i prodotti notevoli

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I PRODOTTI NOTEVOLI
I prodotti notevoli sono delle identità molto importanti in matematica, perché possono
notevolmente semplificare i calcoli. Padroneggiarli con sicurezza è molto utile allo studente che
non vuole trovarsi in difficoltà nello studio successivo della maggior parte delle nozioni
matematiche.
1)
Quadrato di un binomio
“Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo termine più (o meno) il doppio
prodotto del primo termine per il secondo, più il quadrato del secondo termine”.
2)
Quadrato di un trinomio
“Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma dei quadrati di tutti i termini, più il doppio
prodotto (con il relativo segno) di ciascun termine per ciascuno dei successivi.”
3)
Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza
“Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo
termine meno il quadrato del secondo.”
4)
Cubo di un binomio
“Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine più il triplo prodotto del primo
termine per il quadrato del secondo, più il triplo prodotto del quadrato del primo termine per
il secondo, più il cubo del secondo termine.”
ESERCIZI DA SVOLGERE in classe
1. QUADRATO DI UN BINOMIO
Risolvi i seguenti esercizi applicando la formula.
(3 + 1) =
−
1
2
=
(2 + 3) =
2
−1
3
( −
3
(5
) =
− 1) =
(3 − 2
( − + 3) =
+ 2) =
+ 1) =
+
2
− +1
3
3
−
( +
−
=
1
+1
2
=
− 1) =
+
+1 =
1
+1
2
=
(2 + 3 − 3) =
( −
+ 1) =
=
( − ) =
2. QUADRATO DI UN TRINOMIO
(
1
2
(2 − 3) =
) =
(3 +
−
=
Risolvi i seguenti esercizi applicando la formula.
3. PRODOTTO SOMMA PER DIFFERENZA
Risolvi i seguenti esercizi applicando la formula.
 1 3  1 3 
  z  1   z  1 =
 6
 6

(-1 - x²y³) · (-1 + x²y³) =
 y  4ab  y  4ab  =
2
2
( 3a² + 1 )(3a² - 1 ) =
(1 - b³ )(-1 - b³) =
(ab - b²)( ab + b²) =
+3
+
−3 =
−
+
=
(a + b)(a – b) =
+
−
=
1. CUBO DI UN BINOMIO
Risolvi i seguenti esercizi applicando la formula.
(3 + 1) =
−
−
(− −
−3
(5
− 1) =
(3 − 2
) =
=
2
−1
3
(−2 + 3) =
) =
1
2
+
1
+
3
1
+1
2
1
2
=
=
ESERCIZI DA SVOLGERE a casa
1.
Calcola i quadrati dei seguenti binomi:
( − 3)
2.
3.
5.
(5 + 7 )
3 +
1
2
Completa i seguenti binomi in modo che con il terzo termine diventino quadrati di binomi:
x2 + y2 + …………. =
b2 + 2b + …………. =
c2d4 + 16 + …………. =
2a3c + c2 + …………. =
Correggi l’errore commesso nel calcolo dei seguenti prodotti notevoli:
(a-b)2 = a2-2ab-b2
4.
(−5 − 7 )
(a+b+1)2 = a2+b2+1+ab+a+b
(2a3+b)2 = 4a3b+b2
Completa, inserendo un opportuno monomio che renda le uguaglianze vere:
x2 - y2 = (x -...)(... + ...)
x4 - 9 = (x2 - 3)(... + ...)
x2 - 2xy + y2 = (-x + ...)2
...+12 +...= (...+2)2
Utilizza i prodotti notevoli per eseguire rapidamente i seguenti calcoli:
Esempio: 632 = (60+3)2 = 602+2*60*3+32 =3600+9+360 = 3969
292 = (30-1)2 =
812 =
1012 =
1492 = (100+40+9)2=
33*27 = (30+3)(30-3) =302-32 = 900 -9 = 891
44*36 =
62*58 =
121*79 = (100+21)(100-21) = 1002 – 212 = 10000 – (20+1)2 = 10 000 -441 = 9559
437*363 =