Matematica e musica
Teoria musicale e matematica nella tradizione pitagorica
Il suono rappresenta quanto c’è di più sfuggente nella realtà fisica sperimentabile. Esso è
l’effetto di un fenomeno fisico concreto, eppure non si lascia contenere in alcun recipiente,
né trattenere sotto alcuna forma, nemmeno cambiando stato come può fare un gas.
Nonostante ciò esiste già i filosofi classici ne scandagliano le possibilità di interferire con
l’uomo, fin nel più profondo del suo essere. La sua essenza, misteriosa ma reale, lo porta a
divenire simbolo degli aspetti appena intuibili dell’universo, mentre si cerca di misurarne
la parte fisica con il numero, strumento unico ed universale di spiegazione della realtà.
Semplice e geniale: i suoni possono essere misurati mettendoli a confronto tra loro. Una
corda tesa può produrre un suono ben preciso, la sua metà ne produce un altro
esattamente un’ottava più in alto – otto note sopra, oggi diremmo, per esemplificare, due
do, uno alto ed uno basso – una seconda nota che, se eseguita contemporaneamente alla
prima si allinea ad essa quasi come se fossero la stessa nota; è quanto succede ogni volta
che un uomo ed una donna si mettono a cantare la stessa nota senza preoccuparsi di
cercare l’unissono: le loro caratteristiche fisiologiche differenti li portano a cantare "in
ottava": due note perfettamente "consonanti".
Pitagora ricerca queste consonanze e le definisce numericamente: due note in ottava – per
noi due do, due re, ecc – in base alla misurazione delle corde che le producono stanno in
rapporto 2 ad 1 ( mezza corda produce l’ottava superiore), due note a distanza di quinta –
per noi ad es. un do ed il sol successivo nella scala – stanno in rapporto di 3 a 2 ( due terzi di
corda producono la quinta superiore ), analogamente due note a distanza di quarta – ad es.
do e fa – stanno in rapporto di 4 a 3, e così via misurando. Tuttavia i rapporti che
rappresentano altri intervalli sono espressi con rapporti numerici sempre più complessi e
l’effetto simultaneo delle altre coppie di suoni non è altrettanto consonante. Ecco dunque
che il concetto di consonanza viene collegato a quello di semplicità, come semplici sono i
fondamenti primi dell’universo: la consonanza dei suoni è espressione dell’armonia
universale e, per di più, ha un riscontro con l’armonia interiore dell’uomo che deve
trovare nella musica un modello ed un aiuto, con tutte le implicazioni etico-musicali del
pensiero di Platone
Matematica e musica nella polifonia e nella pratica musicale medievale e
rinascimentale
Il pensiero cristiano medioevale recupera, con alcune imprecisioni tecniche, le teorie
musicali di quello greco e la teoria musicale approvata dalla Chiesa tiene ferme le esigenze
di semplicità ed armonia richieste da Pitagora, caricando con il senso del peccato quanto
viene escluso dalla teoria antica. Non solo viene mantenuta la scala di sette note dei Greci,
ma si conservano i rapporti numerici tra i suoni suddivisi in consonanti, cioè buoni,
raccomandabili e dissonanti, cioè cattivi, proibiti.
Questi concetti sono determinanti nella nascita, davvero rivoluzionaria, dello stile
polifonico in quanto la composizione a due o più voci, che risuonano
contemporaneamente per tutto il corso del brano, impegna l’autore nella produzione
teoricamente, musicalmente e teologicamente corretta di una continua catena di coppie o
terne o insiemi ancor più ricchi di suoni. Di qui il fatto che le prime forme di polifonia – XXI sec. - prevedono che le due voci si muovano producendo solo abbinamenti consonanti
di unissono, ottava, quarta e quinta, mentre tutte le altre soluzioni sono escluse a priori.
Tuttavia, così come accade per tutto quanto è legato allo sviluppo della società e della
cultura e che per ragioni naturali non può essere congelato per sempre in una stessa
forma, ecco che già nel ‘300 si diffondono, nonostante l’opposizione ufficiale della Chiesa,
polifonie con voci che si muovono a distanza di intervalli di terza e sesta, definiti
furbescamente consonanze imperfette e così via verso una sempre maggiore libertà di
azione che, seppure lentamente, conduce alla musica dei tempi moderni.
Un’ulteriore sottolineatura va fatta per ricordare che per molto tempo dell’era cristiana la
vera conoscenza musicale è conoscenza solo teorica: scorrendo interi secoli di musica
medioevale ci capita di incontrare i nomi dei grandi teorici della musica, mai quelli dei
compositori o degli esecutori – evidentemente la vera musica è quella del pensiero, è
quella del cosmo, opera di Dio, non quella concreta che viene prodotta dall’uomo talvolta
con effetti perversi capaci di allontanarlo dalla retta via!
E’ bene altresì ricordare che l’invenzione dello stile polifonico, ossia di un modo di
concepire prima ancora che produrre - magari ad orecchio - la composizione musicale, fatta
come un castello razionale e "misurabile" di suoni, rappresenta la base e la caratteristica
più propria della musica occidentale e che non sarebbe stata possibile senza una visione
matematica dei suoni.
In aggiunta a quanto detto si ricordi che l’evoluzione tecnologica, via via sempre più
marcata, ha un peso considerevole nella pratica musicale a partire da tutto quanto
scoperto ed applicato nella costruzione degli strumenti musicali, sempre più perfezionati e
scientificamente progettati. Il problema della lunghezza delle canne di un organo o della
tensione di una corda sono questioni scientificamente esaminate che sfuggono al profano,
forse anche all’esecutore, ma che sono assolutamente di primaria importanza nella pratica
musicale.
Armonia e fisica nel XVIII secolo
La riflessione sulla musica attraverso il ‘600 ed il ‘700 è attraversata su più fronti da
rapporto con il pensiero scientifico. Si vedano per intanto le diatribe di carattere estetico
sulla mancanza di razionalità della musica paragonata alla poesia, espressione diretta del
pensiero. Ma si vedano anche gli sviluppi degli studi di acustica che, nel frattempo, hanno
ben evidenziato il fenomeno dei suoni armonici o concomitanti, di enorme importanza
nella pratica strumentale.
Per riassumere argomenti abbastanza astrusi se non presentati dal vivo sperimentalmente,
si prenda nota innanzitutto del fatto che qualsiasi corpo sonoro vibrando produce, oltre
alla nota "voluta", una serie di suoni, detti armonici, che non vengono distintamente
percepiti da chi ascolta, ma che avvolgono come una guaina la nota eseguita formandone
il timbro. La serie dei suoni armonici di una qualsiasi nota non è casuale, ma è
naturalmente e spontaneamente prodotta dal corpo vibrante con una disposizione
immutabile. Ad esempio: un do eseguito da un qualsiasi oggetto naturale viene
accompagnato spontaneamente dal do dell’ottava superiore, dal sol ancora superiore, poi
dal do due ottave sopra, poi dal mi, dai successivi sol e si bemolle e poi ancora da un do e
così via secondo una disposizione che si può provare sperimentalmente con estrema
facilità e che è comunque sempre la stessa.
Due sono le letture importanti di questo fenomeno. Per intanto i primi intervalli che
vengono riscontrati nella serie armonica sono gli stessi che Pitagora chiama consonanti (
ottava, quinta, quarta), seguiti dalle vecchie consonanze "imperfette"; in secondo luogo,
per un musico-teorico del XVIII secolo quale Jean-Philippe Rameau il ritrovare nei primi
suoni armonici le note che compongono l’accordo maggiore e la settima di dominante, i
due accordi fondamentali della moderna armonia, non è altro che la dimostrazione di
quanto sia "naturale" la nostra musica: l’esperienza scientifica dimostra la validità del
sistema musicale utilizzato, perfettamente corrispondente a quanto la natura, nella sua
perfezione, sa produrre.
Matematica e musica nel XX secolo ( dodecafonia, sperimentalismo, musica elettronica)
La ricerca di nuove strade e nuovi linguaggi propri dell’arte moderna e contemporanea
insieme alla forte accelerazione della tecnologia e nuovi strumenti in grado di produrre
suono, fanno sì che la musica del ‘900 sia ancora una volta legata a concetti scientifici e
matematici.
La musica che, proprio per la sua immaterialità e la sua apparente mancanza di
razionalità, viene sospinta al di sopra di tutte le arti dalla filosofia romantica, all’inizio de
‘900 va oltre nella pura astrazione quando con la dodecafonia rinuncia al suo dato
"concreto", fornito dal vecchio sistema tonale nel quale chiunque è in grado di "capire" una
musica, potendo dire, ad esempio, se il brano è finito o se è sospeso, nello stesso modo per
cui vedendo una tela sappiamo riconoscere se rappresenta un volto o una mela. La pittura
astratta sta alla pittura tradizionale come la dodecafonia sta alla musica tonale. Anche
questa evoluzione è legata a concetti matematici: i dodici suoni della scala cromatica, tutti
ugualmente importanti nel pensiero di Schönberg, vengono numerati per formare una
serie e questa serie viene ripetuta, sempre con la stessa struttura con diverse possibilità,
per formare il materiale per la composizione. Nel ‘900 la matematica è presente ancora
nella struttura compositiva delle opere di Stockhausen ed ancor più di Xenakis, tanto per
citare due dei più importanti musicisti del secolo scorso, con prodotti che, nonostante il
passare degli anni, risultano ancora difficili per la maggior parte delle nostre orecchie: la
struttura di queste musiche, che deve molto alla visione astratta della musica e non
indulge neanche un po’ alla ricerca del gradimento dell’orecchio, richiede talvolta una
competenza più raffinata accanto alla disponibilità di disporsi ad un ascolto privo di
preconcetti ed aspettative, dove contano la lettura tecnica dell’opera o la capacità di
gustare il suono nella sua mutevole "corporeità".
Alla portata di molti giovani delle nostre scuole ci sono oggi tutte le innovazioni
tecnologiche favorite dall’informatica, assolutamente fondamentali nella produzione e
della riproduzione della musica. Tutta la musica dei nostri giorni è legata al mondo
dell’elettronica, dal pianoforte digitale, surrogato più economico e flessibile di quello
tradizionale, alle possibilità di comporre e produrre, registrare, modificare qualsiasi
genere di musica, anche facendo a meno di voci o strumenti reali.
A proposito di numeri….. : il numero 12 è anche ricorrente in musica: 12 sono semitoni
della scala cromatica, 24 sono le scale effettive del sistema tonale, di qui 24 i Preludi e Fuga
del Clavicembalo ben temperato di Bach, 12 per due sono le due raccolte di Studi op. 10 e
op.25 di Chopin e 24 sono i suoi Preludi op. 28, 24 sono i preludi per pianoforte di
Sciostakovic, per non dire delle corrispondenze numeriche nelle opere di Bach e …. chi più
ne ha, più ne metta!
ARTICOLO DI:
D.S. prof. G.M. Cavallo
L.S.S. " P. Gobetti" Torino
