Esercizi per il precorso di Matematica per MM.FF.NN

L1
Argomenti della lezione
•
•
•
•
Criteri di divisibilità
fattorizzazione
m.c.m. e M.C.D.
frazioni ed espressioni
L1
Esercizio
Quale cifra deve assumere la lettera c affinché i numeri
821c
e
82c1
siano divisibili per 2?
Risposta
Un numero è divisibile per 2 se e solo se la cifra delle unità è 0, 2, 4, 6, 8.
Pertanto:
•
•
il numero 821c è divisibile per 2 se c assume uno dei valori precedenti;
il numero 82c1 ha la cifra delle unità uguale a 1. Di conseguenza non c’è alcun valore di c che lo rende
divisibile per 2.
L1
Esercizio
Quale cifra deve assumere la lettera c affinché i numeri
821c
e
82c1
siano divisibili per 3?
Risposta
Un numero è divisibile per 3 se e solo se la somma delle sue cifre dà un numero divisibile per 3.
La somma delle cifre vale, per entrambi i numeri
8 + 2 + 1 + c = 11 + c
Affinché 11 + c, con c ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, sia un multiplo di 3 deve essere
11 + c = 12
⇒
c = 12 − 11 = 1
11 + c = 15
⇒
c = 15 − 11 = 4
11 + c = 18
⇒
c = 18 − 11 = 7
oppure
e infine
Altre possibilità non vi sono perché 11 + c = 21 dà c = 21 − 11 = 10, valore non accettabile perché 10 non è una
cifra. Quindi i numeri richiesti sono
•
per 821c: 8211, 8214 e 8217;
•
per 82c1: 8211, 8241 e 8271.
L1
Esercizio
Determinare il M.C.D. (Massimo Comun Divisore) ed il m.c.m (minimo comune multiplo) dei numeri 36, 90, 100.
Risposta
L’M.C.D. di un insieme di numeri naturali è il più grande numero che divide tutti i numeri dati.
Il m.c.m. di un insieme di numeri naturali è il più piccolo numero che è multiplo di tutti i numeri dati.
Determiniamo M.C.D. e m.c.m. usando la scomposizione (unica!) in fattori primi di ciascun numero. Abbiamo
36
18
9
3
1
2
2
3
3
⇒
2
2
36 = 2 · 3
90
45
15
5
1
2
3
3
5
Quindi è
M.C.D.(36, 90, 100) = 2,
⇒
2
90 = 2 · 3 · 5
100
50
25
5
1
2
2
5
5
2
2
⇒
2
m.c.m.(36, 90, 100) = 2 · 3 · 5
perché
•
•
per il M.C.D. si prendono solo i fattori comuni a tutti i numeri con l’esponente più basso;
per il m.c.m. si prendono tutti i fattori (comuni e non) a tutti i numeri con il grado più alto.
2
2
100 = 2 · 5
L1
Esercizio
Determinare il M.C.D. (Massimo Comun Divisore) dei numeri 10002 e 9999.
Risposta
Sia k = M.C.D.(10002, 9999). Allora è
10002 = k · n1
e
9999 = k · n2
con n1 , n2 ∈ N opportuni. Pertanto, effettuando la differenza tra i due numeri, risulta
10002 − 9999 = k · n1 − k · n2
⇔
3 = k · (n1 − n2 )
Quindi, dato che k ∈ N, k è un divisore di 3 ossia è k = 1 oppure k = 3. Ora, sia 10002 che 9999 sono divisibili
per 3. Pertanto, M.C.D.(10002, 9999) = 3.
Osservazione
Due numeri naturali il cui M.C.D. sia 1 si dicono primi tra loro.
L1
Esercizio
Sia H un insieme di numeri interi positivi. Se in H non c’è alcun numero dispari, allora siamo certi che in H non c’è
alcun numero che sia
[1] un multiplo di 3
[2] una potenza di 5
[3] divisibile per 7 e per 11
[4] il quadrato di un altro numero
Risposta
Poiché in H non ci sono numeri dispari vuol dire che ci sono solo numeri pari.
•
•
•
•
H può contenere multipli di 3, tutti quelli pari (ad esempio, 6).
Parimenti, H può contenere numeri divisibili per 7 e per 11 e che siano pari (ad esempio, 144 = 2 · 7 · 11).
H può contenere quadrati di altri numeri presenti in H oppure no (ad esempio, 16 = 42 ).
Le potenze di 5, invece, terminano sempre per 5. Quindi sono numeri dispari e, pertanto, non possono
stare in H. Pertanto, siamo certi che H non contiene potenze di 5.
L1
Esercizio
Dimostrare che il numero N = n3 − n, n ∈ N è sempre divisibile per 6.
Risposta
Abbiamo
N
3
2
=
n − n = n(n − 1) = n(n − 1)(n + 1)
=
(n − 1) · n · (n + 1)
Quindi N è il prodotto di tre interi consecutivi. Ne segue che
•
•
almeno uno è pari;
almeno uno è multiplo di tre.
Perciò, N ha tra suoi fattori 2 e 3. Di conseguenza, ha anche il fattore 6 = 2 · 3. Quindi è divisibile per 6.
L1
Esercizio
Siano m, n numeri naturali dispari. Allora (m + 1) · n è un numero
[1] pari
[2] dispari
[3] sia pari che dispari
Risposta
Poiché m è dispari m + 1 risulta pari. Quindi, 2 è sicuramente uno dei fattori di m + 1 e, di conseguenza, anche di
(m + 1) · n. Dunque, (m + 1) · n è pari.
L1
Esercizio
Siano m e n due numeri interi. Si supponga che 10 divida il prodotto m · n. Allora
[1] 10 divide m e n
[2] 10 divide m o n
[3] nessuna delle due precedenti risposte è corretta
Risposta
E’ vera la terza opzione. In generale, se un numero divide il prodotto di altri numeri non è detto che sia un divisore di
qualcuno di essi (anche se potrebbe esserlo). Ad esempio, prendendo m = 2 ed n = 5 abbiamo
•
•
10 divide m · n = 2 · 5 = 10
10 non divide né m né n.
L1
Esercizio
E’ data una sequenza di n numeri dispari consecutivi. Detto M il maggiore della sequenza ed m il minore, quale
relazione è vera?
[1] m = M − n
[2] m = M − 2n
[3] m = M − 2n + 2
[4] m = M − n + 1
Risposta
Per qualche k ∈ N, gli n numeri dispari, essendo consecutivi, possono essere scritti come
s1 = 2k + 1,
s2 = 2k + 3,
s3 = 2k + 5,
s4 = 2k + 7,
··· ,
Quindi M = 2k + (2n − 1) e m = 2k + 1 per cui
M − m = [2k + (2n − 1)] − [2k + 1] = 2n − 2.
Dunque risulta m = M − 2n + 2.
sn = 2k + (2n − 1)
L1
Esercizio
Sia n un numero naturale; allora il numero n351 + n227 è
[1] sempre pari
[2] sempre dispari
[3] sia pari che dispari
Risposta
Generalizziamo al caso np + nq con p, q ∈ N. Distinguiamo due casi
•
n pari: E’ n = 2 · k , k ∈ N. Di conseguenza risulta
np
nq
•
=
=
(2 · k )p
(2 · k )q
=
=
2p · k p
2q · k q
⇒
⇒
np
nq
pari
pari
ff
p
⇒ n +n
q
pari
n dispari: E’ n = 2 · k + 1, k ∈ N. Ricordiamo che se m, n, p ∈ N con n > m allora (n − m)|(np − mp ) .
Segue per m = 1 e tenendo conto che 1p = 1
p
p
p
(n − 1)|(n − 1 ) = n − 1
Pertanto abbiamo
•
•
•
n − 1 = 2k
n − 1|np − 1
np = (np − 1) + 1 dispari
⇒
⇒
n − 1 pari
2|np − 1
⇒
np − 1 pari
Quindi, per p, q ∈ N e n dispari risulta np ed nq dispari. Pertanto, np + nq è pari.
In conclusione, qualunque siano p, q, ed n, la somma np + nq è sempre pari!
L1
Esercizio
Qual è il valore della seguente espressione?
− 21 − 34
−3 + 34
[1] −
1
6
[2]
5
[3]
9
45
16
Risposta
Abbiamo
− 21 − 34
−3 + 34
=
=
=
=
−2−3
4
−12+3
4
− 54
− 94
−
5
9
5
4
·
„
«
4
−
9
[4] −
1
9
L1
Esercizio
Scrivendo per esteso il numero decimale 17, 3 · 10−5 , quale cifra si trova al quarto posto dopo la virgola?
[1] 7
[2] 0
[3] 1
[4] 3
Risposta
Dobbiamo spostare la virgola di 5 posizioni verso sinistra aggiungendo eventuali zeri. Risulta
−5
17, 3 · 10
Pertanto, al quarto posto si trova la cifra 1.
= 0, 000173
L1
Esercizio
L’espressione
4 · 10−8
5 · 10−3
è uguale a
−12
[1] 8 · 10
−4
−6
[2] 8 · 10
[3] 8 · 10
Risposta
Applicando la proprietà delle potenze risulta
4 · 10−8
5 · 10−3
=
=
=
4
−8−(−3)
· 10
5
4·2
−5
· 10
5·2
8
−5
· 10
10
−5−1
=
8 · 10
=
8 · 10
−6
.
−10
[4] 8 · 10
L1
Esercizio
L’espressione
− 2−2
3
4
è uguale a
[1]
1
[2]
3
16
1
[3] −
3
[4] −
3
3
16
Risposta
Abbiamo
− 2−2
3
4
=
− 12
2
3
4
=−
1
22
·
4
3
=−
1
3
.
Osserviamo che la risposta deve essere un numero negativo perché l’espressione iniziale è il rapporto del numero
negativo − 2−2 e del numero positivo 3/4. Dunque, le risposte [1] e [2] sono escluse a priori.
L1
Esercizio
Quale vale 12, 5 · 10−3 · 8 · 10111 ?
110
[1] 10
[2] 1
110
37
[3] 10
−333
108
[4] 100 · 10
[5] 1000
Risposta
Applicando le proprietà delle potenze risulta subito
−3
12, 5 · 10
111
· 8 · 10
−3+111
= 12, 5 · 8 · 10
108
= 100, 0 · 10
2
108
= 10 · 10
2+108
= 10
110
= 10
.