Foglio di esercizi 5, Algebra e Geometria, Prof. Fioresi, 2016
Si svolgano i seguenti esercizi dal testo Algebra Lineare di Lang.
Es. 1, 2, 3 pg 230 §48.
Esercizio 1
Si considerino le basi B = {v1 = e1 + e2 , v2 = e1 − 2e2 } e C = {e1 , e2 } di R2 .
a) Si scriva la matrice associata all’applicazione identita’ id : R2 −→ R2 ove
si siano fissate:
1. B nel dominio e codominio.
2. C nel dominio e codominio.
3. B nel dominio e C nel codominio.
4. C nel dominio e B nel dominio.
b) Si scriva la matrice associata all’applicazione lineare f : R2 −→ R2 ,
f (ei ) = vi ove si siano fissate:
1. B nel dominio e codominio.
2. C nel dominio e codominio.
3. B nel dominio e C nel codominio.
4. C nel dominio e B nel dominio.
Esercizio 2
Trovare autovalori ed autovettori delle seguenti matrici o applicazioni lineari
e dire se sono diagonalizzabili.
i) la matrice:
2 1 0
0 1 −1 .
0 2 4
ii) l’applicazione lineare L : R2 → R2 definita da:
L(x, y) = (2x + y, 2x + 3y).
1
iii) l’applicazione lineare L : R3 → R3 definita da:
L(x, y, z) = (x + y, x + z, y + z).
iv) l’applicazione lineare L : R2 → R2 definita da:
L(x, y) = (x − 3y, −2x + 6y).
v) L’applicazione lineare L : R2 → R2 definita da:
L(e1 ) = e1 − e2 , L(e2 ) = 2e1 .
Esercizio 3
I) Dimostrare che l’insieme delle matrici n × n a coefficienti in k e invertibili
e’ un gruppo con l’operazione di moltiplicazione righe per colonne.
II) Dimostrare che l’insieme delle matrici n × n a coefficienti in k con determinante uguale a 1 e’ un gruppo con l’operazione di moltiplicazione righe
per colonne.
Esercizio 4*
Questo esercizio spiega il significato geometrico del determinante di matrici
di ordine due e tre.
I) Determinanti 2 × 2
a) Dati due vettori generici (a, c) e (b, d) in R2 si dimostri che il determinante della matrice che ha i due vettori per colonne non cambia se ruotiamo
entrambi i vettori di uno stesso angolo θ. Ricordiamo che tale rotazione corrisponde ad una applicazione lineare che e’ data (nella base canonica) dalla
matrice:
cos(θ) sin(θ)
−sin(θ) cos(θ)
b) Dati due vettori generici (a, c) e (b, d) in R2 si dimostri che il valore
assoluto del determinante della matrice che ha i due vettori per colonne
rappresenta l’area del parallelogramma che ha per lati i due vettori. [Aiuto:
conviene fare una rotazione in modo da supporre che uno dei due vettori
giaccia su uno degli assi cartesiani].
2
II) Determinanti 3 × 3
In questo esercizio vogliamo dimostrare che il determinante di una matrice
tre per tre rappresenta il volume del parallelepipedo i cui lati sono formati
dai tre vettori che formano le righe della matrice (ma anche le colonne dato
che vedremo che il determinante di una matrice coincide con il determinante
della trasposta).
a) Dati due vettori u = (u1 , u2, u3 ) e v = (v1 , v2 , v3 ) si dimostri con un calcolo
diretto che
|u × v|2 = |u|2 |v|2 − (u · v)2
ove × denota il prodotto vettoriale.
b) A partire dal risultato a si dimostri che:
|u × v| = |u||v|sin(θ)
ove θ e’ l’angolo formato dai due vettori. Si dimostri inoltre che |u × v| e’
l’area del l’area del parallelogramma che ha per lati i due vettori dati.
c) Si dimostri che dato un terzo vettore w si ha che (u × v) · w e’ il determinante della matrice che ha per righe i tre vettori dati.
d) A partire dal risultato b e dal teorema visto in classe sul prodotto scalare
(a·b = |a||b|cos(α)) si dimostri che il determinante di una matrice e’ il volume
del parallelelepipedo i cui lati sono formati dai tre vettori che formano le righe
della matrice.
Esercizio 5*
Sia eA l’esponenziale di matrice A ∈ Mn,n (R). Sia P ∈ Mn,n (R) matrice
invertibile. Si mostri che
eP
−1 AP
= P eA P −1
Si utilizzi questa informazione per calcolare l’esponenziale di matrice per le
matrici diagonalizzabili dell’es. 2.
3
