Problemi da risolvere mediante equazioni di 1° o 2° grado in una

Problemi da risolvere mediante equazioni di 1° o 2° grado in una incognita
1. Determina due numeri, sapendo che la loro somma è 5 e che la somma dei loro quadrati è 73.
Come cambiano le soluzioni sostituendo “somma” con “differenza”?
[R. 8 e -3; nel secondo caso: 9.8 e -4.8]
Soluzione:
Poniamo x uno dei due numeri, l'altro si può scrivere 5 – x; allora l'equazione è: x2 + (5 – x)2 = 73 da
cui, svolgendo i calcoli, si ottiene: 2x2 – 10x – 24 = 0 (N.B. Equivalente a x2 – 5x – 24 = 0...) le cui
soluzioni sono 8 e –3, che sono i numeri richiesti. Infatti con x=8, da 5 – x si ottiene – 3 e viceversa
con x=– 3, da 5 – x si ottiene 8.
Nel secondo caso l'equazione è: x2 – (5 – x)2 = 73 , da cui 10x – 25 = 73, la cui unica soluzione è
x=98/10=9.8 . Di conseguenza il secondo numero è 5 – 9.8 = – 4.8
2. Indovinelli matematici: “Pensa un numero; aggiungi 4; moltiplica il risultato ottenuto per 3;
aggiungi 7; aggiungi il doppio del numero pensato.” Se il risultato a cui si arriva è 94, qual è il
numero pensato?
Quali risultati sono plausibili affinché il numero pensato sia un numero naturale?
[R. 15]
Soluzione:
“Pensa un numero”: indichiamolo con n
“aggiungi 4”: n + 4
“moltiplica .. per 3”: 3(n+4)
“aggiungi 7”: 3(n + 4) + 7
“aggiungi il doppio del numero pensato”: 3(n + 4) + 7 + 2n
Se il risultato è 94 allora il numero è la soluzione dell'equazione: 3(n + 4) + 7 + 2n = 94 , equivalente
a: 5n + 19 = 94 , la cui unica soluzione è n = (94 – 19)/5 = 15.
Volendo generalizzare il problema, indicato con r il risultato finale, affinché la soluzione sia un
numero naturale occorre che (r – 19) sia un multiplo di 5 : r – 19 = 5k, con k naturale; e quindi
r = 19 + 5k.
3. Nel cortile di una fattoria ci sono polli e conigli. In tutto si contano 47 teste e 160 zampe.
Quanti polli e quanti conigli ci sono?
[R. 14 polli e 33 conigli]
Soluzione:
Poniamo p il numero dei polli, allora il numero dei conigli è 47 – p (polli e conigli hanno una sola
testa ... e in tutto le teste sono 47).
L'equazione che possiamo scrivere tiene conto che in tutto ci sono 160 zampe e che i polli sono
bipedi mentre i conigli sono quadrupedi...: quindi, numero delle zampe dei polli: 2p , numero delle
zampe dei conigli 4(47 – p).
Per cui: 2p + 4(47 – p) = 160 , equivalente a: 188 – 2p = 160 , la cui unica soluzione è 14.
I polli sono 14 e i conigli 33.
4. Un mattone pesa un chilo più mezzo mattone. Quanto pesa il mattone?
[R. 2 kg]
Soluzione:
Indichiamo con x il peso del mattone; allora l'equazione è: 1 + 0.5x = x , la cui soluzione è 2.
5. L'acqua di un fiume scorre con la velocità di 3 km/h. Una barca a motore impiega 3 ore per
percorrere 12 km controcorrente e successivamente ritornare al punto di partenza. Qual è la
velocità della barca in acqua ferma? [ricordare che spazio, tempo e velocità nel moto sono legati dalla
relazione: tempo = spazio/velocità]
[R. 9 km/h]
Soluzione:
Indichiamo con v la velocità della barca in acqua ferma; dobbiamo tener conto del fatto che quando
la barca naviga con corrente a favore la sua velocità è v + 3, mentre quando naviga controcorrente la
sua velocità è v – 3. Quindi il tempo impiegato a percorrere il tragitto controcorrente è 12/(v – 3),
mentre per tornare indietro (corrente a favore!) il tempo è 12/(v+3).
Sapendo che il tempo di andata e ritorno è 3 ore, l'equazione che si può scrivere è:
12/(v – 3) + 12/(v + 3) = 3 , equivalente a: v2 – 8v – 9 = 0 , le cui soluzioni sono: v1 = 9 , v2 = - 1 . Di
queste solo la prima ha senso per il problema.
6. Dato un segmento di lunghezza unitaria, determinare la parte del segmento media
proporzionale tra l'intero segmento e la parte restante.
[N.B. Si chiama medio proporzionale il termine che occupa il posto dei termini medi in una proporzione in
cui questi siano uguali; per es. nella proporzione 6 : 12 = 12 : 24, 12 è medio proporzionale tra 6 e 24]
[R. (√5-1)/2 ≈ 0.618]
Soluzione:
A
P
B
Con riferimento al disegno, detta x la lunghezza di AP, pensato come il medio proporzionale tra AB
e PB, l'equazione è: 1 : x = x : (1 – x) ; equivalente a: x2 +x – 1 = 0 le cui soluzioni sono x1 = (-1 +
√5)/2 e x2 = (-1 - √5)/2. Di queste, solo la prima è accettabile perché è positiva; la seconda no,
perché è negativa.
7. In un triangolo isoscele ABC la base AB è lunga 12 cm e i lati obliqui sono lunghi 10 cm.
Determina un punto P, sull'altezza relativa ad AB in modo che la somma delle aree dei quadrati
costruiti sui lati del triangolo APC sia uguale a 176 cm2.
[R. PC=2 oppure PC=6]
Soluzione:
C
P
A
H
B
Con riferimento alla figura, per il teorema di Pitagora
applicato al triangolo rettangolo ACH si ha
CH = √(102 – 62) = 8.
Indicata con x la lunghezza di PH, si avrà PC = 8 – x e
AP = √(x2 + 36) [teorema di Pitagora sul triangolo
APH]. Ricordato come si trova l'area di un quadrato,
l'equazione a cui si arriva è:
(x2 + 36) + (8 – x)2 + 100 = 176 , equivalente a :
x2 – 8x + 12 = 0 che ha per soluzioni x1=6 e x2=2 . Le
soluzioni sono entrambe accettabili.
8. In un rettangolo ABCD si ha che AB=5 cm e BC=2 cm. Determina sul lato AB un punto P in
modo che l'angolo DPC sia retto.
[R. AP=4 oppure AP=1]
Soluzione:
Con riferimento alla figura, detta x la lunghezza di AP,
si ha PB = 5 – x .
Di conseguenza, applicando il teorema di Pitagora ai
triangoli rettangoli ADP e PBC, si ottiene:
DP2 = x2 + 4
e PC2 = (5 – x)2 + 4 .
E ancora per il teorema di Pitagora sul triangolo DPC:
(x2 + 4) + ((5 – x)2 + 4) = 25 , equazione equivalente a:
2x2 – 10x + 8 = 0 , le cui soluzioni x1 = 4 e x2 = 1 sono
entrambe accettabili.
9. In un trapezio isoscele la base minore è lunga 2 cm e gli angoli adiacenti alla base maggiore
hanno ampiezza 45°. Sapendo che l'area del trapezio è di 5,25 cm2, determina il perimetro del
trapezio.
[R. perimetro= 7+3√2]
Soluzione:
Dall’ipotesi che gli angoli adiacenti
alla base maggiore siano di 45°
deriva che i triangoli rettangoli
ADH e BCK sono isosceli, di
conseguenza AH=DH e BK=KC.
Posto x la lunghezza di DH, la base
maggiore avrà lunghezza 2 + 2x.
Sapendo che l’area è di 5.25,
possiamo scrivere l’equazione:
(2 + (2+2x))x/2 = 5.25 (ricordando che l’area di un trapezio è…), equivalente all’equazione 2x2 +
4x – 10.5 = 0 , le cui soluzioni sono:
x1 = 3/2 e x2 = – 7/2; di queste solo la prima è accettabile.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ADH si ottiene AD = (3/2)√2; per cui il
perimetro del trapezio è: (2(3/2) )√2) + 2
+ (2+2(3/2)) = 3√2 + 7
<AD+BC>
<AB>
<HK+DH+KC>
10. In un triangolo ABC il lato BC viene diviso dal piede H dell’altezza ad essa relativa in due
segmenti BH e HC che misurano rispettivamente 5 e 9. Sapendo inoltre che AH = 2AB -14 e
AC =3AH -21, determinare perimetro e area del triangolo. [ Poni AH=x e usa il teorema di Pitagora
sui triangoli ABH e AHC]
[R. 12]
Posto AH = x, dalla relazione AH = 2AB -14
si ricava AB = (AH + 14)/2 = (x + 14)/2.
Dalla relazione AC = 3AH -21 si ricava AC =
3x – 21; da qui il vincolo per x di essere
maggiore di 7, perché altrimenti la
lunghezza di AC sarebbe zero o negativa…
(*) .
Dal teorema di Pitagora sul triangolo ABH si ha: AH2 =AB2 – BH2 = ((x + 14)/2)2 - 52;
dal teorema di Pitagora sul triangolo ACH,si ha: AH2 = AC2 – HC2 = (3x – 21)2 – 92.
E uguagliando le due espressioni di AH2 si ottiene l’equazione:
((x + 14)/2)2 - 52 = (3x – 21)2 – 92
equivalente a: 35x2 – 532x + 1344 = 0.
Le soluzioni di questa equazione sono x1=16/5 e x2=12; di queste solo x2 rispetta il vincolo (*).