Complementi sugli spazi connessi

Complementi sugli spazi connessi
Proposizione 1 Sia X uno spazio metrico e sia E ⊆ X. Se E è sconnesso allora esistono
due sottoinsiemi U e V , disgiunti e aperti in X, tali che E ⊆ U ∪V , U ∩E 6= ∅, V ∩E 6= ∅.
Dimostrazione. Sia E1 6= ∅ ed E2 6= ∅ due sottoinsiemi disgiunti relativamente chiusi
in E tali che E = E1 ∪ E2 . Si ha allora:
E1 = {x ∈ E : d(x, E1 ) = 0},
E2 = {x ∈ E : d(x, E2 ) = 0}.
Di conseguenza per ogni x ∈ E2 si ha d(x, E1 ) > 0 e per ogni x ∈ E1 si ha d(x, E2 ) > 0.
Siano:
U = {x ∈ X : d(x, E2 ) > d(x, E1 )},
V = {x ∈ X : d(x, E2 ) < d(x, E1 )}.
Poiché le distanze da sottoinsiemi sono funzioni continue, U e V sono aperti. Ovviamente
U ∩ V = ∅, U ⊇ E1 , V ⊇ E2 .
Definizione 2 Si chiama continuo uno spazio topologico compatto e connesso.
Teorema 3 Se Xn è un continuo metrico non
T vuoto e Xn+1 è un sottospazio di Xn per
ogni n = 1, 2, . . ., allora l’intersezione X∞ = ∞
n=1 Xn è un continuo non vuoto.
Dimostrazione. Poiché X1 è compatto e la famiglia {Xn }n∈N ha la fip, si ha che X∞ è
un compatto non vuoto.
Siano ora U e V due aperti disgiunti di X tali che U ∩ X∞ 6= ∅ e V ∩ X∞ 6= ∅. Poiché
U ∩ Xn 6= ∅ e V ∩ Xn 6= ∅, dalla connessione di Xn si ottiene che Xn \ (U ∪ V ) è un
chiuso non vuoto per ogni n = 1, 2, . . .. Dato che gli insiemi Xn \ (U ∪ V ) sono chiusi
“inscatolati”, si ottiene che:
X∞ \ (U ∪ V ) =
∞ ³
´
\
Xn \ (U ∪ V ) 6= ∅.
n=1
Per la prop. 1 si ottiene che X∞ deve essere connesso.
Si noti che la compattezza degli Xn nel teor. 3 è essenziale, come mostra il seguente
esempio.
Esempio 4 Sia Xn = {(x, y) ∈ R2 : x2 + 2n2 y 2 ≤ 2} \ J × {0}, ove J è l’intervallo aperto
di estremi −1 e 1. Ogni Xn è un’ellisse privata di un pezzo del semiasse maggiore. Gli
insiemi Xn sono connessi per archi, Xn+1 ⊆ Xn e tuttavia X∞ è unione di due segmenti
compatti disgiunti (fare un disegno).
Definizione 5 Uno spazio di Hausdorff X si dice localmente connesso se per ogni punto p
e per ogni intorno V di p esiste un intorno W di p tale che W è connesso e W ⊆ V .
Proposizione 6 Sono equivalenti:
1. X è localmente connesso.
2. Per ogni aperto A di X le componenti connesse di A sono aperte in X.
2
3. Ogni intorno di un punto p di X contiene un intorno di p che è aperto e connesso.
Dimostrazione. 1 ⇒ 2. Sia p ∈ A e sia Cp la componente connessa di p in A. Sia
q ∈ Cp ⊆ A. Poiché A è aperto, per 1 esiste un intorno Vq di q in X che è connesso e
contenuto in A. Allora Cp ∪Vq è connesso (unione di connessi con q in comune) e contenuto
in A. Di conseguenza Cp ∪ Vq = Cp e quindi Vq ⊆ Cp . Essendo Cp intorno di ogni suo
punto, si ha che Cp è aperto.
2 ⇒ 3. Sia V un intorno di un punto p. Allora p ∈ Int(V ). Sia Cp la componente
connessa di p nell’aperto Int(V ). Per ipotesi Cp è aperto; dunque esso è l’intorno aperto
connesso cercato.
3 ⇒ 1. Ovvia.
Corollario 7 Ogni aperto non vuoto A di Rn si spezza in una partizione numerabile di
aperti connessi disgiunti. Tali aperti sono anche connessi per archi.
Dimostrazione. Per il teorema precedente, ogni componente connessa C di A è aperta.
Scegliendo un punto a coordinate razionali qC ∈ C per ogni tale componente, si ottiene
una mappa iniettiva a valori in Qn , che è numerabile.
L’ultima affermazione dell’enunciato segue da [1, 2.19.13].
Il seguente è un esempio di uno spazio connesso per archi ma non localmente connesso.
Esempio 8 Siano I l’intervallo [0, 1] e
1 1
S = {0, 1, , , . . .}.
2 3
s
Si consideri il sottoinsieme P di R cosı̀
definito:
P = (I × {0}) ∪ (S × I)
Per ogni punto q ∈ {0} × I esiste un intorno di q che non contiene intorni connessi (v. figura).
Esercizio 1 Mostrare che l’immagine di uno spazio connesso localmente connesso tramite
una funzione continua non è necessariamente localmente connesso.
Proposizione 9 Il cubo di Cantor D = {0, 1}N è omeomorfo all’insieme di Cantor C.
Dimostrazione. Sia N = {1, 2, . . .}. Si consideri la funzione f : D → C cosı̀ definita per
ogni x = (x1 , x2 , . . .):
+∞
X
2xn
f (x) =
3n
n=1
Essa è iniettiva perché l’espansione triadica dei punti di C è unica usando le cifre 0 e 2 ed
è suriettiva perché ogni punto di C ammette una tale espansione.
Essendo D compatto, se dimostriamo che f è continua, abbiamo che è un omeomorfismo.
3
Ricordiamo che su D c’è la topologia ¿coincidere sulle prime n coordinateÀ. Siano x, y ∈
D tali che x1 = y1 , x2 = y2 ,. . . , xn = yn . Si ottiene allora:
¯ +∞
¯
+∞
¯ X 2(x − y ) ¯
X
1
1
¯
k
k ¯
|f (x) − f (y)| = ¯
= n
¯≤2
k
k
¯
¯
3
3
3
k=n+1
k=n+1
Di conseguenza per ogni ε > 0, scelto n tale che 31n < ε, si ottiene che se due punti
coincidono sulle prime n coordinate, le loro immagini distano meno di ε.
Proposizione 10 Se, comunque presi due punti p, q di uno spazio X, essi possono essere
congiunti da un sottospazio connesso Γpq (nel senso che {p, q} ⊆ Γpq ), allora X è connesso.
Dimostrazione. Fissato p ∈ X, si ha X =
connessi con un punto in comune.
S
q∈X
Γpq , che è connesso perché unione di
Q
Teorema 11 Il prodotto topologico X = λ∈Λ Xλ , dove Xλ 6= ∅ per ogni λ ∈ Λ è connesso
se e solo se tutti gli spazi Xλ sono connessi. Inoltre X è connesso per archi se e solo se
tutti gli spazi Xλ sono connessi per archi.
Dimostrazione. Dimostriamo la prima asserzione.
Se X è connesso, allora ogni Xλ è connesso perché immagine di X tramite la proiezione
prλ , che è continua.
Per il viceversa, cominciamo con il prodotto cartesiano Y × Z di due spazi connessi.
Se consideriamo due punti (y1 , z1 ) e (y2 , z2 ), essi possono essere congiunti dall’insieme
(Y × {z1 }) ∪ ({y2 } × Z), che è connesso perché unione di due connessi con il punto (y2 , z1 )
in comune. Per la prop. 10, lo spazio Y × Z è connesso. Da ciò, per induzione, segue che
ogni prodotto finito di connessi è connesso.
Fissiamo ora un punto aλ ∈ Xλ , per ogni λ ∈ Λ. Per ogni sottoinsieme finito F ⊆ Λ
sia XF = {x ∈ XQ: xλ = aλ ∀ λ 6∈ F }. Lo spazio XF è connesso perché omeomorfo
al prodotto
finito λ∈F Xλ . Inoltre XF contiene il punto a = (aλ )λ∈Λ . Il sottospazio
S
W = {XF : F ⊆ Λ, F finito} è connesso perché unione di connessi con un punto in
comune. Inoltre W è denso per la topologia prodotto perché per ogni T
sottoinsieme finito
F ⊆ Λ e per ogni sottoinsieme non vuoto Vλ ⊆ Xλ , l’intersezione W ∩ λ∈F pr←
λ (Vλ ) non
è vuota (essa contiene qualsiasi punto p tale che pλ = aλ se λ 6∈ F e pλ ∈ Vλ se λ ∈ F ).
Pertanto X = W è connesso perché chiusura di un connesso.
Proposizione 12 Il tappeto di Sierpiński S [4, 4.4.2] è connesso per archi e localmente
connesso.
Dimostrazione. Si osservi che per il teor. 3, il tappeto S è un continuo.
Sia q ∈ S. Esiste allora una successione Q0 ⊇ Q1 ⊇ . . . ⊇ Qn ⊇ . . . di quadrati chiusi tali
che:
• diam Qn =
1
3n
(usiamo la metrica del max);
• q ∈ Qn per ogni n;
• Qn è uno dei quadrati che compaiono al passo n-esimo della costruzione, cioè i suoi
vertici hanno coordinate con espansione triadica finita.
4
T
Si osservi che {q} = n∈N Qn .
Consideriamo ora una successione strettamente crescente e limitata di reali positivi t0 =
0 < t1 < t2 < . . . < tn < tn+1 < . . . e costruiamo per induzione una successione di
cammini γn : [tn , tn+1 ] → Fr Qn tali che γn (tn+1 ) = γn+1 (tn+1 ). Sia p0 = (0, 0) e
γ0 : [t0 , t1 ] → Fr Q0 una spezzata (con due lati) che congiunge p0 con un vertice p1
di Q1 . Sia ora γ1 : [t1 , t2 ] → Fr Q1 una spezzata che congiunge p1 con un vertice
p2 di Q2 . Se abbiamo definito γ0 , γ1 , . . . , γn con punti finali p1 , p2 , . . . pn+1 , definiamo
γn+1 : [tn+1 , tn+2 ] → Fr Qn+1 una spezzata che congiunge pn+1 con un vertice pn+2
di Qn+2 . Si osservi che ogni giustapposizione γ0 ? γ1 ? . . . ? γn definisce un cammino
da [t0 , tn+1 ] a S. Sia ora c = sup{tn }. Per ogni t ∈ [t0 , c) esiste un n tale che t ∈ [0, tn+1 ).
Si definisca:
γ(t) = γ0 ? γ1 ? . . . ? γn (t)
La funzione γ è ben definita ed è continua perché è continua su ogni aperto [t0 , tn+1 ).
Se dimostriamo che limt→c− γ(t) = q, abbiamo concluso. Sia Vε un intorno quadrato di
centro q e raggio ε nella metrica del max. Sia n tale che 31n < ε. Poiché q ∈ Qn , si ha
Qn ⊆ Vε e γ(t) ∈ Qn ⊆ Vε per ogni t > tn .
Per quanto riguarda la connessione locale, sia Vε un intorno quadrato di q e sia n tale che
ε
1
3n < 3 . Come prima, Qn ⊆ Vε . Se Qn è un intorno di q, allora Qn ∩ S è connesso perché
è una copia di S tramite una similitudine. Se q ∈ Fr Qn , unendo a Qn tre quadratini
contigui, il punto q è interno all’unione E di quattro quadrati ed E risulta contenuto in
Vε , per la scelta di n. Naturalmente E ∩ S è connesso perché unione finita di connessi a
due a due intersecantisi.
Testi:
[1] Giuseppe De Marco, Analisi Due, Decibel-Zanichelli.
[2] Giuseppe De Marco, Spazi metrici,
http://www.math.unipd.it/~gdemarco/Topologia/TopFisica03.pdf.
[3] Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Berlin, 1989.
[4] Ryszard Engelking, Karol Sieklucki, Topology, a Geometric Approach, Heldermann Verlag, Berlin, 1992.