ANALISI MATEMATICA I
Prof. Basilio Messano
Anno Accademico 2016-2017
1. Elementi di teoria degli insiemi
Le nozioni di: insieme, uguaglianza, appartenenza, inclusione. Proprietà definite
in un insieme. Operazioni di: unione, intersezione, complemento. Prodotto cartesiano tra due o più insiemi. Relazione binaria in un insieme. Relazione d’ordine
e relazione di equivalenza in un insieme. La nozione di funzione. Immagine e immagine inversa di un insieme tramite una funzione. Funzioni: iniettive, suriettive,
biettive, inverse, composte.
2. I numeri reali
L’insieme R dei numeri reali. Operazioni definite in R. Relazione d’ordine totale
in R. Massimo e minimo di un sottoinsieme di R. Estremo inferiore ed estremo
superiore di un sottoinsieme di R. Completezza di R. I numeri: interi, razionali e
irrazionali. Densità di Q in R. Intervalli di R. L’insieme ampliato dei numeri reali.
Insiemi separati, insiemi contigui. Rappresentazione geometrica di R. Insiemi finiti
e insiemi infiniti. Insiemi numerabili. Principio d’induzione finita. Valore assoluto
di un numero reale. Potenza con esponente intero, radice n-ma di un numero reale
non negativo, potenza con esponente reale e logaritmo di un numero reale positivo.
Polinomi.
3. Funzioni reali di una variabile reale
Rappresentazione geometrica di R2 . Massimo e minimo di una funzione. Funzioni limitate inferiormente o superiormente. Estremo superiore, estremo inferiore.
Funzioni: monotone, strettamente monotone, pari, dispari, periodiche. Funzioni:
potenza n-ma, radice n-ma, esponenziale, logaritmo, potenza con esponente reale.
Misura in gradi e in radianti di un angolo. Funzioni trigonometriche e loro inverse.
Equazioni lineari ed equazioni di II grado in seno e coseno. Disequazioni razionali
in seno e coseno. Disequazioni irrazionali. Insieme di definizione delle funzioni
composte.
4. I numeri complessi
Il campo dei numeri complessi. Forma algebrica dei numeri complessi. Modulo
e coniugato di un numero complesso. Rappresentazione geometrica di un numero
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complesso. Sistema di riferimento polare nel piano. Forma trigonometrica dei
numeri complessi. Formula di Moivre. Radici n-me di un numero complesso. Forma
esponenziale di un numero complesso.
5. Successioni numeriche
Definizione di limite di una successione di numeri reali. Proprietà dei limiti.
Regolarità delle successioni monotone. Teoremi del confronto e della permanenza
del segno. Operazioni sui limiti delle successioni regolari. Formula di Newton della
potenza n-ma di un binomio. Il numero di Nepero. Limiti fondamentali. Elementi
di topologia della retta reale. Punti d’accumulazione di un insieme. Teorema di
Bolzano-Weierstrass (s.d.). Punti interni, punti esterni e punti di frontiera di un
insieme. Chiusura di un insieme. Insiemi chiusi e insiemi aperti di R. Successioni
estratte. Proprietà delle successioni regolari, limitate, non limitate. Sottoinsiemi
compatti di R. Criterio di Cauchy (s.d.).
6. Funzioni reali di una variabile reale: limiti e continuità
Limite di una funzione in un punto. Teorema sull’unicità del limite. Teorema
fondamentale sulla regolarità di una funzione in un punto. Teoremi del confronto
e della permanenza del segno. Operazioni con i limiti di funzioni regolari. Limite
destro e limite sinistro. Regolarità delle funzioni monotone. Funzioni continue in
un punto. Teorema di Bolzano sulla continuità delle funzioni monotone. Continuità
delle funzioni elementari. Classificazione dei punti di discontinuità di una funzione.
Teorema sul limite di una funzione composta. Teorema di Weierstrass. Teorema
degli zeri. Teorema di Bolzano per le funzioni continue in un intervallo. Teoremi
sulle funzioni continue e invertibili (s.d.). Limiti fondamentali. Criterio di Cauchy
(s.d.). Funzioni uniformemente continue. Teorema di Cantor (s.d.).
7. Calcolo differenziale per le funzioni reali di una variabile reale
Derivabilità di una funzione in un punto. Relazione tra continuità e derivabilità.
Derivata sinistra e derivata destra. Teorema sulla derivabilità della funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. Operazioni sulle funzioni derivabili. Teorema sulla derivabilità di una funzione composta. Interpretazione geometrica della
derivata. Punti angolosi e punti cuspidali. Derivate di ordine superiore. Punti di
massimo e di minimo relativo. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema
di Lagrange. Funzioni con derivata nulla. Primitive di una funzione. Teorema di
Cauchy. Teoremi di L’Hospital (s.d.) e loro applicazioni. Confronto fra infinitesimi
e confronto fra infiniti. Parte principale di un infinitesimo. Infinitesimi e infiniti
equivalenti. Ordine di un infinitesimo e di un infinito.
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8. Approssimabilità intorno ad un punto di una funzione con polinomi
Differenziale primo di una funzione in un punto. Formula di Taylor con il resto
di Peano. Formula di Taylor con il resto di Lagrange. Formula di Mac-Laurin col
resto di Lagrange di alcune funzioni elementari. Applicazioni al calcolo dei limiti.
9. Applicazioni del calcolo differenziale
Caratterizzazioni delle funzioni monotone e strettamente monotone. Condizione
sufficiente affinché una funzione sia dotata di massimo o di minimo relativo. Funzioni convesse, strettamente convesse, concave e strettamente concave in un intervallo. Caratterizzazioni delle funzioni convesse e concave (s.d.). Punti di flesso.
Condizioni sufficienti affinché un punto sia di flesso. Asintoti obliqui, orizzontali e
verticali.
10. Integrazione indefinita
Integrale indefinito e sue proprietà. Integrali indefiniti fondamentali. Scomposizione in fratti semplici di una funzione razionale e formula di Hermite. Integrazione delle funzioni razionali. Le funzioni iperboliche. Integrali delle funzioni
irrazionali.
11. Integrazione definita
Cenni sulla teoria della misura secondo Peano-Jordan. La nozione di rettangoloide. Rettangoloidi misurabili. Integrale di una funzione continua in un intervallo compatto e sue proprietà . Teorema della media. Lemma e teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodo di integrazione per parti. Metodo di integrazione
per sostituzione.
12. Serie numeriche
Definizione di serie e di somma di una serie. Criterio di Cauchy. Serie armonica. Serie geometriche. Operazioni con le serie. Serie a termini non negativi.
Criteri: del confronto, del rapporto e della radice. Serie armonica generalizzata.
Criterio dell’infinitesimo. Serie assolutamente convergenti. Studio del carattere di
una serie tramite la formula di Taylor.
Bibliografia
[ 1 ] A. Alvino, G. Trombetti, Elementi di matematica I; Liguori Editore.
[ 2 ] P. Marcellini, C. Sbordone,, Analisi Matematica uno ; Liguori Editore,
(1998).
[ 3 ] B. Messano, Appunti del Corso di Analisi Matematica I (11 settembre
2016).
