UNIVERSITA’ DI NAPOLI FEDERICO II
Facoltá di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Edile
Programma del corso di
ANALISI MATEMATICA I
Anno Accademico 2011/2012
prof. Claudia CAPONE
SOLO studenti con cognomi da ”J” a ”Z”
N.B. Gli argomenti riportati in grassetto si intendono completi di dimostrazione
Le date precise (con aule ed elenco dei prenotati) saranno rese note attraverso avvisi esposti presso il
Dipartimento di Matematica (X piano) P.le Tecchio e attraverso il sito docenti
http://www.docenti.unina.it/claudia.capone
Per spiegazioni, ricevimento ed informazioni si puo’ fissare un appuntamento con il docente scrivendo
al seguente indirizzo [email protected]
1. NUMERI REALI
Gli assiomi dei numeri reali. Cenni di teoria degli insiemi. Numeri naturali, interi, razionali . Il principio di
induzione. Crescenza della funzione potenza. Disuguaglianza di Bernoulli . Massimo, minimo, estremo
superiore, estremo inferiore.
2. FUNZIONI REALI
Funzioni e rappresentazione cartesiana. Funzioni invertibili. Funzioni monotone. Funzioni suriettive. Funzioni
lineari. Funzione valore assoluto. Le funzioni potenza, esponenziale, logaritmo. Le funzioni trigonometriche.
Le funzioni trigonometriche inverse.
3. DISEQUAZIONI, INSIEMI DI DEFINIZIONE
Polinomi. Principio di identita’ dei polinomi. Operazioni sui polinomi. Divisione euclidea tra polinomi. Teorema di Ruffini. Equazioni e disequazioni di primo grado, equazioni e disequazioni di secondo grado, sistemi
di disequazioni, disequazioni fratte. Equazioni e disequazioni biquadratiche. Disequazioni esponenziali. Disequazioni logaritmiche. Disequazioni con il valore assoluto. Disequazioni trigonometriche. Disequazioni con le
funzioni trigonometriche inverse. Insiemi di definizione. Esercizi.
4. SUCCESSIONI
Definizioni e prime proprietá : definizione di successione convergente, divergente, indeterminata. Teorema
sulla unicitá del limite. Successioni limitate. Teorema sulla limitatezza delle successioni convergenti.
Operazioni con i limiti. Teorema sul limite della somma, differenza, prodotto e rapporto di due
successioni . Forme indeterminate. Teoremi di confronto : Teorema della permanenza del segno e
corollari. Teorema dei carabinieri . Altre proprietá dei limiti di successioni . Successioni infinitesime.
Teorema del limite del prodotto di una successione limitata per una infinitesima. Alcuni limiti
notevoli. Successioni monotone. Teorema sulle successioni monotone. Il numero e. Criterio del rapporto
per le successioni. Infiniti di ordine crescente. Esercizi.
5. LIMITI DI FUNZIONI. FUNZIONI CONTINUE.
Definizione di limite. Limite sinistro e limite destro. Teorema sul legame tra limiti di funzioni e limiti di
successioni. Esempi e proprietá dei limiti di funzioni. Limiti notevoli: limiti con le funzioni trigonometriche, con la funzione esponenziale, con la funzione logaritmo, con la funzione potenza. Calcolo dei
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limiti di funzioni. Infinitesimi ed infiniti. Operazioni con i limiti di funzioni. Limiti di funzioni composte.
Funzioni continue. Discontinuita’. Alcuni teoremi sulle funzioni continue : Teorema della permanenza
del segno. Teorema dell’esistenza degli zeri. Primo teorema sull’esistenza dei valori intermedi.
Teorema di Weierstrass. Secondo teorema sull’esistenza dei valori intermedi. Esercizi.
6. DERIVATE
Definizione di derivata. Teorema sulla continuitá delle funzioni derivabili . Operazioni con le derivate:
Derivata della somma, della differenza, del prodotto e del rapporto di due funzioni. Teorema
di derivazione delle funzioni composte. Teorema di derivazione delle funzioni inverse. Derivate
delle funzioni elementari: funzione costante,funzione lineare, funzione valore assoluto,funzione
potenza con esponente naturale,funzione esponenziale,funzione logaritmo,funzione potenza ad
esponente reale,funzione seno,funzione coseno,funzione tangente,funzione cotangente, funzione
arcoseno,funzione arcocoseno,funzione arcotangente. Significato geometrico della derivata. Retta
tangente. Derivate seconde. Esercizi.
7. APPLICAZIONI DELLE DERIVATE
Massimi e minimi relativi . Teorema di Fermat. I teoremi di Rolle e Lagrange. Funzioni crescenti e funzioni decrescenti: Criterio di monotonia . Caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo.
Criterio di stretta monotonia. Funzioni convesse e funzioni concave. Criterio di convessita’. Il Teorema
di L’Hopital. Asintoti di una funzione. Studio del grafico di una funzione. Differenziale di una funzione in un
punto: definizione e suo significato geometrico. Formula di Taylor: Resto di Peano.
8. SERIE
Serie numerica: definizione. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Criterio di Cauchy
per le serie. Serie a termini non negativi. La serie geometrica. La serie armonica. La serie armonica generalizzata. Criteri di convergenza: Criterio del confronto. Criterio degli infinitesimi. Criterio del rapporto.
Criterio della radice. Convergenza assoluta. Esercizi.
9. NUMERI COMPLESSI
Il campo dei numeri complessi. Il campo dei numeri complessi come ampliamento del campo dei numeri reali.
Forma algebrica di un numero complesso. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi. Forma trigonometrica di un numero complesso. Operazioni con i numeri complessi. Radici n-me di un numero complesso.
Forma esponenziale di un numero complesso. Esercizi.
10. INTEGRALI DEFINITI
L’integrale definito: interpretazione geometrica. Prime proprietá .Definizioni e notazioni. Proprietá degli integrali definiti: additivitá, linearitá, confronto tra integrali. Uniforme continuita’. Teorema di Cantor. Teorema
di integrabilitá delle funzioni continue. Il teorema della media. Esercizi.
11. INTEGRALI INDEFINITI
Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive. Caratterizzazione delle primitive di
una funzione in un intervallo. Formula fondamentale del calcolo integrale. L’integrale indefinito.
Linearitá dell’integrale indefinito. Integrali indefiniti fondamentali. Integrazione per decomposizione in somma.
Integrazione delle funzioni razionali. Formula di Hermite. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Esercizi.
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