Il problema degli N corpi

Il problema degli N corpi
Gestire i gradi di libertà di un sistema meccanico composto
Antonella Marchesiello
(Dipartimento di Matematica dell’Università Sapienza di Roma)
ome si muovono i corpi nello spazio? E qual è il
modello matematico che c’è dietro? Se pensiamo
al nostro sistema solare, tutti sappiamo che i pianeti
ruotano intorno al Sole, come afferma la prima legge
di Keplero: “L’orbita descritta da un pianeta è un’ellisse, di cui il
Sole occupa uno dei due fuochi”. Keplero formulò questa legge
agli inizi del 1600, basandosi su dati sperimentali provenienti dalle osservazioni dell’astronomo Tycho Brahe. Cosi facendo, riuscı̀
a fornire una descrizione del moto dei pianeti, senza tuttavia spiegarne il perché. Per avere una giustificazione rigorosa, la scienza
dovette attendere ancora qualche anno, fino a che Isaac Newton
pose i fondamenti del calcolo differenziale e vettoriale e li utilizzò
per costruire un modello matematico del moto dei pianeti.
C
Il problema dei due corpi
Consideriamo il caso più semplice che si possa avere, ovvero il
caso in cui abbiamo due soli corpi celesti in movimento e andiamo a studiare quello che si chiama il problema dei due corpi.
Per fissare le idee, supponiamo che i due corpi di cui vogliamo
studiare il moto siano la Terra e il Sole.
Fissiamo un sistema di riferimento e indichiamo con ~xT e ~xS le
posizioni di Terra e Sole, rispettivamente. La legge di gravitazione universale di Newton ci dice che il Sole esercita sulla Terra una
forza di attrazione pari a
Ricordando che l’accelerazione è la derivata seconda della posizione fatta rispetto al tempo, le equazioni del moto assumono
questa forma:




d2
~x
dt 2 T
=



d2
~x
dt 2 S
T
= − |~x Gm
(~x −~xT )
−~x |3 S
GmS
(~x −~xT )
|~xS −~xT |3 S
S
T
Queste equazioni possono essere risolte per quadrature, ovvero
svolgendo degli integrali. Cosı̀ facendo si possono calcolare, in
maniera matematicamente corretta, le orbite dei due corpi. Quello
che si trova è che entrambi i corpi descrivono orbite ellittiche di
cui uno dei fuochi si trova nel loro comune baricentro. Quindi
in realtà nel sistema Sole-Terra il fuoco dell’orbita ellittica non
è posto nel Sole. Tuttavia, la massa del Sole è molto più grande
di quella Terra, precisamente la massa solare è pari a circa 300
mila volte la massa terrestre. Quindi in pratica il Sole si trova nel
baricentro del sistema. Per essere più precisi, la differenza tra la
posizione del baricentro ~xB e quella del Sole può essere stimata:
~xS −~xB =
mT
(~xS −~xT ).
mS + mT
Per cui, identificando il fuoco con il Sole si commette un errore
percentuale dell’ordine del rapporto mT /(mS + mT ) e la prima
legge di Keplero è soddisfatta solo nell’approssimazione vista.
~F = GmT mS~r
r3
dove mT e mS sono rispettivamente le masse della Terra e del
Sole, G è una costante, detta costante di gravitazione universale,
e~r rappresenta la distanza tra i due corpi: ~r =~xS −~xT .
La Terra a sua volta esercita una forza di attrazione sul Sole, che
ha stessa intensità e direzione ma verso opposto rispetto a ~F. Conoscendo l’espressione delle forze che Sole e Terra esercitano
l’uno sull’altra, possiamo scrivere le equazioni del moto dei due
corpi utilizzando la seconda legge di Newton:
b
Terra
Sole
b
Forza = massa · accelerazione.
Precisamente, se indichiamo con ~aT e ~aS le accelerazioni di Terra
e Sole rispettivamente, otteniamo


 mT ~aT =
GmT mS
(~x −~xT )
|~xS −~xT |3 S

 m ~a =
S S
T mS
− |~Gm
(~x −~xT )
x −~x |3 S
S
Figura 1 – La Terra descrive un’orbita ellittica intorno al Sole a causa
delle forze di attrazione gravitazionale reciproche (in rosso in figura) che
si esercitano sui due corpi.
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accastampato num. 10, Giugno 2013
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IL RESTO DEL NEUTRINO
Il problema degli N corpi
Poche righe più su abbiamo studiato il sistema Sole-Terra come se
fosse isolato, cioè dimenticandoci della presenza di tutti gli altri
corpi celesti presenti intorno a loro (ad esempio la Luna, tutti gli
altri pianeti del sistema solare, ecc.). Cosa accadrebbe andando
a considerare anche le interazioni con tutti gli altri pianeti del
sistema solare, la Luna, ecc? Più in generale, come si procede
nello studio del cosiddetto problema degli N corpi, con N ≥ 3?
Le equazioni del moto possono essere ricavate dalla seconda legge di Newton, procedendo in maniera analoga a quanto abbiamo
fatto per due soli corpi. In questo caso, però, la forza ~F che agisce su ogni singolo corpo è data dalla risultante di tutte le forze
di attrazione gravitazionale dovute agli altri N − 1 corpi. Quindi
le equazioni del moto hanno una struttura molto più complicata e,
tranne casi molto speciali, non si è in grado di risolverle.
Il punto è che più sono i corpi in movimento e più aumentano
i gradi di libertà del sistema, ovvero il numero di variabili indipendenti necessarie per determinare univocamente la posizione
di ciascun corpo nello spazio. Precisamente, un corpo in movimento in uno spazio tridimensionale ha, in generale, tre gradi di
libertà (tre coordinate), due corpi in movimento 6 gradi di libertà
e cosı̀ via. Chiaramente, più sono i gradi di libertà di un sistema
e più è complicato risolvere le corrispondenti equazioni del moto.
Spesso la conoscenza di integrali primi, ovvero di quantità che rimangano costanti lungo le soluzioni, come ad esempio l’energia
se il sistema è conservativo, permette di ridurre i gradi di libertà
e, in alcuni casi, di integrare le equazioni del moto.
Il problema dei due corpi è appunto uno di questi casi fortunati,
in cui si riescono a risolvere le equazioni del moto sfruttando la
conservazione dell’energia, della quantità di moto e del momento
angolare totale del sistema. Queste quantità si conservano anche
per il problema con N ≥ 3 corpi, ma già passando da 2 a 3 corpi
i gradi di libertà passano da 6 a 9: non solo le precedenti costanti non bastano più per integrare le corrispondenti equazioni del
moto, ma non ce ne sono altre da poter utilizzare! Per N ≥ 3 il
problema degli N corpi si dice problema non integrabile.
Usare le giuste approssimazioni
Su di esso è attiva un’intensa attività di ricerca, legata soprattutto
alle sue molteplici applicazioni, che riguardano sı̀ lo studio del
moto dei pianeti, ma anche del moto di satelliti, del monitoraggio
di asteroidi potenzialmente pericolosi per il nostro pianeta, ecc.
Principalmente, quello che si tenta di fare è cercare di trovare una
soluzione del problema in maniera approssimativa, ma matematicamente rigorosa. Ad esempio, nello studio del problema dei tre
corpi, si può considerare quello che si chiama il problema dei tre
corpi ristretto, in cui le equazioni del moto vengono studiate nel
limite in cui una delle tre masse sia cosı̀ piccola, rispetto alle altre
due, da poter essere considerata trascurabile. Il corpo di massa
minore può essere allora trattato come una piccola perturbazione
del moto degli altri due, detti primari. Se si scelgono velocità e
posizione iniziale in modo che al tempo zero i corpi si trovino tutti
sullo stesso piano, allora si può dimostrare che il moto complessivo avviene in questo piano con i due corpi di massa maggiore
che ruotano intorno al loro comune baricentro. Quindi di fatto i
due primari si comportano come se il terzo corpo non ci fosse.
Un ragionamento analogo a questo ci permette di dire che, in un
certo senso, se vogliamo determinare l’orbita della Terra (o di
un qualsiasi pianeta del sistema solare) intorno al Sole possiamo
trascurare la presenza di tutti gli altri corpi celesti e limitarci a
considerare il sistema Sole-Terra (o Sole-pianeta).
Bibliografia
[1] Celletti A. e Perozzi E. Meccanica Celeste - Il valzer dei pianeti. Cuen Editrice (1996)
[2] Diacu F. The Solution of the n-body Problem. In The Mathematical Intelligencer, vol. 18(3) (1996)
[3] Newton I. e Pala A. Principi matematici della filosofia
naturale. UTET (1965)
Commenti on-line:
http://www.accastampato.it/
2013/06/problema-n-corpi/
Sull’autore
Antonella
Marchesiello
(anto.
[email protected]),
laureata
in Matematica presso l’Università Sapienza di
Roma, ha conseguito di recente il Dottorato di
Ricerca in Modelli e Metodi Matematici per la Tecnologia e
la Società presso lo stesso ateneo. I suoi interessi di ricerca
riguardano principalmente lo studio di problemi di dinamica
galattica.