I numeri della musica

Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Intervalli musicali in ordine di consonanza
Gli intervalli consonanti corrispondono
a rapporti tra le frequenze di due note
che contengono piccoli numeri interi.
1 Unisono
2 Ottava
3 Quinta
4 Quarta
5 Sesta maggiore
6 Terza maggiore
7 Terza minore
8 Sesta minore
2
3/2
4/3
5/3
5/4
6/5
8/5
f2/f1
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
fondamentale
II armonica
III armonica
IV armonica
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
ampiezza
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
tempo
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
ampiezza
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
tempo
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
ampiezza
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
f
0
2f
0
3f
0
frequenza
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Le armoniche sono responsabili del “timbro”
ampiezza
ampiezza
1.2
1
0.8
La (440 Hz) sinusoide
0.6
0.4
0.2
0
tempo
0
1000
2000
3000
4000
5000
frequenza
ampiezza
ampiezza
1.2
1
0.8
La (440 Hz) dente di sega
0.6
0.4
0.2
tempo
Variazione di intensità di un’armonica
0
0
1000
2000
3000
Vivaldi: magnificat
4000
5000
frequenza
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
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Intervallo:
Rapporto tra frequenze:
5a
3/2
Coincidenza tra le armoniche
3
f0
2
0
f0
9
f0
2
2f0
3f0
4f0
5f0
6f0
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Intervallo:
Rapporto tra frequenze:
4
f0
3
0
f0
4a
4/3
8
f0
3
2f0
3f0
8
f0
3
4f0
5f0
6f0
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
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Intervallo:
Rapporto tra frequenze:
5
f0
4
0
f0
5/4
15
f0
4
5
f0
2
2f0
3a
3f0
4f0
25
f0
4
5f0
6f0
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
Misura
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
degli intervalli musicali
Intervallo (Cent)= I(f2 f1 ) = 1200 log2 (f2 f1 )
Intervallo (gradi angolari)= I(f2 f1 ) = 360 log2 (f2 f1 )
In questo modo invece di moltiplicazioni e divisioni
avremo a che fare con addizioni e sottrazioni
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
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Fa
generazione pitagorica delle note
( )
I 5a = 360 log2 (3 2)
210° 36’
Do
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
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Fa
Sol
Do
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Fa
Sol
Re
Do
eccetera
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
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Mi
Fa Mi #
Comma pitagorico
Fa #
Re #
Sol
Re
Sol #
Do #
La
Si #
Do
Si
La #
Si b
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
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Il processo può andare avanti all’infinito ma non
si torna mai alla nota di partenza
n
3
m
≠
2
 
2
Non esiste una sequenza di intervalli di quinta
che coincida con una sequenza di ottave
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
:
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
Comma pitagorico
12
Saliamo di 12 quinte e scendiamo di 7 ottave:
I(CP)=23.5 cent =7°
3
 
2
C P =  7
2
=
531441
524288
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
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Problema della scala pitagorica:
l’ intervallo di terza maggiore (81/64) è crescente
rispetto a quello perfetto (5/4)
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
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Mi
perfetto
115° 53’
Do
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
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Mi
perfetto
Generazione del Mi per
sequenza di intervalli di quinta
Sol
Do
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Mi
perfetto
Sol
Re
Do
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Mi
perfetto
Sol
Re
La
Do
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Mi
Mi
perfetto
Sol
Re
La
Do
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
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:
Mi pitagorico
Mi “perfetto”
Comma di Zarlino
Saliamo di 4 quinte e scendiamo di 2 ottave:
I(CZ)=21.5 cent =6°27'
CZ
3
 
2
=  2
2
4
5 81
=
4 80
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
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Do
I(5a) + I(4a) = I(8a)
702 c + 498 c = 1200 c
4a
149° 24’
5a
210° 36’
Mi
Sol
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
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Do
I(3aM)+I(3am)=I(5a)
386 c + 316 c = 702 c
3a M
115° 54’
3a m
94° 42’
Sol
Mi
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Do
I(3aM) + I(6am) = I(8a)
386 c + 814 c = 1200 c
3a M
115° 54’
6a m
244° 06’
Sol
Mi
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Do
I(3am)+I(6aM)=I(8a)
316 c + 884 c = 1200 c
6a M
265° 18’
3a m
94° 42’
Sol
Mi
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Scala naturale o scala di Zarlino
Nella costruzione della scala si prende in considerazione
anche il rapporto 5/4
5/4
3/2
2
:
Si utilizzano i rapporti tra i numeri primi 2, 3, 5 e i loro multipli
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
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Confronto tra la scala pitagorica (p) e la scala naturale (z)
Comma di Zarlino (81/80)
81/64
27/16
243/128
p
z
1
do
9/8
5/4
4/3
3/2
5/3
15/8
mi
fa
sol
la
si
re
tono
grande
tono
piccolo
2
do
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
La scala di Zarlino non permette trasposizioni e modulazioni
1
do
9/8
re
5/4
4/3
3/2
5/3
15/8
mi
fa
sol
la
si
2
do
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
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Come possiamo risolvere questi problemi?
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
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La soluzione?
Il Tono Medio – (Pietro Aron -1523)
Ovvero: La gran rinuncia!
Si temperano le quinte di ¼ di comma di Zarlino.
In questo modo abbiamo un solo tono e le terze pure
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Dalla consonanza alla dissonanza e ai battimenti
suono aspro
suono aspro
battimenti
banda critica
f1
f2
ascolta
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Triadi a confronto
È meglio una quinta giusta e una terza (molto) crescente
ovvero una terza giusta e una quinta (un pò) calante?
Pitagora
Tono medio
I battimenti sono provocati dalla non perfetta coincidenza degli armonici
Pitagora: 5 armonico del Do
contro il 4 del Mi
(battimento rapido)
Tono medio: 3 armonico del
Do contro il 2 del Sol
(battimento lento)
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Nella rappresentazione circolare fissiamo come origine il Do
Gli angoli sono contati positivamente se si
gira in senso orario. Quando si superano i
360 si riparte da zero. Ciò equivale a
scendere di una ottava e ritornare al punto
di partenza.
Solo l’ottava è fissata.
Gli altri intervalli potranno essere
diversi da quelli “naturali”
Partendo dal Do, una sequenza di 4 quinte pure porta al Mi(pit) = 122.4 , più alto
del Mi naturale =115.9 (Mi(pit) - Mi = 6.5 = Comma di Zarlino)
La stessa differenza c’è fra il La di Zarlino e il La pitagorico.
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
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Il Comma del lupo
Se si fanno 3 terze maggiori pitagoriche in sequenza, a partire dal Do, si
arriva a un Si# (pitagorico) di poco più alto del Do (Comma pitagorico≈7 )
Se si fanno 3 terze maggiori pure in sequenza, a partire dallo stesso Do, si
arriva a un Si# (naturale) di poco più basso del Do di partenza.
Questo intervallo è detto Comma del lupo ( ≈12 )
C’è una relazione fra i 3
Commi
Poiché il Si#(pit) è più alto di 3
Commi di Zarlino rispetto al Si#
ottenuto con una sequenza di
terze pure, si ha:
3 Commi di Zarlino 1 Comma pitagorico =
Comma del lupo
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Scala cromatica naturale temperata con Tono medio
Una sequenza di 12 quinte ristrette di ¼ di comma di Zarlino (209 ) porta
a due note separate dal comma del lupo (12 )
Ad es. 8 in senso orario →Sol# e 4 in senso antiorario →Lab
In una tastiera con 12
note si rinuncia a Re#
e Lab.
L’ intervallo
Sol# - Mib
che dovrebbe chiudere
il giro
è detto
Quinta del Lupo
E’ possibile suonare
solo nelle tonalità
senza lupi
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Il temperamento equabile a 12 note
Se ogni quinta pura (210.6 ) viene temperata di 1/12 di comma
pitagorico (pari a 0.6 ) diventa esattamente 210 .
12 di queste quinte (12x210 ) riportano al punto di partenza e la
circonferenza viene divisa in 12 parti eguali.
l’intervallo di terza maggiore
diventa 120 e ogni
successione di 3 terze maggiori
forma un triangolo equilatero.
Non c’è differenza fra diesis
e bemolli
Nota: Si ha un’ ottima
approssimazione alla scala
pitagorica.
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Temperamenti equabili
di ordine superiore a 12
Non esistono motivi teorici per limitare a 12 la divisione dell’ottava.
Le ragioni sono solo di ordine pratico.
In passato sono stati realizzati strumenti con più di 12 tasti per ottava
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Se si divide l’ottava in m parti uguali, i diversi intervalli
consonanti (quinta, terza maggiore, terza minore,….) saranno
approssimati più o meno bene a seconda del valore di m.
Ad es., nella divisione m =12
L’intervallo di quinta risulta ristretto di 0.6°
I12(∆5a) ≡ 5a(pura) – 5a(m=12) = 210.6°-210° =0.6°=2cent
e l’intervallo di terza maggiore è più largo di 14°
I12(∆3aM) ≡ 3aM (pura) - 3aM(m=12) =115.9°- 120° =-4.1°=-14 c
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
10
m
I [cent]
15
5
0
-5
-10
-15
0
100
200
300
400
500
m
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Per limitare il numero di temperamenti equabili e per non
modificare la notazione musicale in uso imponiamo la
seguente condizione condizione:
L’intervallo di terza maggiore deve essere ottenuto
da una sequenza di 4 quinte ascendenti e 2 ottave
discendenti (do-sol-re-la-mi)
Questa condizione implica che la terza sia ottenuta da una
sequenza di due toni (condizione di tono medio)
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
La condizione sulle terze limita il numero di sistemi temperati possibili a 28
I [cent]
15
Distanze Im fra intervalli naturali e temperati
Pallini=Quinte
10
Quadratini= Terze Maggiori
5
Le differenze algebriche fra
pallini e quadratini danno le
analoghe distanze Im per gli
intervalli di terza minore.
Per m=19 si hanno terze
minori perfette!
0
-5
-10
-15
12 19
31
43 50
45 55
67 74
88
105 117
69 81
98
m
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
CRITERI DI CONSONANZA
Possiamo cercare il numero più conveniente in cui dividere l’ottava
seguendo un criterio di consonanza.
Definiamo:
Em(x,y)=|Im(∆5a)|+x|Im(∆3aMag)|+y|Im(∆3amin)|
fissati x e y a nostro “gusto”, scegliamo m in modo che Em(x,y) sia minimo
x=y=0
vuol dire privilegiare solo l’intervallo di 5a (e di 4a) e non
preoccuparsi se gli altri intervalli risultano stonati.
x=y=1
vuol dire dare egual peso all’intonazione dei tre intervalli (5a,
3aMag, 3amin)
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
y
Mappa di consonanza nel piano xy (con 0 ≤ x,y ≤ 1)
81
19
88
31
12
x
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
y
mappa di consonanza per temperamenti con meno di 50 note per ottava
19
31
12
x
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Il temperamento equabile a 31 divisioni è quello che meglio
concilia la consonanza degli intervalli con le esigenze di
semplicità esecutiva e di costruzione degli strumenti
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Il ciclo 31
Christian Huygens (1629-1695)- Lemme Rossi (1666)
In quante parti eguali dobbiamo dividere l’ottava per approssimare al
meglio la scala naturale con il temperamento del tono medio?
Riprendiamo la sequenza di
12 quinte ristrette di ¼ di
comma di Zarlino.
Analizziamo in dettaglio
la sequenza
Sol - Sol# - La b - La
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Sol - Sol# - La b - La
Sol - Sol# = La b - La = “semitono cromatico”
Sol - La b = Sol# - La = “semitono diatonico”
Sol# - Lab = “intervallo enarmonico”
Sol# - Lab = comma del lupo ~ 1/5 tono medio
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Perciò possiamo dividere il tono medio in 5 parti e
attribuire 3 parti al semitono diatonico e 2 a quello
cromatico.
Poichè in una ottava ci sono 5 toni medi e 2
semitoni diatonici, l’ottava sarà suddivisa in
5·5+2·3=31
parti eguali
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Ciclo 31
Le terze maggiori non
sono pure ma
risultano allargate di
una quantità
impercettibile (0.24 )
Diesis, bemolli, doppi
diesis e doppi bemolli
sono tutti distinti
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Della suddivisione in 31 parti eguali
possiamo prendere un sottoinsieme
Nei secoli XVI e XVII
furono costruiti diversi
strumenti
“enarmonici”
Cembali con “tasti
spezzati”
con 14 e 19 note per
ottava .
e anche…
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Cembalo a 31 tasti per ottava di Guido Trasuntin (sec XVII)
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Organo di
Adriaan Fokker (1887 – 1972)
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
La pratica però dice 12 note
•La divisione dell’ottava in 12 parti eguali si è tuttavia
imposta solo in tempi relativamente recenti.
La Storia
•Temperamento del tono medio (con quinta del lupo)
•Temperamenti “circolari” ma non equabili:
Werkmeister
Rameau
Bach (?)
Kirnberger
Vallotti
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
Il mistero del temperamento di Bach sembra
essere racchiuso nel ghirigoro in alto del
frontespizio del clavicembalo ben temperato.
Giorgio Dillon – Riccardo Musenich
I numeri della musica: il rapporto tra musica, matematica e fisica da Pitagora ai tempi moderni
S’io guardo quel che hanno
ritrovato gli uomini nel
compatir gl’intervalli musici,
nello stabilir precetti e
regole per potergli
maneggiar con diletto
mirabile dell’udito, quando
potrò io finir di stupire?