 mm2 . Qual è la
probabilità che il valore atteso dello spessore sia inferiore a 2, 5 mm?
Esercizio 8. In un processo di produzione vengono prodotte sbarre con una lunghezza data
da una distribuzione normale, di cui si conosce la deviazione standard, pari a 0, 2 m. Si
esegue un campionamento per calcolare il valore atteso, misurando un numero n di sbarre e
calcolando la media. Qual è la numerosità del campione che garantisce una probabilità
superiore al 97 per cento che la media campionaria disti dal valore atteso per meno di
1 cm?
Esercizio 9 (Tema d’esame del 07/12/2004).
Si supponga che una distribuzione con media incognita abba deviazione standard uguale a
1. Quanto deve essere grande un campione affinché si abbia una probabilità almeno del
90% che la media campionaria X n disti meno di 0.5 dalla media della popolazione?
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