Soluzioni degli esercizi sui problemi di primo grado

Liceo “Carducci” Volterra - Classi 1A, 1B Scientifico - Francesco Daddi - 27 aprile 2009
Soluzioni esercizi (problemi in una incognita)
Esercizio 1. Un padre ha 32 anni, il figlio 5. Dopo quanti anni l’età del padre sarà 10 volte maggiore
di quella del figlio? Si interpreti il risultato ottenuto.
Soluzione. Indichiamo con x il numero degli anni che dobbiamo aspettare affinché l’età del padre sia
10 volte maggiore di quella del figlio; tra x anni l’età del padre sarà 32 + x, mentre quella del figlio sarà
5 + x. L’equazione è 32 + x = 10(5 + x) e quindi troviamo x = −2. Che senso ha un numero negativo?
La soluzione va interpretata riferendoci al passato: due anni fa l’età del padre era 10 volte maggiore
di quella del figlio (infatti 2 anni fa il padre aveva 30 anni mentre il figlio ne aveva 3).
5
dell’altro.
3
5
Soluzione. Indicando con x il numero maggiore, il numero minore è 72 − x; l’equazione è x = (72 − x)
3
la cui soluzione risulta essere x = 45. In definitiva il numero maggiore è 45, mentre il numero minore
3
è 27 (ottenuto come 72 − 45 oppure come · 45).
5
Esercizio 3. Trovare un numero che, sommato al suo triplo, dà 32.
Soluzione. Indicato con x il numero da determinare, abbiamo: x + 3 x = 32 da cui x = 8.
Esercizio 2. Trova due numeri sapendo che la loro somma è 72 e che uno di essi è
Esercizio 4. Trovare un numero che, sommato alla sua metà ed alla sua sesta parte, dà 50.
x
x
Soluzione. Indicato con x il numero da determinare, l’equazione risulta essere: x + +
= 50.
2
6
Dall’equazione ricaviamo x = 30.
3
5
Esercizio 5. Dividere il numero 576 in due parti tali che della prima parte meno della seconda
6
4
parte sia uguale a 138.
Soluzione. Indichiamo con x la prima parte del numero; la seconda parte è 576 − x. L’equazione è
3
5
x − (576 − x) = 138; si trova x = 360 da cui 576 − x = 216. La prima parte è 360, mentre la
6
4
seconda parte è 216.
Esercizio 6. Determina due numeri naturali consecutivi tali che la differenza dei loro quadrati è uguale
a 49.
Soluzione. Indicando con x il numero minore, il maggiore sarà x + 1; l’equazione è (x + 1)2 − x2 = 49
da cui: x2 + 2 x + 1 − x2 = 49 e quindi x = 24. I due numeri, dunque, sono: 24 e 25.
Esercizio 7. Trova tre numeri dispari consecutivi tali che la loro somma sia uguale a 87.
Soluzione. Indicando con (2 x + 1) il numero dispari centrale, gli altri dispari sono (2 x − 1) e (2 x + 3);
l’equazione è (2 x − 1) + (2 x + 1) + (2 x + 3) = 87 da cui 6 x + 3 = 87 e quindi x = 14. I tre numeri
dispari sono: (2 · 14 − 1) = 27, (2 · 14 + 1) = 29 e (2 · 14 + 3) = 31.
Esercizio 8. Trova cinque numeri pari consecutivi tali che la loro somma sia uguale a 1000.
Soluzione. Indicando con 2 x il numero pari centrale, gli altri pari sono: (2 x − 4), (2 x − 2), (2 x + 2)
e (2 x + 4). L’equazione risulta essere: (2 x − 4) + (2 x − 2) + 2 x + (2 x + 2) + (2 x + 4) = 1000 da cui
10 x = 1000 e quindi x = 100. I quattro numeri, pertanto, sono: 196, 198, 200, 202, 204.
Esercizio 9. Trova due numeri dispari consecutivi tali che la differenza dei loro cubi sia uguale a 218.
Soluzione. Indicando con (2 x − 1) e (2 x + 1) i due dispari consecutivi, l’equazione risulta essere:
(2 x + 1)3 − (2 x − 1)3 = 218 da cui 24 x2 + 2 = 218. Si trovano due soluzioni: x1 = 3 e x2 = −3. Con
la prima troviamo i numeri (2 · 3 − 1) = 5 e (2 · 3 + 1) = 7, mentre con la seconda troviamo i numeri
(2 · (−3) − 1) = −7 e (2 · (−3) + 1) = −5.
Osservazione. Di solito, se non diversamente specificato nel testo del problema, si suppone che i
numeri da determinare siano positivi. Nel nostro caso specifico abbiamo trovato, comunque, anche −7
e −5: si osservi che risulta: (−5)3 − (−7)3 = 218.
1
Esercizio 10. Trova un numero tale che: se diviso per 3 dà resto 2; se calcoliamo la differenza tra il
quadrato del numero stesso e il quadrato del precedente otteniamo 111.
Soluzione. Non è conveniente indicare con x il numero da determinare; è opportuno, invece scrivere
il numero da trovare nel modo seguente: (3 x + 2). Osservato che il numero precedente è (3 x + 1),
l’equazione risulta essere la seguente: (3 x + 2)2 − (3 x + 1)2 = 111 da cui 6 x + 3 = 111 e quindi x = 18.
Il numero cercato non è 18, ma bensı̀ (3 · 18 + 2) = 56.
Esercizio 11. La differenza di due numeri è 20, il loro quoziente è 3. Trova i due numeri.
Soluzione. Indicando con x il numero più piccolo, il numero maggiore è 3 x; l’equazione risulta essere:
3 x − x = 20 da cui x = 10. I due numero cercati sono, dunque, 10 e 30.
Esercizio 12. In un cortile ci sono dei polli e degli agnelli che hanno in tutto 47 teste e 120 zampe.
Trovare il numero dei polli e degli agnelli.
Soluzione. Indicando con x il numero dei polli, il numero degli agnelli è 47 − x; poiché ogni pollo ha
due zampe e ogni agnello ne ha quattro, l’equazione è 2 x + 4(47 − x) = 120 da cui x = 34. I polli sono
34 e gli agnelli 13.
Esercizio 13. In un numero di due cifre la somma di esse è 7; scrivendo le cifre in ordine inverso, si
ottiene un numero che è il doppio del numero dato aumentato di 2. Trovare il numero.
Soluzione. Indicando quindi con x la cifra delle decine, la cifra delle unità è uguale a (7 − x); il numero
può essere scritto nel modo seguente: 1 · (7 − x) + 10 · (x); il numero che si ottiene scambiando le cifre,
invece, risulta essere: 1 · (x) + 10 · (7 − x). Scriviamo ora l’equazione:
1 · (x) + 10 · (7 − x) = 2 1 · (7 − x) + 10 · (x) + 2
da cui x = 2 e quindi 7 − x = 5. Il numero, pertanto è 1 · 5 + 10 · 2 = 25.
Esercizio 14. Uno studente compra 4 penne, 12 quaderni e 7 libri per un totale di 180 euro. Sapendo
che un libro costa quanto 8 penne e che 16 quaderni costano quanto 5 libri, determinare il costo dei
singoli oggetti.
Soluzione. Indichiamo con x il prezzo di una penna; il costo di un libro è 8 x,
il costo di un
mentre
5
5
5
quaderno è
· (8 x) = x; l’equazione, pertanto, è la seguente: 4 · x + 12 ·
x + 7 · (8 x) = 180
16
2
2
da cui x = 2. Il costo di una penna è 2 euro; il costo di un libro è 16 euro; il costo di un quaderno è 5
euro.
Esercizio 15. Ad un certo punto del campionato la Fiorentina ha il doppio dei punti della Juventus e
l’Inter ha due terzi dei punti della Fiorentina. Sapendo che in totale i punti delle tre squadre sono 78,
determinare i punti delle singole squadre.
Soluzione. Indichiamo con x il numero dei punti della Juventus; il numero dei punti della Fiorentina è
2 x mentre il numero dei punti dell’Inter è uguale a 23 (2 x) = 43 x. L’equazione è 2 x + x + 23 x = 78 da
cui ricaviamo x = 18. La Fiorentina ha 36 punti, l’Inter ne ha 24, infine la Juventus chiude a 18.
Esercizio 16. Per organizzare una gita collettiva, vengono affittati due pulmini dello stesso modello,
per i quali ciascun partecipante deve pagare 12 euro. Sui pulmini restano, in tutto, quattro posti liberi:
se fossero stati occupati anche essi, ogni partecipante avrebbe risparmiato 1, 50 euro. Quanti posti vi
sono su ogni pulmino?
Soluzione. Indichiamo con x il numero dei posti su ogni pulmino; se fossero stati occupati al 100%
entrambi i pulmini, il costo totale della gita sarebbe stato uguale a 2 x · (12 − 1, 50) = 21 x. Poiché
vi sono, in tutto, quattro posti liberi, il costo totale è (2 x − 4) · 12 = 24 x − 48. Dal momento che il
costo della gita resta invariato, per ottenere l’equazione dobbiamo uguagliare le due quantità scritte:
21 x = 24 x − 48 da cui x = 16.
2
Esercizio 17. Un rubinetto, se aperto, riempie una fontana in 5 ore; un altro rubinetto riempie la
stessa fontana in 7 ore. Se vengono aperti contemporaneamente, quanto tempo ci vorrà per riempire
un sesto della vasca?
Soluzione. Poiché il primo rubinetto impiega 5 ore a riempire la fontana, in x ore avrà riempito i 15 x
della fontana; lo stesso ragionamento, ovviamente, può essere fatto per
1 il secondo
rubinetto: in x ore
1
1
ha riempito i 7 x della fontana. In x ore avranno riempito, insieme, i 5 x + 7 x della fontana, ovvero
i 12
x della fontana. La fontana è completamente riempita se risulta 12
x = 1 e quindi x = 35
ore; per
35
35
12
1 35
35
riempire un sesto della fontana occorrono 6 · 12 = 72 ore, ovvero, 0, 4861 ore. Traduciamo il risultato
in minuti, ore, secondi: 0, 4861 ore = 0 ore, 29 minuti e 10 secondi.
Esercizio 18. Un mercante va ad una fiera e riesce a raddoppiarsi il proprio capitale e vi spende 500
euro; ad una seconda fiera triplica il suo avere e spende 900 euro; ad una terza poi quadruplica il suo
denaro e spende 1200 euro. Dopo ciò gli è rimasto 800 euro. Quanto era all’inizio il suo capitale?
Soluzione. Indichiamo con x il capitale iniziale del mercante; dopo la prima fiera il capitale risulta
essere uguale a 2 x − 500; dopo la seconda fiera il capitale risulta 3 (2 x − 500) − 900 = 6 x − 2400; dopo
la terza fiera il capitale risulta 4(6 x − 2400) − 1200 = 24 x − 10800. L’equazione risulta, quindi, essere:
24 x − 10800 = 800 da cui x = 1450
: il capitale iniziale ammontava a 483, 33 euro.
3
Esercizio 19. L’epitaffio di Diofanto. “Viandante! Qui furono sepolti i resti di Diofanto. E i
numeri possono mostrare, oh, miracolo! Quanto lunga fu la sua vita, la cui sesta parte costituı̀ la sua
felice infanzia. Aveva trascorso ormai la dodicesima parte della sua vita, quando di peli si coprı̀ la sua
guancia. E la settima parte della sua esistenza trascorse in un matrimonio senza figli. Passò ancora
un quinquennio e gli fu fonte di gioia la nascita del suo primogenito, che donò il suo corpo, la sua bella
esistenza alla terra, la quale durò solo la metà di quella di suo padre. Il quale, con profondo dolore
discese nella sepoltura, essendo sopravvenuto solo quattro anni al proprio figlio. Dimmi quanti anni
visse Diofanto.”
x
x
x
Soluzione. Indichiamo con x gli anni vissuti da Diofanto; l’equazione risulta essere: x = +
+ +
6 12 7
x
5 + + 4 ; si trova x = 84. Diofanto visse per 84 anni.
2
Esercizio 20. Policrate, tiranno di Samos, domanda a Pitagora il numero dei suoi allievi. Pitagora
risponde che: “la metà studia le belle scienze matematiche; l’eterna Natura è l’oggetto dei lavori di un
quarto; un settimo si esercita al silenzio e alla meditazione; vi sono inoltre tre donne.” Quanti allievi
aveva Pitagora?
x x x
Soluzione. Indichiamo con x il numero degli allievi di Pitagora; l’equazione è: x = + + + 3 ; si
2 4 7
trova x = 28. Gli allievi di Pitagora erano 28.
Esercizio 21. Antonello e Gianluigi hanno avuto dal padre l’incarico di arare due campi, l’uno di forma
quadrata, e l’altro rettangolare. “Io scelgo il campo quadrato - dice Antonello, - dato che il suo perimetro
è di 4 metri inferiore a quello dell’altro”. “Come vuoi! - commenta il fratello - Tanto, la superficie è
la stessa, dato che la lunghezza di quello rettangolare è di 18 metri superiore alla larghezza”. Qual è
l’estensione di ciascun campo?
Soluzione. Indichiamo con x la misura del lato minore del campo rettangolare di Gianluigi; il lato
maggiore dello stesso campo è x + 18; il perimetro risulta essere uguale a 2 x + 2(x + 18) = 4 x + 36.
Dal momento che il campo quadrato di Antonello ha perimetro uguale a (4 x + 36) − 4 = 4 x + 32,
il lato è 14 · (4 x + 32) = x + 8. Poiché le due superfici sono uguali, possiamo finalmente scrivere
l’equazione: x · (x + 18) = (x + 8)2 da cui x = 32 metri. L’estensione di ciascun campo è, quindi, pari
a (32 + 8)2 = 1600 m2 .
Esercizio 22. In un supermercato si vendono le uova in due diverse confezioni, che ne contengono
rispettivamente 10 e 12. In un giorno è stato venduto un numero di contenitori da 12 uova doppio di
quelli da 10, per un totale di 544 uova. Quanti contenitori da 10 uova sono stati venduti?
Soluzione. Indicato con x il numero di confezioni da 10 uova, abbiamo: 12 (2 x) + 10 x = 544 da cui
x = 16: sono stati venditi 16 contenitori da 10 uova.
3
Esercizio 23. Una ditta che produce asciugamani sostiene mensilmente delle spese fisse pari a 4000
euro. Per ogni asciugamano prodotto, messo in vendita a 12 euro, si spendono 4 euro di materie prime
e manodopera. Quanti asciugamani deve vendere la ditta mensilmente per pareggiare il bilancio?
Soluzione. Indicato con x il numero di asciugamani che devono essere venduti, abbiamo: (12 − 4)x =
4000 da cui x = 500.
Esercizio 24. Un uomo entrò in un orto nel quale vi erano tre giardini per fare provvista di arance.
Ma per uscire dovette darne al primo guardiano la metà più due, al secondo la metà di quelle rimaste
più due e poi al terzo guardiano la metà delle rimaste più due. In tal modo restò con una sola arancia.
Quante ne aveva colte?
Soluzione.
con x il numero delle arance colte all’inizio; dopo
restano
Indichiamo
1 xil primo
guardiano
x
x
x
x
− 2 − 2 · 2 − 2 + 2 = 4 − 3 arance;
x − 2 + 2 = 2 − 2 arance; dopo il secondo
2
guardiano
restano
dopo il terzo guardiano restano x4 − 3 − 12 · x4 − 3 + 2 = x8 − 72 arance.
L’equazione, quindi, è la seguente:
x 7
− =1
8 2
da cui x = 36 arance colte inizialmente.
Esercizio 25. Un grossista ha acquistato 120 bottiglie tra aceto e olio, pagando rispettivamente l’aceto
0, 75 euro e l’olio 3, 75 euro alla bottiglia. Avendo rotto tutte le bottiglie d’aceto, rivende a 4, 8 euro
ogni bottiglia di olio in modo da ripagarsi completamente per la spesa sostenuta. Quante bottiglie di
aceto ha acquistato?
Soluzione. Indicato con x il numero di bottiglie di aceto, il numero di bottiglie di olio è pari, chiaramente, a (120 − x). Per acquistare tutte le bottiglie il grossista ha speso 0, 75 x + 3, 75 (120 − x) euro;
dopo aver rotto tutte le bottiglie di aceto, ricava 4, 8 (120 − x) euro dalla vendita di tutte le bottiglie
di olio. Uguagliando la spesa inziale con il ricavo successivo, abbiamo:
0, 75 x + 3, 75 (120 − x) = 4, 8 (120 − x)
da cui x = 70 bottiglie di aceto.
Esercizio 26. Trovare un numero di due cifre sapendo che la cifra delle decine è inferiore di 3 rispetto
alla cifra delle unità e sapendo che invertendo l’ordine delle cifre e si sottrae il numero stesso, si ottiene
27. Si interpreti il risultato.
Soluzione. Indicando con x la cifra delle decine, la cifra delle unità è (x + 3); il numero può, pertanto,
essere scritto cosı̀: 1 · (x + 3) + 10 · x; il numero che si ottiene scambiando l’ordine delle cifre è
1 · x + 10 · (x + 3). Calcolando la differenza tra i due numeri arriviamo all’equazione:
1 · x + 10 · (x + 3) − [1 · (x + 3) + 10 · x] = 27
da cui 27 = 27. Abbiamo ottenuto un’identità. Non c’è un unico numero che risolve il problema, ma
vi sono più soluzioni: 14, 25, 36, 47, 58, 69.
Esercizio 27. Al cinema “Matematico” hanno deciso di aumentare il biglietto del 10%; il numero degli
spettatori è calato, però, del 10%. E’ stato un affare?
Soluzione. Indichiamo con c il costo del biglietto e con n il numero degli spettatori prima dell’aumento
del costo del biglietto; l’incasso totale è uguale, ovviamente, a c · n. Dopo
l’aumento,
il biglietto costa
1, 1 · c e gli spettatori sono 0, 9 · n: l’incasso totale è uguale, quindi, a 1, 1 · c · 0, 9 · n = 0, 99 · c · n ;
l’incasso è stato inferiore dell’1% rispetto a prima. Non è stato, quindi, un affare né per il cinema né
per gli spettatori.
Esercizio 28. A mezzogiorno le lancette dei minuti e delle ore sono sovrapposte. Quando saranno di
nuovo sovrapposte?
Soluzione. Indicato con x il tempo in ore, la lancetta delle ore ha percorso 30 · x gradi, mentre quella
dei minuti ha percorso 360 · x gradi (osserviamo che la lancetta dei minuti è 12 volte più veloce di
quella delle ore). Poiché dopo un giro completo la lancetta dei minuti si trova a (360 · x − 360) gradi,
l’equazione da risolvere è la seguente: 30 x = 360 x − 360 da cui x = 12
ore. Traduciamo il risultato in
11
12
ore, minuti, secondi: 11 ore = 1 ora , 5 minuti, 27 secondi (circa).
4