UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PALERMO
SCUOLA INTERUNIVERSITARIA SICILIANA DI
SPECIALIZZAZIONE PER L’INSEGNAMENTO SECONDARIO
LABORATORIO DI ALGEBRA
Elementi di calcolo combinatorio
Specializzandi : Dott.ssa Paola Brigaglia
Dott.ssa Cinzia Cerroni
Ing. Roberta Ducato
Dott.ssa Giuseppina Morreale
Dott.re Francesco Quartana
Prof.re: M. Cipolla
1
UNITA’ DIDATTICA
Elementi di Calcolo Combinatorio
Classi coinvolte
La presente Unità Didattica è rivolta agli allievi del biennio di una scuola superiore e ha la
durata prevista di circa 8 ore.
Prerequisiti
•
Nozioni di teoria degli insiemi.
•
Le quattro operazioni e relative proprietà.
•
L’operazione di elevazione a potenza.
•
Le proprietà delle potenze.
•
Elementi di base del calcolo letterario.
•
Nozioni generali sulle frazioni algebriche.
Obiettivi
•
Individuare il numero di scelte e di raggruppamenti possibili in un insieme finito di
elementi.
•
Comprendere le formule per permutazioni, disposizioni e combinazioni.
•
Risolvere problemi di calcolo combinatorio.
•
Rappresentare con diagrammi ad albero situazioni combinatorie.
Contenuti
La presente Unità Didattica è costituita da sei parti, i cui contenuti sono correlati agli
obiettivi prefissati.
2
•
Gli alberi per rappresentare ordinamenti.
•
Il numero delle permutazioni di n elementi.
•
Permutazioni con ripetizione.
•
Le disposizioni (semplici) di n elementi a k a k.
•
Combinazioni (semplici) di n elementi a k a k.
•
Combinazioni con ripetizione.
Competenze
•
Sapere individuare, anche elencandoli, il numero dei possibili raggruppamenti in un insieme
finito.
•
Sapere individuare, anche elencandoli, il numero dei possibili sottoinsiemi (scelte) in un
insieme finito.
•
Essere in grado di applicare correttamente le formule per permutazioni, disposizioni e
combinazioni in contesti diversi.
•
Sapere distinguere fra permutazioni, disposizioni e combinazioni.
Metodologia Didattica
Durante le lezioni si alterneranno tecniche e metodologie tradizionali, quali l’impostazione
frontale, il più possibile dialogata, a metodologie didattiche attive quali i brain-storming, le
discussioni guidate e il lavoro di gruppo.
Il lavoro di gruppo rappresenta una risorsa ad alto potenziale, sia come strumento che
consente l’emergere di aspetti emozionali, sia come veicolo che, facilitando lo scambio di idee ed
esperienze induce un maggiore coinvolgimento e assunzione di impegno da parte degli allievi.
Riteniamo più proficuo affrontare gli argomenti, oggetto delle lezioni, dapprima da un punto
di vista intuitivo, utilizzando appropriati esempi e, solo successivamente mediante formalizzazione
matematica. In questo modo si vuole rendere la trattazione degli argomenti quanto più semplice
possibile, senza tuttavia trascurare la correttezza logica e terminologica.
A completamento dell’unità didattica vengono proposte due prove di valutazione finale sugli
argomenti affrontati, una di tipo più tradizionale (compito in classe) e l’altra formulata in una delle
tipologie più nuove per la nostra scuola (test a scelta multipla, questionario aperto).
3
Ia Lezione
Introduzione
Tutte le volte che si vuole mettere in ordine degli elementi appartenenti a un insieme finito o
sceglierne alcuni, si pone il problema di calcolare quanti siano gli ordinamenti o le scelte possibili.
Problemi di questo tenere sono piuttosto frequenti, sia nella vita quotidiana sia all’interno
della matematica:quanti numeri di telefono di 9 cifre si possono formare? Quante parole di 4 lettere
si possono formare con le 21 lettere dell’alfabeto? In quanti modi diversi si possono sedere 5
persone se vi è una coppia di fidanzati, i quali vogliono stare seduti vicini?
Premettiamo la seguente definizione:
Due raggruppamenti sono differenti se gli elementi compaiono in ordine differente.
Gli alberi per rappresentare ordinamenti
Il primo problema che esamineremo riguarda il calcolo del numero degli ordinamenti che
possono avere n elementi di un insieme, essendo n un qualunque numero naturale.
Consideriamo un insieme di tre elementi, che indichiamo con le prime tre lettere
dell’alfabeto:
A = {a,b,c}.
Per ordinare questi tre elementi, dobbiamo innanzitutto scegliere l’elemento da collocare
per primo; poiché gli elementi sono tre, vi sono tre scelte possibili:
•
I elemento
a
b
c
Occorre ora scegliere l’elemento da collocare per secondo:
•
se il primo elemento scelto è stato a, il secondo può essere b oppure c ;
4
•
•
se il primo elemento scelto è stato b, il secondo può essere a oppure c ;
se il primo elemento scelto è stato c, il secondo può essere a oppure b .
Riassumiamo questa possibilità disegnando un albero con due livelli di profondità:
•
a
I elemento
II elemento
b
b
c
c
a
c
a
b
Avendo solo tre elementi da ordinare, una volta che ne siano stati collocati due, il terzo è
anche l’ultimo e la scelta è obbligata.
L’albero completo è il seguente:
•
a
I elemento
b
II elemento
III elemento
b
c
c
b
c
a
c
c
a
a
b
b
a
Ognuno dei percorsi che va dalla radice dell’albero a un nodo terminale dà un possibile
ordinamento. Tutti i possibili ordinamenti dei tre elementi sono perciò:
abc, acb, bac, bca, cab, cba.
5
II° Lezione
Il numero delle permutazioni di n elementi
PARTE 1°
Prendete due confezioni di colori a spirito da 12. Provate a sistemarli sul tavolo ordinandoli
di volta in volta, per esempio, a tre atre. Scrivete sul vostro quaderno le varie triplette di colori che
ottenete.
Osserviamo alcuni possibili casi (ne otterrete tanti altri):
•
GIALLO ROSSO BLU
•
GIALLO BLU ROSSO
•
GIALLO GIALLO ROSSO
•
GIALLO ROSSO VERDE
Osserviamo in particolare che i primi due raggruppamenti di colori differiscono tra loro per
l’ordine con cui sono disposti gli elementi sul tavolo. Il primo raggruppamento ed il quarto
differiscono tra loro per un elemento, hanno uguali il giallo ed il rosso ma differiscono per il blu ed
il verde. Il terzo raggruppamento ha un colore ripetuto.
Alla fine dell’unità riusciremo a contare i diversi raggruppamento che si possono ottenere da
un insieme di oggetti dati prendendo ogni volta un certo numero di essi.
Dall’esempio deduciamo che possiamo distinguere:
•
I raggruppamenti senza ripetizioni di oggetti,
•
I raggruppamneti con ripetizione di oggetti.
In particolare in questa lezione ci occuperemo di imparare a calcolare il numero delle
permutazioni di n oggetti, e naturalmente acquisiremo la nozione di permutazione.
Facciamo un esempio.
Prendete quattro sedie e sistematele accanto alla cattedra, in quanti modi diversi quattro di
voi, per esempio Alberto, Barbara, Claudio e Daniela , si possono sedere nelle sedie? Provate a
scrivere tutte le possibilità sul quaderno.
Rappresentiamo quanto detto con un albero:
6
A
B
C
B
D
A
C
C
D
A
D
B
D
A
C
DB
D
C D B C BD C D A C A B D D A B AC BC
B
C
DB CC DA DA C D BA DA BB C A CA
AB
Come potete osservare i diversi raggruppamneti sono 24.
Per l’albero relativo a 4 elementi le ramificazioni sono :
•
4 rami per il 1° elemento (4 scelte possibili);
•
3 rami per il 2° elemento (3 scelte possibili);
•
2 rami per il 3° elemento (2 scelte possibili);
•
1 ramo per il 4° elemento (scelta obbligata).
Il numero delle permutazioni si ottiene moltiplicando 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 , abbiamo infatti ottenuto che il
numero dei modi diversi con cui quattro di voi si possono sedere in quattro sedie è proprio 24.
Facciamo un altro esempio: quanti numeri di tre cifre (le cui cifre non si ripetono) fra loro
diverse si possono formare con i numeri 3,5,7?
Rappresentiamo le possibilità con un albero:
3
5
7
5
7
3
7
3
5
7
5
7
3
5
3
7
B
A
Anche in questo caso abbiamo:
•
3 rami per il 1° elemento (3 scelte possibili);
•
2 rami per il 2° elemento (2 scelte possibili);
•
1 ramo per il 3° elemento (scelta obbligata).
Il numero delle permutazioni (in questo caso dei numeri di tre cifre) è 6.
Generalizziamo quanto detto all’albero delle permutazioni di n elementi esso avrà:
•
n rami per il 1° elemento (n scelte possibili);
•
(n-1) rami per il 2° elemento (n-1 scelte possibili);
•
•
•
•
1 ramo per il l’ultimo elemento (scelta obbligata).
Il numero delle permutazioni di n elementi è il prodotto dei primi n numeri naturali e viene indicato
con n! (si legge n fattoriale).
Per alcuni valori di n calcoliamo n!:
1! = 1
2! = 2 ⋅1
3! = 3 ⋅ 2 ⋅1
4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
6! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
…
DEF. Si dice permutazione ognuno dei raggruppamenti che è possibile dare agli elementi di un
insieme.
Potremmo dire che ogni permutazione è un diverso raggruppamento degli elementi di un insieme.
8
PARTE 2°
All’inizio della lezione si era detto che vi sono dei sottoinsiemi nella cui costruzione non è prevista
la possibilità di ripetizio ne di oggetti (per esempio le permutazioni semplici) e sottoinsiemi nella cui
costruzione è prevista la possibilità che, all’interno di uno stesso sottoinsieme, vi sia la possibilità
che un oggetto sia ripetuto è il caso delle permutazioni con ripetizione.
Provate a calcolare quanti anagrammi potete formare con le parole tre, afa, Anna
T
R
E
R
E
T
E
T
R
E
R
E
T
R
T
Questo è il caso di una permutazione semplice il numero è 6.
A
F
A
F
A
F
A
A
A
A
A
A A
9
F
F
.
Questo è il caso di una permutazione di tre elementi in cui una coppia di elementi si ripete.
A
N
N
A
N
N
A
A
N
N
A
AN AN NN AA AA N
A
A
N
A
N
N
A
N AA AA NN AN A N N
N A N N NA N A A NA A N A A N AA NA NN
N
Questo è il caso di una permutazione di 4 elementi in cui due coppie di elementi si ripetono.
Adesso scrivete le permutazioni che si ripetono in riga e quelle distinte in colonna:
FAA
AFA
AAF
FAA
AFA
AAF
Le coppie di permutazioni che si ripetono sono 2 ossia il numero delle permutazioni degli elementi
che si ripetono. Per ottenere il numero delle permutazioni con ripetizione dobbiamo dividere il
numero delle permutazioni semplici per 2!:
3!
= 3.
2!
ANNA
ANNA
ANNA
ANNA
ANNA
ANAN
ANAN
ANAN
ANAN
ANAN
AANN
AANN
AANN
AANN
AANN
NANA
NANA
NANA
NANA
NANA
NAAN
NAAN
NAAN
NAAN
NAAN
NNAA
NNAA
NNAA
NNAA
NNAA
10
Di ogni permutazione ne otteniamo quattro uguali ossia il prodotto delle permutazioni degli
oggetti che si ripetono. Per ottenere il numero delle permutazioni con ripetizione dobbiamo dividere
il numero delle permutazioni semplici per 2! ⋅ 2! :
4!
= 6.
2!⋅2!
Generalizzando i ragionamenti fati possiamo dare una formula generale.
Dati n oggetti di cui α identici il numero delle permutazioni con ripetizione è dato da:
PN (α ) =
n!
.
α!
Se degli n oggetti α, β, γ ... sono identici fra loro risulta: PN(α , β , γ ,, , ) =
n!
.
α! β!γ !...
Provate a svolgere i seguenti esercizi:
1. In un gioco a premi si vince con la combinazione 11222333. Quante diverse permutazioni si
possono effettuare con 9 cifre di cui qualche cifra si ripete?
2. A cena fuori puoi scegliere tra 3 antipasti, 5 primi, 6 secondi, frutta o dolce. In quanti modi
si può ordinare una cena completa?
3. Una sera avete deciso di uscire avete in programma di andare in pizzeria, al cinema e a
pattinare, ma siete indecisi su cosa fare prima e su cosa fare dopo.
Stabilite tutti i modi con cui potete organizzare la serata
11
IIIa Lezione
Le disposizioni di n elementi a k a k
Consideriamo il seguente esempio:
supponiamo di avere due sedie e quattro ragazzi : Alfredo, Benedetto, Carlo e Davide. In quanti
modi possibili si possono sedere i quattro ragazzi? E quali sono?
Indichiamo i quattro ragazzi con le loro iniziali A, B, C, D e scriviamo le varie possibilità
con cui i ragazzi si possono sedere. Esse sono
AB
AC
AD
BA
BC
BD
CA
CB
CD
DA
DB
DC
Contando tutte le possibilità troveremo che esse saranno nel numero di 12.
Osserviamo che quando ordiniamo gli elementi di un dato insieme, scrivendo così una loro
permutazione, il numero dei posti è uguale al numero degli elementi: se vi sono n elementi vi sarà
un elemento al primo posto, un altro elemento al secondo posto e così via fino all’ultimo elemento.
In questo caso il numero dei posti (le due sedie) è inferiore al numero degli elementi (i
quattro ragazzi).
Occorre quindi disporre gli elementi in diversi posti, scartando di volta in volta, altri
ottenendo un certo numero di scelte possibili.
Volendo generalizzare questo tipo di problema e trovare una formula che consente di calcolare il
numero delle scelte ordinate di n elementi da disporre in k posti, essendo k, n∈N e k≤n.
DEF.
Si dice DISPOSIZIONE di n elementi in k posti ognuna delle scelte
ordinate di k elementi tra gli n disponibili.
12
Rappresentazione mediante gli alberi
Supponiamo di avere un insieme di 4 elementi:
A={a,b,c,d}
e di avere due posti in cui disporre gli elementi. Possiamo seguire un ragionamento analogo a quello
seguito per le permutazioni, rappresentando con un albero tutte le scelte per il primo e il secondo
posto.
L’albero sarà, allora, formato da due livelli di profondità, cioè
a
b
c
b
d
a
c
c
d
a
b
d
d
a
b
c
Il numero di tutte le disposizioni di 4 elementi in 2n posti è allora 4*3 = 12.
Esse sono: ab, ac, ad, ba,bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc.
Quindi il numero delle disposizioni di 4 elementi in 2 posti è il prodotto di 2 fattori (tanti
quanti sono i posti): il primo fattore è 4 (le scelte possibili per l’elemento al primo posto); il
secondo fattore è 3 (le scelte possibili per il secondo posto).
Generalizzando i ragionamenti fatti in precedenza, si giunge alla conclusione che il numero
delle disposizioni di n elementi in k posti è dato dal prodotto di k fattori, cioè tanti quanti sono i
posti.
Il primo fattore è n, il secondo n-1, il terzo n-2, e così via fino ad arrivare al k-esimo fattore
che è n-(k-1). Si ha quindi:
Il numero delle disposizioni di n elementi in k posti è:
Dn,k = n(n-1)(n-2)...(n-(k-1))
o anche
Dn,k = n! / (n-k)!
13
IV Lezione
Le combinazioni semplici
Metodologia
Riteniamo proficuo trattare tale argomento - che è senza dubbio tra i più ostici del calcolo
delle probabilità – utilizzando il cosiddetto metodo induttivo, strategia didattica che consiste, in
buona sostanza, nel partire da esempi concreti della vita quotidiana per passare poi, gradatamente,
alla formalizzazione dei concetti introdotti.
Tenuto presente che l’argomento in questione è rivolto ad alunni di una seconda classe
superiore, e quindi a ragazzi che, secondo quanto stabilito dagli psicologi, non hanno ancora
sviluppato pienamente il pensiero logico-deduttivo, preferiamo non riportare le dimostrazioni
delle formule di volta in volta utilizzate, scelta che oltretutto dovrebbe rendere meno sgradevole
agli alunni un argomento ritenuto difficile come le combinazioni.
Situazione stimolo n.1
Si hanno a disposizione 3 fiori diversi tra loro, una rosa (R), una margherita (M) e un
papavero (P).
Si chiede alla classe, dovendo comporre un mazzetto di due fiori, quante sono le varianti che
si presentano.
Soluzione
Prima di risolvere la questione, osserviamo che non è significativo l’ordine con cui i fiori
compaiono nel mazzetto (in altri termini, è evidente che il mazzetto costituito, ad esempio, dalla
rosa e dalla margherita è identico a quello costituito dalla margherita e dalla rosa!)
Si vede facilmente che tali varianti sono:
1) R-M
2) R-P
3) M-P
cioè sono in numero di 3.
Situazione stimolo n.2
Supponiamo, adesso, di disporre di un quarto fiore, diciamo un tulipano (T).
14
Determiniamo le varianti che si presentano volendo comporre sempre un mazzetto di due
fiori.
Soluzione
In questo caso troviamo:
1) R-M
2) R-P
3) M-P
4) M-T
5) P-T
6) R-T
Notiamo che, a partire da 4 fiori, sono state trovate 6 varianti, contro le 3 del caso precedente.
Formalizzazione del concetto di combinazione semplice
In generale, dati n oggetti distinti tra loro, il numero dei possibili raggruppamenti distinti di
k (< n) di tali oggetti, tali che in ogni raggruppamento ciascun oggetto figuri una sola volta e
che si assumano “eguali” raggruppamenti che differiscono solo per l’ordine con cui i k oggetti vi
compaiono, è dato da:
(1)
Cn ,k =
n!
.
k! (n − k )!
Tali raggruppamenti vengono detti combinazioni semplici di n elementi a k a k.
Osserviamo che due qualsiasi raggruppamenti si intendono distinti se, e solo se, uno di essi
contiene almeno un oggetto che non figura nell’altro.
Giova ancora notare come le combinazioni semplici di n elementi a k a k costituiscano un
sottoinsieme delle disposizioni semplici di n elementi a k a k.
Per convincersi di ciò, basta riprendere in considerazione la situazione stimolo numero 1 e
determinarne, appunto, le disposizioni semplici mediante rappresentazione ad albero. Tra queste,
rimangono subito individuate le combinazioni; infatti:
15
R
M
M
P
R
P
R
m
P
M
Fig.1
dall’albero segue che l’elenco completo delle disposizioni semplici è:
R-M
R-P
M-R
M-P
P-R
P-M
e le combinazioni semplici da noi individuate sono:
R-M
R-P
M-P
che ne costituiscono un sottoinsieme:
R-M
R-P
M-R
M-P
M-P
P-R
P-M
Fig.2
Si invita a questo punto la classe a riprendere in esame le due situazioni precedenti, per
verificare come la formula (1) sia in effetti corretta.
Nella situazione 1 erano n = 3 e k = 2 , così, applicando la formula:
16
C3 , 2 =
3!
=3
2!(3 − 2 )!
che è appunto quanto era stato trovato per altra via.
Nella situazione 2 cambiava solo il numero dei fiori disponibili, n = 4 . In questo caso,
applicando sempre la formula (1) troviamo:
C4 , 2 =
4!
=6
2!(4 − 2 )!
che, ancora una volta, è quanto era stato ottenuto altrove.
Esercizio svolto
Diciotto persone partecipano ad un concorso e soltanto le prime tre saranno assunte. Quante
sono le possibili terne di concorrenti assunti?
Svolgimento dell’esercizio
Osserviamo, innanzitutto, che si tratta di un problema di combinazioni semplici. Gli
elementi di partenza (le persone) infatti, sono tutti diversi tra loro e figurano, in ciascuna terna,
una e una sola volta. Inoltre, le possibili terne non sono caratterizzate dall’ordine di composizione,
essendo indifferente l’ordine in cui i primi tre concorrenti si classificano.
Utilizzando, a questo punto, la formula (1) con n = 18 e k = 3 si trova:
C18 , 3 =
18!
= 816
3! (18 − 3)!
le quali rappresentano tutte le possibili terne di concorrenti assunti.
Esercizio svolto
Un barman dispone di 30 liquori diversi. Quanti coktails diversi potrà preparare utilizzando,
ogni volta, tre dei predetti liquori?
Svolgimento dell’esercizio
E’ evidente che l’ordine con cui i tre liquori vengono uniti non ha importanza quindi il
numero dei coktails diversi è:
C30 ,3 =
30!
30 ⋅ 29 ⋅ 28
=
= 4060
3! 27!
3 ⋅ 2 ⋅1
17
Esercizio svolto
Quanti terni si possono fare con i 90 numeri del gioco del lotto?
Svolgimento dell’esercizio
E’ noto che nel gioco del Lotto non conta l’ordine con cui i numeri vengono estratti sicchè il
numero dei terni è uguale a quello delle combinazioni semplici di 90 oggetti a tre a tre, ossia:
C90 ,3 =
90!
90 ⋅ 89 ⋅ 88
=
= 117480
3!87!
3 ⋅ 2 ⋅1
18
V Lezione
Combinazioni con ripetizione
Vediamo con un esempio in che cosa consiste il problema di trovare le combinazioni
con ripetizione.
Consideriamo la classica schedina totocalcio. Per potere determinare il numero di tutte
le possibili schedine di una colonna che è possibile compilare, dobbiamo disporre con
ripetizione a 13 a 13 i 3 simboli 1, x, 2. Applicando la formula studiata si ottiene:
Dr3,13=1.594.323
Vogliamo risolvere il seguente problema: quante diverse schedine di due colonne sarà
possibile compilare considerando anche le schedine contenenti due colonne uguali?
Si tratta evidentemente di un problema di combinazioni, perché non ha assolutamente importanza
se all’interno della schedina la colonna vincente è la prima o la seconda, e, come abbiamo già
detto, vogliamo considerare anche le schedine con due colonne uguali (ammesso che esista un
giocatore che sia disposto a giocarle tali). Dunque dobbiamo combinare a 2 a 2 le 1.594.323
colonne possibili.
Allora possiamo dare la seguente definizione:
Dati n oggetti distinti e indicato con k un numero intero positivo qualsiasi (ossia
anche maggiore di n), si chiamano combinazioni con ripetizione di questi n oggetti, presi a k
a k (o di classe k), tutti i raggruppamenti diversi che si possono formare con gli oggetti dati,
in modo che valgano le seguenti proprietà:
1.
ogni raggruppamento contiene k oggetti;
2.
in ogni raggruppamento uno stesso oggetto può figurare ripetuto sino
ad un massimo di k volte;
3.
l’ordine degli oggetti non conta, e quindi due raggruppamenti sono da
considerarsi diversi quando uno di essi contiene almeno un elemento
che non figura nell’altro, oppure contengono gli stessi elementi ma non
sono ripetuti lo stesso numero di volte.
Dalla definizione risulta chiaro che, per esempio, data la terna A, B, C
19
le terne AAB, ABA e BAA devono considerarsi una sola volta dato che esse
differiscono solo per l’ordine in cui compaiono gli elementi.
Individuato il problema, enunciamo la formula che ci consente di risolverlo.
Indichiamo le combinazioni con ripetizione con il simbolo Crn,k
n ( n + 1) ⋅ ⋅ ⋅ ( n + k − 1)
k!
Cr n,k =
ricordando che
Cn, k =
n ( n − 1) ⋅ ⋅ ⋅ ( n − k + 1)
(per le combinazioni semplici)
k!
otteniamo che:
Crn,k = Cn+k -1,k
In questo modo, riconduciamo il problema delle combinazioni con ripetizione al
calcolo di combinazioni semplici. Non si ritiene per la classe a cui è destinata tale unità
didattica di dimostrare la formula Crn,k .
Tornando al problema precedente, si ha n=313 e k =2 e dunque si tratta di calcolare:
C
r
13
3 ,2
= C 313 + 2 -1,2 = C 313 +1,2
( 313 + 1)( 313 )
=
= 1.270.933.711.326
2!
se invece si pensa di evitare le ripetizioni, si ottiene:
C 3 13 ,2 =
313 ( 313 − 1)
= 1.270.932.117.003
2
questo risultato si può ottenere più semplicemente calcolando Cr 313 +1,2 − Dr313 +1,2 visto
che le ripetizioni sono pari al numero di schedine di una colonna.
Osservazione:
In generale, i problemi riguardanti le modalità di distribuzione in gruppi di oggetti
indistinguibili, ossia per i quali non si opera distinzione tra gli oggetti stessi, si risolvono
mediante combinazioni con ripetizione.
Esempio:
Calcoliamo il numero delle combinazioni con ripetizione di tre oggetti: {a, b, c} presi
a tre a tre.
In tal caso si ha n=3 k=3
Perciò
20
Cr 3 , 3 = (53 ) =
5 ⋅ 4 ⋅ 3)
= 10
3!
Ora, utilizzando un diagramma ad albero per scrivere effettivamente le combinazioni
con ripetizione dei tre oggetti dati, presi prima a uno a uno, poi a due a due, ed infine a tre a
tre.
Così facendo si ha:
a
b
c
b
c
c
c
c
c
c
a
a
b
b
c
b
c
c
c
Notiamo
che
nel
raffronto
tra
a
a
a
a
a
b
a
a
c
a
b
b
a
b
c
a
c
c
b
b
b
b
b
c
b
c
c
c
c
c
l’albero
delle
disposizioni
con
quello
delle
combinazioni, si può notare come il primo sia simmetrico mentre il secondo non lo sia. Nel
primo caso infatti è importante l’ordine con cui compaiono gli elementi, al contrario del
secondo caso dove alcuni gruppi vanno contati una sola volta.
Per evidenziare meglio la distinzione tra disposizione e combinazione è utile effettuare
il seguente esempio:
“Calcoliamo le differenti modalità con cui sei penne identiche possano essere riposte in quattro
cassetti A, B, C, D. supponendo, invece, che le penne siano distinguibili, quante diventano le
modalità?”
1)
Poiché le sei penne sono tutte uguali, ossia indistinguibili l’una dall’altra,
allora le differenti modalità con cui esse possono essere collocate nei 4 cassetti sono tante
quante le combinazioni con ripetizioni di n=4 oggetti di classe k=6, ossia:
4 +6 −1 9 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4
= =
C '4 , 6 =
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 84
6 6
21
2)
Se invece le penne sono distinguibili l’una dall’altra, ad esempio perché di
colore diverso:
Bianco, nero, rosso, verde, giallo, blu
allora il numero dei modi con cui queste penne possono essere collocate nei quattro cassetti
sarebbe maggiore. Per convincersi di ciò, basti pensare che, ad esempio, la seguente situazione:
cassetto
A
B
C
D
N° di penne in esso contenute 1
5
0
0
mentre si realizza secondo un’unica modalità, nel caso in cui le penne siano indistinguibili, si può
invece ottenere mediante sei modalità differenti, nell’eventualità in cui le penne siano colorate, e
cioè una distinta modalità per ogni colore della penna riposta nel cassetto A.
Dunque, questa volta, l’ordine ha importanza quindi occorre utilizzare le disposizioni.
Ciò constatato, vediamo come può essere interpretata una qualsiasi disposizione con
ripetizione dei quattro cassetti A, B, C, D di classe 6; ad esempio, la seguente disposizione
con ripetizione:
AABBBC
Può essere interpretata:
cassetto
Penne in esso
contenute
A
B
C
bianca
nera
rossa
verde
gialla
blu
D
Consideriamo adesso un’altra disposizione con ripetizione di A, B, C, D di classe 6:
BACCCD
Essa può essere così interpretata:
cassetto
Penne in esso
contenute
A
B
C
D
nera
bianca
rossa
verde
gialla
blu
22
Procedendo su questa via, si comprende che le differenti modalità con cui le sei penne
distinguibili (perché di diverso colore) possono essere collocate in quattro cassetti sono tante
quante le disposizioni con ripetizione di n=4 oggetti di classe k=6, ossia:
D’4,6 = 46 = 4096
Esercizi di verifica:
1)
In quanti modi dodici caramelle indistinguibili possono essere distribuite a
quattro bambini?
2)
In quanti modi diversi quattro libri possono essere riposti in tre cartelle,
supponendo che:
3)
a)
I libri siano indistinguibili;
b)
I libri siano di differenti materie.
Dati nove punti di un piano, a tre a tre non allineati, quanti sono i triangoli
diversi che hanno i vertici nei punti dati?
23
Compito in classe
A) Determina in quanti modi diversi si possono sistemare 4 palline diversamente
colorate in 4 scatole, in modo tale che una scatola rimanga vuota, una scatola
contenga due palline e le altre scatole contengano una pallina ciascuna.
B) Determina quanti sono i numeri naturali con cifre tutte diverse, che si possono
ottenere con le cifre 1, 3, 5, 7, 9.
C) In quanti modi diversi 10 ragazzi possono essere divisi in tre gruppi di lavoro
se questi debbono essere composti di 4, 5 e 3 persone rispettivamente ?
24
QUESTIONARIO
1) Quanti sono gli anagrammi (anche senza senso) della parola ROMA ?
2) In un cinema vi sono 5 posti liberi affiancati. In quanti modi diversi si possono sedere 5 persone
se vi sono due coppie di fidanzati che vogliono stare seduti vicini ?
3) Quale è il numero delle disposizioni di 8 elementi in 3 posti ?
4) Di un numero telefonico si ricorda soltanto che esso è formato da sette cifre tutte diverse tra loro
e la prima è 3. Quanti sono i possibili numeri di telefono ?
5) Quante e quali sono le combinazioni di 5 elementi di classe 3 ?
6)
In un compito con cinque esercizi si chiede di farne tre; non interessa l’ordine.
Quante scelte sono possibili ?
7) Ogni giorno l’insegnante, in una classe di 25 persone, interroga due persone a caso.
Quante scelte sono possibili ?
8) Determina il numero dei sottoinsiemi di 3 elementi in un insieme di 8 elementi.
9) Calcola il numero di terni possibili con i 90 numeri del lotto (non importa l’ordine di estrazione).
25
Scheda di approfondimento: dalle permutazioni al concetto di
gruppo.
A partire dalle permutazioni di n oggetti, è possibile introdurre in modo elementare, ma
comunque significativo l’importante concetto matematico di gruppo.
Situazione stimolo n.1
Tre amici, Antonio, Barbara e Carlo, dopo aver studiato le permutazioni di n oggetti,
provano a determinare in quanti modi diversi possono occupare tre sedie numerate da 1 a 3.
Se hanno ben capito, tale numero dovrebbe essere pari a 3! = 6 , come verificano facilmente
costruendo il seguente schema:
1
A
A
B
B
C
C
2 3
B C (config. o seq. iniziale )
C B
( seconda config .)
A C
( terza config.)
C A
( quarta config.)
A B
( quinta config.)
B A
( sesta config .)
Nella configurazione iniziale, Antonio occupa la sedia 1, Barbara la sedia 2 e Carlo la sedia 3.
Nella configurazione successiva, Barbara e Carlo si scambiano di posto (sequenza A C B),
mentre invece, nella terza configurazione, Barbara occupa la sedia 1, Antonio la 2 e Carlo la 3
(sequenza B A C); e così via per le rimanenti configurazioni.
A questo punto Antonio – il più sveglio dei tre – osserva che il passaggio dalla
configurazione iniziale alla successiva (dalla sequenza A B C alla sequenza A C B) può essere
rappresentato con semplicità utilizzando la tabella:
1 2 3
1 3 2
(1)
la quale indica, in sostanza, che colui che occupava il posto 1 (Antonio) continua ad occupare
quel posto; Barbara, che occupava il posto 2, occupa ora il posto 3 e, infine, Carlo, che occupava
il posto 3, occupa adesso il posto 2.
Allo stesso modo, il passaggio dalla seconda configurazione alla terza, la B A C, sarà
rappresentato dalla tabella:
(2)
1 2 3
2 3 1
26
dato che ora Antonio, che occupava il posto 1, si è spostato in 2; Carlo, che occupava il posto 2, in
3 e infine Barbara, che si trovava in 3, si è spostata in 1.
Lasciamo un attimo da parte i tre amici e osserviamo che, il passaggio dalla terza alla quarta
configurazione è anch’esso rappresentato dalla tabella (1). Quello dalla quarta alla quinta dalla
tabella:
1 2 3
3 1 2
(3)
e quello dalla quinta alla sesta ancora una volta dalla tabella (1).
Il passaggio dalla prima alla terza configurazione è rappresentato dalla tabella:
1 2 3
2 1 3
(4)
ed infine il passaggio dalla prima alla sesta configurazione dalla tabella:
1 2 3
.
3 2 1
(5)
Alle cinque tabelle precedenti possiamo aggiungerne una sesta:
1 2 3
1 2 3
(6)
la quale esprime la circostanza che i tre amici continuano ad occupare le rispettive posizioni.
Le sei tabelle precedenti esauriscono tutte le possibili combinazioni dei numeri 1, 2 e 3,
pertanto, il passaggio da una qualunque delle sei configurazioni dello schema visto all’inizio ad
una qualunque altra è sempre rappresentato da una, ed una sola delle sei tabelle precedenti.
Indichiamo con S 3 l’insieme costituito dalle sei tabelle precedenti, cioè:
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
S 3 = {
,
,
,
,
,
}.
1 3 2 2 3 1 3 1 2 2 1 3 3 2 1 1 2 3
E’ possibile eseguire una particolare operazione tra gli elementi (tabelle) di questo insieme.
Esattamente, considerando la prima e la seconda di queste tabelle si ha:
1 2 3
1 3 2
1 2 3 1 2 3
=
2 3 1 2 1 3
dove la tabella a destra dell’uguale è stata ottenuta a partire dalla prima seguendo gli spostamenti
di ogni singolo numero.(Si noti che la tabella ottenuta esprime il passaggio dalla prima alla terza
configurazione…)
27
Si verifica subito che, eseguendo tale operazione tra due qualunque tabelle dell’insieme,
eventualmente anche eguali tra loro, si ottiene sempre una tabella dell’insieme medesimo.
In particolare, eseguendo l’operazione tra una qualunque tabella, ad esempio la terza, e la
sesta tabella di S 3 , in qualunque ordine, si ha:
1 2 3
3 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
=
=
1 2 3 3 1 2 1 2 3 3 1 2
che si interpreta pensando che ciascun occupante delle sedie non muta la posizione da cui parte.
Si può anche verificare che, per qualunque tabella dell’insieme ne esiste sempre un’altra –
non necessariamente diversa da quella in esame – tale che, l’operazione tra le due,
indipendentemente dall’ordine con la quale si effettua, dà come risultato la sesta tabella di S 3 . Ad
esempio, considerando ancora la terza tabella di S 3 :
1 2 3
3 1 2
1 2 3
l’operazione con la tabella
, in qualunque ordine, dà come risultato sempre la sesta
2 3 1
tabella:
1 2 3
3 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
=
=
2 3 1 1 2 3 2 3 1
1 2 3
.
3 1 2
Infine, l’operazione tra tabelle introdotta in S 3 gode della proprietà associativa, come si
verifica senza alcuna difficoltà.
A questo punto, viene da chiedersi se, in generale, l’operazione introdotta è anche
commutativa, cioè se il risultato è sempre indipendente dall’ordine con cui si dispongono le
tabelle.
Per rispondere a tale domanda, basta osservare che, in particolare:
1 2 3
2 3 1
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
=
≠
=
1 3 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2
1 2 3
2 3 1
pertanto concludiamo che l’operazione, in generale, non è commutativa.
Qui giunti, è possibile formalizzare il concetto matematico di gruppo dando la seguente:
28
Definizione : un insieme non vuoto G si dice un gruppo rispetto ad un’operazione “∗” se, e solo
se:
a) ∀a, b ∈ G, ( a ∗ b) ∈ G;
b) ∀a ∈ G, esiste un elemento (detto elemento neutro di G) e ∈ G tale che: a ∗ e = e ∗ a = a;
c) ∀a ∈ G, esiste un elemento (detto simmetrico di a) a ∈ G tale che: a ∗ a = a ∗ a = e;
d) l’operazione ∗ è associativa.
Per quanto osservato prima, l’insieme S 3 delle permutazioni di 3 oggetti è un gruppo (non
commutativo) rispetto all’operazione tra tabelle che abbiamo introdotto.
1 2 3
L’elemento neutro di tale gruppo è la tabella:
.
1 2 3
29
