Lezione 3
- Probabilità totale, Bayes - Alberi
1
PROBABILITÀ TOTALE
TEOREMA DI BAYES
ALBERI E GRAFI
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Lezione 3
- Probabilità totale, Bayes - Alberi
2
Probabilità condizionata
Un nuovo simbolo P(A|B), che si legge "probabilità dell'evento A noto che sia
l'evento B", cioè la probabilità che assume l'evento A, sapendo (o supponendo) che B si
sia verificato.
Nel caso di eventi dipendenti si ha
P( A ∩ B) = P ( B | A) P ( A)
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Lezione 3
- Probabilità totale, Bayes - Alberi
3
Esercizio 3.1 :
Costruire il grafo relativo al lancio di tre monete ed
esaminare i vari eventi.
Il primo nodo produce i due rami T e C, da cui partono ulteriori coppie di rami.
Per avere tutti i possibili casi del lancio di tre monete, si parte dalla radice (vertice
superiore) e si percorre ciascun ramo fino alla base inferiore, leggendo le lettere che
s'incontrano lungo il percorso.
Ad esempio, il primo ramo dà luogo all'evento TTT.
Seguendo tutti gli otto percorsi, possiamo avere lo spazio campione, costituito da:
TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC.
I rami del grafo hanno tutti lo stesso peso poiché i due eventi T e C sono equiprobabili.
Per avere la probabilità di ciascun evento, basta calcolare il rapporto tra il numero di casi
(rami terminali) favorevoli e il numero totale di casi, 8 in quest'esempio.
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Lezione 3
Non sempre gli eventi
sono equiprobabili.
- Probabilità totale, Bayes - Alberi
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Esercizio 3.2
Un sacchetto nero contiene 2 biglie rosse e 5 nere. Ho
scommesso di riuscire a prendere due biglie di colore
diverso, con due pescate consecutive senza
reimbussolamento. Dopo aver estratto la prima biglia,
sbirciando attraverso la mano, non perfettamente
chiusa, vedo che è rossa.
Quale probabilità ho adesso di vincere la scommessa?
Sapere che la prima biglia è rossa potrebbe sembrare un dettaglio irrilevante. Se voglio avere
due biglie di colore diverso è ovvio che una delle due dev'essere rossa.
Tuttavia, senza tale informazione, dovrei considerare tutti e due i possibili casi favorevoli
all'evento:
la prima è rossa e la seconda è nera:
P(R1∩N2)= P(R1)×P(N2 |R1)= (2/7)×(5/6)= 5/21
la prima è nera e la seconda è rossa:
P(R2∩N1)= P(N1)×P(R2 |N1)= (5/7) × (2/6) = 5/21
Essendo i due eventi incompatibili tra loro, la probabilità si ottiene, per il principio di
addizione,
P(R∩N)= P(R1∩N2)+ P(R1∩N2)= 5/21 + 5/21 = 10/21.
Sapendo invece, che la prima biglia estratta è rossa
P(N2 |R1)= 5/6 < di 10/21.
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5
Esercizio 3.3
Sto per procedere all'estrazione della prima biglia, dal sacchetto descritto nel problema
precedente. L'estrazione di una biglia rossa è 2/7. Prima che si proceda all'estrazione,
un bimbo allunga una mano, prende una biglia e scappa, senza che si riesca a vedere il
colore della biglia rubata. Siamo certi che manca una sola biglia, poiché ognuna pesa
10 grammi e una bilancia indica esattamente 10 grammi in meno. Qual è ora la
probabilità di estrarre una biglia rossa?
Occorre valutare le seguenti due possibilità:
1.
2.
il bimbo ha preso una biglia rossa
il bimbo ha preso una biglia nera
Per ciascuna delle due possibilità occorre valutare le probabilità relative all'estrazione della
biglia rossa. Valutiamo caso per caso le singole probabilità dei due eventi
•
la probabilità che il bimbo abbia preso la biglia rossa, non avendo avuto possibilità di
vedere il colore, è 2/7. A questo punto restano 6 biglie, di cui 1 rossa. La probabilità di
estrarre la rossa è p=(2/7)×(1/6)=1/21
•
la probabilità che il bimbo abbia preso la biglia nera è 5/7. A questo punto restano 6 biglie,
di cui 2 rosse. La probabilità di estrarre la rossa in questo secondo caso è
p=(5/7)×(2/6)=5/21
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Lezione 3
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Esercizio 3.3
Sto per procedere all'estrazione della prima biglia, dal sacchetto descritto nel problema
precedente. L'estrazione di una biglia rossa è 2/7. Prima che si proceda all'estrazione,
un bimbo allunga una mano, prende una biglia e scappa, senza che si riesca a vedere il
colore della biglia rubata. Siamo certi che manca una sola biglia, poiché ognuna pesa
10 grammi e una bilancia indica esattamente 10 grammi in meno. Qual è ora la
probabilità di estrarre una biglia rossa?
l'estrazione di una biglia rossa, per il principio di addizione, ha probabilità (1/21) + (5/21) = 6/21
= 2/7.
E' veramente sorprendente: la probabilità di estrarre la biglia rossa non è stata modificata dal
fatto che il bimbo abbia sottratto una biglia.
Si
tratta
perciò
di
un
caso
insospettato
di
due
eventi
indipendenti.
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Esercizio 3.4
Un prestigiatore (altrimenti detto mago) ha fatto preparare tre carte prive di dorso, con il
segno della carta riportato su entrambe le facce. La prima ha un asso di picche su
entrambe. La seconda ha un asso di cuori su entrambe. La terza ha un asso di picche su
una faccia ed un asso di cuori sulla faccia opposta.
Dopo aver nascosto le carte, il mago ne prende una e la depone sul tavolo. E' visibile una
delle facce, supponiamo un asso di cuori. A questo punto il mago ci chiede di indovinare
la faccia nascosta. Rifletto un po' sulla situazione: "Sto vedendo un asso di cuori. E'
escluso quindi che si possa trattare dalla carte picche-picche. Restano sono solo due
possibilità: la carta cuori-cuori o quella cuori-picche. Il gioco mi sembra equo, poiché
ho una probabilità su due di indovinare". Scelgo "picche". Il mago mi propone allora di
scommettere 50 euro. Se accetto la scommessa quale probabilità ho di vincere?
Sembra di aver già risposto: è 1/2.
Le cose non stanno però così
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Lezione 3
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8
Esercizio 3.4
Un prestigiatore (altrimenti detto mago) ha fatto preparare tre carte prive di dorso, con il segno della carta riportato su
entrambe le facce. La prima ha un asso di picche su entrambe. La seconda ha un asso di cuori su entrambe. La terza ha
un asso di picche su una faccia ed un asso di cuori sulla faccia opposta.
Dopo aver nascosto le carte, il mago ne prende una e la depone sul tavolo. E' visibile una delle facce, supponiamo un
asso di cuori. A questo punto il mago ci chiede di indovinare la faccia nascosta. Rifletto un po' sulla situazione: "Sto
vedendo un asso di cuori. E' escluso quindi che si possa trattare dalla carte picche-picche. Restano sono solo due
possibilità: la carta cuori-cuori o quella cuori-picche. Il gioco mi sembra equo, poiché ho una probabilità su due di
indovinare". Scelgo "picche". Il mago mi propone allora di scommettere 50 euro. Se accetto la scommessa quale
probabilità ho di vincere?
Non dobbiamo dimenticare che le tre carte hanno
ciascuna due dorsi. Si hanno quindi 6 diversi casi,
come si vede nella figura a lato.
Non dobbiamo dimenticare che le tre carte hanno
ciascuna due dorsi. Si hanno quindi 6 diversi casi,
come si vede nella figura a lato.
Nella prima riga abbiamo indicato i sei possibili modi di mostrare una faccia, quando viene messa
una carta sul tavolo. Nella seconda riga sono indicati i rispettivi assi disegnati sulla faccia
opposta.
Dato che si vede una faccia di cuori, debbo eliminare i tre casi in cui compare quella di picche. Ne
restano tre: due che hanno cuori anche sulla seconda faccia ed uno che ha picche. Purtroppo ho
scommesso sull'evento "picche" che ha probabilità 1/3 di vincere, contro 2/3 di cui dispone il
mago. Mai fidarsi dei maghi!
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Esercizio 3.5 Origini del Calcolo delle Probabilità
Il cavaliere di Merè chiese loro consiglio su
1654: Blaise PASCAL (1601-1665)
come ripartire le sue puntate in denaro in un
Pierre FERMAT (1623-1662)
gioco di dadi :
QUESITO: secondo il gioco d’azzardo la probabilità di avere almeno un 6 su quattro lanci di un
dado e di almeno un doppio 6 su ventiquattro lanci di due dadi doveva essere uguale; questa
convinzione non era confermata dall’esperienza.
CHI AVEVA RAGIONE?
A1: un 6 su 1 lancio
A: almeno un 6 su quattro lanci
P ( A1 ) =
B1: almeno un doppio 6 in un lancio di due dadi
B: almeno un doppio 6 su ventiquattro lanci di due dadi
1
6
P ( B1 ) =
4
5
P ( A) = 1 − P ( nessun 6) = 1 − = 0.49
6
1
36
24
35
P ( B ) = 1 − P (nessun 6) = 1 − = 0.52
36
Ha ragione l’esperienza!
Il Cavaliere aveva commesso l'errore di sommare 4 volte o 24 volte la probabilità di un singolo
evento, come se si trattasse di eventi incompatibili
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Probabilità condizionata
Esercizio:
Si hanno tre urne.
U1
U2
U3
Si sceglie un’urna a caso e si estrae una pallina. Qual è la probabilità di
estrarre una pallina bianca.
1/2
U1
1/3
U2
1/2
1/4
P (bianca ) =
1 1 1 1 2 1 6 + 3 + 8 17
+
+
=
=
2× 3 4× 3 3× 3
36
36
3/4
1/3
1/3
U3
2/3
1/3
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Teorema delle probabilità totali
Se B è un evento, e siano
A1,…,An incompatibili
la cui unione è lo spazio Ω
11
Dr. Daniela Morale
Lezione 3
A1 ,..., An , , B ⊂ Ω,
P (B ) = P (B ∩ A1 ) + .... + P(B ∩ An ) =
= P( B | A1 ) P ( A1 ) + ... + P ( B | An ) P ( An )
effetto
cause
Teorema di Bayes
A1 ,..., An , , B ⊂ Ω,
P ( Ai | B ) =
P ( B | Ai ) P( Ai )
P (B )
=
P ( B | Ai) P ( Ai )
P( B | A1 ) P( A1 ) + ... + P ( B | An ) P ( An )
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Teorema delle probabilità totali
Teorema di Bayes
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Teorema delle probabilità totali
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Teorema di Bayes
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